Το λήμμα παραθέτει τις πηγές του αόριστα, χωρίς παραπομπές.Βοηθήστε συνδέοντας το κείμενο με τις πηγές χρησιμοποιώντας παραπομπές, ώστε να είναι επαληθεύσιμο. Το πρότυπο τοποθετήθηκε χωρίς ημερομηνία. Γιατη σημερινή ημερομηνία χρησιμοποιήστε: {{χωρίς παραπομπές|8|09|2024}}
Ένας δακτύλιος είναι ένα σύνολο R εφοδιασμένο με δύο δυαδικές πράξεις, δηλαδή πράξεις που συνδυάζουν δύο οποιαδήποτε στοιχεία του δακτυλίου με ένα τρίτο. Ονομάζονται πρόσθεσηκαιπολλαπλασιασμόςκαι συνήθως συμβολίζονται με ''+'' και ''•''. π.χ. α+βκαια•β.Γιατο σχηματισμό του δακτυλίου αυτές οι δύο πράξεις πρέπει να ικανοποιούν κάποιες από προϋποθέσεις: ο δακτύλιος πρέπει να είναι μία αβελιανή ομάδαμε πράξη τη συνήθη πρόσθεση και ταυτόχρονα ένα μονοειδέςμε πράξη τον πολλαπλασιασμό. Γιατον πολλαπλασιασμό ισχύει ηεπιμεριστική ιδιότηταδηλ. a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c). Τα ταυτοτητικά στοιχεία γιατην πρόσθεση καιτον πολλαπλασιασμό συμβολίζονται με 0 και 1 αντίστοιχα.
Ανο πολλαπλασιασμός είναι αντιμεταθετικός, δηλαδή:
a ⋅ b = b ⋅ a,
τότε ο δακτύλιος R ονομάζεται αντιμεταθετικός. Γιατο υπόλοιπο του άρθρου θα θεωρούμε όλους τους δακτυλίους αντιμεταθετικούς, εκτός αν αναφέρεται ρητά κάτι διαφορετικό.
Ένα σημαντικό παράδειγμα, και κατά μία έννοια κρίσιμο, είναι οδακτύλιος των ακεραίωνΖμε τις δύο πράξεις: της πρόσθεσης καιτου πολλαπλασιασμού. Εφόσον ο πολλαπλασιασμός των ακεραίων είναι αντιμεταθετική πράξη, συνεπώς ο δακτύλιος των ακεραίων είναι αντιμεταθετικός. Συνήθως συμβολίζεται μεΖ ως συντομογραφία της Γερμανικής λέξης Zahlen (αριθμοί)
Ένα σώμα είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος όταν όλα ταμη-μηδενικά στοιχεία τουa είναι αντιστρέψιμα, δηλ. αντο στοιχείο a έχει έναν αντίστροφο b έτσι ώστε a ⋅ b = 1. Επομένως, εξ ορισμού κάθε πεδίο είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος. Οιρητοί, οιπραγματικοίκαιοιμιγαδικοί αριθμοί διαμορφώνουν πεδία.
Ο δακτύλιος των 2x2 πινάκωνδεν είναι αντιμεταθετικός, εφόσον οπολλαπλασιασμός πινάκωνδεν είναι αντιμεταθετικός όπως καταλαβαίνουμε από τα παρακάτω παραδείγματα:
Ωστόσο, οι διαγωνοποιήσιμοι πίνακες που μπορούν ναδιαγωνοποιηθούνμετον ίδιο μετασχηματισμό ομοιότητας αποτελούν ένα ανιμεταθετικό δακτύλιο. Ένα παράδειγμα είναι το σύνολο των πινάκων των διαιρούμενων διαφορών που συνδέονται με ένα σταθερό σύνολο κόμβων .
Έστω R ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος, τότε το σύνολο των πολυωνύμων με μεταβλητής X του οποίου οι συντελεστές ανήκουν στο R αποτελούν τους πολυωνυμικούς δακτυλίους οι οποίοι συμβολίζονται με R[X]. Το ίδιο ισχύει για διάφορες μεταβλητές.
Στα ακόλουθα, το R δηλώνει έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο.
Σε αντίθεση μετο σώμα, όπου κάθε μη μηδενικό στοιχείο είναι αντιστρέψιμο, η θεωρία των δακτυλίων είναι πιο περίπλοκη. Υπάρχουν πολλές θεωρίες γιατην αντιμετώπιση αυτής της κατάστασης. Κατ 'αρχήν, ένα στοιχείο a του δακτυλίου R λέγεται μονάδα, αν έχει αντίστροφο. Ένας άλλο ιδιαίτερο στοιχείο είναι οδιαιρέτης του μηδενός, δηλαδή ένα μη μηδενικό στοιχείο α λέγεται διαιρέτης του μηδενός αν υπάρχει ένα άλλο μη-μηδενικό στοιχείο b του δακτυλίου τέτοιο ώστε ab = 0. Αντο R δεν έχει κανέναν διαιρέτη του μηδενός, ονομάζεται ακέραια περιοχή αφού μοιάζει μετο σύνολο των ακεραίων με κάποιο τρόπο.
Πολλές από τις παρακάτω έννοιες υπάρχουν επίσης όχι απαραίτητα για αντιμεταθετικούς δακτυλίους, αλλά οι ορισμοί καιοι ιδιότητές τους είναι συνήθως πιο περίπλοκες. Για παράδειγμα, όλα τα ιδεώδη ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου είναι αυτόματα διπλής όψης, γεγονός το οποίο απλοποιεί πολύ την κατάσταση.
Η εσωτερική δομή ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου προσδιορίζεται λαμβάνοντας υπόψη τα ιδεώδη του, δηλαδή ταμη κενά υποσύνολαπου είναι κλειστά ως προς τον πολλαπλασιασμό για κάθε στοιχείο του δακτυλίου και επιπλέον: για όλα τα r στο R, i και j στοΙ, τα ri και i + j είναι αναγκαστικά μέσα στο I. Για οποιοδήποτε υποσύνολο F = {FJ} j ∈ J του R (όπου J είναι κάποιο σύνολο δείκτης), το ιδεώδες που παράγεται από το F είναι το μικρότερο ιδεώδες που περιέχει το F. Ισοδύναμα, δίνεται από τον πεπερασμένο γραμμικό συνδυασμό ότι:
r1f1 + r2f2 + ... + rnfn.
Ένα ιδεώδες που παράγεται από ένα στοιχείο λέγεται κύριο ιδεώδες. Ένας δακτύλιος του οποίου τα ιδεώδη είναι κύρια ονομάζεται δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, δύο σημαντικές περιπτώσεις είναι τα : Z και k[X], ο πολυωνυμικός δακτύλιος πάνω από το ένα σώμα k. Κάθε δακτύλιος R έχει δύο ιδεώδη, τομηδενικό ιδεώδες {0} καιτοR, δηλαδή ολόκληρο τον δακτύλιο. Ένα ιδεώδες λέγεται ελάχιστο,όταν είναι αυστηρά μικρότερο από όλο τον δακτύλιο. Ένα ιδεώδες πουδεν περιέχεται αυστηρά σε οποιοδήποτε άλλο ιδεώδες ονομάζεται μέγιστο. Ένα ιδεώδες m είναι μέγιστο ανκαι μόνο αντοR / mνα είναι ένα σώμα. Εκτός από τονμηδενικό δακτύλιο, οποιοσδήποτε δακτύλιος (με ταυτότητα) διαθέτει τουλάχιστον ένα μέγιστο ιδεώδες, αυτό προκύπτει από τολήμμα του Zorn.
Ο ορισμός των ιδεωδών είναι τέτοιος πουη "διαίρεση" -"έξαγωγή" τους, δίνει έναν άλλο δακτύλιο, οπαράγων δακτύλιοςR / I: είναι το σύνολο τωνπαραγόντωντουΙ μαζί με τις λειτουργίες του.
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I και (a + I)(b + I) = ab + I.
Για παράδειγμα, ο δακτύλιος Z/nZ (επίσης συμβολίζεται Zn), όπου n είναι ένας ακέραιος αριθμός, είναι ο δακτύλιος των ακεραίων modulo n. Είναι η βάση της modular αριθμητικής.
Οεντοπισμός ενός δακτυλίου είναι ο αντίστοιχος παράγων δακτύλιος, εφόσον ανσε ένα παράγοντα δακτύλιο R / I ορισμένα στοιχεία (δηλαδή των στοιχείων τουΙ) γίνουν μηδέν, ορισμένα στοιχεία έχουν αντίστροφο, δηλαδή τα αντίστροφα στοιχεία προστίθενται στον δακτύλιο. Συγκεκριμένα, ανS είναι ένα κλειστό πολλαπλασιαστικό υποσύνολο του R (δηλαδή όταν s, t ∈ S τότε είναι καιst∈S ), τότε οεντοπισμός του RσεS, ή ο δακτύλιος των κλάσεωνμε παρονομαστές στοS, που συνήθως συμβολίζεται με
S-1R αποτελείται από σύμβολα:
μεr ∈ R, s ∈ S
υπόκεινται σε ορισμένους κανόνες που μιμούνται την διαγραφή που είναι γνωστή από ρητούς αριθμούς. Πράγματι, σε αυτή τη γλώσσα, τοQ είναι ο εντοπισμός τουZγια όλους τους μη μηδενικούς ακεραίους. Αυτή η δομή ισχύει για κάθε ακεραία περιοχή R του Z. Ο εντοπισμός (R \ {0})−1R ονομάζεται τοπηλίκο τομέα του R. ΑνS αποτελείται από τις δυνάμεις ενός σταθερού στοιχείου f, ο αντίστοιχος εντοπισμός γράφεται Rf.
Ένας ιδιαίτερα σημαντικός τύπος ιδεωδών είναι το πρώτο ιδεώδες, το οποίο συχνά συμβολίζεται μεp. Αυτή η ιδέα προέκυψε όταν οι ερευνητές της άλγεβρας (τον 19ο αιώνα) συνειδητοποίησε ότι, σε αντίθεση μετοZ, σε πολλούς δακτυλίους δεν υπάρχει μοναδική ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. (Δακτύλιος ο οποίος έχει την ιδιότητα την μοναδικής ανάλυσης σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης.) Εξ ορισμού, ένα πρώτο ιδεώδες είναι είναι κύριο ιδεώδες όταν : αντο γινόμενο abμε οποίαδήποτε στοιχεία a και b του δακτυλίου ανήκει στο p, τότε τουλάχιστον ένα από τα δύο στοιχεία ανήκει επίσης στο p. (Το αντίθετο συμπέρασμα ισχύει για οποιοδήποτε ιδεώδες, εξ ορισμού). Αντίστοιχα, οπαράγων δακτύλιοςR / p είναι ακεραία περιοχή. Ένας ακόμη τρόπος γιανα εκφράσουμε την ίδια περίπτωση, είναι να πούμε ότι τοσυμπλήρωμαR \ p είναι κλειστό ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού. Η τοπική προσαρμογή (R \ p)−1R είναι αρκετά σημαντιή γιανα έχει το δικό της συμβολισμό: Rp. Αυτός ο δακτύλιος έχει μόνο ένα μέγιστο ιδεώδες, τοpRp. Τέτοιοι δακτύλιοι ονομάζονται τοπικοί.
Από ταπαραπάνω, κάθε μέγιστο ιδεώδες είναι και πρώτο. Η απόδειξη ότι ένα ιδεώδες είναι πρώτο, ή ισοδύναμα ένας δακτύλιος έχει μη μηδενικούς διαιρέτες μπορεί να είναι πολύ δύσκολη.
Τα πρώτα ιδεώδη είναι το βασικό βήμα γιατηνγεωμετρική ερμηνεία των δακτυλίων, μέσω τουφάσματος ενός δακτυλίουSpec R: αυτός είναι το σύνολο όλων των πρώτων ιδεωδών τουR. Όπως σημειώνεται παραπάνω, υπάρχει ένα τουλάχιστον πρώτο ιδεώδες, επομένως το φάσμα είναι μη-κενό. ΑνR είναι ένα σώμα, το μόνο πρώτο ιδεώδες είναι το μηδενικό ιδεώδες, επομένως το φάσμα είναι μόνο ένα σημείο. Το φάσμα τουZ, ωστόσο, περιέχει ένα σημείο γιατο μηδενικό ιδεώδες, και ένα σημείο για κάθε πρώτο αριθμό p (ο οποίος παράγει το πρώτο ιδεώδες pZ). Το φάσμα είναι προικισμένο μεμια τοπολογία που ονομάζεται τοπολογία Zariski , η οποία καθορίζεται από τα συγκεκριμένα υποσύνολα D(f) = {p ∈ Spec R, f ∉ p}, όπου f είναι οποιαδήποτε στοιχείο του δακτυλίου, ανοιχτό. Αυτή η τοπολογία τείνει να είναι διαφορετική από αυτές που συναντούμε στηνανάλυση ή στηδιαφορική γεωμετρία, για παράδειγμα, γενικά, θα είναι σημεία πουδεν είναι κλειστά. Τοκλείσιμο του σημείου που αντιστοιχεί στο μηδέν ιδεώδες 0 ⊂ Z, για παράδειγμα, είναι όλο το φάσμα τουZ.
Η έννοια του φάσματος είναι η κοινή βάση της αντιμεταθετικής άλγεβρας και της αλγεβρικής γεωμετρίας. Η αλγεβρική γεωμετρία προήλθε από τονSpec Rμε μία δέσμη (μια οντότητα που συλλέγει συναρτήσεις που ορίζονται τοπικά, δηλαδή σε διαφορετικά ανοιχτά υποσύνολα). Το δεδομένο από το χώρο καιτη δέσμη αυτή ονομάζεται συσχετισμένο σύστημα. Αν δίνεται ένα συσχετισμένο σύστημα, ο υποκείμενος δακτύλιος R μπορεί να ανακτηθεί ως το ολικό τμήμα του . Επιπλέον, η γνωστή ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ δακτυλίων και συσχετισμένων μετασχηματισμών είναι επίσης συμβατή μετον ομομορφισμό δακτυλίων: κάθε f : R → S δημιουργεί μιασυνεχή απεικόνιση προς την αντίθετη κατεύθυνση
Spec S → Spec R, q ↦ f−1(q), δηλαδή κάθε πρώτο ιδεώδες τουS αντιστοιχίζεται στηναπεικόνισητουστο f, το οποίο είναι ένα πρώτο ιδεώδες τουR.
Το φάσμα, επίσης, δημιουργεί την αίσθηση ότι ο εντοπισμός καιο παράγων δακτύλιος είναι συμπληρωματικά: η φυσική απεικόνιση R → R,f και R → R / fR αντιστοιχούν, μετά την παρέμβαση του φάσματος των δακτυλίων σε συνάρτηση μετην τοπολογία Zariski, στις συμπληρωματικές ανοικτές και κλειστές εμβαθύνσεις αντίστοιχα.
Συνολικά, ηισοδυναμίατων δύο προαναφερόμενων κατηγοριών είναι πολύ πιθανόν να παρουσιάζει τις αλγεβρικές ιδιότητες των δακτυλίων σε ένα γεωμετρικό τρόπο. Τα συναφή συστήματα-.μετον ίδιο τρόπο όπως οιπολλαπλότητες δίνονται τοπικά από ανοικτά υποσύνολα τουRn –τοπικά μοντέλα για συστήματα, τα οποία αποτελούν το αντικείμενο μελέτης στην αλγεβρική γεωμετρία. Ως εκ τούτου, πολλές έννοιες που ισχύουν για τους δακτυλίους και τους ομομορφισμούς απορρέουν από τη γεωμετρική διαίσθηση.\
Ως συνήθως στην άλγεβρα, μια συνάρτηση f μεταξύ δύο αντικειμένων που ικανοποιεί τις δομές των αντικειμένων ονομάζεται ομομορφισμός. Στην περίπτωση των δακτυλίων, ομομορφισμός δακτυλίων είναι μια απεικόνιση από τοf : R → S τέτοια ώστε:
Αυτές οι προϋποθέσεις εξασφαλίζουν ότι f(0) = 0, αλλά μετην προϋπόθεση ότι η ιδιότητα του πολλαπλασιαστική ταυτότητα του στοιχείου 1 θα διατηρείται, ανοι άλλες δύο ιδιότητες της f δεν ικανοποιούνται. Σε τέτοια περίπτωση η S ονομάζεται επίσης R- άλγεβρα, μετον πολλαπλασιασμό ενός στοιχείου s του συνόλου S με ένα στοιχείο του R δημιουργόντας την σχέση:
r · s := f(r) · s.
Ο πυρήνας καιη εικόνα του f ορίζονται αντίστοιχα από τις σχέσεις: ker (f) = {r ∈ R, f(r) = 0} και im (f) = f(R) = {f(r), r ∈ R}. Ο πυρήνας είναι ένα ιδεώδεςτου R καιη εικόνα του, ένας υποδακτύλιος.
Η εξωτερική δομή του αντιμεταθετικού δακτυλίου καθορίζεται από τηνγραμμική άλγεβραπου σχετίζεται με τους δακτυλίους, δηλαδή ερευνώντας τη θεωρία τωνενοτήτων, η οποία είναι παρόμοια με αυτή τωνδιανυσματικών χώρων, εκτός από το ότι η βάση δεν είναι απαραίτητα ένα σώμα, αλλά μπορεί να είναι οποιοσδήποτε δακτύλιος του R. Η θεωρία τωνR-modules είναι σημαντικότερης δυσκολίας από την γραμμική άλγεβρα των διανυσματικών χώρων.Η θεωρία της R-modules είναι σημαντικά πιο δύσκολη από την γραμμική άλγεβρα των διανυσματικών χώρων. Η θεωρία αυτή έχει να αντιμετωπίσει δυσκολίες όπως modules πουδεν έχουν βάσεις, πουοβαθμός ελευθερίας ενός module (δηλαδή η αναλογική της διάσταση διανυσματικών χώρων) μπορεί ναμην είναι καλά καθορισμένες καιοι υποενότητες των πεπερασμένα παραγόμενων ενοτήτων δεν χρειάζεται να είναι πεπερασμένα παραγόμενες (εκτός ανR είναι Noetherian, βλ. παρακάτω).
Τα ιδεώδη μέσα σε έναν δακτύλιο R μπορούν να χαρακτηριστούν ως R-modules, τα οποία είναι δευτερεύοντα υποσύνολα τουR. Από τη μία πλευρά, μια καλή προσέγγιση τωνR-modules, απαιτεί αρκετές πληροφορίες σχετικά μεR. Αντιστρόφως, ωστόσο, πολλές τεχνικές στην αντιμεταθετική άλγεβρα που μελετούν τηδομή τουR, εξετάζοντας τα ιδεώδη της, προσωρούν μελετώντας τα modules σε γενικές γραμμές.
σταθεροποιείται, δηλ. γίνεται σταθερή πέρα από κάποιο δείκτη n. Αντίστοιχα, κάθε ιδανικό που παράγεται από πολλά πεπερασμένα στοιχεία, ή ισοδύναμα, υποενότητες των πεπερασμένα παραγόμενων προτύπων, είναι πεπερασμένα παραγόμενο . Ένας δακτύλιος που ονομάζεται Artinian (μετά την Emil Artin), αν κάθε φθίνουσα αλυσίδα ιδεωδών
R ⊇ I0 ⊇ I1 ... ⊇ In ⊇ In+ 1 ⊇ ...
τελικά σταθεροποιείται. Παρά το γεγονός ότι οι δύο προϋποθέσεις εμφανίζονται συμμετρικές, οι δακτύλιοι Noetherian είναι πολύ πιο γενικοί από τους δακτυλίους Artinian. Για παράδειγμα, Z είναι δακτύλιος Noetherian, καθώς κάθε ιδεώδες μπορεί να δημιουργηθεί από ένα στοιχείο, αλλά δεν είναι Artinian, όπως δείχνει η αλυσίδα
Z ⊋ 2Z ⊋ 4Z ⊋ 8Z ⊋ ...
Στην πραγματικότητα, από το θεώρημα Hopkins–Levitzki , κάθε δακτύλιος Artinian είναι και Noetherian.
Τονα είναι ένας δακτύλιος Noetherian, είναι μια εξαιρετικά σημαντική πεπερασμένη κατάσταση καιη κατάσταση αυτή διατηρείται κάτω από πολλές διαδικασίες που συμβαίνουν συχνά στη γεωμετρία. Για παράδειγμα, ανR είναι δακτύλιος Noetherian, τότε είναι:
το πολυώνυμο του δακτυλίου R[X1, X2, ..., Xn]R[X1, X2, ..., Xn]R[X1, X2, ..., Xn] (από τη βάση του θεωρήματος Χίλμπερτ);
Ηδιάσταση Krull (ή απλά διάσταση) dim R ενός δακτυλίου R, είναι μια έννοια που μετράει το "μέγεθος" του δακτυλίου, πολύ χονδρικά από την καταμέτρηση των ανεξάρτητων στοιχείων στον δακτύλιο R. Συγκεκριμένα, ορίζεται ως το supremum των μηκών nτων αλυσίδων των πρώτων ιδεωδών
.
Για παράδειγμα, ένα σώμα έχει μηδενική διάσταση,όταν το μοναδικό πρώτο ιδεώδες του είναι το μηδενικό ιδεώδες. Είναι επίσης γνωστό ότι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος είναι δακτύλιος Artinian ανκαι μόνο αν είναι δακτύλιος Noetherian και μηδενικής διάστασης (δηλαδή, όλα τα πρώτα ιδεώδη είναι και μέγιστα). Οι ακέραιοι είναι μονοδιάστατοι: κάθε αλυσίδα του πρώτου ιδεώδους είναι της μορφής
Η διάσταση συμπεριφέρεται καλά, ανοι δακτύλιοι είναι Noetherian: το αναμενόμενο γιατην ισότητα
dim R[X] = dim R + 1
κατέχει σε αυτή την περίπτωση (σε γενικές γραμμές, το ένα έχει μόνο dim R + 1 ≤ dim R[X] ≤ 2 · dim R + 1). Επιπλέον, δεδομένου ότι η διάσταση εξαρτάται μόνο από τη μοναδική μέγιστη αλυσίδα, η διάσταση τουR είναι τοsupremum όλων των διαστάσεων της τοπικοποίησης Rp, όπου p είναι ένα τυχαίο πρώτο ιδεώδες. Διαισθητικά, η διάσταση τουR είναι μια τοπική ιδιότητα του φάσματος τουR. Ως εκ τούτου, η διάσταση συχνά ορίζεται μόνο για τους τοπικούς δακτυλίους, επίσης, γιατο γενικό δακτύλιο Noetherian μπορεί να εξακολουθεί να είναι άπειρη, παρά το γεγονός ότι οι τοπικοί προσδιορισμοί είναι πεπερασμένης διάστασης.
Καθορίζοντας την διάσταση, ας πούμε,
k[X1, X2, ..., Xn] / (f1, f2, ..., fm), όπου k είναι ένα σώμα καιηfi είναι πολυώνυμα μεn μεταβλητές,
γενικά δεν είναι εύκολο. Για R δακτυλίους Noetherian, η διάσταση τουR / I είναι, από το θεώρημα κυρίων ιδεωδών τουΚραλ, τουλάχιστον dim R − n, ανI παράγεται από n στοιχεία. Ανη διάσταση μειώνεται όσο το δυνατόν περισσότερο, δηλ. dim R / I = dim R − n, τοR / I ονομάζεται πλήρης τομή.
Ένας τοπικός δακτύλιος R, δηλαδή δακτύλιος που έχει μοναδικό μέγιστο ιδεώδες m, λέγεται κανονικός, ανη (Κραλ) διάσταση τουR ισούται μετην διάσταση (ως ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το σώμα R / m) του συνεφαπτόμενου χώρο m / m2.
Υπάρχουν πολλοί τρόποι να κατασκευαστούν νέοι δακτύλιοι από άλλους δακτυλίους. Ο στόχος αυτών των κατασκευών είναι συχνά γιατη βελτίωση κάποιων ιδιοτήτων των δακτυλίων ωστέ να γίνονται πιο εύκολα κατανοητοί. Για παράδειγμα, μία ακεραία περιοχήπου είναι κλειστό σύνολοστοσώμα κλασμάτων, ονομάζεται κανονική. Αυτή είναι μία επιθυμητή ιδιότητα, για παράδειγμα, οποιοσδήποτε μονοδιάστατος δακτύλιος είναι απαραίτητα κανονικός.Ο χαρακτηρισμός του δακτυλίου ως κανονικου ονομάζεται κανονικοποίηση.
Ολοκλήρωση
Έστω I ένα ιδεώδες ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου R, οι δυνάμεις του I διαμορφώνουν έναν τοπολογικό χώροτου 0,ο οποίος επιτρέπει στο R να θεωρηθεί τοπολογικός δακτύλιος. Αυτή η τοπολογία ονομάζεται I-adic τοπολογία. Ο R μπορεί να ολοκληρωθεί σε σχέση με αυτή την τοπολογία. Επισήμως, η ολοκλήρωση της I-adic τοπολογία είναι τοαντίστροφο όριοτου δακτυλίου R/In.Για παράδειγμα, ανο k ένα σώμα, k[X], ητυπική σειρά των δυνάμεων μίας μεταβλητής του k είναι η I-adic ολοκλήρωση τουk[X] , όπου I είναι το κύριο ιδεώδες που παράγεται από τοΧ. Αναλόγως, ο δακτύλιος p-adic των ακεραίων είναι ηI-adic ολοκλήρωση τουZ , όπου I είναι το κύριο ιδεώδες που παράγεται από τοp. Οποιοσδήποτε δακτύλιος που είναι ισόμορφος μετην δική του ολοκλήρωση, ονομάζεται ολοκληρωτικός.
Από τοθεώρημα του Wedderburn, κάθε πεπερασμένος δακτύλιο διαίρεσης είναι αντιμεταθετικός, και συνεπώς ένα πεπερασμένο σώμα. Μία άλλη προϋπόθεση γιατην εξασφάλιση της αντιμεταθετικότητας του δακτυλίου , σύμφωνα μετον Jacobson, είναι η παρακάτω: για κάθε στοιχείο r του R υπάρχει ένας ακέραιος n>1 τέτοιος ώστε rn = r.[1]. Ανγια κάθε r ισχύει r2 = r ,ο δακτύλιος ονομάζεται δακτύλιος Boolean. Υπάρχουν κι άλλες προϋποθέσεις γιατην εξασφάλιση της αντιμεταθετικότητας των δακτυλίων που είναι επίσης γνωστές.
Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd έκδοση), Cambridge University Press, ISBN978-0-521-36764-6
Nagata, Masayoshi (1975), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, Interscience Publishers, σελ. xiii+234, ISBN978-0-88275-228-0
Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958–60), Commutative Algebra I, II, University series in Higher Mathematics, Princeton, N.J.: D. van Nostrand, Inc.(Reprinted 1975-76 by Springer as volumes 28-29 of Graduate Texts in Mathematics.)
