Στηντοπολογίακαισε συναφείς κλάδους τωνμαθηματικών, ένας τοπολογικός χώρος[1] είναι ένα σύνολο από σημεία, μαζί με ένα σύνολο από γειτονιέςγια κάθε σημείο, που ικανοποιεί ένα σύνολο από αξιώματαπου αφορούν τα σημεία και τις γειτονιές. Ο ορισμός ενός τοπολογικού χώρου στηρίζεται στηνΘεωρία συνόλωνκαι είναι ηπιο γενική έννοια του μαθηματικού χώρου που επιτρέπει τον ορισμό εννοιών όπως ησυνέχεια, ησυνεκτικότητα, καιησύγκλιση. Άλλοι χώροι, όπως οιπολλαπλότητεςκαιοιμετρικοί χώροι, είναι ειδικές περιπτώσεις τοπολογικών χώρων με επιπλέον δομές και περιορισμούς. Όντας τόσο γενικοί, οι τοπολογικοί χώροι είναι μία κεντρική ενοποιητική έννοια και εμφανίζονται σχεδόν σε όλους τους κλάδους των σύγχρονων μαθηματικών. Ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά τους τοπολογικούς χώρους ονομάζεται τοπολογία σημείων ή γενική τοπολογία.
Περί το 1735, οΛεονάρντ Όιλερ ανακάλυψε τον τύπο που σχετίζεται μετον αριθμό των κορυφών (V), των ακμών (E) καιτων όψεων (F) ενός κυρτού πολύεδρου, και συνεπώς ενός επίπεδου γραφήματος. Η μελέτη καιη γενίκευση αυτού του τύπου, συγκεκριμένα από τους Κωσύ (1789-1857) και Ουιλιέ (1750-1840), έδωσε ώθηση στη μελέτη της τοπολογίας. Το 1827, οΚαρλ Φρίντριχ Γκάους δημοσίευσε τη μελέτη General investigations of curved surfaces (Γενικές έρευνες για καμπύλες επιφάνειες), η οποία στην ενότητα 3 ορίζει την καμπύλη επιφάνεια με τρόπο παρόμοιο μετη σύγχρονη τοπολογική αντίληψη: "Μια καμπύλη επιφάνεια λέγεται ότι έχει συνεχή καμπυλότητα σε ένα από τα σημεία της Α, ανη κατεύθυνση όλων των ευθειών που σύρονται από τοΑσε σημεία της επιφάνειας σε απειροελάχιστη απόσταση από τοΑ εκτρέπονται απειροελάχιστα από ένα καιτο αυτό επίπεδο που διέρχεται από τοΑ."[2]
Ωστόσο, "μέχρι το έργο του Ρίμαν στις αρχές της δεκαετίας του 1850, οι επιφάνειες αντιμετωπίζονταν πάντα από τοπική άποψη (ως παραμετρικές επιφάνειες) καιτα τοπολογικά ζητήματα δεν εξετάζονταν ποτέ."[3] "Ο Μόμπιους καιο Τζόρνταν φαίνεται να είναι οι πρώτοι που συνειδητοποίησαν ότι το κύριο πρόβλημα σχετικά μετην τοπολογία των (συμπαγών) επιφανειών είναι να βρεθούν αναλλοίωτες (κατά προτίμηση αριθμητικές) γιανα αποφασιστεί η ισοδυναμία των επιφανειών, δηλαδή να αποφασιστεί αν δύο επιφάνειες είναι ομοιομορφικές ή όχι."[3].
Το θέμα ορίζεται με σαφήνεια από τονΦέλιξ Κλάινστο "Πρόγραμμα του Έρλανγκεν" (1872): οι γεωμετρικές αναλλοίωτες ενός αυθαίρετου συνεχούς μετασχηματισμού, ένα είδος γεωμετρίας. Ο όρος "τοπολογία" εισήχθη από τον Γιόχαν Μπένεντικτ Λίστινγκ το 1847, ανκαι είχε χρησιμοποιήσει τον όρο σε αλληλογραφία μερικά χρόνια νωρίτερα αντί του προηγουμένως χρησιμοποιούμενου όρου "Analysis situs". Τα θεμέλια αυτής της επιστήμης, για ένα χώρο οποιασδήποτε διάστασης, δημιουργήθηκαν από τονΑνρί Πουανκαρέ. Το πρώτο του άρθρο γιατο θέμα αυτό εμφανίστηκε το 1894.[4]Στη δεκαετία του 1930, οι Τζέιμς Γουάντελ Αλεξάντερ ΙΙκαι Χάσλερ Γουίτνεϊ εξέφρασαν για πρώτη φορά την ιδέα ότι μια επιφάνεια είναι ένας τοπολογικός χώρος που μοιάζει τοπικά μετο ευκλείδειο επίπεδο.
Οι τοπολογικοί χώροι ορίστηκαν για πρώτη φορά από τονΦέλιξ Χάουσντορφτο 1914 στο θεμελιώδες έργο του " Αρχές της θεωρίας συνόλων". Οι μετρικοί χώροι είχαν οριστεί νωρίτερα το 1906 από τον Μορίς Φρεσέ, ανκαιο Χάουσντορφ ήταν αυτός που έκανε δημοφιλή τον όρο "μετρικός χώρος" (γερμανικά: metrischer Raum).[5]
Η χρησιμότητα της έννοιας μιας τοπολογίας δείχνεται από το γεγονός ότι υπάρχουν διάφοροι ισοδύναμοι ορισμοί αυτής της δομής. Ηπιο συχνά χρησιμοποιούμενη, καιηπιο κομψή, είναι εκείνη που βασίζεται στον όρο τωνανοιχτών συνόλων, αλλά ηπιο διαισθητική είναι εκείνη που βασίζεται στον όρο τωνγειτονιώνκαιγι αυτό δίνουμε αυτή πρώτη.[6]
Έστω Χ ένα σύνολο; τα στοιχεία τουΧ συνήθως ονομάζονται σημεία, ανκαι μπορεί να είναι οποιοδήποτε μαθηματικό αντικείμενο. Επιτρέπουμε τοΧνα είναι κενό. Έστω Ν είναι μία συνάρτησηπου αντιστοιχεί κάθε χ (σημείο) τουΧσε μία όχι κενή συλλογή Ν(χ) από υποσύνολα τουΧ. Τα στοιχεία τουΝ(χ) θα λέγονται γειτονιέςτουχσε σχέση μετοΝ (ή, απλά, γειτονιές τουχ). Η συνάρτηση Ν λέγεται τοπολογική γειτονιάαντααξιώματα παρακάτω [7] ικανοποιούνται; και τότε τοΧμετοΝ λέγεται τοπολογικός χώρος. Ένας τοπολογικός χώρος στον οποίο τασημεία είναι συναρτήσεις ονομάζεται συναρτησιακός χώρος
ΑνΝ είναι μία γειτονιά τουχ, τότε τοχ ∈ Ν. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σημείο ανήκει σε κάθε γειτονία αυτού του σημείου.
ΑνΝ είναι ένα υποσύνολο τουΧπου περιέχει μία γειτονιά τουχ, τότε Ν είναι μία γειτονία τουχ. Αυτό σημαίνει ότι κάθε υπερσύνολο μιας γειτονιάς ενός σημείου χτουΧ είναι ξανά μια γειτονιά τουχ.
ΤοΣημείο τομής δύο γειτονιών τουχ είναι μία γειτονιά τουχ
Οποιαδήποτε γειτονιά Ντουχ περιέχει μία γειτονιά Μτουχ ώστε Ννα είναι γειτονία για κάθε σημείο τουΜ
Τα πρώτα τρία αξιώματα για τις γειτονιές έχουν ξεκάθαρο νόημα. Το τέταρτο αξίωμα έχει μία πολύ σημή χρήση στην δομή της θεωρίας, δηλαδή της σύνδεσης των γειτονιών των διαφορετικών σημείων τουΧ
Ένα πρότυπο παράδειγμα ενός τέτοιου συστήματος γειτονιών είναι η πραγματική γραμμή R, όπου ένα υποσύνολο ΝτουR ορίζεται να είναι γειτονιά ενός πραγματικού αριθμού χαν υπάρχει ένα ανοιχτό διάστημα που περιέχει τοχκαι περιέχεται στοΝ.
Τέσσερα παραδείγματα και δύο μη-παραδείγματα τοπολογιών στο τριών σημείων σύνολο {1,2,3}. Το κάτω αριστερά παράδειγμα δεν είναι τοπολογία επειδή η ένωση του {2} καιτου {3} [δηλαδή {2,3}] λείπει; το κάτω δεξιά παράδειγμα δεν είναι τοπολογία επειδή η τομή του {1,2} και {2,3} [δηλαδή {2}], λείπει.
Με δεδομένη τέτοια δομή, μπορούμε να ορίσουμε ένα υποσύνολο UτουΧνα είναι ανοιχτόανU είναι μία γειτονία όλων των σημείων τουU. Είναι ένα αξιοσημείωτο γεγονός ότι τα ανοιχτά σύνολα στη συνέχεια ικανοποιούν τα κομψά αξιώματα που δίνονται παρακάτω, καιπου, δεδομένου αυτών των αξιωμάτων, μπορούμε να ανακτήσουμε τις γειτονιές που πληρούν τα παραπάνω αξιώματα ορίζοντας Ννα είναι μία γειτονιά τουχανΝ περιέχει ένα ανοιχτό σύνολο U ώστε χ ∈ U.[8]
Ένας τοπολογικός χώρος είναι τότε ένα σύνολοΧ μαζί με μία συλλογή από υποσύνολατουΧ, ονομάζονται ανοιχτά σύνολακαι ικανοποιούν τα ακόλουθα αξιώματα:
Η τομή οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού ανοιχτών συνόλων είναι ανοιχτό
Η συλλογή των ανοιχτών συνόλων τ τότε επίσης ονομάζεται μία τοπολογίαστοΧ, η, αν απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια, μία τοπολογία ανοιχτού συνόλου. Τα σύνολα στοτ ονομάζονται ανοιχτά σύνολα, καιτασυμπληρωματικάστοΧ ονομάζονται κλειστά σύνολα. Ένα υποσύνολο τουΧ μπορεί ναμην είναι κλειστό ούτε ανοιχτό, ή μπορεί να είναι ή κλειστό, ή ανοιχτό, ή καιτα δύο.
Ένα σύνολο που είναι ταυτόχρονα κλειστό και ανοιχτό ονομάζεται Clopen σύνολο (ή σεπιο ελεύθερη μετάφραση ανοιχτόκλειστο σύνολο).
Χ= {1, 2, 3, 4} και μία συλλογή τ = {{}, {1, 2, 3, 4}} από μόνο τα δύο υποσύνολα τουΧπου απαιτούνται από τα αξιώματα σχηματίζουν μία τοπολογία, τηντετριμμένη τοπολογία (εκτεταμένη τοπολογία)
Χ= {1, 2, 3, 4} και μία συλλογή τ = {{}, {2}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} από έξι υποσύνολα τουΧ σχηματίζουν μία άλλη τοπολογία
Χ= Z, το σύνολο των ακεραίων, καιη συλλογή τπου ισούται με όλα τα πεπερασμένα υποσύνολα των ακεραίων συντου ίδιου τουΖδεν είναι τοπολογία, γιατί (για παράδειγμα) η ένωση όλων των πεπερασμένων συνόλων πουδε περιέχουν το μηδέν είναι άπειρη αλλά δεν είναι όλο τοΖ, κι έτσι δεν είναι μέσα στοτ.
Υπάρχουν πολλοί άλλοι ισοδύναμοι τρόποι να ορίσουμε έναν τοπολογικό χώρο: με άλλα λόγια, οι έννοιες της γειτονιάς ή του ανοιχτού συνόλου μπορεί να ανακατασκευαστούν από τα άλλα σημεία εκκίνησης καινα ικανοποιούν τα σωστά αξιώματα. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τους νόμους de Morgan, τα παραπάνω αξιώματα ορισμού ανοιχτών συνόλων γίνονται αξιώματα κλειστών συνόλων:
Το κενό σύνολο καιτοΧ είναι κλειστά.
Η τομή οποιασδήποτε συλλογής κλειστών συνόλων είναι επίσης κλειστή.
Η ένωση οποιουδήποτε ζευγαριού κλειστών συνόλων είναι επίσης κλειστό
Χρησιμοποιώντας αυτά τα αξιώματα, ένας άλλος τρόπος να οριστεί ο τοπολογικός χώρος είναι ως ένα σύνολο Χ μαζί με μία συλλογή τ από υποσύνολα τουΧπου ικανοποιούν τα ακόλουθα αξιώματα:
Το κενό σύνολο καιτοΧ είναι μέσα στοτ
Η τομή οποιασδήποτε συλλογής συνόλων μέσα στοτ είναι επίσης μέσα στοτ.
Η ένωση οποιουδήποτε ζευγαριού συνόλων μέσα στοτ είναι επίσης μέσα στοτ.
Κάτω από αυτόν τον ορισμό, τα σύνολα στην τοπολογία τ είναι τα κλειστά σύνολα, καιτα συμπληρωματικά τους στοΧ είναι τα ανοιχτά σύνολα.
Ένα δίχτυ είναι μία γενίκευση της έννοιας της ακολουθίας. Μία τοπολογία είναι εντελώς καθορισμένη ανγια κάθε δίχτυ στοΧτο σύνολο από τασημεία συσσώρευσήςτου ορίζεται.
Μία ποικιλία από αξιωματισμούς των τοπολογικών χώρων αναφέρονται στις Ασκήσεις του βιβλίου του Vaidyanathaswamy.
Έτσι κάποιος επιλέγει τον αξιωματισμό που ταιριάζει γιατην εφαρμογή, ή την ακρόαση, ανάλογα.
Μία ποικιλία τοπολογιών μπορεί να τοποθετηθεί σε ένα σύνολο γιανα σχηματιστεί ένας τοπολογικός χώρος. Όταν κάθε σύνολο σε μία τοπολογία τ1 είναι επίσης μία τοπολογία τ2καιτ1 είναι ένα υποσύνολο της τ2, λέμε ότι ητ2 είναι λεπτότερη από τηντ1, καιητ1 είναι χονδρότερη από τηντ2. Μία απόδειξη που στηρίζεται μόνο στην ύπαρξη ορισμένων ανοιχτών συνόλων θα ισχύει επίσης για κάθε λεπτότερη τοπολογία, και όμοια μία απόδειξη που στηρίζεται μόνο σε ορισμένα σύνολα πουδεν είναι ανοιχτά εφαρμόζονται σε οποιαδήποτε χονδρότερη τοπολογία. Οι όροι μεγαλύτεροςκαιμικρότερος χρησιμοποιούνται μερικές φορές στη θέση τou λεπτότερος καιπιο χονδρότερος, αντίστοιχα. Οι όροι ισχυρότεροςκαιασθενέστερος χρησιμοποιούνται επίσης στη βιβλιογραφία, αλλά με μικρή συμφωνία σχετικά μετην έννοια, έτσι κάποιος πρέπει πάντα να είναι σίγουρος γιατη σύμβαση του συγγραφέα όταν διαβάζει.
Η συλλογή όλων των τοπολογιών ενός δοσμένου σταθερού συνόλου Χ σχηματίζει ένα πλήρες πλέγμα: ανF = {τα| αστο A} είναι μία συλλογή από τοπολογίες στοΧ, τότε ηκάλυψητουF είναι η τομή τουF, καιη ένταξη της F είναι η κάλυψη της συλλογής όλων των τοπολογιών τουΧπου περιέχουν κάθε μέλος της F.
Μία συνάρτησηf : X→ Y μεταξύ τοπολογικών χώρων ονομάζεται συνεχήςανγια όλα ταx ∈ Xκαι όλες τις γειτονιές N της f(x) υπάρχει μία γειτονιά Mτουχ ώστε f(M) ⊆ N. Αυτό σχετίζεται εύκολα στον συνηθισμένο ορισμό της ανάλυσης. Ισοδύναμα, f είναι συνεχής ανηαντίστροφη εικόνα κάθε ανοιχτού συνόλου είναι ανοιχτή.[9] Αυτή είναι μία προσπάθεια να συλλάβει τη διαίσθηση ότι δεν υπάρχουν άλματα ή διαχωρισμοίστη συνάρτηση. Ένας ομοιομορφισμός είναι μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχίαπου είναι συνεχής και της οποίας ηαντίστροφη συνάρτηση είναι επίσης συνεχής. Δύο χώροι ονομάζονται ομοιομορφικοίαν υπάρχει ομοιομορφισμός μεταξύ τους. Από τη σκοπιά της τοπολογίας, ομοιομορφικοί χώροι είναι ουσιαστικά ταυτόσημες.
Ένα δοθέν σύνολο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές τοπολογίες. Ανσε ένα σύνολο δοθεί μια διαφορετική τοπολογία, θεωρείται ως διαφορετικός τοπολογικός χώρος. Σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί ηδιακριτή τοπολογίαστην οποία κάθε υποσύνολο είναι ανοιχτό. Οι μόνες συγκλίνουσες ακολουθίες ή δίχτυα σε αυτήν την τοπολογία είναι εκείνα που είναι τελικά σταθερά. Επίσης, σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί ητετριμμένη τοπολογία (που ονομάζεται επίσης αδιάκριτη τοπολογία), στην οποία μόνο το κενό σύνολο και όλος ο χώρος είναι ανοιχτά. Κάθε ακολουθία και δίχτυ σε αυτήν την τοπολογία συγκλίνει σε κάθε σημείο του χώρου. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, τα όρια των ακολουθιών δε χρειάζεται να είναι μοναδικά. Ωστόσο, συχνά τοπολογικοί χώροι πρέπει να είναι Χάουσντορφ χώροι όπου τα οριακά σημεία είναι μοναδικά.[10]
Υπάρχουν πολλοί τρόποι ορισμού μίας τοπολογίας γιατοR, το σύνολο τωνπραγματικών αριθμών. Η πρότυπη τοπολογία γιατοR παράγεται από ταανοιχτά διαστήματα. Το σύνολο όλων των ανοιχτών διαστημάτων σχηματίζει βάση ή βάσεις γιατην τοπολογία, πράγμα που σημαίνει ότι κάθε ανοιχτό σύνολο είναι μία ένωση κάποιας συλλογής συνόλων από τη βάση. Ειδικότερα, αυτό σημαίνει ότι ένα σύνολο είναι ανοιχτό αν υπάρχει ένα ανοιχτό διάστημα μη μηδενικής ακτίνας για κάθε σημείο του συνόλου. Γενικότερα, οιΕυκλείδειοι χώροιRn μπορεί να δίνουν μία τοπολογία. Στην συνηθισμένη τοπολογία γιατοRnτα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι οι ανοιχτές μπάλες. Όμοια, C, το σύνολο τωνμιγαδικών αριθμών, καιCn έχει μία πρότυπη τοπολογία στην οποία τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι ανοιχτές μπάλες.
Σε κάθε μετρικό χώρο μπορεί να δοθεί μία μετρική τοπολογία, στην οποία τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι ανοιχτές μπάλες που ορίζονται από τον μετρικό. Αυτή είναι μία πρότυπη τοπολογία για οποιοδήποτε νόρμα διανυσματικό χώρο. Για έναν πεπερασμένης διάστασης διανυσματικό χώρο αυτή η τοπολογία είναι η ίδια για όλες της νόρμες (κανόνες).
Υπάρχουν πολλές τοπολογίες σε οποιοδήποτε δοθέν πεπερασμένο σύνολο. Τέτοιοι χώροι ονομάζονται πεπερασμένοι τοπολογικοί χώροι. Πεπερασμένοι χώροι χρησιμοποιούνται κάποιες φορές γιανα παρέχουν παραδείγματα ή αντιπαραδείγματα σε εικασίες για τους τοπολογικούς χώρους γενικότερα.
Σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί ηπεπερασμένου συμπληρώματος τοπολογία, στην οποία τα ανοιχτά σύνολα είναι το κενό σύνολο καιτα σύνολα των οποίων τα συμπληρώματα είναι πεπερασμένα. Αυτή είναι η μικρότερη T1 τοπολογία σε οποιοδήποτε άπειρο σύνολο.
Σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί ημετρήσιμου συμπληρώματος τοπολογία, στην οποία ένα σύνολο ορίζεται ως ανοιχτό αν είναι είτε κενό είτε το συμπλήρωμα του είναι μετρήσιμο. Όταν το σύνολο είναι μη μετρήσιμο, αυτή η τοπολογία εξυπηρετεί ως αντιπαράδειγμα σε πολλές περιπτώσεις.
Στην πραγματική γραμμή μπορεί επίσης να δοθεί ηχαμηλότερη ορίου τοπολογία. Εδώ, τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι τα μισάνοιχτα διαστήματα [a, b). Αυτή η τοπολογία γιατοR είναι αυστηρά λεπτότερη από την τοπολογία που ορίζεται παραπάνω; μία αλληλουχία συγκλίνει σε ένα σημείο σε αυτήν την τοπολογία ανκαι μόνο αν συγκλίνει από επάνω στην Ευκλείδεια τοπολογία. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι ένα σύνολο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές τοπολογίες που ορίζονται σε αυτό.
ΑνΓ είναι ένας τακτικός αριθμός, τότε το σύνολο Γ = [0, Γ) μπορεί να τροφοδοτηθεί μετοπολογία διάταξηςπου παράγεται από τα διαστήματα (a, b), [0, b) και (a, Γ) όπου aκαιb είναι στοιχεία τουΓ
Σε κάθε υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου μπορεί να δοθεί ηυποχώρου τοπολογίαστην οποία τα ανοιχτά σύνολα είναι τομές των ανοιχτών συνόλων του μεγαλύτερου χώρου μετο υποσύνολο. Για οποιαδήποτε οικογένεια με δείκτες ενός τοπολογικού χώρου, στο προϊόν μπορεί να δοθεί ητοπολογία προϊόντος, η οποία παράγεται από τις αντίστροφες εικόνες των ανοιχτών συνόλων των παραγόντων κάτω από τις αντιστοιχήσεις προβολών. Για παράδειγμα, στα πεπερασμένα προϊόντα, μία βάση γιατο προϊόν τοπολογίας αποτελείται από όλα τα προϊόντα των ανοιχτών συνόλων. Γιατα πεπερασμένα προϊόντα, υπάρχει η πρόσθετη απαίτηση ότι σε ένα βασικό ανοιχτό σύνολο, όλα εκτός τελικά από πολλές προβολές τους είναι ολόκληρος ο χώρος.
Ένας χώρος πηλίκο ορίζεται ως εξής: ανΧ είναι ένας τοπολογικός χώρος καιΥ είναι ένα σύνολο, καιανf : X→ Y είναι μία επιρριπτικήσυνάρτηση, τότε η τοπολογία πηλίκο γιατοY είναι μία συλλογή υποσυνόλων τουΥπου έχει ανοιχτές αντίστροφες εικόνες κάτω από τηνf. Με άλλα λόγια, η τοπολογία πηλίκο είναι η λεπτότερη τοπολογία γιατοYγιατο οποίο ηf είναι συνεχής. Ένα συνηθισμένο παράδειγμα μίας τοπολογίας πηλίκου είναι μία σχέση ισοδυναμίας ορίζεται γιατον τοπολογικό χώρο Χ. Η αντιστοιχία f είναι η φυσική προβολή πάνω στο σύνολο τωνκλάσεων ισοδυναμίας.
Ητοπολογία Vietorisγιατο σύνολο όλων τωνμη κενών υποσυνόλων ενός τοπολογικού χώρου Χ, που ονομάστηκε προς τιμή τουLeopold Vietoris, παράγεται από την ακόλουθη βάση: για κάθε n-πλειάδα U1,..., Unτων ανοιχτών συνόλων τουΧ, κατασκευάζουμε ένα βασικό σύνολο που αποτελείται από όλα τα υποσύνολα της ένωσης τωνUiπου έχουν μη κενές τομές με κάθε Ui.
Τοπολογικοί χώροι μπορούν να ταξινομηθούν γενικά, μέχρι τους ομοιομορφισμούς, από τις τοπολογικές ιδιότητες τους. Μία τοπολογική ιδιότητα είναι μία ιδιότητα των χώρων που είναι αναλλοίωτη από τους ομοιομορφισμούς. Γιανα αποδείξουμε ότι δύο χώροι δεν είναι ομοιομορφικοί αρκεί να βρεθεί μία τοπολογική ιδιότητα πουδεντη μοιράζονται. Παραδείγματα τέτοιων ιδιοτήτων είναι ορθότητα, συμπαγές, και διάφορα αξιώματα διαχωρισμού
Για οποιαδήποτε αλγεβρικά αντικείμενα μπορούμε να εισαγάγουμε την διακριτή τοπολογία, σύμφωνα μετην οποία οι αλγεβρικές πράξεις είναι συνεχείς συναρτήσεις. Για οποιαδήποτε τέτοια δομή πουδεν είναι πεπερασμένη, συχνά έχουμε μία φυσική τοπολογία συμβατή με τις αλγεβρικές πράξεις, μετην έννοια ότι οι αλγεβρικές πράξεις συνεχίζουν να είναι συνεχείς. Αυτό οδηγεί σε έννοιες όπως τοπολογικές ομάδες,τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι, τοπολογικοί δακτύλιοικαιτοπικά πεδία.
Οι ακόλουθοι χώροι και άλγεβρες είναι είτε πιο ειδικοί(ες) ή πιο γενικοί(ες) από τους τοπολογικούς χώρους που συζητήθηκαν παραπάνω
Εγγύτεις χώροι παρέχουν μια έννοια της εγγύτητας των δύο συνόλων.
Μετρικοί χώροι ενσωματώνουν μία μετρική, μια ακριβή έννοια της απόστασης μεταξύ των σημείων.
Ενιαίοι χώροι αξιωματοποιούν διατάσσοντας την απόσταση μεταξύ των κρίσιμων σημείων.
χώροι Cauchy αξιωματοποιούν τη δυνατότητα να ελέγξετε αν ένα δίχτυ είναι Cauchy. Οι Cauchy χώροι αποτελούν ένα γενικό πλαίσιο γιατη μελέτη ολοκληρωμάτων
Grothendieck θέσεις είναι κατηγορίες με επιπρόσθετα στοιχεία αξιωματοποιώντας ανμια οικογένεια βέλη καλύπτει ένα αντικείμενο. Οι θέσεις είναι μια γενική ρύθμιση γιατον καθορισμό τωντροχαλιών.
ολοκληρωμένη Χέιτινγκ άλγεβρα – Το σύστημα όλων των ανοικτών συνόλων ενός δεδομένου τοπολογικού χώρου με εντολή ένταξη είναι μια πλήρης άλγεβρα Heyting.
↑Hausdorff, Felix (1914). «Punktmengen in allgemeinen Räumen». Grundzüge der Mengenlehre. Göschens Lehrbücherei/Gruppe I: Reine und Angewandte Mathematik Serie (στα Γερμανικά). Leipzig: Von Veit (δημοσιεύτηκε 2011). σελ. 211. ISBN9783110989854. Unter einem m e t r i s c h e n R a u m e verstehen wir eine Menge E, [...].
(1