Ένα ορθογώνιο πλέγμα (κορυφή) καιη εικόνα του κάτω από μία σύμμορφη απεικόνιση f (κάτω).
Σταμαθηματικά, οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι τα βασικά αντικείμενα μελέτης στηνμιγαδική ανάλυση. Μια ολόμορφη συνάρτηση είναι μια μιγαδική συνάρτηση μιας ή περισσότερων μιγαδικών μεταβλητών που είναι μιγαδικά παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο μιας περιοχής τουπεδίου ορισμού της. Η ύπαρξη μιας μιγαδικής παραγώγου σεμια περιοχή τιμών είναι πολύ σημαντική, γιατί υποδηλώνει ότι κάθε ολόμορφη συνάρτηση είναι στην πραγματικότητα απείρως διαφορίσιμη και ίση μετη δική της σειρά Taylor.
Ο όρος αναλυτική συνάρτηση συχνά χρησιμοποιείται αντί του "ολόμορφη συνάρτηση", ανκαιο όρος "αναλυτική" χρησιμοποιείται επίσης μετην ευρύτερη έννοια γιανα περιγράψει οποιαδήποτε συνάρτηση (πραγματική, μιγαδική, ή πιο γενικού τύπου) που μπορεί να γραφτεί ως συγκλίνουσα δυναμοσειρά γύρω από κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Το γεγονός ότι όλες οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι μιγαδικές αναλυτικές συναρτήσεις, και αντιστρόφως, είναι ένα σημαντικό θεώρημα στη μιγαδική ανάλυση.[1]
Οι ολόμορφες συναρτήσεις αναφέρονται επίσης, μερικές φορές, ως αναλυτικές συναρτήσεις[2] ή ως σύμορφη απεικόνιση. Μία ολόμορφη συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι όλο το μιγαδικό επίπεδο ονομάζεται μια ακέραια συνάρτηση. Η φράση "ολόμορφη σε ένα σημείο z0" σημαίνει όχι μόνο παραγωγήσιμη στοz0, αλλά παραγωγίσιμη παντού μέσα σε κάποια περιοχή τουz0στο μιγαδικό επίπεδο.
Έστω μια μιγαδική συνάρτηση f μιας μιγαδικής μεταβλητής, ηπαράγωγος της fστο σημείο z0του πεδίου ορισμού της ορίζεται από τοόριο[3]
Η συνάρτηση δεν είναι μιγαδικά παραγωγίσημη στο μηδέν, γιατί όπως φαίνεται παραπάνω, η τιμή μεταβάλλεται ανάλογα μετην πλευρά που προσεγγίζεται το μηδέν. Κατά μήκος του πραγματικού άξονα, ηf ισούται μετη συνάρτηση g(z) = zκαιτο όριο είναι 1, ενώ κατά μήκος του φανταστικού άξονα, ηf ισούται μεh(z) = −zκαιτο όριο είναι −1. Άλλες κατευθύνσεις δίνουν άλλα όρια.
Η παραπάνω σχέση είναι ίδια μετονορισμό της παραγώγου πραγματικών συναρτήσεων, μετην διαφορά ότι όλες οι ποσότητες είναι μιγαδικές. Ειδικότερα, το όριο λαμβάνεται καθώς ο μιγαδικός αριθμός z πλησιάζει τοz0, και πρέπει να έχει την ίδια τιμή για κάθε ακολουθία μιγαδικών τιμών τουzπου προσεγγίζουν τοz0στο μιγαδικό επίπεδο. Αντο όριο υπάρχει, λέμε ότι ηf είναι μιγαδικά-διαφορίσιμη
(μιγαδικά-παραγωγίσιμη)στο σημείο z0. Αυτή η έννοια της μιγαδικής παραγώγησης παρουσιάζει διάφορες ιδιότητες κοινές μετηνπραγματική παραγώγισιμότητα: είναι γραμμικήκαι ακολουθεί τον κανόνα του γινομένου, τον κανόνα του πηλίκου καιτον κανόνα της αλυσίδας.[4]
Ανηf είναι μιγαδικά παραγωγίσιμη σεκάθε σημείο z0 ενός ανοιχτού συνόλου U, τότε ηf είναι ολόμορφη στο U. Λέμε ότι ηf είναι ολόμορφη στο σημείο z0αν είναι ολόμορφη σε κάποια περιοχή τουz0.[5] Λέμε ότι ηf είναι ολόμορφη σε κάποιο μη-ανοιχτό σύνολο Aαν είναι ολόμορφη σε ένα ανοικτό σύνολο που περιέχει τοΑ.
Η σχέση μεταξύ της πραγματικής παραγωγισιμότητας και μιγαδικής παραγωγισιμότητας είναι η εξής. Ανμια μιγαδική συνάρτηση f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) είναι ολόμορφη, τότε τα uκαιv έχουν μερική πρώτη παράγωγο ως προς xκαιy, και ικανοποιούν τις εξισώσεις Cauchy–Riemann:[6]
ή, αντίστοιχα, η Wirtinger παράγωγος της f ως προς τον μιγαδικό συζυγή τουz είναι μηδέν:[7]
με βάση το οποίο, σε γενικές γραμμές μπορούμε να πούμε ότι η f είναι λειτουργικά ανεξάρτητη από τον μιγαδικό συζυγή τουz.
Ανη συνέχεια δεν είναι ένα δεδομένη, το αντίθετο δεν ισχύει απαραίτητα. Ένα απλό παράδειγμα σχετικά μετο αντίθετο είναι ότι ανοιuκαιv έχουν συνεχείς μερικές πρώτες παραγώγους και ικανοποιούν τις εξισώσεις Cauchy–Riemann, τότε η f είναι ολόμορφη. Ένας πιο σύνθετος αντίθετος ισχυρισμός, που είναι πολύ πιο δύσκολο να αποδειχθεί, είναι τοθεώρημα Looman–Menchoff: ανη f είναι συνεχής, τα uκαιv έχουν μερικές πρώτες παραγώγους (όχι απαραίτητα συνεχείς) και ικανοποιούν τις εξισώσεις Cauchy–Riemann, τότε η f είναι ολόμορφη.[8]
Η λέξη "ολόμορφος" εισήχθη από δύο μαθητές τουCauchy, τον Briot (1817–1882) καιτον Bouquet (1819–1895), και προέρχεται από τις ελληνικές λέξεις ὅλοςκαιμορφήπου σημαίνει "εμφάνιση".[9]
Στις μέρες μας, ο όρος "ολόμορφη συνάρτηση" κάποιες φορές χρησιμοποιείται αντί του "αναλυτική συνάρτηση", καθώς ο δεύτερος είναι πιο γενικός. Και επίσης λόγω του ότι ένα πολύ σημαντικο συμπέρασμα στην μιγαδική ανάλυση είναι ότι κάθε ολόμορφη συνάρτηση είναι μιγαδικά αναλυτική κάτι πουδεν προκύπτει άμεσα από τους ορισμούς. Ο όρος "αναλυτική", ωστόσο έχει ευρεία χρήση.
Λόγω του ότι η μιγαδική παραγώγιση είναι γραμμική και ακολουθεί τους κανόνες του γινομένου, του πηλίκου και της αλυσίδας; τα αθροίσματα, τα γινόμενα καιοι συνθέσεις των ολόμορφων συναρτήσεων είναι ολόμορφα. Επίσης το πηλίκο δύο ολόμορφων συναρτήσεων είναι ολόμορφο όταν ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν.[10]
Αν κάποιος ταυτίσει τοCμετοR2, τότε οι ολόμορφες συναρτήσεις ταυτίζονται με εκείνες τις συναρτήσεις δύο πραγματικών μεταβλητών με συνεχείς πρώτες παράγωγους που ικανοποιούν τις εξισώσεις Cauchy–Riemann, ένα σύνολο δύο εξισώσεων μερικών παραγώγων.[6]
Κάθε ολόμορφη συνάρτηση μπορεί να χωριστεί στο πραγματικό της μέρος καιστο φανταστικό της μέρος, και κάθε ένα από αυτά αποτελεί την λύση της εξίσωσης LaplaceστοR2. Με άλλα λόγια, αν εκφράσουμε μια ολόμορφη συνάρτηση f(z) ως u(x, y) + i v(x, y), τα uκαι v είναι αρμονικές συναρτήσεις, όπου το v είναι ο αρμονικός συζυγής του u και αντιστρόφως.[11]
Το θεώρημα ολοκλήρωσης του Cauchy υποδηλώνει ότι το γραμμικό ολοκλήρωμα κάθε ολόμορφης συνάρτησης κατά μήκος ενός βρόχου μηδενίζεται:[12]
Όπου γ είναι μιακαμπύλησε ένα ανοιχτό υποσύνολο Uτουμιγαδικού επιπέδουCπουτο αρχικό του σημείο ταυτίζεται μετο τελικό, καιf : U → C είναι μια ολόμορφη συνάρτηση.
Επιπλέον: Έστω U ένα ανοιχτό υποσύνολο τουC, f : U → Cμια ολόμορφη συνάρτηση καιο κλειστός δίσκος D = {z : | z − z0 | ≤ r}περιέχεται πλήρως στο U. Έστω γο κύκλος που σχηματίζει το όριο D. Τότε για κάθε aστο εσωτερικό τουD:
για κάθε απλό βρόχο που στρέφεται κατά τη θετική φορά μια φορά γύρω από τοa, και
για απειροελάχιστους βρόχους γ, θετικά περιστρεφόμενους γύρω από τοa.
Σε περιοχές όπου η πρώτη παράγωγος δεν είναι μηδέν, οι ολόμορφες συναρτήσεις είναι σύμορφες μετην έννοια ότι διατηρούν τις γωνίες καιτην μορφή (όχι όμως καιτο μέγεθος) των μικρών σχημάτων.[13]
Κάθε ολόμορφη συνάρτηση είναι αναλυτική. Δηλαδή, μια ολόμορφη συνάρτηση f έχει παραγώγους κάθε τάξης σε κάθε σημείο aτου πεδίου ορισμού της, και συμπίπτει μετην δική της Σειρά Taylorστοaσεμια περιοχή τουa. Στην πραγματικότητα, ηf ταυτίζεται μετη δική της σειρά Taylor στοaσε κάθε δίσκο με κέντρο αυτό το σημείο που βρίσκεται στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Από την πλευρά της άλγεβρας, το σύνολο των ολόμορφων συναρτήσεων σε ένα ανοιχτό σύνολο είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιοςκαι ένας διανυσματικός χώρος[7]. Στην πραγματικότητα, είναι ενας τοπικά κυρτός διανυσματικός χώρος, με τις ημινόρμες (seminorms) να αποτελούν το άνω φράγμα στασυμπαγή υποσύνολα (compact subsets).
Από γεωμετρική σκοπιά, μια συνάρτηση f είναι ολόμορφη στοz0ανκαι μόνον ανη εξωτερική της παράγωγος df σεμια περιοχήUτουz0 ισούται μεf′(z) dzγια κάποια συνεχή συνάρτηση f′. Προκύπτει από
όπου df′ είναι επίσης ανάλογη μετοdz, υποδηλώνοντας ότι η παράγωγος f' είναι η ίδια ολόμορφη καιγι' αυτό η f είναι απείρως διαφορίσιμη. Αντίστοιχα, το γεγονός ότι d(f dz) = f′ dz ∧ dz = 0 υποδηλώνει ότι κάθε συνάρτηση f που είναι ολόμορφη σε simply-connected περιοχή U είναι επίσης ολοκληρώσιμη στο U. (Γιαμια διαδρομή γ από τοz0στοzπου βρίσκεται εξολοκλήρου στοU, ορίζουμε
;
υπό το πρίσμα του θεωρήματος της καμπύλης Jordan καιτου γενικευμένου θεωρήματος Stokes, η Fγ(z) είναι ανεξάρτητη από την επιλογή μιας συγκεκριμένης διαδρομής γ, καιγι' αυτό ηF(z) είναι μια καλά ορισμένη συνάρτηση στοUγιατην οποία ισχύει F(z0) = F0καιdF = f dz.)
Όλες οιπολυωνυμικές συναρτήσεις στοzμε μιγαδικούς συντελεστές είναι ολόμορφες στοC, καιτο ίδιο είναι τοημίτονο, το συνημίτονοκαιηεκθετική συνάρτηση. (Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις στην πραγματικότητα συνδέονται στενά και μπορούν να οριστούν μέσω στης εκθετικής συνάρτησης χρησιμοποιώντας τονΤύπο του Euler). Η κύρια υποκατηγορία της μιγαδικής λογαριθμικής συνάρτησης είναι ολόμορφη στοσύνολοC ∖ {z ∈ R : z ≤ 0}.Η συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας μπορεί να οριστεί ως
καιγι' αυτό είναι ολόμορφη όπου είναι καιο λογάριθμος log(z). Η συνάρτηση 1/z είναι ολόμορφη στο{z : z ≠ 0}.
Σαν αποτέλεσμα των εξισώσεων Cauchy–Riemann, μια πραγματικής ολόμορφη συνάρτηση πρέπει να είνια σταθερή. Γι' αυτό, η απόλυτη τιμή τουz, το όρισμα τουz, τοπραγματικό μέροςτουzκαιτο φανταστικό μέρος τουzδεν είναι ολόμορφα. Ένα ακόμη τυπικό παράδειγμα μιας συνεχούς συνάρτησης πουδεν είναι ολόμορφη είναι ο μιγαδικός συζυγής zzπου σχηματίζεται μεμιγαδική σύζευξη.
Ο ορισμός μιας ολόμορφης συνάρτησης γενικεύεται άμεσα ώστε να αφορά πολλές μιγαδικές μεταβλητές. Έστω D είναι ένα ανοιχτό υποσύνολο τουCn, και έστω f : D → C. Η συνάρτηση f είναι αναλυτικήσε ένα σημείο pτου Dαν υπάρχει μια ανοιχτή περιοχή τουpστην οποία ηf ισούται μεμια συγκλίνουσα δυναμοσειρά μεn μιγαδικές μεταβλητές.[14] Ορίζουμε ότι ηf είναι ολόμορφηαν είναι αναλυτική σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Τολήμμα τουOsgood δείχνει (χρησιμοποιώντας τον τύπο ολοκλήρωσης πολλών μεταβλητών του Cauchy) ότι, γιαμια συνεχή συνάρτηση f, αυτό είναι ισοδύναμο μετο ότι ηf είναι ολόμορφη ως προς κάθε μεταβλητή ξεχωριστά (δηλ. αν κάποιες n − 1 συντεταγμένες είναι σταθερές, τότε η περιορισμένη μορφή της f είναι μια ολόμορφη συνάρτηση της συντεταγμένης που απομένει). Μετοπιο σύνθετο θεώρημα του Hartogs αποδεικνύεται ότι η υπόθεση συνέχειας είναι περιττή: ηf είναι ολόμορφη ανκαι μόνον αν είναι ολόμορφη ως προς κάθε μεταβλητή ξεχωριστά.
Γενικότερα, μια συνάρτηση πολλών μιγαδικών μεταβλητών που είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμησε ένα συμπαγές υποσύνολοτου πεδίου ορισμού της είναι αναλυτική ανκαι μόνον αν ικανοποιεί τις εξισώσεις Cauchy–Riemannσε σχέση με τις κατανομές.
Οι συναρτήσεις πολλών μιγαδικών μεταβλητών είναι κατα βάση πιο σύνθετες από τις συναρτήσεις μιας μιγαδικης μεταβλητής. Για παράδειγμα, η περιοχή σύγκλισης μιας δυναμοσειράς δεν είναι απαραίτητα μια ανοιχτή σφαίρα. Αυτές οι περιοχές ονομάζονται πεδία Reinhardt, το απλούστερο παράδειγμα των οποιων είναι ένα polydisc (polydisk) Ωστόσο, παρουσιάζουν επίσης κάποιους βασικούς περιορισμούς. Σε αντίθεση με τις συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής, τα πιθανά πεδία στα οποία υπάρχουν ολόμορφες συναρτήσεις πουδεν μπορούν να επεκταθουν σε μεγαλύτερα πεδία, είνα εξαιρετικά περιορισμένα. Ένα τετοιο σύνολο ονομάζεται πεδίο ολομορφίας (domain of holomorphy)
Η έννοια της ολόμορφης συνάρτησης μπορεί να εκφραστεί σε χώρους απείρων διαστάσεων της ανάλυσης συναρτήσεων. Για παράδειγμα, η παράγωγος Fréchet ή Gâteaux μπορεί να χρησιμοποιηθεί γιανα οριστεί η έννοια μιας ολόμορφης συνάρτησης σε έναν Banach στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών.
↑Gray, J. D.; Morris, S. A. (1978), «When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?», The American Mathematical Monthly85 (4): 246–256, April 1978, doi:10.2307/2321164
