Ταυτότητα τたうοおみくろんυうぷしろん Όιλερ

Σしぐまτたうηいーた μαθηματική ανάλυση, ηいーた ταυτότητα τたうοおみくろんυうぷしろん Όιλερ , είναι ηいーた εξίσωση

$e^{i\pi }+1=0,\,\!$

όπου

$e\,\!$ είναι οおみくろん αριθμός τたうοおみくろんυうぷしろん Όιλερ, ηいーた βάση τたうωおめがνにゅー φυσικών λογαρίθμων,

$i\,\!$ είναι οおみくろん φανταστικός αριθμός τたうοおみくろんυうぷしろん οποίου τたうοおみくろん τετράγωνο ισούται μみゅーεいぷしろん μείον ένα, κかっぱαあるふぁιいおた

$\pi \,\!$ οおみくろん λόγος τたうοおみくろんυうぷしろん μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τたうηいーた διάμετρό τたうοおみくろんυうぷしろん.

Πήρε τたうοおみくろん όνομά της από τたうοおみくろんνにゅー Λέοναρντ Όιλερ κかっぱαあるふぁιいおた μερικές φορές είναι γνωστή κかっぱαあるふぁιいおた ως εξίσωση τたうοおみくろんυうぷしろん Όιλερ.

Απόδειξη

Οおみくろん τύπος τたうοおみくろんυうぷしろん Όιλερ γがんまιいおたαあるふぁ τυχαία γωνία.

Ηいーた ταυτότητα είναι μみゅーιいおたαあるふぁ ειδική περίπτωση τたうοおみくろんυうぷしろん τύπου τたうοおみくろんυうぷしろん Όιλερ, σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー οποία

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!$

γがんまιいおたαあるふぁ κάθε πραγματικό αριθμό x κかっぱαあるふぁιいおた όπου οおみくろんιいおた μονάδες δίνονται σしぐまεいぷしろん ακτίνια. Συγκεκριμένα, αあるふぁνにゅー

$x=\pi ,\,\!$

τότε

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!$

Αφού

$\cos \pi =-1\quad$κかっぱαあるふぁιいおた$\quad \sin \pi =0$,

συνεπώς,

$e^{i\pi }=-1\,\!$

πぱいοおみくろんυうぷしろん δίνει τたうηいーたνにゅー ταυτότητα

$e^{i\pi }+1=0.\,\!$

Ονομασία

Αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん Όιλερ έγραψε γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた φόρμουλά τたうοおみくろんυうぷしろん συνδέοντας τたうοおみくろん e μみゅーεいぷしろん τους όρους ημίτονο κかっぱαあるふぁιいおた συνημίτονο, δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχει πουθενά αναφορά ότι οおみくろん ίδιος απέδειξε τたうηいーたνにゅー απλοποιημένη μορφή της ταυτότητας. Ακόμα ηいーた ίδια ηいーた φόρμουλα είναι πιθανό νにゅーαあるふぁ ήταν γνωστή πぱいρろーιいおたνにゅー από τたうοおみくろんνにゅー Όιλερ. Είναι λοιπόν αδύνατο νにゅーαあるふぁ απαντηθεί τたうοおみくろん ερώτημα αあるふぁνにゅー ηいーた ταυτότητα μπορεί νにゅーαあるふぁ αποδοθεί σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Όιλερ.

Δείτε επίσης

• Τύπος τたうοおみくろんυうぷしろん Όιλερ
• e (μαθηματική σταθερά)