Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση

Σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά, μみゅーιいおたαあるふぁ επαναλαμβανόμενη συνάρτηση είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん προκύπτει από τたうηいーたνにゅー επανειλημμένη σύνθεση μίας συνάρτησης μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー εαυτό της ορισμένες φορές. Ηいーた διαδικασία εφαρμογής της ίδιας συνάρτησης πολλές φορές ονομάζεται επανάληψη.

Οおみくろんιいおた επαναλαμβανόμενες συναρτήσεις εμφανίζονται σしぐまτたうηいーたνにゅー επιστήμη τたうωおめがνにゅー υπολογιστών, σしぐまτたうαあるふぁ δυναμικά συστήματα, στις ομάδες επανακανονικοποίησης κかっぱαあるふぁιいおた αποτελούν τたうηいーた βάση τたうωおめがνにゅー φράκταλ.

Ορισμός

Ηいーた επαναλαμβανόμενη, ακριβέστερα ηいーた δεύτερη επαναλαμβανόμενη, μιας συνάρτησης f, πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται σしぐまεいぷしろん ένα σύνολο X κかっぱαあるふぁιいおた έχει τιμές σしぐまτたうοおみくろん ίδιο αυτό σύνολο X, είναι ηいーた συνάρτηση $f\circ f,$ όπου $\circ$ σημειώνει τたうηいーた σύνθεση συναρτήσεων. Μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια, γがんまιいおたαあるふぁ κάθε στοιχείο x τたうοおみくろんυうぷしろん X

(f\circ f)(x)=f(f(x)).

Γενικότερα, μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん n νにゅーαあるふぁ είναι ένας θετικός ή μηδενικός ακέραιος αριθμός, ηいーた n-ηいーた επαναλαμβανόμενη $f^{n}$ μιας συνάρτησης f , πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται σしぐまεいぷしろん ένα σύνολο X κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーεいぷしろん τιμές σしぐまτたうοおみくろん ίδιο αυτό σύνολο X, ορίζεται μみゅーεいぷしろん αναδρομή μέσω της σχέσης

f^{n}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f\circ f^{n-1}.

Σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうηいーた σύμβαση, γがんまιいおたαあるふぁ n = 0, $f^{0}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~\operatorname {id} _{X}$ , όπου $\operatorname {id} _{X}$ είναι ηいーた συνάρτηση ταυτότητας σしぐまτたうοおみくろん $X$ .

Οおみくろん συμβολισμός $f^{n}$ μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι διφορούμενος, καθώς χρησιμοποιείται όχι μόνο γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー επανάληψη, αλλά κかっぱαあるふぁιいおた γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー ύψωση σしぐまεいぷしろん δύναμη. Γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん λόγο αυτό, ορισμένοι μαθηματικοί συμβολίζουν $f^{\circ n}$ τたうηいーたνにゅー n-οστή επανάληψη μιας συνάρτησης $f$ .

Ακολουθίες επαναληπτικότητας

Οおみくろんιいおた ακόλουθες ταυτότητες ισχύουν γがんまιいおたαあるふぁ όλους τους θετικούς ή μηδενικούς ακεραίους $m$ κかっぱαあるふぁιいおた $n$ :

f^{m}\circ f^{n}=f^{n}\circ f^{m}=f^{m+n}~.

(f^{m})^{n}(x)=(f^{n})^{m}(x)=f^{mn}(x).

Γがんまιいおたαあるふぁ ένα στοιχείο $x$ τたうοおみくろんυうぷしろん $X$ , ηいーた ακολουθία τιμών $f^{n}(x)$ είναι ηいーた τροχιά τたうοおみくろんυうぷしろん $x$ .

Αあるふぁνにゅー $x=f^{m}(x)$ γがんまιいおたαあるふぁ έναν μみゅーηいーた μηδενικό ακέραιο $m$ , τότε $f^{n}(x)=f^{n+m}(x)$ (γがんまιいおたαあるふぁ κάθε $n$ ), ηいーた τροχιά λέγεται περιοδική κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん μικρότερος ακέραιος $m$ γがんまιいおたαあるふぁ ένα δεδομένο $x$ είναι ηいーた περίοδος της αντίστοιχης τροχιάς- τたうοおみくろん ίδιο τたうοおみくろん σημείο $x$ είναι ένα λεγόμενο περιοδικό σημείο. Σしぐまτたうηいーたνにゅー επιστήμη τたうωおめがνにゅー υπολογιστών, τたうοおみくろん πρόβλημα ανίχνευσης κύκλων είναι τたうοおみくろん αλγοριθμικό πρόβλημα πぱいοおみくろんυうぷしろん συνίσταται σしぐまτたうηいーたνにゅー εύρεση τたうοおみくろんυうぷしろん πρώτου περιοδικού σημείου μιας τροχιάς κかっぱαあるふぁιいおた της περιόδου της τροχιάς.

Σταθερά σημεία

Αあるふぁνにゅー f(x) = x γがんまιいおたαあるふぁ ένα στοιχείο x τたうοおみくろんυうぷしろん X (μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια, ηいーた περίοδος της τροχιάς τたうοおみくろんυうぷしろん x είναι 1), τότε τたうοおみくろん x είναι ένα σταθερό σημείο της επαναληπτικής ακολουθίας. Τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー σταθερών σημείων συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん Fix(f). Διάφορα θεωρήματα εγγυώνται τたうηいーたνにゅー ύπαρξη σταθερών σημείων σしぐまεいぷしろん ορισμένες περιπτώσεις, όπως τたうοおみくろん Θεώρημα σταθερού σημείου τたうοおみくろんυうぷしろん Μπάναχ ή τたうοおみくろん Θεώρημα σταθερού σημείου τたうοおみくろんυうぷしろん Μπρόουβερ.

Διάφορες τεχνικές μπορούν νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθούν γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー επιτάχυνση της σύγκλισης τたうωおめがνにゅー ακολουθιών πぱいοおみくろんυうぷしろん παράγονται μみゅーεいぷしろん επαναλήψεις σταθερού σημείου.^[1]

Κατά τたうηいーた διάρκεια της επαναληπτικότητας, μπορεί νにゅーαあるふぁ υπάρχουν σύνολα πぱいοおみくろんυうぷしろん συστέλλονται κかっぱαあるふぁιいおた συγκλίνουν σしぐまεいぷしろん ένα μόνο σημείο: στην περίπτωση αυτή, τたうοおみくろん σημείο αυτό είναι ένα ελκυστικό σταθερό σημείο. Ηいーた επαναληπτικότητα μπορεί επίσης νにゅーαあるふぁ δώσει τたうηいーたνにゅー εμφάνιση σημείων πぱいοおみくろんυうぷしろん απομακρύνονται από ένα σταθερό σημείο, τたうοおみくろん οποίο τότε ονομάζεται ασταθές σταθερό σημείο^[2]. Άλλες οριακές συμπεριφορές είναι επίσης δυνατές. Όταν τたうαあるふぁ σημεία της τροχιάς συγκλίνουν σしぐまεいぷしろん ένα ή περισσότερα όρια, τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー συσσωρευμένων σημείων της τροχιάς ονομάζεται οριακό σύνολο ή ωおめが-οριακό σύνολο.

Οおみくろんιいおた ιδέες της έλξης κかっぱαあるふぁιいおた της απώθησης γενικεύονται: τたうαあるふぁ σταθερά κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ ασταθή σύνολα μπορούν νにゅーαあるふぁ κατηγοριοποιηθούν ανάλογα μみゅーεいぷしろん τたうηいーた συμπεριφορά τたうωおめがνにゅー μικρών γειτονιών κατά τたうηいーたνにゅー επανάληψη.

Αμετάβλητο μέτρο

Αあるふぁνにゅー μας ενδιαφέρει ηいーた εξέλιξη μιας κατανομής πυκνότητας κかっぱαあるふぁιいおた όχι μιας διακριτής κατανομής ή ενός μεμονωμένου σημείου, ηいーた οριακή συμπεριφορά δίνεται από τたうοおみくろん αναλλοίωτο μέτρο. Μπορεί νにゅーαあるふぁ απεικονιστεί ως ηいーた συμπεριφορά ενός νέφους σημείων ή σκόνης υπό μία επανάληψη. Τたうοおみくろん αναλλοίωτο μέτρο είναι ένα ιδιοδιάνυσμα τたうοおみくろんυうぷしろん τελεστή Ρουέλ-Φρομπένιους-Περόν ή τたうοおみくろんυうぷしろん τελεστή μεταφοράς, πぱいοおみくろんυうぷしろん αντιστοιχεί σしぐまτたうηいーたνにゅー ιδιοτιμή 1. Μικρότερες ιδιοτιμές αντιστοιχούν σしぐまεいぷしろん ασταθείς, συρρικνούμενες καταστάσεις.

Σしぐまεいぷしろん γενικές γραμμές, εφόσον ηいーた επαναληπτικότητα αντιστοιχεί σしぐまεいぷしろん μετατόπιση, τόσο οおみくろん τελεστής μεταφοράς όσο κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん συγγενής τたうοおみくろんυうぷしろん, οおみくろん τελεστής τたうοおみくろんυうぷしろん Κούπμαν, μπορούν νにゅーαあるふぁ ερμηνευθούν ως ηいーた δράση ενός τελεστή μετατόπισης σしぐまεいぷしろん ένα συμβολικό δυναμικό σύστημα. Ηいーた θεωρία τたうωおめがνにゅー συμβολικών δυναμικών συστημάτων παρέχει ένα πλαίσιο γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー κατανόηση πολλών επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων, ιδίως εκείνων πぱいοおみくろんυうぷしろん οδηγούν σしぐまεいぷしろん χάος.

Κλασματική κかっぱαあるふぁιいおた αρνητική επανάληψη

Υπό ορισμένες προϋποθέσεις, είναι δυνατόν νにゅーαあるふぁ οριστεί μみゅーιいおたαあるふぁ κλασματική επαναληπτικότητα μιας συνάρτησης. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, ηいーた μισή επανάληψη μιας συνάρτησης $f$ είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση $g$ τέτοια ώστε $g(g(x))=f(x)$ . Αυτή ηいーた συνάρτηση $g$ μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφτεί μみゅーεいぷしろん εκθετικό συμβολισμό < $f^{\frac {1}{2}}(x)$ . Παρομοίως, $f^{\frac {1}{3}}(x)$ είναι ηいーた συνάρτηση τέτοια ώστε $f^{\frac {1}{3}}(f^{\frac {1}{3}}(f^{\frac {1}{3}}(x)))=f(x)$ , κかっぱαあるふぁιいおた $f^{\frac {2}{3}}(x)$ μπορεί νにゅーαあるふぁ οριστεί ως $f^{\frac {1}{3}}(f^{\frac {1}{3}}(x))$ , κかっぱαあるふぁιいおた ούτω καθεξής, μみゅーεいぷしろん βάση τたうηいーたνにゅー αρχή ότι $f^{m}\circ f^{n}=f^{n}\circ f^{m}=f^{m+n}~.$ . Ηいーた ιδέα μπορεί νにゅーαあるふぁ γενικευτεί σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση όπου οおみくろん αριθμός τたうωおめがνにゅー επαναλήψεων $n$ γίνεται μみゅーιいおたαあるふぁ συνεχής παράμετρος- τたうοおみくろん σύστημα είναι τότε μみゅーιいおたαあるふぁ ροή πぱいοおみくろんυうぷしろん συνδέεται μみゅーεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ εξίσωση Σρέντερ.

Οおみくろんιいおた αρνητικές επαναλήψεις αντιστοιχούν σしぐまεいぷしろん αντίστροφες διενέξεις συναρτήσεων κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー συνθέσεών τους. Παραδείγματος χάριν, $f^{-1}(x)$ είναι τたうοおみくろん συνηθισμένο αντίστροφο της συνάρτησης $f$ , $f^{-2}(x)$ είναι τたうοおみくろん αντίστροφο πぱいοおみくろんυうぷしろん συντίθεται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー εαυτό τたうοおみくろんυうぷしろん, κかっぱ.λらむだπぱい. Οおみくろんιいおた αρνητικές κλασματικές επαναλήψεις ορίζονται μみゅーεいぷしろん παρόμοιο τρόπο μみゅーεいぷしろん τις θετικές κλασματικές επαναλήψεις. Συγκεκριμένα, $f^{-{\frac {1}{2}}}(x)$ ορίζεται έτσι ώστε $f^{-{\frac {1}{2}}}(f^{-{\frac {1}{2}}}(x))=f^{-1}(x)$ .

Τύποι γがんまιいおたαあるふぁ κλασματική επαναληπτικότητα

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー προσδιορισμό της κλασματικής επαναληπτικότητας. Ηいーた παρακάτω βασίζεται σしぐまτたうηいーた χρήση ενός σταθερού σημείου.

Καθορίζουμε ένα σταθερό σημείο a της συνάρτησης, μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια ένα σημείο a τέτοιο ώστε $f(a)=a$ .
Σταθερό σημείο $f^{n}(a)=a$ , γがんまιいおたαあるふぁ κάθε n πぱいοおみくろんυうぷしろん ανήκει στους πραγματικούς. Αυτό αντιστοιχεί σしぐまτたうηいーたνにゅー πぱいιいおたοおみくろん φυσική πρόσθετη συνθήκη πぱいοおみくろんυうぷしろん μπορεί νにゅーαあるふぁ επιβληθεί στις επαναλήψεις.
Γράφουμε τたうοおみくろん $f^{n}(x)$ σしぐまτたうηいーた γειτονιά τたうοおみくろんυうぷしろん σταθερού σημείου a ως σειρά Τέιλορ :
$f^{n}(x)=f^{n}(a)+(x-a){\frac {d}{dx}}f^{n}(x)|_{x=a}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f^{n}(x)|_{x=a}+\cdots$
Αναπτύσσουμε :
$f^{n}\left(x\right)=f^{n}(a)+(x-a)f'(a)f'(f(a))f'(f^{2}(a))\cdots f'(f^{n-1}(a))+\cdots$
Χρησιμοποιώντας τたうηいーた συνθήκη πぱいοおみくろんυうぷしろん τέθηκε σしぐまτたうοおみくろん βήμα 2 $f^{k}(a)=a$ , γがんまιいおたαあるふぁ όλα τたうαあるふぁ k, έχουμε:
$f^{n}\left(x\right)=a+(x-a)f'(a)^{n}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots +f'(a)^{n-1}\right)+\cdots$
Απλοποιούμε χρησιμοποιώντας τたうηいーた γεωμετρική πρόοδο :
$f^{n}\left(x\right)=a+(x-a)f'(a)^{n}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1}){\frac {f'(a)^{n}-1}{f'(a)-1}}+\cdots$
Μみゅーιいおたαあるふぁ ειδική περίπτωση είναι όταν $f'(a)=1$ - σしぐまεいぷしろん αυτή τたうηいーたνにゅー περίπτωση :
$f^{n}\left(x\right)=x+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(nf''(a))+{\frac {(x-a)^{3}}{6}}\left({\frac {3}{2}}n(n-1)f''(a)^{2}+nf'''(a)\right)+\cdots$
Αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん n δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ακέραιος αριθμός, χρησιμοποιούμε τたうοおみくろんνにゅー τύπο $y^{n}=\exp(n\ln(y))$ .

Ηいーた διαδικασία αυτή μπορεί νにゅーαあるふぁ συνεχιστεί εいぷしろんπぱい' αόριστον, αλλά γενικά δでるたεいぷしろんνにゅー είναι αποτελεσματική, καθώς οおみくろんιいおた όροι γίνονται όλο κかっぱαあるふぁιいおた πぱいιいおたοおみくろん περίπλοκοι.

Παράδειγμα 1

Ηいーた συνάρτηση f ορίζεται από τたうηいーた σχέση $f (x) = Cx + D$ μみゅーεいぷしろん C ≠ 1, έχει σταθερό σημείο $a = D /(1- C)$ .

Ηいーた διαδικασία πぱいοおみくろんυうぷしろん αναλύσαμε παραπάνω δίνει :

f^{n}(x)={\frac {D}{1-C}}+(x-{\frac {D}{1-C}})C^{n}=C^{n}x+{\frac {1-C^{n}}{1-C}}D.

Παράδειγμα 2

Έστω ότι θέλουμε νにゅーαあるふぁ υπολογίσουμε τたうηいーたνにゅー τιμή ${\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}$ , γがんまιいおたαあるふぁ n επαναλήψεις. Εδώ ηいーた συνάρτηση ορίζεται από $f (x)= \sqrt 2 x$ . Ένα σταθερό σημείο είναι $a=f(2)=2$ .

Αναπτύσσοντας $f n (x)$ όπως εξηγήθηκε παραπάνω σしぐまτたうηいーた γειτονιά τたうοおみくろんυうぷしろん 2, κかっぱαあるふぁιいおた θέτοντας x=1, έχουμε,

{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}=f^{n}(1)=2-(\ln 2)^{n}+{\frac {(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^{n}-1)}{4(\ln 2-1)}}\cdots .

Γがんまιいおたαあるふぁ n θετικό ακέραιο, οおみくろんιいおた τρεις πρώτοι όροι δίνουν τたうοおみくろん σωστό πρώτο δεκαδικό ψηφίο: $f n (1) = n \sqrt 2$ .

(Σημειώστε ότι αあるふぁνにゅー χρησιμοποιήσουμε τたうοおみくろん άλλο σταθερό σημείο $a = f (4) = 4$ , αντί γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん σταθερό σημείο 2, ηいーた σειρά αποκλίνει).

Γがんまιいおたαあるふぁ $n = -1$ ηいーた σειρά υπολογίζει τたうηいーたνにゅー αντίστροφη συνάρτηση, $2\ln x/\ln 2$ .

Παράδειγμα 3

Αναπτύσσοντας σしぐまτたうηいーたνにゅー περιοχή τたうοおみくろんυうぷしろん σταθερού σημείου 1 τたうηいーた συνάρτηση $f (x) = x b$ , προκύπτει ηいーた σειρά

f^{n}(x)=1+b^{n}(x-1)+{\frac {1}{2}}b^{n}(b^{n}-1)(x-1)^{2}+{\frac {1}{3!}}b^{n}(b^{n}-1)(b^{n}-2)(x-1)^{3}+\cdots ,

ηいーた οποία είναι απλά ηいーた σειρά Τέιλορ της x^(bⁿ) γύρω από τたうοおみくろん 1.

Τοπολογική συζυγία

Αあるふぁνにゅー $f$ κかっぱαあるふぁιいおた $g$ είναι δύο επαναλαμβανόμενες συναρτήσεις, κかっぱαあるふぁιいおた αあるふぁνにゅー υπάρχει ένας ομοιομορφισμός $h$ τέτοιος ώστε $g=h^{-1}\circ f\circ h$ , λέμε ότι $f$ κかっぱαあるふぁιいおた $g$ } είναι τοπολογικά συζυγείς.

Ηいーた επαναληπτικότητα διατηρεί τたうηいーたνにゅー τοπολογική σύζευξη: πράγματι, $g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h$ . Έτσι, αあるふぁνにゅー ξέρουμε πώς νにゅーαあるふぁ προσδιορίσουμε ένα σύστημα επαναληπτικών συναρτήσεων, ξέρουμε επίσης πώς νにゅーαあるふぁ προσδιορίσουμε όλα τたうαあるふぁ τοπολογικά συζυγή συστήματα.

Παραδείγματος χάριν, ηいーた τριγωνική συνάρτηση είναι τοπολογικά συζυγής μみゅーεいぷしろん τたうηいーた λογιστική ακολουθία. Μみゅーιいおたαあるふぁ ειδική περίπτωση είναι ηいーた $f (x) = x +1$ ηいーた οποία δίνει ως επανάληψη της $g(x)=h^{-1}(h(x)+1)$

g^{n}(x)=h^{-1}(h(x)+n),

γがんまιいおたαあるふぁ οποιαδήποτε συνάρτηση $h$ .

Κάνοντας τたうηいーたνにゅー αντικατάσταση $x=h^{-1}(y)=\phi (y)$ , προκύπτει

g(\phi (y))=\phi (y+1)

, μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια τたうηいーたνにゅー εξίσωση τたうοおみくろんυうぷしろん Άμπελ.

Σしぐまτたうηいーたνにゅー απουσία ενός πραγματικού συνολικού ομοιομορφισμού, είναι συχνά δυνατή ηいーた επίλυση^[3] της εξίσωσης Σρέντερστην περιοχή ενός σταθερού σημείου γがんまιいおたαあるふぁ μみゅーιいおたαあるふぁ $Ψ ぷさい$ συνάρτηση. Παραδείγματος χάριν, εάν $x$ = 0, $f$ (0) = 0, $f (x)$ είναι τοπικά συζυγής μみゅーεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ διαστολή, $g (x) = f'(0) x$ , μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια

f(x)=\psi ^{-1}(f(0)\psi (x)).

Ηいーた τροχιά της επανάληψης, ή float, υπό κατάλληλες συνθήκες (πぱい.χかい. $f'(0) \neq 1$ ), γίνεται ηいーた συζυγής της τροχιάς τたうοおみくろんυうぷしろん μονοωνύμου :

\psi ^{-1}(f'(0)^{n}\psi (x)),

όπου $n$ σしぐまεいぷしろん αυτή τたうηいーたνにゅー έκφραση είναι ένας συνηθισμένος εκθέτης: μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια, ηいーた λειτουργική επανάληψη έχει μειωθεί σしぐまεいぷしろん έναν απλό πολλαπλασιασμό. Οおみくろん εκθέτης $n$ δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι ούτε θετικός ούτε ακέραιος- τότε αντιστοιχεί σしぐまεいぷしろん ένα συνεχή χρόνο εξέλιξης γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー τροχιά.^[4]

Τたうοおみくろん παράδειγμα 2 παραπάνω ισοδυναμεί, επομένως, μみゅーεいぷしろん $f^{n}(x)=\psi ^{-1}((\ln 2)^{n}\psi (x))$ , γがんまιいおたαあるふぁ οποιοδήποτε n (όχι απαραίτητα ακέραιο), όπου $Ψ ぷさい$ είναι ηいーた λύση της αντίστοιχης εξίσωσης Σρέντερ, $\psi ({\sqrt {2}}^{x})=\ln 2\psi (x)$ . Αυτή ηいーた λύση είναι επίσης τたうοおみくろん όριο, γがんまιいおたαあるふぁ m πぱいοおみくろんυうぷしろん τείνει σしぐまτたうοおみくろん άπειρο, της ${\frac {f^{m}(x)-2}{(\ln 2)^{m}}}$ .

Ηいーた μέθοδος αυτή είναι ισοδύναμη μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー αλγόριθμο πぱいοおみくろんυうぷしろん περιγράφεται σしぐまτたうηいーたνにゅー προηγούμενη ενότητα, αλλά πぱいιいおたοおみくろん ισχυρή κかっぱαあるふぁιいおた συστηματική σしぐまτたうηいーたνにゅー πράξη.

Παραδείγματα

Γがんまιいおたαあるふぁ παραδείγματα επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων, δείτε επίσης τたうοおみくろん σύνολο Μάντελμπροτ κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ Επαναλαμβανόμενα συστήματα συναρτήσεων.

Οおみくろん Έρνστ Σρέντερ^[5] μελέτησε ειδικές περιπτώσεις της λογιστικής ακολουθίας τたうοおみくろん 1870:

(χαοτική περίπτωση) : $f(x)=4x(1-x)$ δίνει $\psi (x)=\arcsin ^{2}({\sqrt {x}})$ , ως εいぷしろんκかっぱ τούτου $f^{n}(x)=\sin ^{2}(2^{n}\arcsin({\sqrt {x}}))$ .
(μみゅーηいーた χαοτική περίπτωση) : $f(x)=2x(1-x)$ δίνει $\psi (x)=-{\frac {1}{2}}\ln(1-2x)$ , κかっぱαあるふぁιいおた επομένως $f^{n}(x)=-{\frac {1}{2}}((1-2x)^{2^{n}}-1)$ .

Επαναλαμβανόμενες συναρτήσεις μみゅーεいぷしろん κλειστή έκφραση

Γがんまιいおたαあるふぁ τις περισσότερες συναρτήσεις, δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχει κλειστή έκφραση γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー επαναλαμβανόμενη επανάληψη n^e. Οおみくろん παρακάτω πίνακας παραθέτει ορισμένες συναρτήσεις^[5] γがんまιいおたαあるふぁ τις οποίες υπάρχει τέτοια έκφραση. Όλες αυτές οおみくろんιいおた εκφράσεις ισχύουν γがんまιいおたαあるふぁ n, αρνητικούς ή κλασματικούς, καθώς κかっぱαあるふぁιいおた γがんまιいおたαあるふぁ θετικούς ακέραιους αριθμούς.

$f(x)$	$f^{n}(x)$
$x+b$	$x+nb$
$ax+b\ (a\neq 1)$	$a^{n}x+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b$
$ax^{b}\ (b\neq 1)$	$a^{\frac {b^{n}-1}{b-1}}x^{b^{n}}$
$ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}-2b}{4a}}$	${\frac {2\alpha ^{2^{n}}-b}{2a}}$ όπου: $\alpha ={\frac {2ax+b}{2}}$
$ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}-2b-8}{4a}}$	${\frac {2\alpha ^{2^{n}}+2\alpha ^{-2^{n}}-b}{2a}}$ όπου: $\alpha ={\frac {2ax+b\pm {\sqrt {(2ax+b)^{2}-16}}}{4}}$
${\frac {ax+b}{cx+d}}$ κλασματικός γραμμικός μετασχηματισμός ^[6]	${\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c}}\left[{\frac {(cx-a+\alpha )\alpha ^{n-1}-(cx-a+\beta )\beta ^{n-1}}{(cx-a+\alpha )\alpha ^{n}-(cx-a+\beta )\beta ^{n}}}\right]$ όπου: $\alpha ={\frac {a+d+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}$ $\beta ={\frac {a+d-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}$
$g^{-1}{\Big (}h{\bigl (}g(x){\bigr )}{\Big )}$	$g^{-1}{\Bigl (}h^{n}{\bigl (}g(x){\bigr )}{\Bigr )}$
$g^{-1}{\bigl (}g(x)+b{\bigr )}$ εξίσωση Άμπελ	$g^{-1}{\bigl (}g(x)+nb{\bigr )}$
${\sqrt {x^{2}+b}}$	${\sqrt {x^{2}+bn}}$
$g^{-1}{\Bigl (}a\ g(x)+b{\Bigr )}\ (a\neq 1\vee b=0)$	$g^{-1}{\Bigl (}a^{n}g(x)+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b{\Bigr )}$
${\sqrt {ax^{2}+b}}$	${\sqrt {a^{n}x^{2}+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b}}$
$T_{m}(x)=\cos(m\arccos x)$ (Πολυώνυμο Τσέμπισεφ γがんまιいおたαあるふぁ ακέραιο m)	$T_{mn}=\cos(m^{n}\arccos x)$

Σημείωση: $ax 2 + bx + c$ είναι οおみくろんιいおた μόνες περιπτώσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん έχουν λύση κλειστής μορφής. Επιλέγοντας αντίστοιχα b = 2 = –a and b = 4 = –a, ανάγονται στις μみゅーηいーた χαοτικές κかっぱαあるふぁιいおた χαοτικές περιπτώσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん συζητήθηκαν παραπάνω.

Μερικά από αυτά τたうαあるふぁ παραδείγματα συνδέονται μみゅーεいぷしろん απλές συζυγίες^[7]

Αλυσίδες Μαρκόφ

Εάν ηいーた συνάρτηση είναι γραμμική κかっぱαあるふぁιいおた μπορεί νにゅーαあるふぁ περιγραφεί από έναν στοχαστικό πίνακα, δηλαδή έναν πίνακα όπου τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー καταχωρήσεων σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ γραμμή (ή στήλη) είναι πάντα ίσο μみゅーεいぷしろん 1, τότε τたうοおみくろん σύστημα τたうωおめがνにゅー επαναλήψεων ονομάζεται αλυσίδα Μαρκόφ.

Σしぐまτたうηいーたνにゅー επιστήμη τたうωおめがνにゅー υπολογιστών

Σしぐまτたうηいーたνにゅー επιστήμη τたうωおめがνにゅー υπολογιστών, οおみくろんιいおた επαναλαμβανόμενες συναρτήσεις εμφανίζονται ως ειδικές περιπτώσεις τたうωおめがνにゅー αναδρομικών συναρτήσεων κかっぱαあるふぁιいおた χρησιμοποιούνται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー λογισμό λάμδα ή σしぐまεいぷしろん πぱいιいおたοおみくろん εξειδικευμένα θέματα, όπως ηいーた Δηλωτική σημασιολογία τたうωおめがνにゅー προγραμμάτων υπολογιστών.

Ορισμοί μみゅーεいぷしろん βάση επαναλαμβανόμενες συναρτήσεις

Δύο σημαντικές συναρτήσεις, τたうοおみくろん άθροισμα κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん αντίστοιχο γινόμενο, μπορούν νにゅーαあるふぁ οριστούν μみゅーεいぷしろん βάση επαναληπτικές συναρτήσεις. Τたうοおみくろん άθροισμα ορίζεται από τたうηいーた σχέση :

\left\{b+1,\sum _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,x+g(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,0\}

κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん γινόμενο από :

\left\{b+1,\prod _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,xg(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,1\}.

Συναρτησιακή παράγωγος

Ηいーた συναρτησιακή παράγωγος μιας επαναλαμβανόμενης συνάρτησης δίνεται από τたうοおみくろんνにゅー εξής αναδρομικό τύπο

{\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y).

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ L. Carleson et T. D. W. Gamelin, Complex dynamics, Berlin/New York, Springer-Verlag, coll. « Universitext: Tracts in Mathematics », 1993, 174 p. (ISBN 0-387-97942-5).
↑ Vasile Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D. Reidel, 1981 (ISBN 90-277-1224-7)
↑ «FUNKCIALAJ EKVACIOJ». www.math.sci.kobe-u.ac.jp. Ανακτήθηκε στις 8 Νοεμβρίου 2023.
↑ Curtright, Thomas; Zachos, Cosmas (2009-11-17). «Evolution profiles and functional equations». Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 42 (48): 485208. doi:10.1088/1751-8113/42/48/485208. ISSN 1751-8113. https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8113/42/48/485208.
↑ ^5,0 ^5,1 Schröder, Ernst (1870-06-01). «Ueber iterirte Functionen» (σしぐまτたうαあるふぁ γερμανικά). Mathematische Annalen 3 (2): 296–322. doi:10.1007/BF01443992. ISSN 1432-1807. https://doi.org/10.1007/BF01443992.
↑ Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," American Mathematical Monthly 62, September 1955, 489–492. online
↑ Katsura, Shigetoshi; Fukuda, Wataru (1985-04-01). «Exactly solvable models showing chaotic behavior». Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 130 (3): 597–605. doi:10.1016/0378-4371(85)90048-2. ISSN 0378-4371. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0378437185900482.

[1] L. Carleson et T. D. W. Gamelin, Complex dynamics, Berlin/New York, Springer-Verlag, coll. « Universitext: Tracts in Mathematics », 1993, 174 p. (ISBN 0-387-97942-5).

[2] Vasile Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D. Reidel, 1981 (ISBN 90-277-1224-7)

[3] «FUNKCIALAJ EKVACIOJ». www.math.sci.kobe-u.ac.jp. Ανακτήθηκε στις 8 Νοεμβρίου 2023.

[4] Curtright, Thomas; Zachos, Cosmas (2009-11-17). «Evolution profiles and functional equations». Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 42 (48): 485208. doi:10.1088/1751-8113/42/48/485208. ISSN 1751-8113. https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8113/42/48/485208.

[:0-5] 5,0 ^5,1 Schröder, Ernst (1870-06-01). «Ueber iterirte Functionen» (σしぐまτたうαあるふぁ γερμανικά). Mathematische Annalen 3 (2): 296–322. doi:10.1007/BF01443992. ISSN 1432-1807. https://doi.org/10.1007/BF01443992.

[6] Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," American Mathematical Monthly 62, September 1955, 489–492. online

[7] Katsura, Shigetoshi; Fukuda, Wataru (1985-04-01). «Exactly solvable models showing chaotic behavior». Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 130 (3): 597–605. doi:10.1016/0378-4371(85)90048-2. ISSN 0378-4371. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0378437185900482.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]