Ανάλυση Φουριέ

Ηいーた ανάλυση Φουριέ είναι ένα πεδίο τたうωおめがνにゅー εφαρμοσμένων μαθηματικών τたうοおみくろん οποίο προέκυψε από τたうηいーたνにゅー προσπάθεια αναπαράστασης μίας συνάρτησης ως αθροίσματος απλούστερων περιοδικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Επομένως κεντρική ιδέα σしぐまτたうηいーたνにゅー ανάλυση Φουριέ είναι ηいーた προσπάθεια γがんまιいおたαあるふぁ κατανόηση τたうωおめがνにゅー ιδιοτήτων μίας συνάρτησης (ηいーた οποία μπορεί νにゅーαあるふぁ αναπαριστά πぱい.χかい. ένα σήμα) μέσω διάσπασής της σしぐまεいぷしろん γνωστά, στοιχειώδη μέρη (αποσύνθεση). Ηいーた ανάστροφη διαδικασία, ηいーた κατασκευή μίας συνάρτησης από γνωστές, βασικές συναρτήσεις, ονομάζεται σύνθεση. Μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー όρο ανάλυση Φουριέ αναφερόμαστε κかっぱαあるふぁιいおた στις δύο διεργασίες. Ηいーた μέθοδος αυτή εφαρμόστηκε γがんまιいおたαあるふぁ πρώτη φορά από τたうοおみくろんνにゅー Ζοζέφ Φουριέ σしぐまτたうηいーたνにゅー προσπάθειά τたうοおみくろんυうぷしろん νにゅーαあるふぁ ερευνήσει τたうηいーた διάδοση της θερμότητας.

Εισαγωγικά

Οおみくろん όρος Μετασχηματισμός Φουριέ (MΦふぁい) αναφέρεται σしぐまεいぷしろん μία αυστηρώς ορισμένη μαθηματική διεργασία ηいーた οποία αποσυνθέτει μία συνάρτηση σしぐまεいぷしろん άθροισμα απείρων περιοδικών ημιτονοειδών κかっぱαあるふぁιいおた συνημιτονοειδών συναρτήσεων. Τたうοおみくろん αποτέλεσμα τたうοおみくろんυうぷしろん μετασχηματισμού είναι μία νέα συνάρτηση μみゅーεいぷしろん διαφορετικό πεδίο ορισμού, επίσης γνωστή ως Μετασχηματισμός Φουριέ ή ως φάσμα, ηいーた οποία περιγράφει τたうοおみくろん κατά πόσο συμμετέχει κάθε στοιχειώδες ημίτονο σしぐまτたうοおみくろんνにゅー σχηματισμό της αρχικής συνάρτησης (έστω $f$). Οおみくろん ΜみゅーΦふぁい αποτελεί οριακή περίπτωση (γがんまιいおたαあるふぁ συνάρτηση $f$ μみゅーεいぷしろん άπειρη περίοδο, δηλαδή ουσιαστικά απεριοδική) της σειράς Φουριέ.

Ηいーた σειρά Φουριέ εφαρμόζεται γがんまιいおたαあるふぁ περιοδική $f$ κかっぱαあるふぁιいおた δίνει ως αποτέλεσμα μία νέα συνάρτηση μみゅーεいぷしろん διακριτό πεδίο τιμών αντί γがんまιいおたαあるふぁ συνεχές (δηλαδή πεδίο τιμών σしぐまεいぷしろん μία σειρά Φουριέ είναι οおみくろんιいおた φυσικοί αριθμοί αντί γがんまιいおたαあるふぁ τους πραγματικούς).

Γがんまιいおたαあるふぁ συναρτήσεις διακριτής ανεξάρτητης μεταβλητής, όπου οおみくろんιいおた φυσικοί αριθμοί είναι τたうοおみくろん πεδίο ορισμού της $f$, υπάρχουν οおみくろんιいおた διακριτές παραλλαγές τたうοおみくろんυうぷしろん MΦふぁい: οおみくろん Μετασχηματισμός Φουριέ Διακριτού Χρόνου (MΦふぁいΔでるたΧかい), μみゅーεいぷしろん συνεχές πεδίο τιμών κかっぱαあるふぁιいおた κατάλληλος γがんまιいおたαあるふぁ απεριοδικές συναρτήσεις, κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん Διακριτός Μετασχηματισμός Φουριέ (ΔでるたΜみゅーΦふぁい ή DFT), μみゅーεいぷしろん διακριτό πεδίο τιμών κかっぱαあるふぁιいおた κατάλληλος γがんまιいおたαあるふぁ περιοδικές συναρτήσεις.

Γがんまιいおたαあるふぁ καθεμία από αυτές τις διεργασίες υπάρχει κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん αντίστροφος μετασχηματισμός, οおみくろん οποίος δέχεται ως είσοδο τたうοおみくろん φάσμα κかっぱαあるふぁιいおた δίνει ως έξοδο τたうηいーたνにゅー αρχική συνάρτηση $f$. Όλοι οおみくろんιいおた τύποι μετασχηματισμών της ανάλυσης Φουριέ ανάγονται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー παρόμοιου σκοπού Μετασχηματισμό Λαπλάς κかっぱαあるふぁιいおた αποτελούν περιπτώσεις ολοκληρωτικού μετασχηματισμού.

Εφαρμογές

Ηいーた ανάλυση Φουριέ έχει πολλές επιστημονικές εφαρμογές όπως σしぐまτたうηいーた φυσική, σしぐまτたうηいーたνにゅー επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων, σしぐまτたうηいーた θεωρία αριθμών, σしぐまτたうηいーた συνδυαστική ανάλυση, σしぐまτたうηいーたνにゅー επεξεργασία σήματος, σしぐまτたうηいーたνにゅー επεξεργασία εικόνας, σしぐまτたうηいーた στατιστική, σしぐまτたうηいーたνにゅー κρυπτογραφία, σしぐまτたうηいーたνにゅー αριθμητική ανάλυση, σしぐまτたうηいーたνにゅー ακουστική, σしぐまτたうηいーたνにゅー ωκεανογραφία, σしぐまτたうηいーたνにゅー οπτική κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん πολλούς άλλους τομείς.

Αυτή ηいーた ευρεία εφαρμογή της πηγάζει από πολλές χρήσιμες ιδιότητες, όπως αυτές τたうωおめがνにゅー ολοκληρωτικών μετασχηματισμών:

• Οおみくろんιいおた μετασχηματισμοί είναι γραμμικοί τελεστές κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー κατάλληλη κανονικοποίηση είναι επίσης μοναδιαίοι (μία ιδιότητα γνωστή ως τたうοおみくろん θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Parseval ή πぱいιいおたοおみくろん γενικά, ως τたうοおみくろん θεώρημα Plancherel κかっぱαあるふぁιいおた ακόμα πぱいιいおたοおみくろん γενικά μέσω της δυαδικότητας Pontryagin).
• Οおみくろんιいおた μετασχηματισμοί είναι συνήθως αντιστρέψιμοι.
• Οおみくろんιいおた εκθετικές συναρτήσεις είναι ιδιοσυναρτήσεις της παραγώγισης, τたうοおみくろん οποίο σημαίνει ότι αυτή ηいーた αναπαράσταση μετασχηματίζει γραμμικές διαφορικές εξισώσεις μみゅーεいぷしろん σταθερούς συντελεστές σしぐまεいぷしろん κανονικές αλγεβρικές. Ως εいぷしろんκかっぱ τούτου, ηいーた συμπεριφορά ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος μπορεί νにゅーαあるふぁ αναλυθεί σしぐまεいぷしろん κάθε συχνότητα ανεξάρτητα.
• Από τたうοおみくろん θεώρημα της συνέλιξης, οおみくろんιいおた μετασχηματισμοί Φουριέ μετατρέπουν τたうηいーたνにゅー πολύπλοκη διαδικασία της συνέλιξης σしぐまεいぷしろん απλό πολλαπλασιασμό, τたうοおみくろん οποίο σημαίνει ότι παρέχουν έναν αποτελεσματικό τρόπο γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ υπολογιστούν διαδικασίες πぱいοおみくろんυうぷしろん βασίζονται σしぐまτたうηいーた συνέλιξη, όπως πολλαπλασιασμός πολυωνύμων κかっぱαあるふぁιいおた πολλαπλασιασμός μεγάλων αριθμών.
• Ηいーた διακριτή εκδοχή τたうοおみくろんυうぷしろん μετασχηματισμού Φουριέ (δες παρακάτω) μπορεί νにゅーαあるふぁ εκτιμηθεί γρήγορα μみゅーεいぷしろん τους υπολογιστές χρησιμοποιώντας αλγορίθμους γρήγορου μετασχηματισμού Φουριέ (Fast Fourier Transform, FFT).

Οおみくろん μετασχηματισμός Φουριέ είναι επίσης χρήσιμος κかっぱαあるふぁιいおた ως μみゅーιいおたαあるふぁ συμπαγής αναπαράσταση ενός σήματος. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα ηいーた συμπίεση JPEG πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποιεί μみゅーιいおたαあるふぁ παραλλαγή τたうοおみくろんυうぷしろん μετασχηματισμού Φουριέ (διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου) από μικρά τετράγωνα κομμάτια μιας ψηφιακής εικόνας. Οおみくろんιいおた συντελεστές Φουριέ τたうοおみくろんυうぷしろん κάθε τετραγώνου στρογγυλοποιούνται σしぐまτたうηいーたνにゅー μικρότερη αριθμητική ακρίβεια, κかっぱαあるふぁιいおた «αδύναμοι» συντελεστές απαλείφονται, έτσι ώστε οおみくろんιいおた εναπομείναντες συντελεστές νにゅーαあるふぁ μπορούν νにゅーαあるふぁ αποθηκευτούν πολύ συμπαγώς. Σしぐまτたうηいーたνにゅー ανακατασκευή της εικόνας, κάθε τετράγωνό της ανακατασκευάζεται κατά προσέγγιση από τους μετασχηματισμένους συντελεστές Φουριέ πぱいοおみくろんυうぷしろん διατηρήθηκαν, οおみくろんιいおた οποίοι τότε μετασχηματίζονται αντίστροφα γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ παραχθεί μία προσέγγιση της αρχικής εικόνας.

Εφαρμογές σしぐまτたうηいーたνにゅー επεξεργασία σήματος

Όταν επεξεργαζόμαστε σήματα, όπως ήχο, ραδιοκύματα, κύματα φωτός, σεισμικά κύματα, ακόμα κかっぱαあるふぁιいおた εικόνες, ηいーた ανάλυση Φουριέ μπορεί νにゅーαあるふぁ απομονώσει μεμονωμένους συντελεστές από μみゅーιいおたαあるふぁ σύνθετη κυματομορφή, συγκεντρώνοντάς τους γがんまιいおたαあるふぁ ευκολότερη ανίχνευση κかっぱαあるふぁιいおた/ή αφαίρεση. Μία μεγάλη οικογένεια τεχνικών επεξεργασίας σήματος αποτελείται από μετασχηματισμό Φουριέ ενός σήματος, χειρισμό μετασχηματισμένων μみゅーεいぷしろん Φουριέ δεδομένων μみゅーεいぷしろん απλό τρόπο κかっぱαあるふぁιいおた αντιστροφή τたうοおみくろんυうぷしろん μετασχηματισμού.

Μερικά παραδείγματα είναι τたうαあるふぁ παρακάτω:

• Τηλεφωνική κλήση: τたうοおみくろん τονικό σήμα γがんまιいおたαあるふぁ κάθε πλήκτρο τηλεφώνου, όταν πιέζεται, είναι τたうοおみくろん καθένα ένα σύνολο από δύο ξεχωριστούς τόνους (συχνότητες). Ηいーた ανάλυση Φουριέ μπορεί νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθεί γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ διαχωριστεί (ή αναλυθεί) τたうοおみくろん σήμα τたうοおみくろんυうぷしろん τηλεφώνου, γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αποκαλύψει τους δύο τόνους από τους οποίους αποτελείται κかっぱαあるふぁιいおた συνεπώς πぱいοおみくろんιいおたοおみくろん κουμπί πατήθηκε.
• Περίφραξη θορύβου από ηχογραφήσεις γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αφαιρεθεί οおみくろん «ήσυχος» θόρυβος τたうοおみくろんυうぷしろん παρασκηνίου μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー εξάλειψη τたうωおめがνにゅー συντελεστών Φουριέ πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたεいぷしろんνにゅー υπερβαίνουν ένα καθορισμένο εύρος,
• Εξίσωση τたうωおめがνにゅー ηχητικών ηχογραφήσεων μみゅーεいぷしろん μία σειρά από ζωνοπερατά φίλτρα,
• Ψηφιακή ραδιοφωνική λήψη χωρίς υπερετερώδυνο κύκλωμα, όπως σしぐまεいぷしろん ένα σύγχρονο κινητό τηλέφωνο,
• Κρυσταλλογραφία ακτίνων Χかい γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー ανακατασκευή μιας κρυσταλλικής δομής από τたうοおみくろん πρότυπο της περίθλασής της,
• Μετασχηματισμός Φουριέ κυκλοτρονικών ιόντων γがんまιいおたαあるふぁ συντονισμό φασματογραφία μάζας γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー προσδιορισμό της μάζας τたうωおめがνにゅー ιόντων από τたうηいーた συχνότητα της κίνησης τたうοおみくろんυうぷしろん κυκλοτρονίου σしぐまεいぷしろん ένα μαγνητικό πεδίο.
• Πολλές άλλες μορφές φασματοσκοπίας επίσης βασίζονται στους μετασχηματισμούς Φουριέ γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αποφασίσουν τたうηいーたνにゅー τρισδιάστατη δομή κかっぱαあるふぁιいおた/ή οντότητα τたうοおみくろんυうぷしろん δείγματος πぱいοおみくろんυうぷしろん αναλύεται, συμπεριλαμβανομένων τたうωおめがνにゅー Συντονισμός Υπέρυθρων κかっぱαあるふぁιいおた φασματοσκοπιών πυρηνικού μαγνητικού συντονισμού.
• Δημιουργία τたうοおみくろんυうぷしろん ηχητικού φασματογραφήματος πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποιείται γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー ανάλυση ήχων.

Σειρές Φουριέ

Μみゅーιいおたαあるふぁ περιοδική συνάρτηση $f$ μπορεί νにゅーαあるふぁ εκφραστεί ως άπειρο άθροισμα (σειρά) ημιτόνων κかっぱαあるふぁιいおた συνημιτόνων. Ηいーた συνάρτηση μみゅーεいぷしろん περίοδο $T$ μετασχηματίζεται σしぐまεいぷしろん σειρά ημιτόνων κかっぱαあるふぁιいおた συνημιτόνων μみゅーεいぷしろん περιόδους ακέραια πολλαπλάσια της $T$. Γがんまιいおたαあるふぁ $\omega =2\pi /T$ ηいーた σしぐまεいぷしろんιいおたρろーαあるふぁ Φουριέ γράφεται ως

$\displaystyle f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cdot \cos(n\omega t)+b_{n}\cdot \sin(n\omega t))$

Ανάλυση της μみゅーπぱいλらむだεいぷしろん συμμετρικής συνάρτησης σしぐまεいぷしろん σειρά Φουριέ μみゅーεいぷしろん μέχρι 5 όρους.

μみゅーεいぷしろん συντελεστές

$\displaystyle a_{0}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\,\mathrm {d} t$,

$\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cdot \sin(n\omega t)\,\mathrm {d} t$ κかっぱαあるふぁιいおた

$\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\cdot \cos(n\omega t)\,\mathrm {d} t$.

Τたうοおみくろん διάστημα ολοκλήρωσης $[0,T]$ μπορεί νにゅーαあるふぁ αντικατασταθεί μみゅーεいぷしろん οποιοδήποτε της μορφής $[c,T+c]$. Συχνά χρησιμοποιείται επίσης τたうοおみくろん $[-T/2,T/2]$.

Σしぐまτたうηいーたνにゅー πράξη αντί της άπειρης σειράς ηいーた συνάρτηση προσεγγίζεται μみゅーεいぷしろん πεπερασμένο πλήθος προσθετέων.

Μみゅーεいぷしろん τたうηいーた χρήση τたうοおみくろんυうぷしろん τύπου τたうοおみくろんυうぷしろん Όιλερ $e^{in\omega t}=\cos(n\omega t)+i\sin(n\omega t),\,$ μみゅーεいぷしろん $\omega =2\pi /T$ ηいーた σしぐまεいぷしろんιいおたρろーαあるふぁ Φουριέ μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφεί μみゅーεいぷしろん μιγαδικούς όρους ως

$\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} nt/T}$

μみゅーεいぷしろん

$\displaystyle c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} nt/T}dt$.

Μετασχηματισμός Φουριέ

Οおみくろん Μετασχηματισμός Φουριέ αποτελεί γενίκευση της σειράς Φουριέ μみゅーεいぷしろん μιγαδικούς όρους. Αντί τたうωおめがνにゅー διακριτών όρων $c_{n}$ χρησιμοποιεί τたうηいーたνにゅー συνεχή συνάρτηση $F(t)$:

$f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)\ e^{2\pi ixt}\,dx,$

μみゅーεいぷしろん

$F(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ixt}\,dx.$

(Συνεχής) Μετασχηματισμός Φουριέ

Πολύ συχνά, οおみくろん ακατάλληλος όρος μετασχηματισμός Φουριέ αναφέρεται σしぐまτたうοおみくろん μετασχηματισμό συναρτήσεων μみゅーεいぷしろん συνεχή πραγματικά ορίσματα κかっぱαあるふぁιいおた αυτό παράγει μία συνεχή συνάρτηση συχνότητας, γνωστή ως κατανομή συχνότητας. Μία συνάρτηση μετασχηματίζεται σしぐまεいぷしろん μία άλλη κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた διαδικασία είναι αντιστρέψιμη. Όταν τたうοおみくろん πεδίο ορισμού της συνάρτησης εισόδου είναι οおみくろん χρόνος ($t$) κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん πεδίο ορισμού της συνάρτησης εξόδου είναι ηいーた κανονική συχνότητα, οおみくろん μετασχηματισμός της συνάρτησης $s(t)$ σしぐまτたうηいーた συχνότητα $f$ δίνεται από τたうοおみくろんνにゅー μιγαδικό αριθμό:

$S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt.$

Αποτιμόντας τたうηいーたνにゅー ποσότητα αυτή γがんまιいおたαあるふぁ όλες τις τιμές τたうοおみくろんυうぷしろん $f$ παράγεται ηいーた συνάρτηση μみゅーεいぷしろん πεδίο ορισμού τたうηいーたνにゅー συχνότητα. Σしぐまτたうηいーた συνέχεια ηいーた $s(t)$ μπορεί νにゅーαあるふぁ αναπαρασταθεί ως ανασυνδυασμός μιγαδικών εκθετικών όρων όλων τたうωおめがνにゅー δυνατών συχνοτήτων:

$s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}df,$

πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι οおみくろん τύπος τたうοおみくろんυうぷしろん αντίστροφου μετασχηματισμού. Οおみくろん μιγαδικός αριθμός $S(f)$, οδηγεί τόσο σしぐまτたうοおみくろん πλάτος όσο κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーた φάση $f$ της συχνότητας.

Μετασχηματισμός Φουριέ Διακριτού Χρόνου (ΜみゅーΦふぁいΔでるたΧかい)

Οおみくろん ΜみゅーΦふぁいΔでるたΧかい είναι τたうοおみくろん μαθηματικό δίδυμο τたうωおめがνにゅー σειρών Φουριέ σしぐまτたうοおみくろん πεδίο τたうοおみくろんυうぷしろん χρόνου. Έτσι, κάθε περιοδική άθροιση σしぐまτたうοおみくろん πεδίο συχνοτήτων μπορεί νにゅーαあるふぁ αναπαρασταθεί από μみゅーιいおたαあるふぁ σειρά Φουριέ, της οποίας οおみくろんιいおた συντελεστές είναι δείγματα μιας σχετικής συνεχούς συνάρτησης χρόνου:

$S_{1/T}(f)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier series (DTFT)}}} _{\text{Poisson summation formula}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{+\infty }s[n]\ \delta (t-nT)\right\},\,$

πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι γνωστή ως οおみくろん ΜみゅーΦふぁいΔでるたΧかい. Οおみくろん ΜみゅーΦふぁいΔでるたΧかい της ακολουθίας $s[n]$ είναι επίσης οおみくろん μετασχηματισμός Φουριέ της διαμορφωμένης κρουστικής συνάρτησης. Μπορούμε επίσης νにゅーαあるふぁ σημειώσουμε ότι:

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }T\ s(nT)\ \delta (t-nT)\ =\ \sum _{n=-\infty }^{+\infty }T\ s(t)\ \delta (t-nT)\ =\ s(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (t-nT).$

Κατά συνέπεια, μみゅーιいおたαあるふぁ κοινή πρακτική είναι νにゅーαあるふぁ μοντελοποιούμε τたうηいーたνにゅー "δειγματοληψία" ως πολλαπλασιασμό από τたうηいーたνにゅー κρουστική συνάρτηση, τたうοおみくろん οποίο φυσικά είναι "πιθανό" μόνο σしぐまεいぷしろん μία καθαρά μαθηματική λογική.

Οおみくろんιいおた συντελεστές της σειράς Φουριέ ορίζονται :

$s[n]=T\int _{1/T}S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df,\,$

είναι οおみくろん αντίστροφος μετασχηματισμός κかっぱαあるふぁιいおた μπορεί πράγματι νにゅーαあるふぁ αποδειχθεί ότι οおみくろんιいおた συντελεστές είναι απλώς δείγματα της $s(t)$ σしぐまεいぷしろん διακριτά διαστήματα τたうοおみくろんυうぷしろん $T$:

$s[n]=T\cdot s(nT)$.

Έτσι έχουμε τたうοおみくろん σημαντικό αποτέλεσμα ότι όταν μία διακριτή ακολουθία δεδομένων $s[n]$ αντιπροσωπεύει δείγματα μιας υποκείμενης συνεχούς συνάρτησης $s(t)$, τότε μπορεί κανείς νにゅーαあるふぁ συμπεράνει κάτι γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん μετασχηματισμό Φουριέ αυτής, $S(f)$. Ότι είναι ένας ακρογωνιαίος λίθος σしぐまτたうηいーたνにゅー ψηφιακή επεξεργασία σημάτων. Επιπλέον, υπό ορισμένες εξιδανικευμένες συνθήκες, μπορεί κάποιος νにゅーαあるふぁ ανακτήσει θεωρητικά ακριβώς τις $S(f)$ κかっぱαあるふぁιいおた $s(t)$. Μία ικανή συνθήκη γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー τέλεια ανάκτηση είναι ότι τたうοおみくろん μみゅーηいーた μηδενικό ποσοστό της $S(f)$ νにゅーαあるふぁ περιορίζεται σしぐまεいぷしろん ένα γνωστό διάστημα συχνοτήτων πλάτους $1/T$. Όταν αυτό τたうοおみくろん διάστημα είναι $[-0.5/T,0.5/T]$ οおみくろん τύπος ανακατασκευής είναι οおみくろん τύπος παρεμβολής τたうωおめがνにゅー Whittaker–Shannon.

Ένας άλλος λόγος γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ ενδιαφερθούμε γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー $S_{1/T}(f)$ είναι ότι συχνά παρέχει μみゅーιいおたαあるふぁ εικόνα γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん μέγεθος της αναδίπλωσης πぱいοおみくろんυうぷしろん προκαλείται από τたうηいーた διαδικασία δειγματοληψίας.

Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ (ΔでるたΜみゅーΦふぁい)

Οおみくろん ΜみゅーΦふぁいΔでるたΧかい μιας περιοδικής ακολουθίας, $s_{N}[n]$, μみゅーεいぷしろん περίοδο $N$, γίνεται άλλη μία κρουστική συνάρτηση, πぱいοおみくろんυうぷしろん διαφοροποιείται από τους συντελεστές μιας σειράς Φουριέ. Κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん ολοκληρωτικός τύπος γがんまιいおたαあるふぁ τους συντελεστές απλοποιείται σしぐまεいぷしろん μία άθροιση:

$S_{N}[k]={\frac {1}{NT}}\underbrace {\sum _{N}s_{N}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{S_{k}},\,$

όπου ${\textstyle \sum _{N}}$ είναι τたうοおみくろん άθροισμα πάνω από κάθε $n$-ακολουθία μήκους $N$.

Ηいーた ακολουθία $S_{k}$ είναι γνωστή ως ΔでるたΜみゅーΦふぁい της $s_{N}$. Είναι, επίσης, $N$-περιοδική, γがんまιいおた’ αυτό ποτέ δでるたεいぷしろんνにゅー είναι απαραίτητο νにゅーαあるふぁ υπολογιστούν περισσότεροι από $N$ όροι. Όσον αφορά τたうηいーたνにゅー $S_{k}$, οおみくろん αντίστροφος μετασχηματισμός δίνεται από:

$s_{N}[n]={\frac {1}{N}}\sum _{N}S_{k}\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},\,$

όπου ${\textstyle \sum _{N}}$ είναι τたうοおみくろん άθροισμα πάνω από κάθε $k$-ακολουθία μήκους $N$.

Όταν τたうοおみくろん $s_{N}[n]$ εκφράζεται ως μία περιοδική άθροιση μιας άλλης συνάρτησης, $s[n]=T\cdot s(nT)$:

$s_{N}[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }s[n-kN]$,

οおみくろんιいおた συντελεστές είναι ισοδύναμοι μみゅーεいぷしろん δείγματα της $S_{1/T}(f)$ σしぐまεいぷしろん διακριτά διαστήματα $1/P=1/NT$:

$S_{k}=S_{1/T}\left({\frac {k}{P}}\right)$.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, τたうοおみくろん $N$ επιλέγεται ίσο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん μήκος τたうοおみくろんυうぷしろん μみゅーηいーた μηδενικού τμήματος τたうοおみくろんυうぷしろん $s[n]$. Ηいーた αύξηση τたうοおみくろんυうぷしろん $N$ οδηγεί σしぐまεいぷしろん ακόμα μικρότερα δείγματα τたうοおみくろんυうぷしろん ενός κύκλου τたうοおみくろんυうぷしろん $S_{1/T}(f)$. Ηいーた μείωση τたうοおみくろんυうぷしろん $N$ οδηγεί σしぐまεいぷしろん επικάλυψη σしぐまτたうοおみくろん πεδίο τたうοおみくろんυうぷしろん χρόνου, τたうοおみくろん οποίο which αντιστοιχεί σしぐまεいぷしろん αποδεκατισμό σしぐまτたうοおみくろん πεδίο τたうωおめがνにゅー συχνοτήτων. Στις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικού ενδιαφέροντος, ηいーた ακολουθία $s[n]$ αντιπροσωπεύει μία μακρύτερη ακολουθία ηいーた οποία έχει περικοπεί από τたうηいーたνにゅー εφαρμογή μιας πεπερασμένης συνάρτησης παραθύρου ή ενός φίλτρου FIR.

Οおみくろん ΔでるたΜみゅーΦふぁい μπορεί νにゅーαあるふぁ υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο γρήγορου μετασχηματισμού Φουριέ, οおみくろん οποίος τたうωおめがνにゅー καθιστά ένα πρακτικό κかっぱαあるふぁιいおた σημαντικό μετασχηματισμό στους υπολογιστές.

Περίληψη

Γがんまιいおたαあるふぁ περιοδικές συναρτήσεις, τόσο οおみくろん μετασχηματισμός Φουριέ όσο κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん Μετασχηματισμός Φουριέ Διακριτού Χρόνου περιλαμβάνουν μόνο ένα διακριτό σύνολο από συντελεστές συχνοτήτων (σειρά Φουριέ), κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた μετασχηματισμοί αποκλίνουν σしぐまεいぷしろん αυτές τις συχνότητες. Μία κοινή πρακτική είναι νにゅーαあるふぁ χειριστούμε αυτή τたうηいーたνにゅー απόκλιση μέσω της κρουστικής δέλτα κかっぱαあるふぁιいおた της κρουστικής συνάρτησης. Αλλά τたうηいーたνにゅー ίδια φασματική πληροφορία μπορούμε νにゅーαあるふぁ διακρίνουμε κかっぱαあるふぁιいおた από ένα μόνο κύκλο της περιοδικής συνάρτησης, δεδομένου ότι όλοι οおみくろんιいおた άλλοι κύκλοι είναι πανομοιότυποι. Ομοίως, οおみくろんιいおた συναρτήσεις πεπερασμένης διάρκειας μπορούν νにゅーαあるふぁ αναπαρασταθούν ως σειρά Φουριέ, χωρίς καμία πραγματική απώλεια πληροφοριών εκτός από τたうοおみくろん ότι ηいーた περιοδικότητα τたうοおみくろんυうぷしろん αντίστροφου μετασχηματισμού είναι απλή. Οおみくろんιいおた τύποι στις κάτω δεξιά στήλες ισχύουν κかっぱαあるふぁιいおた στις δでるたυうぷしろんοおみくろん περιπτώσεις, όπου σしぐまτたうηいーた μία περίπτωση  $s\,$ πρόκειται νにゅーαあるふぁ αναλυθεί ηいーた πεπερασμένης διάρκειας συνάρτηση, κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーたνにゅー άλλη περίπτωση ηいーた περιοδική της άθροιση,  $s_{P},\,$  Είναι ηいーた συνάρτηση υπό ανάλυση. Σημειώνουμε παρεμπιπτόντως ότι κανένας από τους τύπους δでるたεいぷしろんνにゅー απαιτεί πράγματι ηいーた διάρκεια τたうοおみくろんυうぷしろん $s\,$ νにゅーαあるふぁ περιορίζεται σしぐまτたうηいーたνにゅー περίοδο $P$ ή $N$. Αλλά αυτή είναι ηいーた πぱいιいおたοおみくろん συνηθισμένη κατάσταση.

$s(t)\,$  μετασχηματισμοί (συνεχής χρόνος)

	Συνεχής συχνότητες	Διακριτές συχνότητες
Μετασχηματισμός	$S(f)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }s(t)\ e^{-i2\pi ft}\,dt$	$\underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)} _{S[k]}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt\equiv {\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt$
Αντίστροφος μετασχηματισμός	$s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\ e^{i2\pi ft}\,df$	$\underbrace {s_{P}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}} _{\text{Poisson summation formula (Φουριέ series)}}$

$s[n]\,$  μετασχηματισμοί (διακριτός χρόνος)

	Συνεχής συχνότητες	Διακριτές συχνότητες
Μετασχηματισμός	$\underbrace {S_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {T\cdot s(nT)} ^{s[n]}\cdot e^{-i2\pi fnT}} _{\text{Poisson summation formula (DTFT)}}$	$\underbrace {\overbrace {S_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} ^{S_{k}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{Poisson summation formula}}\equiv \underbrace {\sum _{N}s_{N}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{DFT}}$
Αντίστροφος μετασχηματισμός	$s[n]=T\int _{1/T}S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df$ $\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot \delta (t-nT)=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df} _{\text{inverse Φουριέ transform}}$	$s_{N}[n]=\underbrace {{\frac {1}{N}}\sum _{N}S_{k}\cdot e^{i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{inverse DFT}}$ $s_{P}(nT)={\frac {1}{T}}\cdot s_{N}[n]=\sum _{N}\underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S_{1/T}\left({\frac {k}{P}}\right)} _{S_{N}[k]}\cdot e^{i2\pi {\frac {kn}{N}}}$

Ερμηνεία από πλευράς χρόνου κかっぱαあるふぁιいおた συχνότητας

Σしぐまτたうηいーたνにゅー επεξεργασία σήματος οおみくろん μετασχηματισμός Φουριέ συχνά παίρνει μία χρονοσειρά ή μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση συνεχούς χρόνου κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー αντιστοιχεί σしぐま’ ένα φάσμα συχνοτήτων. Δηλαδή, μεταφέρει μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση από τたうοおみくろん πεδίο τたうοおみくろんυうぷしろん χρόνου σしぐまτたうοおみくろん πεδίο συχνοτήτων. Πρόκειται γがんまιいおたαあるふぁ μία αποσύνθεση της συνάρτησης σしぐまεいぷしろん ημιτονοειδείς διαφορετικών συχνοτήτων. Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση μιας σειράςΦουριέ ή ενός διακριτού μετασχηματισμού Φουριέ, οおみくろんιいおた ημιτονοειδείς είναι αρμονικές της θεμελιώδους συχνότητας της συνάρτησης ηいーた οποία αναλύεται.

Όταν ηいーた συνάρτηση ƒ είναι μία συνάρτηση χρόνου κかっぱαあるふぁιいおた αναπαριστά ένα φυσικό σήμα, οおみくろん μετασχηματισμός έχει μία πρότυπη ερμηνεία όπως τたうοおみくろん φάσμα συχνοτήτων τたうοおみくろんυうぷしろん σήματος. Τたうοおみくろん μέγεθος της συνάρτησης F πぱいοおみくろんυうぷしろん προκύπτει σしぐまτたうηいーたνにゅー συχνότητα ωおめが αναπαριστά τたうοおみくろん πλάτος μιας συνιστώσας της συχνότητας της οποίας ηいーた αρχική φάση δίνεται από τたうηいーた φάση της F.

Οおみくろんιいおた μετασχηματισμοί Φουριέ δでるたεいぷしろんνにゅー περιορίζονται σしぐまεいぷしろん συναρτήσεις χρόνου κかっぱαあるふぁιいおた χρονικές συχνότητες. Μπορούν εξίσου νにゅーαあるふぁ εφαρμοστούν γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー ανάλυση χωρικών συχνοτήτων κかっぱαあるふぁιいおた μάλιστα γがんまιいおたαあるふぁ σχεδόν κάθε πεδίο μιας συνάρτησης. Αυτό δικαιολογεί τたうηいーた χρήση τους σしぐまεいぷしろん κλάδους τόσο διαφορετικούς όσο ηいーた επεξεργασία εικόνας, ηいーた θερμική αγωγιμότητα κかっぱαあるふぁ οおみくろん αυτόματος έλεγχος.

Δείτε επίσης

• Επεξεργασία σήματος

Πηγές

• Conte, S. D.; de Boor, Carl (1980), Elementary Numerical Analysis (Third έκδοση), New York: McGraw Hill, Inc., ISBN 0070662282 
• Evans, L. (1998), Partial Differential Equations, American Mathematical Society, ISBN 3540761241 
• Howell, Kenneth B. (2001). Principles of Φουριέ Analysis, CRC Press. ISBN 9780849382758
• Kamen, E.W., and B.S. Heck. "Fundamentals of Signals and Systems Using the Web and Matlab". ISBN 0-13-017293-6
• Knuth, Donald E. (1997), The Art of Computer Programming Volume 2: Seminumerical Algorithms (3rd έκδοση), Section 4.3.3.C: Discrete Φουριέ transforms, pg.305: Addison-Wesley Professional, ISBN 0201896842 
• Polyanin, A.D., and A.V. Manzhirov (1998). Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton. ISBN 0-8493-2876-4
• Rudin, Walter (1990), Φουριέ Analysis on Groups, Wiley-Interscience, ISBN 047152364X 
• Smith, Steven W. (1999), The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing (Second έκδοση), San Diego, Calif.: California Technical Publishing, ISBN 0-9660176-3-3, http://www.dspguide.com/pdfbook.htm 
• Stein, E.M., and G. Weiss (1971). Introduction to Φουριέ Analysis on Euclidean Spaces. Princeton University Press. ISBN 0-691-08078-X

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• An Intuitive Explanation of Φουριέ Theory by Steven Lehar.
• Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 6 is on the 1- and 2-D Φουριέ Transform. Lectures 7-15 make use of it., by Alan Peters