Σειρά Τέιλορ

Καθώς οおみくろん βαθμός τたうοおみくろんυうぷしろん πολυωνύμου Τέιλορ αυξάνεται, προσεγγίζει τたうηいーたνにゅー σωστή συνάρτηση. Ηいーた εικόνα δείχνει τたうηいーたνにゅー συνάρτηση $\sin x$ (σしぐまεいぷしろん μαύρο) κかっぱαあるふぁιいおた τις προσεγγίσεις Τέιλορ, πολυώνυμα βαθμού1, 3, 5, 7, 9, 11 κかっぱαあるふぁιいおた 13.

Ηいーた εκθετική συνάρτηση (μみゅーπぱいλらむだεいぷしろん), κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー πρώτων n+1 όρων της οικείας σειράς Τέιλορ σしぐまτたうοおみくろん 0 (κόκκινο).

Σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά, σειρά Τέιλορ (αあるふぁγがんまγがんまλらむだ. Taylor series) είναι ηいーた αναπαράσταση μίας συνάρτησης ως άθροισμα απείρων όρων οおみくろんιいおた οποίοι υπολογίζονται από τις τιμές τたうωおめがνにゅー παραγώγων της σしぐまεいぷしろん ένα συγκεκριμένο σημείο.

Ηいーた έννοια της σειράς Τέιλορ καθιερώθηκε επισήμως από τたうοおみくろんνにゅー Άγγλο μαθηματικό Μπρουκ Τέιλορ (Brook Taylor) τたうοおみくろん 1715. Αあるふぁνにゅー ηいーた σειρά έχει κέντρο τたうοおみくろん μηδέν, τότε ηいーた σειρά ονομάζεται επίσης σειρά Maclaurin, ηいーた οποία τたうοおみくろん όνομά της τたうοおみくろん πήρε από τたうοおみくろんνにゅー Σκωτσέζο μαθηματικό Κόλιν Μακλόριν οおみくろん οποίος έκανε εκτεταμένη χρήση αυτής της ειδικής περίπτωσης τたうωおめがνにゅー σειρών Taylor τたうοおみくろんνにゅー 18οおみくろん αιώνα.

Είναι κοινώς πρακτικό νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιείται πεπερασμένος αριθμός από τους όρους της σειράς Τέιλορ γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ προσεγγίσουμε μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση. Τたうοおみくろん θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Τέιλορ δίνει ποσοτικές εκτιμήσεις γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん σφάλμα της προσέγγισης. Κάθε άθροισμα πεπερασμένου αριθμού αρχικών όρων της σειράς ονομάζεται πολυώνυμο Taylor. Ηいーた σειρά Τέιλορ μίας συνάρτησης σしぐまεいぷしろん ένα σημείο, ισούται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん όριο τたうοおみくろんυうぷしろん πολυωνύμου Τέιλορ αυτής της συνάρτησης σしぐまτたうοおみくろん σημείο αυτό, υπό τたうηいーたνにゅー προϋπόθεση ότι τたうοおみくろん όριο υπάρχει. Μία συνάρτηση ενδέχεται νにゅーαあるふぁ μみゅーηいーたνにゅー ισούται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー ίδια τたうηいーたνにゅー σειρά Τέιλορ της, έστω κかっぱαあるふぁιいおた αあるふぁνにゅー ηいーた Τέιλορ σειρά της συγκλίνει σしぐまεいぷしろん κάθε σημείο. Μία συνάρτηση ηいーた οποία είναι ίση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー ίδια τたうηいーた σειρά Τέιλορ της σしぐまεいぷしろん ένα ανοιχτό διάστημα (ή σしぐまεいぷしろん ένα δίσκο σしぐまτたうοおみくろん μιγαδικό επίπεδο) είναι γνωστή ως μみゅーιいおたαあるふぁ αναλυτική συνάρτηση.

Ορισμός

Ηいーた σειρά Τέιλορ μίας πραγματικής ή μιγαδικής συνάρτησης ƒ(x) ηいーた οποία είναι απείρως παραγωγίσιμη σしぐまεいぷしろん μία γειτονιά ενός πραγματικού ή μιγαδικού αριθμού αあるふぁ είναι ηいーた δυναμοσειρά

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .$

ηいーた οποία μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφτεί κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん μορφή μみゅーεいぷしろん πぱいιいおたοおみくろん συμπαγές άθροισμα όρων , όπως:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

όπου n! υποδηλώνει τたうοおみくろん παραγοντικό τたうοおみくろんυうぷしろん n κかっぱαあるふぁιいおた ƒ ⁽ⁿ⁾(a) συμβολίζει n-ιοστή παράγωγο της ƒ σしぐまτたうοおみくろん σημείο αあるふぁ. Ηいーた παράγωγος τάξης μηδέν της ƒ ορίζεται νにゅーαあるふぁ είναι ηいーた ίδια ηいーた ƒ κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ (x − αあるふぁ)⁰ κかっぱαあるふぁιいおた 0! ισούνται από τたうοおみくろんνにゅー ορισμό μみゅーεいぷしろん 1. Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση πぱいοおみくろんυうぷしろん αあるふぁ = 0, ηいーた σειρά ονομάζεται κかっぱαあるふぁιいおた σειρά Maclaurin.

Παραδείγματα

Ηいーた σειρά Maclaurin οποιουδήποτε πολυωνύμου είναι τたうοおみくろん ίδιο τたうοおみくろん πολυώνυμο.

Ηいーた σειρά Maclaurin τたうοおみくろんυうぷしろん (1 − x)⁻¹ γがんまιいおたαあるふぁ |x| < 1 είναι ηいーた γεωμετρική σειρά

$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!$

έτσι ηいーた σειρά Τέιλορ γがんまιいおたαあるふぁ x⁻¹ σしぐまτたうοおみくろん αあるふぁ = 1

$1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!$

Ολοκληρώνοντας τたうηいーたνにゅー παραπάνω σειρά Maclaurin βρίσκεται ηいーた σειρά Maclaurin τたうοおみくろんυうぷしろん ln(1 − x), όπου ln υποδηλώνει τたうοおみくろんνにゅー φυσικό λογάριθμο:

$-x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}-\cdots \!$

κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた αντίστοιχη σειρά Τέιλορ γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん ln(x) σしぐまτたうοおみくろん αあるふぁ = 1 είναι

$(x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots .\!$

γενικότερα, ηいーた αντίστοιχη σειρά Τέιλορ γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん ln(x) σしぐまεいぷしろん κάποιο $a=x_{0}$ είναι:

$\ln(x_{0})+{\frac {1}{x_{0}}}(x-x_{0})-{\frac {1}{x_{0}^{2}}}{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2}}+\cdots .$

Ηいーた σειρά Τέιλορ της εκθετικής συνάρτησης e^x σしぐまτたうοおみくろん αあるふぁ = 0 είναι

$1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\!$

Ηいーた παραπάνω σχέση προκύπτει έτσι επειδή ηいーた παράγωγος της e^x ως προς τたうοおみくろん x είναι επίσης e^x ενώ e⁰ ισούται μみゅーεいぷしろん 1. Έτσι μένουν οおみくろんιいおた όροι (x − 0)ⁿ σしぐまτたうοおみくろんνにゅー αριθμητή κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうοおみくろんνにゅー παρονομαστή n! γがんまιいおたαあるふぁ κάθε όρο της άπειρης σειράς.

Ιστορία

Οおみくろん Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων ασχολήθηκε μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん πρόβλημα της άθροισης άπειρης σειράς προσπαθώντας νにゅーαあるふぁ επιτύχει πεπερασμένο αποτέλεσμα, αλλά τたうοおみくろん απέρριψε θεωρώντας τたうοおみくろん απίθανο. Τたうοおみくろん αποτέλεσμα ήταν τたうοおみくろん λεγόμενο παράδοξο τたうοおみくろんυうぷしろん Ζήνωνα. Αργότερα οおみくろん Αριστοτέλης έθεσε μία φιλοσοφική επίλυση τたうοおみくろんυうぷしろん παραδόξου, ωστόσο τたうοおみくろん μαθηματικό περιεχόμενο τたうοおみくろんυうぷしろん προβλήματος παρέμενε άλυτο έως ότου ασχολήθηκαν μみゅーεいぷしろん αυτό οおみくろん Δημόκριτος κかっぱαあるふぁιいおた έπειτα οおみくろん Αρχιμήδης. Μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー μέθοδο της εξάντλησης τたうοおみくろんυうぷしろん Αρχιμήδη ήταν δυνατό νにゅーαあるふぁ διαχειριστούν διαδοχικές υποδιαιρέσεις ώστε νにゅーαあるふぁ επιτευχθεί πεπερασμένο αποτέλεσμα. Οおみくろん Λらむだιいおたοおみくろんυうぷしろん Χούι ανεξάρτητα χρησιμοποίησε μみゅーιいおたαあるふぁ παρόμοια μέθοδο λίγους αιώνες αργότερα.

Τたうοおみくろんνにゅー 14οおみくろん αιώνα, τたうαあるふぁ πρώτα παραδείγματα της χρήσης σειρών Τέιλορ κかっぱαあるふぁιいおた στενά συγγενικών μεθόδων δίνονται από τたうοおみくろんνにゅー Μαντάβα τたうοおみくろんυうぷしろん Σανγκαμαγκράμα. Αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた δでるたεいぷしろんνにゅー σώζεται καταγραφή τたうοおみくろんυうぷしろん έργου τたうοおみくろんυうぷしろん, συγγράμματα μεταγενέστερων ινδών μαθηματικών υποδεικνύουν ότι είχε βべーたρろーεいぷしろんιいおた κάποιες ειδικές περιπτώσεις σειρών Τέιλορ, όπως αυτές τたうωおめがνにゅー τριγωνομετρικών συναρτήσεων τたうοおみくろんυうぷしろん ημιτόνου, τたうοおみくろんυうぷしろん συνημιτόνου, της εφαπτομένης κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん τόξου εφαπτομένης. Ηいーた σχολή μαθηματικών κかっぱαあるふぁιいおた αστρονομίας της Κεράλα επέκτεινε περαιτέρω τたうοおみくろん έργο τたうοおみくろんυうぷしろん μέχρι τたうοおみくろんνにゅー 16οおみくろん αιώνα.

Τたうοおみくろんνにゅー 17οおみくろん αιώνα, οおみくろん Τζέιμς Γκρέγκορι επίσης εργάστηκε σしぐまτたうοおみくろんνにゅー τομέα αυτό κかっぱαあるふぁιいおた δημοσίευσε διάφορες σειρές Maclaurin. Τたうοおみくろん 1715 εいぷしろんνにゅー τέλει δόθηκε ηいーた γενική μέθοδος κατασκευής αυτών τたうωおめがνにゅー σειρών γがんまιいおたαあるふぁ όλες τις συναρτήσεις γがんまιいおたαあるふぁ τις οποίες υπάρχουν από τたうοおみくろんνにゅー Μπρουκ Τέιλορ, τたうοおみくろんυうぷしろん οποίου πήραν τたうοおみくろん όνομα.

Οおみくろんιいおた σειρές Maclaurin πήραν τたうοおみくろん όνομά τたうοおみくろんυうぷしろん από τたうοおみくろんνにゅー Κόλιν Μακλόριν, καθηγητή σしぐまτたうοおみくろん Εδιμβούργο, οおみくろん οποίος δημοσίευσε τたうηいーたνにゅー ειδική περίπτωση τたうωおめがνにゅー σειρών Τέιλορ τたうοおみくろんνにゅー 18οおみくろん αιώνα.

Αναλυτικές συναρτήσεις

Ηいーた συνάρτηση e^−1/x² δでるたεいぷしろんνにゅー είναι αναλυτική σしぐまτたうοおみくろん x = 0: ηいーた σειρά Τέιλορ είναι 0, ενώ ηいーた συνάρτηση όχι.

Αあるふぁνにゅー ηいーた f(x) δίνεται από μία συγκλίνουσα δυναμοσειρά σしぐまεいぷしろん ένα ανοικτό δίσκο (ή διάστημα σしぐまτたうοおみくろんνにゅー πραγματικό αあるふぁξくしーοおみくろんνにゅーαあるふぁ) μみゅーεいぷしろん κέντρο τたうοおみくろん b, λέγεται ότι είναι αναλυτική σしぐまεいぷしろん αυτόν τたうοおみくろんνにゅー δίσκο. Έτσι γがんまιいおたαあるふぁ x πぱいοおみくろんυうぷしろん ανήκουν σしぐまτたうοおみくろんνにゅー δίσκο, ηいーた f δίνεται από μία συγκλίνουσα δυναμοσειρά

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}.$

Παραγωγίζοντας ως προς x τたうηいーたνにゅー παραπάνω n φορές, κかっぱαあるふぁιいおた θέτωντας x=b προκύπτει:

${\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}$

έτσι τたうοおみくろん ανάπτυγμα της δυναμοσειράς συμφωνεί μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー σειρά Τέιλορ. Έτσι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση είναι αναλυτή σしぐまεいぷしろん ένα ανοιχτό δίσκο μみゅーεいぷしろん κέντρο τたうοおみくろん b αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνον αあるふぁνにゅー ηいーた σειρά Τέιλορ της συγκλίνει σしぐまτたうηいーたνにゅー τιμή της συνάρτησης σしぐまεいぷしろん κάθε σημείο τたうοおみくろんυうぷしろん δίσκου.

Αあるふぁνにゅー ηいーた f(x) ισούται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー οικεία σειρά Τέιλορ παντού τότε καλείται ακέραια αναλυτική συνάρτηση. Τたうαあるふぁ πολυώνυμα, ηいーた εκθετική συνάρτηση e^x κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημίτονο κかっぱαあるふぁιいおた συνημίτονο είναι μερικά παραδείγματα ακεραίων συναρτήσεων. Παραδείγματα συναρτήσεων πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ακέραιες περιλαμβάνουν τたうοおみくろんνにゅー λογάριθμο, τたうηいーたνにゅー τριγωνομετρική συνάρτηση της εφαπτομένης κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー αντίστροφή της, τたうοおみくろん τόξο εφαπτομένης. Γがんまιいおたαあるふぁ αυτές τις συναρτήσεις ηいーた σειρά Τέιλορ δでるたεいぷしろんνにゅー συγκλίνει αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん x απέχει από τたうοおみくろん αあるふぁ. Οおみくろんιいおた σειρά Τέιλορ μπορεί νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθεί γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー υπολογισμό της τιμής μίας ακέραιας συνάρτησης σしぐまεいぷしろん κάθε σημείο, αあるふぁνにゅー ηいーた τιμή της συνάρτησης, καθώς κかっぱαあるふぁιいおた όλων τたうωおめがνにゅー παραγώγων της είναι γνωστές σしぐまεいぷしろん ένα σημείο.

Οおみくろんιいおた χρήσεις της σειράς Τέιλορ γがんまιいおたαあるふぁ τις αναλυτές συναρτήσεις περιλαμβάνουν:

1. Τたうαあるふぁ μερικά αθροίσματα (πολυώνυμα Τέιλορ ) της σειράς πぱいοおみくろんυうぷしろん μπορούν νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις ολόκληρης της συνάρτησης. Οおみくろんιいおた προσεγγίσεις αυτές θしーたαあるふぁ είναι καλό αあるふぁνにゅー περιλαμβάνουν αρκετά πολλούς όρους.
2. Παραγώγιση κかっぱαあるふぁιいおた ολοκλήρωση σειρών πぱいοおみくろんυうぷしろん μπορεί νにゅーαあるふぁ πραγματοποιηθεί όρο προς όρο κかっぱαあるふぁιいおた επομένως είναι ιδιαίτερα εύκολη.
3. Μみゅーιいおたαあるふぁ αναλυτική συνάρτηση επεκτείνεται μοναδικά σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ ολόμορφη συνάρτηση σしぐまεいぷしろん ένα ανοικτό δίσκο σしぐまτたうοおみくろん μιγαδικό επίπεδο.
4. Ηいーた σειρά μπορεί νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθεί γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ υπολογίσει τις τιμές της συνάρτησης αριθμητικά, (συχνά μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー ανασύνταξη τたうοおみくろんυうぷしろん πολυωνύμου σしぐまτたうηいーたνにゅー μορφή Chebyshev κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんνにゅー υπολογισμό μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー αλγόριθμο Clenshaw.
5. Αλγεβρικές πράξεις μπορούν νにゅーαあるふぁ γίνουν άμεσα. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, οおみくろん τύπος τたうοおみくろんυうぷしろん Euler πぱいοおみくろんυうぷしろん προκύπτει από αναπτύγματα σειρών Τέιλορ γがんまιいおたαあるふぁ τριγωνομετρικές κかっぱαあるふぁιいおた εκθετικές συναρτήσεις. Τたうοおみくろん αποτέλεσμα αυτό είναι θεμελιώδους σημασίας σしぐまεいぷしろん τομείς όπως ηいーた αρμονική ανάλυση .
6. Οおみくろんιいおた προσεγγίσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποιούνται στους πρώτους όρους μιας σειράς Τέιλορ μπορεί νにゅーαあるふぁ κάνουν διαφορετικά, άλυτα προβλήματα μεταξύ τους νにゅーαあるふぁ είναι δυνατόν νにゅーαあるふぁ λυθούν γがんまιいおたαあるふぁ ένα περιορισμένο τομέα. Ηいーた προσέγγιση αυτή χρησιμοποιείται συχνά σしぐまτたうηいーた φυσική.

Προσέγγιση κかっぱαあるふぁιいおた σύγκλιση

Ηいーた συνάρτηση τたうοおみくろんυうぷしろん ημιτόνου (μみゅーπぱいλらむだεいぷしろん) προσεγίζεται από τたうοおみくろん 7βάθμιο πολυώνυμο Τέιλορ γがんまιいおたαあるふぁ μία περίοδο μみゅーεいぷしろん κέντρο τたうηいーたνにゅー αρχή τたうωおめがνにゅー αξόνων.

Τたうαあるふぁ πολυώνυμα Τέιλορ γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん log(1+x) παρέχουν ακριβείς προσεγγίσεις μόνο σしぐまτたうοおみくろん εύρος−1 < x ≤ 1. Σημειωτέον ότι γがんまιいおたαあるふぁ x > 1, τたうαあるふぁ πολυώνυμα Τέιλορ μεγαλύτερου βαθμού αποτελούν χειρότερες προσεγγίσεις.

Σしぐまτたうαあるふぁ δεξιά εικονίζεται μみゅーιいおたαあるふぁ ακριβής προσέγγιση της συνάρτησης ηいーたμみゅーx γύρω από τたうοおみくろん σημείο x = 0. Ηいーた ρろーοおみくろんζぜーた καμπύλη είναι πολυώνυμο 7^{οおみくろんυうぷしろん} βαθμού:

$\sin x\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!$

Τたうοおみくろん σφάλμα της προσέγγισης δでるたεいぷしろんνにゅー είναι πάνω από |x|⁹/9!. Συγκεκριμένα γがんまιいおたαあるふぁ −1 < x < 1, τたうοおみくろん σφάλμα είναι μικρότερο από 0.000003.

Γがんまιいおたαあるふぁ αντίθεση, επιδεικνύεται επίσης μία αναπαράσταση της συνάρτησης τたうοおみくろんυうぷしろん φυσικού λογαρίθμου log(1 + x) κかっぱαあるふぁιいおた κάποιων από τたうαあるふぁ πολυώνυμα Τέιλορ γύρω από τたうοおみくろん αあるふぁ = 0. Αυτές οおみくろんιいおた προσεγγίσεις συγκλίνουν σしぐまτたうηいーた συνάρτηση μόνο σしぐまτたうηいーたνにゅー περιοχή −1 < x ≤ 1; έξω από αυτή τたうηいーたνにゅー περιοχή τたうαあるふぁ ανωτέρου βαθμού πολυώνυμα αποτελούν χειρότερες προσεγγίσεις της συνάρτησης. Αυτό είναι παρόμοιο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん φαινόμενο τたうοおみくろんυうぷしろん Runge.

Τたうοおみくろん σφάλμα πぱいοおみくろんυうぷしろん προκύπτει από τたうηいーたνにゅー προσέγγιση της συνάρτησης μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん n-οστού βαθμού πολυώνυμο ονομάζεται υπόλοιπο κかっぱαあるふぁιいおた αποδίδεται από τたうηいーたνにゅー συνάρτηση R_n(x). Τたうοおみくろん θεώρημα Τέιλορ μπορεί νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθεί γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー εύρεση τたうοおみくろんυうぷしろん φράγματος τたうοおみくろんυうぷしろん υπολοίπου.

Εいぷしろんνにゅー γένει, ηいーた σειρά δでるたεいぷしろんνにゅー είναι συγκλίνουσα. Σしぐまτたうηいーたνにゅー πραγματικότητα τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー συναρτήσεων μみゅーεいぷしろん συγκλίνουσα σειρά Τέιλορ είναι υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん χώρου Frechet τたうωおめがνにゅー λείων συναρτήσεων (συνεχείς παραγώγους οποιασδήποτε τάξεως). Ακόμα κかっぱαあるふぁιいおた αあるふぁνにゅー ηいーた σειρά Τέιλορ μιας συνάρτησης f είναι συγκλίνουσα, τたうοおみくろん όριο της δでるたεいぷしろんνにゅー είναι εいぷしろんνにゅー γένει ίσο μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー τιμή της συνάρτησης f(x). Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα ηいーた συνάρτηση

$f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&\alpha \nu \ x\not =0\\0&\alpha \nu \ x=0\end{cases}}$

είναι απείρως παραγωγίσιμη σしぐまτたうοおみくろん x = 0 κかっぱαあるふぁιいおた όλες οおみくろんιいおた παράγωγοι είναι μηδέν σしぐまτたうοおみくろん σημείο. Συνεπώς ηいーた σειρά Τέιλορ της f(x) γύρω από τたうοおみくろん x = 0 είναι ταυτόσημη μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん μηδέν. Ωστόσο ηいーた f(x) δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ίση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー μηδενική συνάρτηση κかっぱαあるふぁιいおた συνεπώς δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ίση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー σειρά Τέιλορ γύρω από τたうοおみくろん μηδέν.

Σしぐまτたうηいーたνにゅー πραγματική ανάλυση, αυτό τたうοおみくろん παράδειγμα δείχνει ότι υπάρχουν απείρως παραγωγίσιμες συναρτήσεις f(x) τたうωおめがνにゅー οποίων ηいーた σειρά Τέιλορ δでるたεいぷしろんνにゅー είναι ίση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー f(x) ακόμα κかっぱαあるふぁιいおた αあるふぁνにゅー συγκλίνει. Αντιθέτως σしぐまτたうηいーたνにゅー μιγαδική ανάλυση δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχουν ολόμορφες συναρτήσεις f(z) τたうωおめがνにゅー οποίων ηいーた σειρά Τέιλορ νにゅーαあるふぁ συγκλίνει σしぐまεいぷしろん τιμή διαφορετική από τたうηいーたνにゅー f(z). Ηいーた μιγαδική συνάρτηση e^−z−2 δでるたεいぷしろんνにゅー προσεγγίζει τたうοおみくろん 0 καθώς τたうοおみくろん z πλησιάζει τたうοおみくろん 0 πάνω σしぐまτたうοおみくろんνにゅー φανταστικό άξονα, κかっぱαあるふぁιいおた έτσι ηいーた σειρά Τέιλορ έτσι ορίζεται εκεί.

Πぱいιいおたοおみくろん γενικά, κάθε ακολουθία πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών μπορεί νにゅーαあるふぁ εμφανιστεί ως συντελεστής σしぐまτたうηいーたνにゅー σειρά Τέιλορ μιας απείρως παραγωγίσιμης συνάρτησης πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται σしぐまτたうηいーたνにゅー ευθεία τたうωおめがνにゅー πραγματικών, ως συνέπεια τたうοおみくろんυうぷしろん λήμματος τたうοおみくろんυうぷしろん Borel. Ως αποτέλεσμα, ηいーた ακτίνα σύγκλισης μιας σειράς Τέιλορ μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι μηδέν. Υπάρχουν ακόμα κかっぱαあるふぁιいおた απείρως παραγωγίσιμες συναρτήσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζονται σしぐまτたうηいーたνにゅー ευθεία τたうωおめがνにゅー πραγματικών τたうωおめがνにゅー οποίων ηいーた σειρά Τέιλορ έχει ακτίνα σύγκλισης 0 παντού.

Κάποιες συναρτήσεις δでるたεいぷしろんνにゅー μπορούν νにゅーαあるふぁ γραφούν ως σειρά Τέιλορ γιατί περιέχουν μία ανωμαλία, σしぐまεいぷしろん αυτές τις περιπτώσεις, μπορεί νにゅーαあるふぁ επιτευχθεί ηいーた ανάπτυξη της σειράς αあるふぁνにゅー επιτραπούν οおみくろんιいおた αρνητικές δυνάμεις της μεταβλητής x. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα ηいーた f(x) = e^−x−2 μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφεί ως σειρά Laurent.

Γενίκευση

Υπάρχει ωστόσο μία γενίκευση της σειράς Τέιλορ ηいーた οποία συγκλίνει σしぐまτたうηいーたνにゅー τιμή της συνάρτησης γがんまιいおたαあるふぁ οποιαδήποτε φραγμένη συνεχή συνάρτηση σしぐまτたうοおみくろん (0,∞), χρησιμοποιώντας τたうοおみくろんνにゅー λογισμό τたうωおめがνにゅー πεπερασμένων διαφορών. Ειδικότερα υπάρχει τたうοおみくろん ακόλουθο θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Einar Hille, σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん οποίο γがんまιいおたαあるふぁ οποιοδήποτε t > 0,

$\lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).$

Εδώ τたうοおみくろん $\Delta _{h}^{n}$ είναι οおみくろん τελεστής της n-οστής πεπερασμένης διαφοράς. Ηいーた σειρά είναι ακριβώς ηいーた σειρά Τέιλορ, εκτός από τたうοおみくろん ότι εμφανίζονται διαιρέσεις μみゅーεいぷしろん πεπερασμένες διαφορές αντί γがんまιいおたαあるふぁ παραγωγίσεις: ηいーた σειρά μοιάζει μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー σειρά Newton. Όταν ηいーた συνάρτηση f είναι αναλυτική σしぐまτたうοおみくろん a, οおみくろんιいおた όροι της σειράς συγκλίνουν στους όρους της σειράς Τέιλορ, κかっぱαあるふぁιいおた υπό αυτή τたうηいーたνにゅー έννοια αποτελεί τたうηいーたνにゅー γενίκευση της σειράς Τέιλορ.

Εいぷしろんνにゅー γένει γがんまιいおたαあるふぁ οποιαδήποτε άπειρη ακολουθία a_i, ισχύει ηいーた ακόλουθη ταυτότητα δυναμοσειρών.

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.$

Έτσι συγκεκριμένα,

$f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-t/h}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {(t/h)^{j}}{j!}}.$

Ηいーた σειρά σしぐまτたうαあるふぁ δεξιά είναι ηいーた αναμενόμενη τιμή της f(a + X), όπου X είναι τυχαία μεταβλητή μみゅーεいぷしろん κατανομή Poisson πぱいοおみくろんυうぷしろん παίρνει τたうηいーたνにゅー τιμή jh μみゅーεいぷしろん πιθανότητα e^−t/h(t/h)^j/j!. Έτσι

$f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{t/h,h}(x).$

Ηいーた ταυτότητα ισχύει σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー νόμο τたうωおめがνにゅー μεγάλων αριθμών.

Κατάλογος σειρών Maclaurin κοινών συναρτήσεων

Τたうοおみくろん πραγματικό μέρος της συνάρτησης τたうοおみくろんυうぷしろん συνημιτόνου σしぐまτたうοおみくろん μιγαδικό επίπεδο.

Προσέγγιση 8οおみくろんυうぷしろん βαθμού της συνάρτησης τたうοおみくろんυうぷしろん συνημιτόνου σしぐまτたうοおみくろん μιγαδικό επίπεδο.

Σύνθεση τたうωおめがνにゅー δύο παραπάνω καμπυλών.

Ακολουθούν μερικά σημαντικά αναπτύγματα σειρών Maclaurin. Όλες οおみくろんιいおた σχέσεις ισχύουν γがんまιいおたαあるふぁ μιγαδικά x.

Εκθετική συνάρτηση:

$\mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \forall x\!$

Φυσικός λογάριθμος:

$\log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}$ γがんまιいおたαあるふぁ $-1\leq x<1$

$\log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}$ γがんまιいおたαあるふぁ $-1<x\leq 1$

Πεπερασμένη γεωμετρική σειρά:

${\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n}\quad$ γがんまιいおたαあるふぁ $x\not =1$ κかっぱαあるふぁιいおた $m\in \mathbb {N} _{0}\!$

Άπειρη γεωμετρική σειρά:

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$ γがんまιいおたαあるふぁ $|x|<1\!$

Παραλλαγές της άπειρης γεωμετρικής σειράς:

${\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad$ γがんまιいおたαあるふぁ $|x|<1$ κかっぱαあるふぁιいおた $m\in \mathbb {N} _{0}\!$

${\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad$ γがんまιいおたαあるふぁ $|x|<1\!$

${\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\quad$ γがんまιいおたαあるふぁ $|x|<1\!$

Τετραγωνική ρίζα:

${\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots$ γがんまιいおたαあるふぁ $|x|\leq 1$

Διωνυμική σειρά (περιλαμβάνει κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー τετραγωνική ρίζα γがんまιいおたαあるふぁ αあるふぁ = 1/2 και τたうηいーたνにゅー άπειρη γεωμετρική σειρά γがんまιいおたαあるふぁ αあるふぁ = −1):

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad$ γがんまιいおたαあるふぁ όλα τたうαあるふぁ $|x|<1$ κかっぱαあるふぁιいおた όλους τους μιγαδικούς$\alpha \!$

μみゅーεいぷしろん γενικευμένους διωνυμικούς συντελεστές

${\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}$

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots$ γがんまιいおたαあるふぁ όλα τたうαあるふぁ $x\!$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots$ γがんまιいおたαあるふぁ όλα τたうαあるふぁ $x\!$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots$ γがんまιいおたαあるふぁ $|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

όπου B_s είναι οおみくろんιいおた αριθμοί Bernoulli.

$\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$ γがんまιいおたαあるふぁ $|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ γがんまιいおたαあるふぁ $|x|\leq 1\!$

$\arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ γがんまιいおたαあるふぁ $|x|\leq 1\!$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}$ γがんまιいおたαあるふぁ $|x|\leq 1\!$

Υπερβολικές συναρτήσεις:

$\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots$ γがんまιいおたαあるふぁ όλα τたうαあるふぁ $x\!$

$\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$ γがんまιいおたαあるふぁ όλα τたうαあるふぁ $x\!$

$\tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots$ γがんまιいおたαあるふぁ $|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

$\mathrm {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ γがんまιいおたαあるふぁ $|x|\leq 1\!$

$\mathrm {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$ γがんまιいおたαあるふぁ $|x|<1\!$

Συνάρτηση W τたうοおみくろんυうぷしろん Lambert:

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}$ γがんまιいおたαあるふぁ $|x|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}\!$

Οおみくろんιいおた αριθμοί B_k πぱいοおみくろんυうぷしろん εμφανίζονται σしぐまτたうοおみくろん ανάπτυγμα της tan(x) κかっぱαあるふぁιいおた tanh(x) είναι οおみくろんιいおた αριθμοί Bernoulli. Οおみくろんιいおた E_k σしぐまτたうοおみくろん ανάπτυγμα της sec(x) είναι οおみくろんιいおた αριθμοί Euler.

Υπολογισμός της σειράς Τέιλορ

Αρκετές μέθοδοι υπάρχουν γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー υπολογισμό της σειράς Τέιλορ γがんまιいおたαあるふぁ μεγάλο αριθμό συναρτήσεων. Είναι δυνατόν νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθεί ηいーた σειρά Τέιλορ ως έχει κかっぱαあるふぁιいおた νにゅーαあるふぁ γενικευθεί ηいーた μορφή τたうωおめがνにゅー συντελεστών, ή νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθούν χειρισμοί όπως ηいーた αντικατάσταση, οおみくろん πολλαπλασιασμός ή ηいーた διαίρεση, πρόσθεση ή αφαίρεση μιας πρότυπης σειράς Τέιλορ γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー κατασκευή της σειράς Τέιλορ μιας συνάρτησης. Σしぐまεいぷしろん κάποιες περιπτώσεις μπορεί νにゅーαあるふぁ εξαχθεί ηいーた σειρά Τέιλορ από τたうηいーたνにゅー επαναληπτική ολοκλήρωση κατά μέρη. Ιδιαίτερα βべーたοおみくろんλらむだιいおたκかっぱηいーた είναι ηいーた χρήση τたうοおみくろんυうぷしろん συστήματος άλγεβρας υπολογιστών γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー υπολογισμό σειράς Τέιλορ.

Πρώτο παράδειγμα

Υπολογισμός τたうοおみくろんυうぷしろん πολυωνύμου Maclaurin 7οおみくろんυうぷしろん βαθμού της συνάρτησης

$f(x)=\log \cos x,\quad x\in (-\pi /2,\pi /2)\!$.

Αρχικά ηいーた συνάρτηση ξαναγράφεται ως

$f(x)=\log(1+(\cos x-1))\!$.

Γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー φυσικό λογάριθμο (μみゅーεいぷしろん χρήση τたうοおみくろんυうぷしろん συμβολισμού Οおみくろん)

$\log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{O}(x^{4})\!$

γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー συνάρτηση τたうοおみくろんυうぷしろん συνημιτόνου

$\cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+{O}(x^{8})\!$

Ηいーた ανάπτυξη της τελευταίας έχει ένα μηδενικό σταθερό όρο πぱいοおみくろんυうぷしろん επιτρέπει νにゅーαあるふぁ αντικατασταθεί ηいーた δεύτερη σしぐまεいぷしろんιいおたρろーαあるふぁ σしぐまτたうηいーたνにゅー πρώτη κかっぱαあるふぁιいおた νにゅーαあるふぁ γίνει παράλειψη τたうωおめがνにゅー όρων τάξεως άνω τたうοおみくろんυうぷしろん 7:

${\begin{aligned}f(x)&=\log(1+(\cos x-1))\\&={\bigl (}\cos x-1{\bigr )}-{\frac {1}{2}}{\bigl (}\cos x-1{\bigr )}^{2}+{\frac {1}{3}}{\bigl (}\cos x-1{\bigr )}^{3}+{O}{\bigl (}(\cos x-1)^{4}{\bigr )}\\&={\biggl (}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+{O}(x^{8}){\biggr )}-{\frac {1}{2}}{\biggl (}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{O}(x^{6}){\biggr )}^{2}+{\frac {1}{3}}{\biggl (}-{\frac {x^{2}}{2}}+O(x^{4}){\biggr )}^{3}+{O}(x^{8})\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}-{\frac {x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{48}}-{\frac {x^{6}}{24}}+O(x^{8})\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O(x^{8}).\end{aligned}}\!$

Καθώς τたうοおみくろん συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, οおみくろんιいおた συντελεστές όλων τたうωおめがνにゅー περιττών δυνάμεων x, x³, x⁵, x⁷, ... πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι μηδέν.

Δεύτερο παράδειγμα

Εύρεση της σειράς Τέιλορ σしぐまτたうοおみくろん 0 της συνάρτησης

$g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}\!$.

Γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー εκθετική συνάρτηση

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots \!$

κかっぱαあるふぁιいおた, όπως σしぐまτたうοおみくろん πρώτο παράδειγμα

$\cos x=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-\cdots \!$

Υπόθεση ότι ηいーた δυναμοσειρά είναι

${e^{x} \over \cos x}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots \!$

Σしぐまτたうηいーた συνέχεια πολλαπλασιάζουμε μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー παρονομαστή κかっぱαあるふぁιいおた αντικαθιστούμε τたうοおみくろん συνημίτονο από παραπάνω

${\begin{aligned}e^{x}&=(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots )\cos x\\&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-\cdots \right)\\&=c_{0}-{c_{0} \over 2}x^{2}+{c_{0} \over 4!}x^{4}+c_{1}x-{c_{1} \over 2}x^{3}+{c_{1} \over 4!}x^{5}+c_{2}x^{2}-{c_{2} \over 2}x^{4}+{c_{2} \over 4!}x^{6}+c_{3}x^{3}-{c_{3} \over 2}x^{5}+{c_{3} \over 4!}x^{7}+\cdots \end{aligned}}\!$

Οおみくろんιいおた όροι μέχρι τέταρτης τάξεως είναι

$=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{c_{0} \over 2}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{c_{1} \over 2}\right)x^{3}+\left(c_{4}+{c_{0} \over 4!}-{c_{2} \over 2}\right)x^{4}+\cdots \!$

Συγκρίνοντας τους συντελεστές μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー παραπάνω σειρά της εκθετικής συνάρτησης προκύπτει ηいーた επιθυμητή σειρά Τέιλορ

${\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{2x^{3} \over 3}+{x^{4} \over 2}+\cdots .\!$

Τρίτο Παράδειγμα

Εδώ χρησιμοποιούμε μみゅーιいおたαあるふぁ μέθοδο πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζεται Έμμεσο Ανάπτυγμα γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αναπτύξουμε τたうηいーたνにゅー συγκεκριμένη συναρτηση. Αυτή ηいーた μέθοδος χρησιμοποιεί αναπτύγματα Τέιλορ γνωστών συναρτησεων

Ερώτημα: Αναπτύξτε τたうηいーたνにゅー ακόλουθη συνάρτηση ως μみゅーιいおたαあるふぁ δυναμοσειρά τたうοおみくろんυうぷしろん x

$(1+x)e^{x}$.

Γνωρίζουμε τたうηいーた σειρά Τέιλορ γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー $e^{x}$

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots \!,-\infty <x<+\infty$

Έτσι

${\begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}+\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n+1} \over n!}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}+\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n+1} \over n!}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over (n-1)!}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({1 \over n!}+{1 \over (n-1)!}\right)x^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{n+1 \over n!}x^{n},-\infty <x<+\infty \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{n+1 \over n!}x^{n}\end{aligned}}$

Σειρές Τέιλορ ως ορισμοί

Τυπικά, οおみくろんιいおた αλγεβρικές συναρτήσεις ορίζονται από μία αλγεβρική εξίσωση, κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた υπερβατικές συναρτήσεις είναι (συμπεριλαμβανομένων εκείνων πぱいοおみくろんυうぷしろん συζητήθηκαν παραπάνω) εκείνες πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζονται από κάποια ιδιότητα τους, όπως μみゅーιいおたαあるふぁ διαφορική εξίσωση . Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα ηいーた εκθετική συνάρτηση είναι ηいーた συνάρτηση ηいーた οποία είναι ίση μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー παράγωγό της σしぐまεいぷしろん κάθε σημείο κかっぱαあるふぁιいおた έχει τたうηいーたνにゅー τιμή 1 στην αρχή τたうωおめがνにゅー αξόνων. Ωστόσο, μία αναλυτική συνάρτηση μπορεί νにゅーαあるふぁ οριστεί κかっぱαあるふぁιいおた από τたうηいーたνにゅー οικεία σειρά Τέιλορ.

Οおみくろんιいおた σειρές Τέιλορ χρησιμοποιούνται γがんまιいおたαあるふぁ τους ορισμούς συναρτήσεων κかっぱαあるふぁιいおた τελεστών σしぐまεいぷしろん ποικίλους τομείς τたうωおめがνにゅー μαθηματικών. Ειδικότερα, αυτό είναι αληθές σしぐまεいぷしろん περιοχές όπου οおみくろんιいおた ορισμοί τたうωおめがνにゅー κλασικών συναρτήσεων δでるたεいぷしろんνにゅー ισχύουν. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー χρήση σειρών Τέιλορ, μπορεί κανείς νにゅーαあるふぁ ορίσει αναλυτικές συναρτήσεις πινάκων κかっぱαあるふぁιいおた τελεστών, όπως οおみくろん εκθετικός πίνακας ή οおみくろん λογαριθμικός πίνακας.

Σしぐまεいぷしろん άλλους τομείς, όπως ηいーた τυπική ανάλυση, είναι πぱいιいおたοおみくろん βολικό νにゅーαあるふぁ εργάζεται κανείς μみゅーεいぷしろん δυναμοσειρές. Έτσι είναι δυνατόν νにゅーαあるふぁ οριστεί μία διαφορική εξίσωση ως δυναμοσειρά ηいーた οποία νにゅーαあるふぁ αποδειχθεί ότι είναι ηいーた επιθυμητή λύση της εξίσωσης.

Σειρά Τέιλορ πολλών μεταβλητών

Ηいーた σειρά Τέιλορ μπορεί νにゅーαあるふぁ γενικευθεί σしぐまεいぷしろん συναρτήσεις πολλών μεταβλητών μみゅーεいぷしろん

$T(x_{1},\dots ,x_{d})=$

$=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\dots ,a_{d}).\!$

Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, γがんまιいおたαあるふぁ μία συνάρτηση δύο μεταβλητών,x κかっぱαあるふぁιいおた y, ηいーた σειρά Τέιλορ σしぐまτたうοおみくろん σημείο (a, b) κかっぱαあるふぁιいおた μέχρι δευτέρας τάξεως είναι:

${\begin{aligned}f(x,y)&\approx f(a,b)+(x-a)\,f_{x}(a,b)+(y-b)\,f_{y}(a,b)\\&{}\quad +{\frac {1}{2!}}\left[(x-a)^{2}\,f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)\,f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}\,f_{yy}(a,b)\right],\end{aligned}}$

όπου οおみくろんιいおた δείκτες υποδηλώνουν τις αντίστοιχες μερικές παραγώγους.

Τたうοおみくろん ανάπτυγμα δευτέρας τάξεως σειράς Τέιλορ κλιμακωτής συνάρτησης πολλών μεταβλητών μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφτεί ως

$T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}\mathrm {D} f(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}\,\{\mathrm {D} ^{2}f(\mathbf {a} )\}\,(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots \!\,,$

Οおみくろんπぱいοおみくろんυうぷしろん είναι $Df(\mathbf {a} )\!$ είναι ηいーた βαθμίδα της $\,f$ σしぐまτたうοおみくろん $\mathbf {x} =\mathbf {a}$ κかっぱαあるふぁιいおた $D^{2}f(\mathbf {a} )\!$ είναι οおみくろん πίνακας τたうοおみくろんυうぷしろん Hesse. Χρησιμοποιώντας συμβολισμό δεικτών ηいーた σειρά Τέιλορ γがんまιいおたαあるふぁ πολλές μεταβλητές γίνεται

$T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}^{}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\,({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}\,f)(\mathbf {a} )\,,$

ηいーた οποία είναι συντετμιμένη εκδοχή πολλών δεικτών της πρώτης εξίσωσης της παραγράφου, σしぐまεいぷしろん πλήρη αναλογία μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー περίπτωση της μίας μεταβλητής.

Παράδειγμα

Ανάπτυγμα δευτέρας τάξης σειράς Τέιλορ (γκρίζο) μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτησης $f(x,y)=e^{x}\log {(1+y)}$ γύρω από τたうηいーたνにゅー αρχή τたうωおめがνにゅー αξόνων, κατά προσέγγιση.

Υπολογισμός αναπτύγματος σειράς Τέιλορ μέχρι δευτέρας τάξεως γύρω από τたうοおみくろん $(a,b)=(0,0)$ γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー συνάρτηση

$f(x,y)=e^{x}\log(1+y).\,$

Αρχικά υπολογίζονται οおみくろんιいおた αναγκαίες μερικές παράγωγοι

$f_{x}(a,b)=e^{x}\log(1+y){\bigg |}_{(x,y)=(0,0)}=0\,,$

$f_{y}(a,b)={\frac {e^{x}}{1+y}}{\bigg |}_{(x,y)=(0,0)}=1\,,$

$f_{xx}(a,b)=e^{x}\log(1+y){\bigg |}_{(x,y)=(0,0)}=0\,,$

$f_{yy}(a,b)=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}{\bigg |}_{(x,y)=(0,0)}=-1\,,$

$f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)={\frac {e^{x}}{1+y}}{\bigg |}_{(x,y)=(0,0)}=1.$

Ηいーた σειρά Τέιλορ είναι

${\begin{aligned}T(x,y)=f(a,b)&+(x-a)\,f_{x}(a,b)+(y-b)\,f_{y}(a,b)\\&+{\frac {1}{2!}}\left[(x-a)^{2}\,f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)\,f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}\,f_{yy}(a,b)\right]+\cdots \,,\end{aligned}}$

πぱいοおみくろんυうぷしろん σしぐまεいぷしろん αυτή τたうηいーたνにゅー περίπτωση γίνεται

${\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\Big [}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\Big ]}+\cdots \\&=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots .\end{aligned}}$

Αφού log(1 + y) είναι αναλυτική σしぐまτたうοおみくろん |y| < 1, προκύπτει

$e^{x}\log(1+y)=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots$

γがんまιいおたαあるふぁ |y| < 1.

Κλασματική σειρά Τέιλορ

Μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー εμφάνιση τたうοおみくろんυうぷしろん κλασματικού λογισμού, προέκυψε τたうοおみくろん ερώτημα γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん πぱいοおみくろんιいおたαあるふぁ θしーたαあるふぁ ήταν ηいーた επέκταση τたうωおめがνにゅー σειρών Τέιλορ σしぐまτたうοおみくろん νέο πεδίο. Οおみくろんιいおた Odibat κかっぱαあるふぁιいおた Shawagfeh απάντησαν σしぐまτたうοおみくろん ερώτημα τたうοおみくろん 2007, χρησιμοποιώντας τたうηいーたνにゅー κλασματική παράγωγο Caputo, $0<\alpha <1\,\!$, κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん $x+\,\!$ πぱいοおみくろんυうぷしろん υποδεικνύει τたうοおみくろん όριο καθώς προσεγγίζεται τたうοおみくろん $x\,\!$ από τたうαあるふぁ δεξιά, κかっぱαあるふぁιいおた έτσι ηいーた κλασματική σειρά Τέιλορ γράφεται:

$f(x+\Delta x)=f(x)+D_{x}^{\alpha }f(x+){\frac {(\Delta x)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}+D_{x}^{\alpha }D_{x}^{\alpha }f(x+){\frac {(\Delta x)^{2\alpha }}{\Gamma (2\alpha +1)}}+\cdots .$

Σύγκριση μみゅーεいぷしろん σειρές Fourier

Ηいーた τριγωνομετρική σειρά Fourier επιτρέπει νにゅーαあるふぁ εκφράσει μみゅーιいおたαあるふぁ περιοδική συνάρτηση (ή συνάρτηση ορισμένη σしぐまεいぷしろん ένα συμπαγές διάστημα) ως άπειρο άθροισμα τたうωおめがνにゅー τριγωνομετρικών συναρτήσεων (ημιτόνων κかっぱαあるふぁιいおた συνημιτόνων). Υπό τたうηいーたνにゅー έννοια αυτή, ηいーた σειρά Fourier είναι ανάλογη μみゅーεいぷしろん σειρά Τέιλορ, δεδομένου ότι ηいーた τελευταία επιτρέπει νにゅーαあるふぁ εκφράσει μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση ως ένα άπειρο άθροισμα. Πぱいαあるふぁρろー' όλα αυτά κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた δύο τύποι της σειράς διαφέρουν σしぐまεいぷしろん διάφορα σχετικά θέματα:

• Οおみくろん υπολογισμός της σειράς Τέιλορ απαιτεί τたうηいーた γνώση της συνάρτησης σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ αυθαίρετη μικρή περιοχή, ενώ οおみくろん υπολογισμός της σειράς Fourier απαιτεί τたうηいーたνにゅー γνώση της συνάρτησης σしぐまεいぷしろん όλο τたうοおみくろんνにゅー τομέα τたうοおみくろんυうぷしろん διαστήματος. Κατά μία έννοια θしーたαあるふぁ μπορούσε κανείς νにゅーαあるふぁ πぱいεいぷしろんιいおた ότι ηいーた σειρά Taylor είναι «τοπική» κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた σειρά Fourier είναι «παγκόσμια».
• Οおみくろん υπολογισμός της σειράς Τέιλορ απαιτεί ηいーた συνάρτηση νにゅーαあるふぁ είναι κατηγορίας C^∞, ενώ ηいーた σειρά Fourier απαιτεί ηいーた συνάρτηση νにゅーαあるふぁ είναι μόνο ολοκληρώσιμη (κかっぱαあるふぁιいおた, επομένως, δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί ακόμη νにゅーαあるふぁ είναι κかっぱαあるふぁιいおた συνεχής).
• Ηいーた σύγκλιση τたうωおめがνにゅー δύο σειρών έχει πολύ διαφορετικές ιδιότητες. Ακόμη κかっぱαあるふぁιいおた αあるふぁνにゅー ηいーた σειρά Τέιλορ έχει θετική ακτίνα σύγκλισης, ηいーた προκύπτουσα σειρά μπορεί νにゅーαあるふぁ μみゅーηいーたνにゅー συμπίπτει μみゅーεいぷしろん τたうηいーた συνάρτηση. Αλλά αあるふぁνにゅー ηいーた συνάρτηση είναι αναλυτική τότε ηいーた σειρά συγκλίνει σημειακά σしぐまτたうηいーた συνάρτηση, κかっぱαあるふぁιいおた ομοιόμορφα σしぐまεいぷしろん κάθε συμπαγές σύνολο. Όσον αφορά τたうηいーた σειρά Fourier, εάν ηいーた συνάρτηση είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη τότε θしーたαあるふぁ συγκλίνει σしぐまεいぷしろん τετραγωνικό μέσο όρο, αλλά άλλες πρόσθετες απαιτήσεις πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι αναγκαίες γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ εξασφαλιστεί ηいーた σημειακή κかっぱαあるふぁιいおた ομοιόμορφη σύγκλιση είναι γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, αあるふぁνにゅー ηいーた συνάρτηση είναι περιοδική κかっぱαあるふぁιいおた κατηγορίας C¹ τότε ηいーた σύγκλιση είναι ομοιόμορφη.
• Τέλος, σしぐまτたうηいーたνにゅー πράξη, αあるふぁνにゅー κάποιος θέλει νにゅーαあるふぁ προσεγγίσει τたうηいーた συνάρτηση μみゅーεいぷしろん έναν πεπερασμένο αριθμό όρων, ας πούμε μみゅーεいぷしろん ένα πολυώνυμο Τέιλορ ή μみゅーεいぷしろん ένα μερικό άθροισμα της τριγωνομετρική σειράς, αντίστοιχα τότε σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση της σειράς Τέιλορ τたうοおみくろん σφάλμα είναι πολύ μικρό σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ γειτονιά τたうοおみくろんυうぷしろん σημείου όπου υπολογίζεται, ενώ μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι πολύ μεγάλο σしぐまεいぷしろん ένα μακρινό σημείο. Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση της σειράς Fourier τたうοおみくろん σφάλμα διανέμεται κατά μήκος τたうοおみくろんυうぷしろん τομέα της συνάρτησης.

Πηγές

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing 
• Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7 
• Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1