Από τ たう η いーた Βικιπαίδεια, τ たう η いーた ν にゅー ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Διάγραμμα Β べーた ε いぷしろん ν にゅー όπου τ たう ο おみくろん σύνολο
X
{\displaystyle X}
είναι υποσύνολο τ たう ο おみくろん υ うぷしろん συνόλου
Y
{\displaystyle Y}
.
Σ しぐま τ たう α あるふぁ μαθηματικά , ένα σύνολο
X
{\displaystyle X}
ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου
Y
{\displaystyle Y}
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた συμβολίζουμε μ みゅー ε いぷしろん
X
⊆
Y
{\displaystyle X\subseteq Y}
, εάν κάθε στοιχείο τ たう ο おみくろん υ うぷしろん
X
{\displaystyle X}
είναι κ かっぱ α あるふぁ ι いおた στοιχείο (ανήκει) τ たう ο おみくろん υ うぷしろん
Y
{\displaystyle Y}
δηλαδή ισχύει:[ 1] :5 [ 2]
∀
x
.
(
x
∈
X
⇒
x
∈
Y
)
{\displaystyle \forall x.(x\in X\Rightarrow x\in Y)}
Γ がんま ι いおた α あるふぁ παράδειγμα, τ たう ο おみくろん
X
=
{
1
,
3
}
{\displaystyle X=\{1,3\}}
είναι υποσύνολο τ たう ο おみくろん υ うぷしろん
Y
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle Y=\{1,2,3,4\}}
. Τ たう ο おみくろん σύνολο
Y
{\displaystyle Y}
λέγεται κ かっぱ α あるふぁ ι いおた υπερσύνολο τ たう ο おみくろん υ うぷしろん
X
{\displaystyle X}
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた συμβολίζεται ως
Y
⊇
X
{\displaystyle Y\supseteq X}
.
Ακόμα χρησιμοποιούμε τ たう η いーた ν にゅー ορολογία: τ たう ο おみくろん σύνολο
X
{\displaystyle X}
περιέχεται σ しぐま τ たう ο おみくろん σύνολο
Y
{\displaystyle Y}
ή ακόμα ότι τ たう ο おみくろん σύνολο
Y
{\displaystyle Y}
είναι υπερσύνολο τ たう ο おみくろん υ うぷしろん συνόλου
X
{\displaystyle X}
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた γράφουμε
X
⊆
Y
{\displaystyle X\subseteq Y}
. Μπορούμε ν にゅー α あるふぁ θεωρήσουμε τ たう ο おみくろん
⊆
{\displaystyle \subseteq }
ως τ たう η いーた σχέση π ぱい ο おみくろん υ うぷしろん αποτελείται από όλα τ たう α あるふぁ διατεταγμένα ζεύγη
(
X
,
Y
)
{\displaystyle (X,Y)}
γ がんま ι いおた α あるふぁ τ たう α あるふぁ οποία ισχύει
X
⊆
Y
{\displaystyle X\subseteq Y}
.
Τ たう ο おみくろん σύνολο όλων τ たう ω おめが ν にゅー υποσυνόλων τ たう ο おみくろん υ うぷしろん
Y
{\displaystyle Y}
είναι τ たう ο おみくろん δυναμοσύνολο
P
(
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}
.
Παρακάτω δίνονται μερικά παραδείγματα υποσυνόλων:
Τ たう ο おみくろん σύνολο όλων τ たう ω おめが ν にゅー ανδρών είναι υποσύνολο τ たう ο おみくろん υ うぷしろん συνόλου όλων τ たう ω おめが ν にゅー ανθρώπων.
{
1
,
3
}
⊆
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{1,3\}\subseteq \{1,2,3,4\}}
.
{
1
,
2
,
3
,
4
}
⊆
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}}
.
Τ たう ο おみくろん σύνολο τ たう ω おめが ν にゅー περιττών αριθμών είναι υποσύνολο τ たう ω おめが ν にゅー ακεραίων αριθμών .
Όλα τ たう α あるふぁ δυνατά υποσύνολα τ たう ο おみくろん υ うぷしろん
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3\}}
είναι τ たう α あるふぁ εξής:
{
}
,
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
,
{
1
,
2
}
,
{
2
,
3
}
,
{
1
,
3
}
,
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{\},\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}}
.
Τ たう ο おみくろん κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, δηλαδή
∅
⊆
X
{\displaystyle \emptyset \subseteq X}
γ がんま ι いおた α あるふぁ κάθε σύνολο
X
{\displaystyle X}
.
Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο τ たう ο おみくろん υ うぷしろん εαυτού τ たう ο おみくろん υ うぷしろん , δηλαδή
X
⊆
X
{\displaystyle X\subseteq X}
γ がんま ι いおた α あるふぁ κάθε σύνολο
X
{\displaystyle X}
.
Α あるふぁ ν にゅー τ たう ο おみくろん σύνολο
X
{\displaystyle X}
είναι υποσύνολο τ たう ο おみくろん υ うぷしろん
Y
{\displaystyle Y}
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた επίσης ισχύει ότι
X
≠
Y
{\displaystyle X\neq Y}
, δηλαδή α あるふぁ ν にゅー υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο τ たう ο おみくろん υ うぷしろん
Y
{\displaystyle Y}
τ たう ο おみくろん οποίο ν にゅー α あるふぁ μ みゅー η いーた ν にゅー ανήκει σ しぐま τ たう ο おみくろん
X
{\displaystyle X}
, τότε λέμε ότι τ たう ο おみくろん σύνολο
X
{\displaystyle X}
είναι γνήσιο υποσύνολο τ たう ο おみくろん υ うぷしろん
Y
{\displaystyle Y}
κ かっぱ α あるふぁ ι いおた τ たう ο おみくろん συμβολίζουμε μ みゅー ε いぷしろん
X
⊂
Y
{\displaystyle X\subset Y}
ή μ みゅー ε いぷしろん
X
⊊
Y
{\displaystyle X\subsetneq Y}
. Αντίστοιχα, ορίζεται τ たう ο おみくろん γνήσιο υπερσύνολο
Y
⊃
X
{\displaystyle Y\supset X}
ή
X
⊋
Y
{\displaystyle X\supsetneq Y}
.
{
1
,
3
}
⊂
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{1,3\}\subset \{1,2,3,4\}}
.
Τ たう ο おみくろん σύνολο τ たう ω おめが ν にゅー φυσικών αριθμών
N
=
{
0
,
1
,
…
,
}
{\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,\ldots ,\}}
είναι γνήσιο υποσύνολο τ たう ο おみくろん υ うぷしろん συνόλου τ たう ω おめが ν にゅー ακεραίων
Z
=
{
…
,
−
1
,
0
,
1
,
…
}
{\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-1,0,1,\ldots \}}
, δηλαδή
N
⊂
Z
{\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} }
.
Τ たう ο おみくろん σύνολο τ たう ο おみくろん ν にゅー ακεραίων είναι γνήσιο υποσύνολο αυτού τ たう ω おめが ν にゅー ρητών , δηλαδή
Z
⊂
Q
{\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} }
.
Τ たう ο おみくろん σύνολο τ たう ω おめが ν にゅー ρητών γνήσιο υποσύνολο τ たう ω おめが ν にゅー πραγματικών , δηλαδή
Q
⊂
R
{\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }
.