Αυτό το λήμμα χρειάζεται επιμέλεια ώστε να ανταποκρίνεται σε υψηλότερες προδιαγραφές ορθογραφικής και συντακτικής ποιότητας ή μορφοποίησης. Αίτιο: ξένα ονόματα, ασάφειες Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τα λήμματα πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδακαιτονοδηγό μορφοποίησης λημμάτων.
ΗΈμι Νέτερ (Amalie Emmy Noether[1], 23 Μαρτίου1882 - 14 Απριλίου1935) ήταν μία πολύ σημαντική Γερμανίδα μαθηματικός γνωστή γιατη μελέτη της στην αφηρημένη άλγεβρακαιτηθεωρητική φυσική. Αναφέρεται από τους Πάβελ Αλεξανδρώφ, Άλμπερτ Αϊνστάιν, Ζαν Ντιεντονέ, Χέρμαν Βάυλ, Νόρμπερτ Βίνερκαι άλλους ως ηπιο σημαντική γυναίκα στην ιστορία των μαθηματικών[2][3]που επέφερε ριζικές αλλαγές στις θεωρίες των δακτυλίων, των σωμάτων, καιτων αλγεβρικών δομών. Στηφυσική, το θεώρημα της Νέτερ εξηγεί τη θεμελιώδη σχέση μεταξύ συμμετρίας καιτων νόμων διατήρησης.[4]
Γεννήθηκε σε εβραϊκή οικογένεια στηβαυαρική πόλη τουΈρλαγκεν. Ο πατέρας της ήταν ο μαθηματικός Μαξ Νέτερ. Η Έμι αρχικά σχεδίαζε να διδάξει γαλλικά και αγγλικά αφού περάσει τις απαιτούμενες εξετάσεις, αλλά, αντίθετα, σπούδασε μαθηματικά στοΠανεπιστήμιο του Έρλαγκεν, όπου ο πατέρας της δίδασκε. Μετά την ολοκλήρωση της διατριβής της το 1907 υπό την επίβλεψη τουΠολ Γκορντάν, εργάστηκε στο Ινστιτούτο Μαθηματικών του Έρλαγκεν άνευ αποδοχών για επτά χρόνια (εκείνο τον καιρό ήταν πολύ ασυνήθιστο οι γυναίκες να κατέχουν ακαδημαϊκές θέσεις). Το 1915, προσκλήθηκε από τονΝτάβιντ ΧίλμπερτκαιτονΦέλιξ Κλάινγιανα ενταχθεί στο τμήμα μαθηματικών στοΠανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, ενός παγκοσμίου φήμης κέντρου της μαθηματικής έρευνας. Όμως η φιλοσοφική σχολή έφερε αντιρρήσεις κι έτσι αυτή πέρασε τέσσερα χρόνια διδάσκοντας υπό το όνομα του Χίλμπερτ. Η εξουσιοδότηση της εγκρίθηκε το 1919, επιτρέποντάς της να αποκτήσει το βαθμό τουPrivatdozent.
Η Νέτερ παρέμεινε ένα ηγετικό στέλεχος του Τμήματος Μαθηματικών του Γκέτινγκεν μέχρι το 1933. Οι μαθητές της ήταν γνωστοί και ως "αγόρια της Νέτερ". Το 1924, ο Ολλανδός μαθηματικός BL van der Waerden εντάχθηκε στον κύκλο της και σύντομα έγινε ο κορυφαίος εκφραστής των ιδεών της Νέτερ. Το έργο της ήταν η βάση γιατο δεύτερο τόμο του επιδραστικού βιβλίου τουτο 1931, Moderne Algebra. Όταν ανέλαβε τη διεύθυνση της ολομέλειας το 1932 στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στη Ζυρίχη, το αλγεβρικό της δαιμόνιο είχε αναγνωριστεί σε όλο τον κόσμο. Το επόμενο έτος, η κυβέρνηση της ναζιστικής Γερμανίας καθαίρεσε τους Εβραίους από πανεπιστημιακές θέσεις καιη Νέτερ μετακόμισε στις Ηνωμένες Πολιτείες γιανα αναλάβει θέση στο Bryn Mawr College στηνΠενσυλβάνια. Το 1935, υποβλήθηκε σε χειρουργική επέμβαση γιαμια ωοθηκική κύστη και, παρά τα σημάδια ανάκαμψης, πέθανε τέσσερις ημέρες αργότερα σε ηλικία 53 ετών.
Το μαθηματικό έργο της Νέτερ έχει χωριστεί σε τρεις «εποχές».[5]Στην πρώτη (1908-1919), συνεισέφερε σε μεγάλο βαθμό στις θεωρίες των αλγεβρικών αναλλοίωτων καιτων αριθμητικών σωμάτων. Το έργο της πάνω στους διαφορικούς αναλλοίωτους του λογισμού των συναρτήσεων, το θεώρημα Νέτερ, έχει χαρακτηριστεί ως «ένα από ταπιο σημαντικά μαθηματικά θεωρήματα που αποδείχθηκε ποτέ στην καθοδήγηση της ανάπτυξης της σύγχρονης φυσικής».[6]Στη δεύτερη εποχή (1920-1926), ξεκίνησε ένα έργο το οποίο «άλλαξε το πρόσωπο της[αφηρημένης] άλγεβρας».[7]Στην κλασική της δημοσίευση Idealtheorie in Ringbereichen (θεωρία των ιδεωδών σε χώρους δακτυλίων, 1921) η Νέτερ ανέπτυξε τη θεωρία των ιδεωδών στους αντιμεταθετικούς δακτυλίους σε ένα ισχυρό εργαλείο με μεγάλο εύρος εφαρμογών. Έκανε κομψή χρήση της συνθήκης ανερχόμενης αλυσίδας, καιτα αντικείμενα πουτην ικανοποιούν ονομάζονται «Noetherian» προς τιμήν της. Στην τρίτη εποχή (1927-1935), δημοσίευσε σημαντικά έργα στηνμη μεταθετική άλγεβρα και τους υπερσύμπλοκους αριθμούς και ένωσε τη θεωρία της αναπαράστασης ομάδων μετη θεωρία των συνόλων καιτων ιδανικών. Εκτός από τις δικές της εκδόσεις, η Νέτερ ήταν γενναιόδωρη με τις ιδέες της και πιστώνεται με πολλές γραμμές της έρευνα που δημοσιεύθηκε από άλλα μαθηματικοί, ακόμη καισε τομείς πολύ διαφορετικούς από το κύριο έργο της, όπως η αλγεβρική τοπολογία.
Η Νέτερ μεγάλωσε στην Βαυαρική πόλη τουΈρλαγκεν, απεικονιζόμενη εδώ σεμιακαρτ-ποστάλ του 1916
Ο πατέρας της Έμι, οΜαξ Νέτερ, καταγόταν από οικογένεια εμπόρων στη Γερμανία. Είχε υποστεί παράλυση από τηνπολιομυελίτιδα όταν ήταν δεκατεσσάρων ετών. Ανέκτησε και πάλι την κινητικότητα του, αλλά το ένα του πόδι δεν επανήλθε πλήρως. Σε μεγάλο βαθμό αυτοδίδακτος, του είχε απονεμηθεί διδακτορικό δίπλωμα από τοΠανεπιστήμιο της Χαϊδελβέργηςτο 1868. Μετά από τη διδασκαλία εκεί για επτά χρόνια, πήρε μια θέση στην βαυαρική πόλη τουΈρλαγκεν, όπου γνώρισε και παντρεύτηκε την Ίντα Αμαλία Κάουφμαν, κόρη ενός εύπορου εμπόρου. [8][9][10][11]Η συνεισφορά τουΜαξ Νέτερ στα μαθηματικά ήταν κυρίως στηναλγεβρική γεωμετρία, ακολουθώντας τα βήματα τουAlfred Clebsch. Ηπιο γνωστή του δουλειά είναι το θεώρημα Brill-Νoetherκαιτο υπόλοιπο, ή το θεώρημα AF + BG, ενώ υπάρχουν διάφορα άλλα θεωρήματα που συνδέονται με αυτό, όπως το θεώρημα τουΜαξ Νέτερ.
Η Έμι Νέτερ γεννήθηκε στις 23 Μαρτίου 1882 όντας το πρώτο από τα τέσσερα παιδιά. Το πρώτο της όνομα ήταν "Αμαλία", από το όνομα της μητέρας της και της γιαγιάς της (εκτου πατρός), αλλά σε νεαρή ηλικία άρχισε να χρησιμοποιεί το μεσαίο όνομά της. Ως κορίτσι, ήταν ιδιαίτερα συμπαθής. Δεν ξεχώριζε για τις ακαδημαϊκές της γνώσεις, αλλά γιατην εξυπνάδα καιτη φιλικότητα της. Η Έμι είχε προβλήματα όρασης και τραυλισμού κατά την παιδική ηλικία. Ένας οικογενειακός φίλος διηγήθηκε χρόνια αργότερα μια ιστορία από τα χρόνια πουη Έμι ήταν νέα, όπου επέλυσε γρήγορα μια σπαζοκεφαλιά σε παιδικό πάρτι, δείχνοντας το λογικό της δαιμόνιο σε τόσο μικρή ηλικία.[12]Η Έμι ήταν μαθημένη να μαγειρεύει καινα καθαρίζει, όπως καιτα περισσότερα κορίτσια της εποχής, και επίσης παρακολουθούσε μαθήματα πιάνου. Δεν ακολούθησε καμία από αυτές τις δραστηριότητες με πάθος, ανκαι λάτρευε να χορεύει.[13][9]
Είχε τρία μικρότερα αδέρφια. Ο μεγαλύτερος, ο Άλφρεντ, γεννήθηκε το 1883, το 1909 του απονεμήθηκε από το Έρλαγκεν διδακτορικό στηχημεία, αλλά πέθανε εννέα χρόνια αργότερα. ΟΦριτς Νέτερ, που γεννήθηκε το 1884, έχει μείνει στην ιστορία γιατα ακαδημαϊκά επιτεύγματά του: μετά από σπουδές στοΜόναχο απέκτησε φήμη σταεφαρμοσμένα μαθηματικά. Ο νεότερος, Γκούσταβ Ρόμπερτ, γεννήθηκε το 1889. Πολύ λίγα πράγματα είναι γνωστά γιατη ζωή του, όπως το ότι έπασχε από χρόνια ασθένεια και πέθανε το 1928.[14][15]
ΟPaul Gordan επιτηρούσε τη διδακτορική διατριβή της Νέτερ πάνω στους αναλλοίωτους διτετραγωνικής μορφής
Η Νέτερ απέκτησε από νωρίς επάρκεια σταΓαλλικάκαιΑγγλικά.Την άνοιξη του 1900 συμμετείχε στις εξετάσεις για καθηγητές αυτών των γλωσσών και έλαβε πολύ καλή συνολική βαθμολογία. Η απόδοσή της της έδινε την δυνατότητα να διδάξει τις γλώσσες αυτές σε σχολεία που προορίζονταν για κορίτσια, ωστόσο επέλεξε να συνεχίσει τις σπουδές της στοΠανεπιστήμιο του Έρλαγκεν.
Αυτή ήταν μία αντισυμβατική απόφαση, διότι δύο χρόνια νωρίτερα η Ακαδημαϊκή Σύγκλητος του πανεπιστημίου είχε δηλώσει, ότι τονα επιτραπεί η εκπαίδευση καιστα δύο φύλα θα "ανέτρεπε όλη την ακαδημαϊκή τάξη".[16]Η Νέτερ ως μία από τις δύο μόλις γυναίκες οι οποίες φοιτούσαν σε ένα πανεπιστήμιο των 986 ατόμων, επιτρεπόταν να παρακολουθεί μόνο τα μαθήματα και όχι να συμμετέχει όπως καιοι υπόλοιποι φοιτητές και επιπλέον έπρεπε να ζητήσει την άδεια του κάθε καθηγητή χωριστά στου οποίου τις διαλέξεις επιθυμούσε να παρευρίσκεται. Παρόλα τα εμπόδια, στις 14 Ιουνίου του 1903 κατάφερε να περάσει τις εξετάσεις αποφοίτησης του Realgymnasium στηΝυρεμβέργη.[17][18][19]
Η Νέτερ επέστρεψε στο Erlangen.Εκεί επίσημα ξαναμπήκε στο πανεπιστήμιο στις 24 Οκτωβρίου του 1904 και ανακοίνωσε την απόφασή της να επικεντρωθεί αποκλειστικά μετα μαθηματικά. Υπό την επίβλεψη τουΠολ Γκόρνταν έγραψε την διατριβή της Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (Σε πλήρη συστήματα αμετάβλητων για τριαδικές τεταρτοβάθμιες μορφές, 1907). Ανκαι είχε καλή αποδοχή, η Νέτερ αργότερα περιέργαψε την διατριβή της ως "αποτυχία".[20][21][22]
Γιατα επόμενα επτά χρόνια (1908-1915) δίδαξε στο Πανεπιστήμιο του Μαθηματικού Ινστιτούτου του Έρλαγκεν χωρίς αμοιβή, μερικές φορές αντικαθιστώντας τον πατέρα της όταν ήταν πολύ άρρωστος γιανα διδάξει. Το 1910 και το 1911 δημοσίευσε μια επέκταση της διπλωματικής εργασίας της από τρεις μεταβλητές σε n μεταβλητές.
Η Νέτερ χρησιμοποioύσε μερικές φορές καρτ-ποστάλ γιανα συζητήσει αφηρημένη άλγεβρα μετον συνάδελφό της, Ernst Fischer. Αυτή η κάρτα έχει σφραγίδα του ταχυδρομείου στις 10 Απριλίου, 1915.
Ο Gordan αποσύρθηκε την άνοιξη του 1910, αλλά συνέχισε να διδάσκει κατά καιρούς μετον διάδοχό τουΈρχαρντ Σμιτ, ο οποίος αποχώρησε λίγο αργότερα γιαμια θέση στοΒρότσλαβ. Ο Γκόρνταν αποσύρθηκε από τη διδασκαλία πλήρως το 1911 μετην άφιξη του διαδόχου του Schmidt Ερνστ Φίσερ, και πέθανε το Δεκέμβριο του 1912.
Σύμφωνα μετονHermann Weyl, ο Fischer είχε σημαντική επιρροή στην Νέτερ, ιδίως μετην εισαγωγή της στο έργο τουDavid Hilbert. Το 1913-1916 η Νέτερ δημοσιεύει πολλά άρθρα επεκτείνοντας καιτην εφαρμόζοντας τις μεθόδους του Hilbert γιατα μαθηματικά αντικείμενα, όπως πεδία των πραγματικών συναρτήσεων και αμετάβλητες των πεπερασμένων συνόλων. Αυτή η φάση σηματοδοτεί την έναρξη της εμπλοκής της μετηναφηρημένη άλγεβρα, το πεδίο των μαθηματικών στο οποίο θα συνεισέφερε πρωτοποριακά.[23][24][25]
Την άνοιξη του 1915, η Νέτερ κλήθηκε να επιστρέψει στοΠανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν από τονΝτέιβιντ ΧίλμπερτκαιΦέλιξ Κλάιν. Η προσπάθειά τους νατην προσλάβουν, όμως, είχε αποκλειστεί από τους φιλολόγουςκαιιστορικούς της φιλοσοφικής σχολής: οι γυναίκες, επέμεναν, δενθα έπρεπε να γίνουν «privatdozent» (λέκτορας?). Ένα μέλος της σχολής διαμαρτυρήθηκε: «Τιθα σκεφτούν οι στρατιώτες μας όταν επιστρέψουν στο πανεπιστήμιο καιναδουν ότι είναι υποχρεωμένοι να μάθουν υπό την διδασκαλία μιας γυναίκας;».[26][27][28][29]Ο Hilbert απάντησε με αγανάκτηση, δηλώνοντας, «δεν βλέπω ότι το φύλο του υποψηφίου αποτελεί επιχείρημα κατά της εισδοχής της ως «privatdozent». Εξάλλου, είμαστε ένα πανεπιστήμιο, όχι ένα μπάνιο».[26][27][28][29]
Το 1915 οΝτάβιντ Χίλμπερτ προσκάλεσε τη Νέτερ στο τμήμα μαθηματικών τουΓκέτινγκεν, αμφισβητώντας τις απόψεις κάποιων πως μια γυναίκα δενθα πρέπει να διδάσκει σε πανεπιστήμιο
Η Νέτερ έφυγε γιατο Γκέτινγκεν τέλη Απριλίου. Δύο εβδομάδες αργότερα η μητέρα της πέθανε ξαφνικά στοΈρλανγκεν. Είχε προηγουμένως λάβει ιατρική φροντίδα γιαμια πάθηση των ματιών, αλλά το είδος της θεραπείας καιη επίδραση στο θάνατό της τελικά είναι άγνωστη. Περίπου την ίδια περίοδο ο πατέρας της Νέτερ αποσύρθηκε καιο αδελφός της εντάχθηκε στογερμανικό στρατόγιανα υπηρετήσει στονΠρώτο Παγκόσμιο Πόλεμο. Επέστρεψε στο Έρλανγκεν για αρκετές εβδομάδες, κυρίως γιανα φροντίσει τον ηλικιωμένο πατέρα της.[30]
Κατά τα πρώτα χρόνια της διδασκαλίας της στο Γκέτινγκεν δεν είχε επίσημη θέση καιδεν πληρωνόταν. Η οικογένειά της πλήρωνε γιατη διαμονή της εκεί και υποστήριζε το ακαδημαϊκό έργο της. Οι διαλέξεις της συχνά διαφημιζόνταν υπό το όνομα του Hilbert, καιη Νέτερ θα παρείχε "βοήθεια".
Λίγο μετά την άφιξή της στο Γκέτινγκεν, ωστόσο, επέδειξε τις δυνατότητές της αποδεικνύοντας ένα θεώρημα που είναι τώρα γνωστό ως θεώρημα Νέτερ, το οποίο δείχνει ότι ένας νόμος διατήρησης συνδέεται με οποιαδήποτε διαφορίσιμη συμμετρία ενός φυσικού συστήματος.[28][29]Οι Αμερικανοί φυσικοί Λέον ΛέντερμανκαιΚρίστοφερ Χιλ υποστηρίζουν στο βιβλίο τους «Συμμετρία καιτο όμορφο Σύμπαν» ότι το θεώρημα της Νέτερ είναι «σίγουρα ένα από ταπιο σημαντικά μαθηματικά θεωρήματα που αποδείχθηκαν ποτέ στην καθοδήγηση της ανάπτυξης της σύγχρονης φυσικής, ενδεχομένως στο ίδιο επίπεδο μετοπυθαγόρειο θεώρημα».[6]
Το τμήμα μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν επέτρεψε τηνυφηγεσία της Νέτερ το 1919, και τέσσερα χρόνια μετά αφού άρχισε να διδάσκει στο σχολείο
Όταν ο Πρώτος Παγκόσμιος Πόλεμος τελείωσε, ηΓερμανική Επανάσταση του 1918-1919 έφερε μια σημαντική αλλαγή στην κοινωνική συμπεριφορά, καθώς καιστα δικαιώματα των γυναικών. Το 1919 το Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν επέτρεψε στην Νέτερ να προχωρήσει μετηνυφηγεσία της (υποψήφια για μονιμότητα). Η προφορική εξέταση της πραγματοποιήθηκε τέλη Μαΐου, και παρέδωσε με επιτυχία τη διάλεξη γιατην υφηγεσία της τον Ιούνιο.
Τρία χρόνια αργότερα, έλαβε μια επιστολή από τονΠρώσο Υπουργό Επιστήμης, Τέχνης και Δημόσιας Εκπαίδευσης, στην οποία της απονέμει τον τίτλο της «nicht beamteter ausserordentlicher professor» (μιαμη-μόνιμη καθηγήτρια με περιορισμένα εσωτερικά διοικητικά δικαιώματα και καθήκοντα[31]). Αυτό ήταν μια άνευ αποδοχών "έκτακτη" θέση καθηγήτριας και όχι η υψηλότερη θέση «συνηθισμένου» καθηγητή, η οποία ήταν μια θέση δημοσίου. Παρά το γεγονός ότι αναγνώρισε τη σημασία του έργου της, η θέση της εξακολουθούσε ναμην της παρέχει μισθό. Η Νέτερ δεν πληρώθηκε για τις διαλέξεις της μέχρι που πήρε τη θέση της «Lehrbeauftragte für Algebra» ένα χρόνο αργότερα.[32][33][34]
Ανκαιτο θεώρημα της Νέτερ είχε μια βαθιά επίδραση στη φυσική, μεταξύ των μαθηματικών είναι καλύτερα ενθυμούμενη γιατη δημιουργική συμβολή της στηναφηρημένη άλγεβρα. Όπως οΝέιθαν Τζέικομπσον λέει στην Εισαγωγή τουστο «Noether's Collected Papers»,
Η ανάπτυξη της αφηρημένης άλγεβρας, η οποία είναι ένα από τις πιο χαρακτηριστικές καινοτομίες του εικοστού αιώνα στα μαθηματικά, οφείλεται σε μεγάλο βαθμό σε εκείνη- στις δημοσιευμένες εργασίες, διαλέξεις, καιστην προσωπική επιρροή της στους συγχρόνους της.
Η πρωτοποριακή εργασία της Νέτερ στην άλγεβρα ξεκίνησε το 1920. Σε συνεργασία μετον W. Schmeidler, έκαναν μια δημοσίευση γιατη θεωρία των ιδεωδών στην οποία ορίζουν τα αριστερά και δεξιά ιδεώδη σε ένα δακτύλιο. Το επόμενο έτος που έκανε μια δημοσίευση-ορόσημο που ονομάζεται «Idealtheorie στο Ringbereichen», αναλύοντας αύξουσες αλυσιδωτές καταστάσεις σε σχέση μετα ιδεώδη. Ο καταξιωμένος αλγεβριστής Ίρβινγκ Καπλάνσκι αποκάλεσε αυτό το έργο "επαναστατικό".[35]Η δημοσίευση αυτή έδωσε αφορμή γιατον όρο Ναιτεριανός δακτύλιος (Noetherian ring), και πολλά άλλα μαθηματικά αντικείμενα που ονομάζονται ναιτεριστικά.[35][36][37]
Το 1924 ένας νεαρός Ολλανδός μαθηματικός, οB.L. van der Waerden, πήγε στοΠανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν. Αμέσως άρχισε να συνεργάζεται μετην Νέτερ, η οποία παρείχε πολύτιμες μεθόδους ως προς την αφηρημένη σύλληψη. Ο Van der Waerden αργότερα είπε ότι η πρωτοτυπία της ήταν «απόλυτη πέρα από κάθε σύγκριση».[38]Το 1931 δημοσίευσε το «Moderne Algebra», ένα κεντρικό κείμενο στον τομέα. Ο δεύτερος τόμος του δανείστηκε σε μεγάλο βαθμό μέρος της εργασίας της Νέτερ. Ανκαιη Έμι Νέτερ δεν επιδιώκει αναγνώριση, ο BL van der Waerden περιλαμβάνει ως σημείωση στην έβδομη έκδοση «βασισμένο εν μέρει σε διαλέξεις τωνΕμίλ Άρτινκαι E. Noether».[39][40][41] Μερικές φορές είχε επιτρέψει τους συναδέλφους και τους μαθητές να λάβουν πίστωση για τις ιδέες της, βοηθώντας τους να αναπτύξουν τη σταδιοδρομία τους σε βάρος της δικιάς της.[41][42]
Η επίσκεψη του Van der Waerden ήταν μέρος μιας συγκλήτου μαθηματικών από όλο τον κόσμο στο Γκέτινγκεν, η οποία έγινε ένα σημαντικό κέντρο της μαθηματικής και φυσικής έρευνας. Την περίοδο 1926-1930 ο Ρώσσος τοπολογιστήςΠάβελ Αλεξάντροφ δίδασκε στο πανεπιστήμιο και γρήγορα έγινε καλός φίλος μετην Νέτερ. Ξεκίνησε να αναφέρεται σε αυτήν ως “der Noether”, χρησιμοποιώντας το αρσενικό άρθρο στα Γερμανικά γιανα δείξει το σεβασμό του. Η Νέτερ προσπάθησε να μεριμνήσει για αυτόν να λάβει θέση στο Γκέτινγκεν ως τακτικός καθηγητής, αλλά κατάφερε μόνο νατον βοηθήσει να εξασφαλίσει μια υποτροφία από το Ίδρυμα Ροκφέλερ.[43][44] Συναντιώνταν τακτικά και απολάμβαναν τις συζητήσεις σχετικά με τις διασταυρώσεις άλγεβρας και τοπολογίας. Το 1935 στο κείμενο του μνημόσυνου της ο Alexandrov ονόμασε την Έμι Νέτερ ως "η μεγαλύτερη γυναίκα μαθηματικός όλων των εποχών".[45]
Στο Γκέτινγκεν, η Νέτερ επιτηρεί έναν μεγάλο αριθμό υποψήφιων διδακτόρων. Η πρώτη της ήταν ηΓκρέτε Χέρμαν, η οποία υπερασπίστηκε τη διατριβή της το Φεβρουάριο του 1925. Αργότερα μίλησε ευλαβικά ως προς αυτήν αναφέροντας την ως "η μητέρα της διατριβής της».[46]Η Νέτερ επιτήρησε επίσης τονΜαξ Ντόιρινγκ, ο οποίος διακρίθηκε ως προπτυχιακός φοιτητής καιστη συνέχεια συνέβαλε σημαντικά στον τομέα της αριθμητικής γεωμετρίας, τονΧανς Φίτινγκ, γνωστό γιατο θεώρημα του Fitting (Fitting's theorem) και to Λήμμα του Fitting (Fitting lemma), καιτονΖενγκ Σιονγκζί (γνωστός ως "Chiungtze C. Tsen" στααγγλικά), ο οποίος απέδειξε το θεώρημα Τσεν (Tsen's Theorem). Συνεργάστηκε επίσης στενά μετονΒόλφγκαγκ Κρουλ, που προώθησε σε μεγάλο βαθμό τηναντιμεταθετική άλγεβραμετην «Hauptidealsatz» καιτη θεωρία διάστασης τουγια αντιμεταθετικούς δακτυλίους.[47]
Εκτός από τις μαθηματικές γνώσεις της, η Νέτερ είχε τον σεβασμό των υπολοίπων γιατην υπόληψη της ως προς τους άλλους. Ανκαι μερικές φορές εκφραζόταν με αγένεια προς εκείνους που διαφωνούσαν μαζί της, κέρδισε μια φήμη γιατη συνεχή εξυπηρετικότητα και υπομονετική καθοδήγηση των νέων φοιτητών. Η αφοσίωσή της στην μαθηματική ακρίβεια προκάλεσε ένα συνάδελφο νατην αποκαλέσει «μια σοβαρή κριτικό», αλλά συνδύαζε αυτό το αίτημα για ακρίβεια μεμια αισιόδοξη και ελπιδοφόρα στάση.[48] ‘Ένας συνάδελφος την περιέγραψε αργότερα με αυτόν τον τρόπο:. «Καθόλου εγωιστικός χαρακτήρας και χωρίς ματαιοδοξία, ποτέ δεν ισχυρίστηκε τίποτα γιατον εαυτό της, αλλά προώθησε τα έργα των μαθητών της πάνω απ’όλα».[49]
Η λιτή ζωή της στην αρχή ήταν λόγω του ότι αρνήθηκε αμοιβή γιατο έργο της. Ωστόσο, ακόμη και άρχισε νατην πληρώνεται ένα μικρό μισθό από το πανεπιστήμιο το 1923, συνέχισε ναζειμια απλή και ταπεινή ζωή. Πληρώθηκε πιο γενναιόδωρα αργότερα στη ζωή της, αλλά άφησε το ήμισυ του μισθού της ως κληρονομιά στον ανιψιό της, Gottfried E. Noether.[50]
Κυρίως αδιάφορη γιατην εμφάνιση και τους τρόπους της, η Νέτερ επικεντρώθηκε στις μελέτες της και απέκλεισε τον ρομαντισμό καιτη μόδα. Μια διακεκριμένη αλγεβρίστρια, ηΌλγκα Τάουσκι-Τοντ περιγράφει ένα γεύμα, στη διάρκεια του οποίου η Νέτερ πλήρως απορροφημένη σεμια μαθηματική συζήτηση, «εκφραζόταν με άγριο τρόπο» καθώς έτρωγε και «της έπεφτε το φαγητό συνεχώς καιτο σκούπιζε από το φόρεμά της, εντελώς ατάραχη».[51] Φοιτητές ο οποίοι ήταν προσεκτικοί μετην εμφάνιση μαζεύονταν από φόβο καθώς η ίδια έπαιρνε το μαντήλι από την μπλούζα της και αγνοούσε το αυξανόμενο ανακάτεμα των μαλλιών της κατά τη διάρκεια των διαλέξεων. Δύο μαθήτριες την πλησίασε μία φορά κατά τη διάρκεια του διαλείμματος ενός δίωρου μαθήματος γιανα εκφράσουν την ανησυχία τους, αλλά δεν ήταν σε θέση να σπάσουν την ενεργητική μαθηματική συζήτηση που είχε με άλλους μαθητές.[52]
Σύμφωνα μετη νεκρολογία του Van der Waerden γιατην Έμι Νέτερ, δεν ακολουθούσε ένα πλάνο για τις διαλέξεις της, πράγμα το οποίο απογοήτευε μερικούς μαθητές. Αντ 'αυτού, χρησιμοποιούσε τις διαλέξεις της ως αυθόρμητες ώρες συζήτησης με τους μαθητές της γιανα σκέφτεται καινα διευκρινίζει σημαντικά μαθηματικά προβλήματα της τότε εποχής. Μερικά από ταπιο σημαντικά αποτελέσματα της αναπτύχθηκαν σε αυτές τις διαλέξεις, καθώς καιοι σημειώσεις από τις διαλέξεις των μαθητών της αποτέλεσε τη βάση για πολλά σημαντικά βιβλία, όπως αυτά των Van der Waerden και Deuring.
Αρκετοί από τους συναδέλφους της παρακολούθησαν διαλέξεις της, και επέτρεψε κάποιες από τις ιδέες της, όπως τοεξωτερικό γινόμενο («verschränktes Produkt» στα γερμανικά) της προσεταιριστικής άλγεβρας, να δημοσιευτούν από άλλους. Η Νέτερ είχε διδάξει τουλάχιστον πέντε εξαμηνιαία μαθήματα στο Γκέτινγκεν:[53]
Χειμώνας 1924/25: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen (Group Theory and Hypercomplex Numbers)
Χειμώνας 1927/28: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie (Hypercomplex Quantities and Representation Theory)
Χειμώνας 1929/30: Algebra der hyperkomplexen Grössen (Algebra of Hypercomplex Quantities).
Τα μαθήματα αυτά συχνά προηγήθηκαν σημαντικών δημοσιεύσεων σε αυτούς τους τομείς.
Η Νέτερ μιλούσε γρήγορα- γεγονός που αντικατοπτρίζει την ταχύτητα της σκέψης της, πολλοί έλεγαν-και απαιτούσε μεγάλη συγκέντρωση από τους μαθητές της. Οι μαθητές πουδεν τους άρεσε τοστυλ της συχνά αισθανόταν αποξενωμένοι.[54][55] Μερικοί μαθητές θεωρούν ότι βασιζόταν υπερβολικά σε αυθόρμητες συζητήσεις. Πιο αφοσιωμένοι μαθητές της όμως απολάμβαναν τον ενθουσιασμό μετον οποίο προσέγγιζε τα μαθηματικά, ειδικά επειδή οι διαλέξεις τις συχνά βασιζόταν σε προηγούμενες εργασίες που είχαν κάνει μαζί.
Ανέπτυξε ένα στενό κύκλο συναδέλφων και φοιτητών οι οποίοι σκέφτονταν μετον ίδιο τρόπο και απέκλεισε τους άλλους. «Εξωτερικοί επισκέπτες» των διαλέξεων της Νέτερ συνήθως έμεναν μόνο 30 λεπτά στην αίθουσα πριν από αναχωρήσουν απογοητευμένοι ή συγχυσμένοι. Ένας τακτικός μαθητής είχε πεισε μία τέτοια περίπτωση: «Ο εχθρός ηττήθηκε- έχει φύγει».[56]
Η Νέτερ έδειχνε αφοσίωση στο αντικείμενό της και τους μαθητές της πέραν της ακαδημαϊκής ημέρας. Κάποτε, όταν το κτίριο έκλεισε γιαμια αργία, συγκέντρωσε την τάξη έξω στα σκαλιά, τους οδήγησε μέσα στο δάσος, και δίδαξε σε ένα τοπικό καφέ.[57] Αργότερα, αφού είχε απορριφθεί από τοΤρίτο Ράιχ, προσκάλεσε τους μαθητές στο σπίτι της γιανα συζητήσουν τα μελλοντικά τους σχέδια και μαθηματικές έννοιες.[58]
Παρά το γεγονός ότι η πολιτική δεν ήταν κεντρικής σημασίας γιατη ζωή της, η Νέτερ ανέπτυξε έντονο ενδιαφέρον γιατα πολιτικά ζητήματα και σύμφωνα μετον Alexandrov, έδειξε σημαντική υποστήριξη στηΡωσική Επανάσταση (1917). Ήταν ιδιαίτερα ευτυχής όταν είδε σοβιετική ανάπτυξη στους τομείς της επιστήμης καιτων μαθηματικών, το οποίο θεωρεί ενδεικτικό των νέων ευκαιριών που έγιναν δυνατές από το έργο των Μπολσεβίκων. Η στάση της αυτή προκάλεσε προβλήματα στη Γερμανία, με αποκορύφωμα την έξωση της από ένα ξενοδοχείο, αφού οι «ηγέτες» των φοιτητών παραπονέθηκαν ότι ζουνμε «μια Μαρξιστικο-Εβραία».[62]
Η Νέτερ προγραμμάτισε να επιστρέψει στη Μόσχα, μια προσπάθεια που υποστήριξε ο Alexandrov. Αφού έφυγε από τη Γερμανία το 1933, προσπάθησε νατην βοηθήσει να αποκτήσουν μια θέση στο Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας από το Σοβιετικό Υπουργείο Παιδείας. Ανκαι αυτή η προσπάθεια ήταν ανεπιτυχής, επικοινωνούσαν συχνά κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1930, καιτο 1935 έκανε σχέδια γιατην επιστροφή της στη Σοβιετική Ένωση. [62] Εντω μεταξύ, ο αδελφός της Φριτς Νέτερ δέχτηκε μια θέση στο Ινστιτούτο Έρευνας γιατα Μαθηματικά και Μηχανική στοΤομσκ, στηΣιβηρία της Ρωσίας, αφού έχασε τη δουλειά τουστη Γερμανία.[63][64]
Το 1932 η Έμι Νέτερ καιο Emil Artin έλαβαν το βραβείο Ackermann-Teubnerγιατη συμβολή τους στα μαθηματικά.[65]Το βραβείο ήταν χρηματική ανταμοιβή των 500 μάρκων του Ράιχ και θεωρήθηκε ως μια αναμενόμενη επίσημη αναγνώριση του σημαντικού έργου της στον τομέα αυτό. Παρ 'όλα αυτά, οι συνάδελφοί της εξέφρασαν την απογοήτευσή τους γιατο γεγονός ότι δεν εξελέγη στοGöttingen Gesellschaft der Wissenschaften (ακαδημία των επιστημών) και ποτέ δεν προήχθη στη θέση του Ordentlicher Professor[66][67] (καθηγητής). [31]
Οι συνάδελφοι της Νέτερ γιόρτασαν τα πεντηκοστά της γενέθλια της το 1932, σε παραδοσιακό στυλ μαθηματικών. ΟΧέλμουτ Χάσε αφιέρωσε ένα άρθρο σε αυτήν στοMathematische Annalen, όπου ο ίδιος επιβεβαίωσε την υποψία της ότι ορισμένες πτυχές της μη-αντιμεταθετικής άλγεβρας είναι απλούστερες από ό,τι εκείνες της αντιμεταθετικής άλγεβρας, αποδεικνύοντας έναν μη-αντιμεταθετικό νόμο της αμοιβαιότητας.[68] Αυτό την ικανοποίησε πάρα πολύ. Επίσης, της έστειλε ένα μαθηματικό αίνιγμα, το «mμν-αίνιγμα των συλλαβών», το οποίο έλυσε αμέσως. Το αίνιγμα έχει χαθεί.[66][67]
Τον Νοέμβριο του ίδιου έτους, η Νέτερ εκφώνησε μεγάλη διάλεξη (Vortrag großer) με θέμα «Υπερσύνθετα συστήματα σε σχέση μετην αντιμεταθετική άλγεβρα καιτη θεωρία αριθμών" στοΔιεθνές Μαθηματικό ΣυνέδριοστηΖυρίχη. Το συνέδριο παρακολούθησαν 800 άτομα, μεταξύ αυτών καιοι συνάδελφοι της Νέτερ Hermann Weyl, Έντμουντ ΛάνταουκαιΒόλφγκαγκ Κρουλ. Υπήρχαν 420 επίσημες συμμετοχές και 21 παρουσιάσεις. Προφανώς, η εξέχουσα θέση της Νέτερ ήταν μια αναγνώριση της σημασίας της συνεισφοράς της στα μαθηματικά. Το συνέδριο του 1932 περιγράφεται ως η μεγάλη στιγμή της καριέρας της. [67][69]
Όταν οΑδόλφος Χίτλερ έγινε ο γερμανός καγκελάριος του Ράιχ τον Ιανουάριο του 1933, η ναζιστική δραστηριότητα σε όλη τη χώρα αυξήθηκε δραματικά. Στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν της Γερμανίας ο Φοιτητικός Σύλλογος οδήγησε την επίθεση στο "αντι-γερμανικό πνεύμα» που αποδιδόταν στους Εβραίους και βοηθήθηκε από έναν λέκτορα μετο όνομαWerner Weber, έναν πρώην φοιτητή της Έμι Νέτερ. Οι αντισημιτικές συμπεριφορές δημιούργησαν ένα κλίμα εχθρικό ως προς τους εβραίους καθηγητές. Ένας νεαρός διαδηλωτής φέρεται να ζήτησε: "Άριοι μαθητές θέλουν Άρια μαθηματικά και όχι εβραϊκά μαθηματικά».[70]
Μία από τις πρώτες ενέργειες της διοίκησης του Χίτλερ ήταν ο Νόμος γιατην Αποκατάσταση του Επαγγελματικού Δημόσιου Τομέα που απομάκρυνε Εβραίους και πολιτικά ύποπτους δημόσιους υπαλλήλους (συμπεριλαμβανομένων των πανεπιστημιακών καθηγητών) από τις δουλειές τους ανδεν είχαν «αποδείξει την πίστη τους στη Γερμανία» με επίδοση στον Πρώτο Παγκόσμιο Πόλεμο. Τον Απρίλιο του 1933 η Νέτερ έλαβε ειδοποίηση από το Πρωσικό Υπουργείο Επιστημών, Τεχνών, και Δημόσιας Εκπαίδευσης που έγραφε: "Βάσει της παραγράφου 3 του Υπαλληλικού Κώδικα, της 7ης Απριλίου 1933 μετην παρούσα επιστολή σου αφαιρώ το δικαίωμα να διδάσκεις στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν.»[71][72] Αρκετοί από τους συναδέλφους της Νέτερ, συμπεριλαμβανομένων τωνMax BornκαιΡίχαρντ Κουράντ, είχαν επίσης τις ανακληθεί από τις θέσεις τους.[71][72]Η Νέτερ αποδέχθηκε την απόφαση ήρεμα, παρέχοντας υποστήριξη στους άλλους κατά τη διάρκεια αυτής της δύσκολης χρόνου. ΟHermann Weyl αργότερα έγραψε ότι «Το θάρρος της Έμι Νέτερ, η ειλικρίνεια, η αδιαφορία γιατην δική της μοίρα, το συμφιλιωτικό πνεύμα της-ήταν στη μέση του μίσους και της μιζέριας, της απόγνωσης και της θλίψης που μας περιβάλλει, μια ηθική παρηγοριά».[70] Τυπικά, η Νέτερ παρέμεινε επικεντρωμένη στα μαθηματικά, συγκεντρώνοντας μαθητές στο διαμέρισμά της γιανα συζητήσουν θεωρία κλάσης σωμάτων. Όταν ένας από τους μαθητές της εμφανίστηκε μετη στολή της ναζιστικής παραστρατιωτικής οργάνωσης Sturmabteilung (SA), δεν έδειξε κανένα σημάδι ταραχής και, σύμφωνα με πληροφορίες, ακόμη και γέλασε γι 'αυτό αργότερα.[71][72]
Το κολέγιο Bryn Mawr παρείχε ένα φιλόξενο σπίτι γιατη Νέτερ τα δύο τελευταία χρόνια της ζωής της
Όπως δεκάδες πρoσφάτως άνεργοι καθηγητές άρχισαν να ψάχνουν για θέσεις εκτός της Γερμανίας, οι συνάδελφοί τους στις Ηνωμένες Πολιτείες άρχισαν να παράσχουν βοήθεια και ευκαιρίες απασχόλησης σε αυτούς. ΟΆλμπερτ ΑϊνστάινκαιοHermann Weyl είχαν διοριστεί στοInstitute for Advanced StudyστοΠρίνστον, ενώ άλλοι προσπάθησαν ναβρουν έναν χορηγό για νόμιμη μετανάστευση. Η Νέτερ ήρθε σε επαφή με τους εκπροσώπους των δύο εκπαιδευτικών ιδρυμάτων, τοBryn Mawr College στις Ηνωμένες Πολιτείες καιτοSomerville CollegeστοΠανεπιστήμιο της Οξφόρδηςστην Αγγλία. Μετά από μια σειρά από διαπραγματεύσεων μετο Ίδρυμα Ροκφέλερ, μια επιχορήγηση στο Bryn Mawr εγκρίθηκε γιατη Νέτερ και πήρε μια θέση εκεί, αρχής γενομένης στο τέλος του 1933.[73][74]
Στο Bryn Mawr η Νέτερ γνώρισε τηνΆννα Γουίλερ, η οποία είχε σπουδάσει στο Γκέτινγκεν, λίγο πρινη Νέτερ φτάσει εκεί. Μια άλλη πηγή στήριξης στο κολέγιο ήταν ο πρώην πρόεδρος του Bryn Mawr, ο Marion Edwards Park, ο οποίος κάλεσε με ενθουσιασμό τους μαθηματικούς της περιοχής γιανα «δούμε τηνΔρ. Νέτερ σε δράση!"[75][76]Η Νέτερ καιμια μικρή ομάδα μαθητών δούλεψε γρήγορα μέσω του βιβλίου του Van der Waerden «Moderne Algebra I» καισε τμήματα της «Theorie der Erich Hecke» τουτουΈριχ Χέκε (θεωρία των αλγεβρικών αριθμών, 1908).[77]
Το 1934, η Νέτερ άρχισε να δίνει διαλέξεις στο Institute for Advanced Study στο Πρίνστον κατόπιν πρόσκλησης τωνΆμπραχαμ ΦλέξνερκαιΌσβαλντ Βέμπλεν. Έχει επίσης συνεργαστεί και επιτηρήσει με τους Άμπραχαμ ΆλμπερτκαιΧάρι Βαντάιβερ. [78] Εντούτοις, παρατήρησε σχετικά μετο Πανεπιστήμιο Princeton ότι δεν ήταν ευπρόσδεκτη στο «πανεπιστήμιο των ανδρών, όπου η τίποτα γυναικείο δεν γίνεται δεκτό».[79]
Η διαμονή της στις Ηνωμένες Πολιτείες ήταν ευχάριστη, περιβαλλόμενη από υποστηρικτικούς συναδέλφους και απορροφημένη στα αγαπημένα θέματά της.[80][81]Το καλοκαίρι του 1934 σύντομα επέστρεψε στη Γερμανία γιανα δεί τον Emil Artin Fritz καιτον αδελφό της πριν φύγει γιαΤομσκ. Παρά το γεγονός ότι πολλοί από τους πρώην συναδέλφους της είχαν αναγκαστεί να φύγουν από τα πανεπιστήμια, ήταν σε θέση να χρησιμοποιήσει τη βιβλιοθήκη ως μια «ξένη μαθήτρια».[82][83]
Το σώμα της Νέτερ αποτεφρώθηκε καιοι στάχτες της θάφτηκαν κάτω από τη διάβαση πεζών γύρω από τα μοναστήρια της M. Carey Thomas Library στο Bryn Mawr
Τον Απρίλιο του 1935 οι γιατροί ανακάλυψαν έναν όγκοστη λεκάνη της Νέτερ. Ανήσυχοι για τις επιπλοκές από τη χειρουργική επέμβαση, προτείνουν δύο ημέρες ξεκούραση στο κρεβάτι πρώτα. Κατά την επέμβαση βρήκαν μιαωοθηκική κύστη «στο μέγεθος ενός μεγάλου πεπονιού».[84] Δύο μικρότεροι, καλοήθεις όγκοι στη μήτρα της εμφανίστηκαν καιδεν αφαιρέθηκαν γιανα αποφευχθούν περαιτέρω χειρουργικές επεμβάσεις. Για τρεις μέρες φαινόταν να αναρρώνει κανονικά, και ανέρρωσε γρήγορα από την κατάρρευση του κυκλοφορικού στην τέταρτη. Στις 14 Απριλίου έπεσε αναίσθητη, η θερμοκρασία της αυξήθηκε σε 109 °F (42.8 °C), και πέθανε. «[I]t δεν είναι εύκολο να πούμε τι είχε συμβεί στηΔρ Νέτερ», ένας από τους γιατρούς έγραψε. «Είναι πιθανό ότι υπήρχε κάποια μορφή ασυνήθιστης λοιμογόνου μόλυνσης, η οποία χτύπησε τη βάση του εγκεφάλου, όπου τα κέντρα θερμότητας βρίσκονται». [84]
Λίγες ημέρες μετά το θάνατο της Νέτερ, οι φίλοι της και συνεργάτες στο Bryn Mawr πραγματοποίησαν ένα μικρό μνημόσυνο στο σπίτι του College President Park. Ο Hermann Weyl καιο Richard Brauer ταξίδεψαν από το Πρίνστον και μίλησαν με τους Wheeler και Taussky γιατη συνάδελφό τους και αναχώρησαν. Τους μήνες που ακολούθησαν γραπτά αφιερώματα άρχισαν να εμφανίζονται σε όλο τον κόσμο: Ο Albert Einstein με τους Van der Waerden, Weyl, και Pavel Alexandrov τήρησαν τα σέβη τους. Το σώμα της αποτεφρώθηκε καιοι στάχτες της θάφτηκαν κάτω από τη διάβαση πεζών γύρω από τα μοναστήρια της M. Carey Thomas Library στο Bryn Mawr.[85]
Πρώτα απ 'όλα η Νέτερ τιμάται από τους μαθηματικούς ως αλγεβρίστρια καιγιατην συνεισφορά της στηντοπολογία. Οι φυσικοί την εκτιμούν περισσότερο γιατο διάσημο θεώρημα της, λόγω της εκτεταμένης συνέπειάς στη Θεωρητική Φυσική καιτα δυναμικά συστήματα. Έδειξε μια οξεία τάση γιατην αφηρημένη σκέψη, η οποία της επέτρεψε να προσεγγίσει τα προβλήματα των μαθηματικών σε καινούργιους και πρωτότυπους τρόπους[86][23]Ο φίλος της καιο συνάδελφός Hermann Weyl περιγράφει την επιστημονική παραγωγή της σε τρεις εποχές:
Η Επιστημονική παραγωγή της Έμι Νέτερ ανήκει σε τρεις σαφώς διακριτές εποχές:
(1) η περίοδος της σχετικής εξάρτησης, 1907-1919;
(2) οι έρευνες που συσπειρώθηκαν γύρω από την γενική θεωρία των ιδεωδών 1920-1926;
(3) η μελέτη τωνμη-αντιμεταθετικών αλγεβρών, αναπαραστάσεις τους με γραμμικούς μετασχηματισμούς, καιη εφαρμογή τους στη μελέτη των σωμάτων με αντιμεταθετικούς αριθμούς και της αριθμητικής τους.
Στη πρώτη εποχή (1907–19), η Νέτερ ασχολήθηκε πρωτίστως με διαφορικούς και αλγεβρικούς invariants, αρχίζοντας μετην διατριβή της υπό τουΠολ Γκόρνταν. Οι μαθηματικοί ορίζοντες της διευρύνθηκαν καιτο έργο της έγινε πιο γενικό και αφηρημένο, αφού έγινε γνώστης του έργου τουΝτάβιντ Χίλμπερτ, μέσω στενής συνεργασίας μετον αντικαταστάτη του Gordan, Ερνστ Ζίγκισμουντ Φίσερ. Αφού μετακόμισε στοΓκέτινγκεντο 1915, παρήγαγε την δημιουργική της εργασία της στη φυσική, τα δύο θεωρήματα της Νέτερ.
Στη δεύτερη εποχή (1920–26), η Νέτερ αφιέρωσε τον χρόνο της στην εξέλιξη της θεωρίας των μαθηματικών δακτυλίων.[87]
Στη τρίτη εποχή (1927–35), η Νέτερ συγκεντρώθηκε στημη-αντιμεταθετική άλγεβρα, στους γραμμικούς μετασχηματισμούς και commutative number fields.[88]
Τον αιώνα από το 1832 ως τον θάνατο της Νέτερ το 1935,ο τομέας των μαθηματικών-ειδική άλγεβρα-υποβλήθηκε μια βαθιά επανάσταση,της οποίας ο απόηχος είναι ακόμη αισθητός.Μαθηματικοί των προηγούμενων αιώνων είχαν δουλέψει πάνω σε πρακτικές μεθόδους γιατην επίλυση συκρεκριμένων τύπων εξισώσεων,π.χ.τριτοβάθμιων,τεταρτοβάθμιων και πεμπτοβάθμιων εξισώσεων,όπως επίσης καιστο σχετικό πρόβλημα κατασκευής κανονικών πολυγώνων με κανόνα και διαβήτη.Ξεκινώντας μετην απόδειξη τουΚαρλ Φρίντριχ Γκάους το 1832,σύμφωνα μετην οποία πρώτοι αριθμοί όπως το 5 μπορούν να παραγοντοποιηθούν σε Γκαουσιανούς ακεραίους,[89]την εισαγωγή του Εβαρίστ Γκαλουά στις ομάδες μεταθέσεων το 1832(ανκαιλογοτου θανάτου τουτα χαρτιά του δημοσιεύθηκαν μόλις το 1846 από τον Liouville),η ανακάλυψη του William Rowan Hamilton τωντεταρτυώνυμωντο 1843 και ο πιό σύγχρονος ορισμός του Arthur Cayley πάνω στις ομάδες το 1854,η έρευνα στράφηκε προς τον καθορισμό των ιδιοτήτων των όλο καιπιο αφηρημένων συστημάτων που ορίζονται από όλο καιπιο καθολικούς κανόνες.Οιπιο σημαντικές συνεισφορές της Νέτερ στα μαθηματικά,ήταν γιατην ανάπτυξη του νέου αυτού τομέα,της αφηρημένης άλγεβρας.[90]
Αφηρημένη άλγεβρα και εννοιολογικά μαθηματικά (begriffliche Mathematik)
Δύο από ταπιο βασικά αντικείμενα στην αφηρημένη άλγεβρα είναι οι ομάδες καιοι δακτύλιοι.
Μια ομάδα αποτελείται από ένα σύνολο στοιχείων και μία πράξη, η οποία συνδυάζει ένα πρώτο και ένα δεύτερο στοιχείο και επιστρέφει ένα τρίτο. Η πράξη πρέπει να πληροί ορισμένους περιορισμούς γιανα ορίσει μια ομάδα: Πρέπει να είναι κλειστή (όταν εφαρμόζεται σε κάθε ζεύγος στοιχείων του συνόλου, το παραγόμενο στοιχείο πρέπει επίσης να είναι ένα μέλος αυτού του συνόλου), πρέπει να είναι προσεταιριστική, πρέπει να υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο (ένα στοιχείο το οποίο, όταν συνδυάζεται με ένα άλλο στοιχείο χρησιμοποιώντας την πράξη, δίνει αποτέλεσμα το αρχικό στοιχείο, όπως όταν προσθέσεις το μηδέν σε έναν αριθμό ή πολλαπλασιάσεις μετη μονάδα) καιγια κάθε στοιχείο πρέπει να υπάρχει ένα αντίστροφο στοιχείο.
Ένας δακτύλιος από την άλλη, περιλαμβάνει ένα σύνολο από στοιχεία, αλλά τώρα έχει δύο πράξεις. Η πρώτη πράξη πρέπει να κάνει το σύνολο μια ομάδα, καιη δεύτερη πράξη να είναι προσεταιριστική και επιμεριστική σε σχέση μετην πρώτη πράξη. Μπορεί να είναι και αντιμεταθετική: Αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα της εφαρμογής της πράξης από ένα πρώτο σε ένα δεύτερο στοιχείο είναι το ίδιο μετο αποτέλεσμα της πράξης από το δεύτερο στο πρώτο-η σειρά των στοιχείων δεν έχει σημασία. Αν κάθε μη μηδενικό στοιχείο έχει ένα πολλαπλασιαστικό αντίστροφο (ένα στοιχείο Χ τέτοιο ώστε ax = xa = 1), ο δακτύλιος ονομάζεται δακτύλιος με διαίρεση. Ένα σώμα ορίζεται ως ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος διαίρεση.
Οι ομάδες μελετούνται συχνά μέσω των αντιπροσώπων τους. Στην γενικότερη μορφή τους, αυτοί αποτελούνται από μια επιλογή της ομάδας, ενός συνόλου, καιτην δράση της ομάδας στο σύνολο, δηλαδή, μια πράξη η οποία λαμβάνει ένα στοιχείο της ομάδας και ένα στοιχείο του συνόλου και επιστρέφει ένα στοιχείο του συνόλου. Τις περισσότερες φορές, το σύνολο είναι ένας διανυσματικός χώρος, καιη ομάδα αντιπροσωπεύει τις συμμετρίες τουδιανυσματικού χώρου. Για παράδειγμα, υπάρχει μια ομάδα η οποία αντιπροσωπεύει τις σταθερές περιστροφές του χώρου. Αυτό είναι ένα είδος συμμετρίας του χώρου, επειδή ο ίδιος ο χώρος δεν αλλάζει όταν περιστρέφεται ακόμη καιαν αλλάζουν οι θέσεις των στοιχείων σε αυτό. Η Νέτερ χρησιμοποίησε αυτά τα είδη των συμμετριών στην εργασία της σχετικά με τις αναλλοίωτες στη φυσική.
Ένα ισχυρό εργαλείο μελέτης των δακτυλίων είναι μέσω τωνmodules τους. Ένα module αποτελείται από έναν δακτύλιο, ένα άλλο σύνολο, συνήθως διαφορετικό από το υποκείμενο σύνολο του δακτυλίου το οποίο ονομάζεται υποκείμενο σύνολο του module, μια πράξη σε ζεύγη των στοιχείων του υποκείμενου συνόλου του module, καιμια πράξη η οποία λαμβάνει ένα στοιχείο του δακτυλίου και ένα στοιχείο του module και επιστρέφει ένα στοιχείο του module. To υποκείμενo σύνολο του module μετην πράξη του πρέπει να αποτελούν μια ομάδα. Ένα module είναι μια δακτυλιο-θεωρητική εκδοχή παράστασης της ομάδας: Αγνοώντας τη δεύτερη πράξη του δακτυλίου καιτην πράξη σε ζεύγη των στοιχείων του module ορίζουμε μια αναπαράσταση της ομάδας. Η πραγματική χρησιμότητα των modules είναι ότι τα είδη των modules που υπάρχουν καιοι αλληλεπιδράσεις τους, αποκαλύπτουν τη δομή του δακτυλίου με τρόπους πουδεν είναι εμφανείς από τον ίδιο το δακτύλιο. Μια σημαντική ειδική περίπτωση αυτών είναι μιαάλγεβρα. (Η λέξη άλγεβρα αναφέρεται καιστον γνωστό κλάδο των μαθηματικών, καθώς καισε ένα στοιχείο που συναντάμε στον κλάδο της άλγεβρας.) Μια άλγεβρα αποτελείται από δύο δακτυλίους καιμια πράξη η οποία παίρνει ένα στοιχείο από κάθε δακτύλιο και επιστρέφει ένα στοιχείο του δεύτερου δακτυλίου . Αυτή η πράξη καθιστά το δεύτερο δακτύλιο ένα module πάνω από τον πρώτο. Συχνά ο πρώτος δακτύλιος είναι ένα σώμα.
Λέξεις όπως "στοιχείο" και "που συνδυάζει την πράξη" είναι πολύ γενικές και μπορεί να εφαρμοστούν σε πολλές αληθινές και αφηρημένες καταστάσεις. Οποιοδήποτε σύνολο των πραγμάτων που υπακούει όλους τους κανόνες για ένα (ή δύο) πράξη (εις) είναι, εξ ορισμού, μια ομάδα (ή δακτύλιος), και υπακούει όλα τα θεωρήματα για τις ομάδες (ή δακτυλίους). Οι ακέραιοι αριθμοί καιοι πράξεις της πρόσθεσης καιτου πολλαπλασιασμού, είναι μόνο ένα παράδειγμα. Για παράδειγμα, τα στοιχεία μπορεί να είναι οι λέξεις δεδομένων του υπολογιστή, όπου η πρώτη συνδυαστική πράξη είναι XOR καιη δεύτερη είναι λογική σύζευξη. Τα θεωρήματα της αφηρημένης άλγεβρας είναι ισχυρά, επειδή είναι γενικά: διέπουν πολλά συστήματα. Θα μπορούσε να φανταστεί κανείς ότι λίγα πράγματα μπορούμε να συμπεράνουμε σχετικά μετα αντικείμενα που ορίζονται με τόσες λίγες ιδιότητες, αλλά ακριβώς εκεί βρίσκεται το δώρο της Νέτερ:να ανακαλύψουμε όσα το δυνατόν περισσότερα μπορούν να συναχθούν από ένα δεδομένο σύνολο ιδιοτήτων, ή αντιστρόφως, ο προσδιορισμός του ελάχιστου συνόλου, του οποίου οι στοιχειώδεις ιδιότητες ευθύνονται γιαμια συγκεκριμένη παρατήρηση. Σε αντίθεση με τους περισσότερους μαθηματικούς, δεν έβγαζε συμπεράσματα από τη γενίκευση γνωστών παραδειγμάτων: αντίθετα, εργάστηκε άμεσα με τις αφηρημένες έννοιες. Όπως ο van der Waerden υπενθύμισε στην νεκρολογία της, [91]
Το αξίωμα μετο οποίο η Έμι Νέτερ πορεύθηκε σε ολόκληρο το έργο της θα μπορούσε να διατυπωθεί ως εξής: «Κάθε σχέση μεταξύ των αριθμών, των συναρτήσεων καιτων πράξεων γίνεται φανερή, γενικά εφαρμόσιμη, και πλήρως παραγωγική μόνο αφού έχει απομονωθεί από συγκεκριμένα αντικείμενα και έχει διαμορφωθεί ως καθολικά έγκυρη έννοια.
Αυτά είναι τα καθαρά εννοιολογικά μαθηματικά (begriffliche Mathematik) που ήταν χαρακτηριστικό της Noether. Αυτό το ύφος των μαθηματικών υιοθετήθηκε από άλλους μαθηματικούς και, μετά το θάνατό της, άνθισε σε νέες μορφές, όπως ηθεωρία κατηγοριών.
Οιακέραιοι αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο του οποίου τα στοιχεία είναι οι ακέραιοι αριθμοί, με συνδυασμένες πράξεις την πρόσθεση καιτον πολλαπλασιασμό. Κάθε ζεύγος ακεραίων μπορούν να προστεθούν ή να πολλαπλασιάζονται, δίνοντας πάντα έναν άλλο ακέραιο, καιη πρώτη πράξη, επιπλέον, είναι αντιμεταθετική, δηλαδή, για τυχόν στοιχεία a και b στον δακτύλιο, a + b = b + a. Η δεύτερη πράξη, ο πολλαπλασιασμός, είναι επίσης αντιμεταθετική, αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο να ισχύει καιγια άλλους δακτυλίους, πράγμα που σημαίνει ότι τοaσε συνδυασμό μετοb μπορεί να είναι διαφορετικό από τοbσε συνδυασμό μετοa . Παραδείγματα μη αντιμεταθετικών δακτυλίων αποτελούν οι πίνακες καιτα τετραδόνια. Οι ακέραιοι δεν αποτελούν ένα δακτύλιο με διαίρεση, διότι η δεύτερη πράξη δεν μπορεί πάντα να αντιστραφεί: Δεν υπάρχει ακέραιος a τέτοιος ώστε 3 × a = 1.
Οι ακέραιοι έχουν επιπλέον ιδιότητες πουδεν γενικεύονται σε όλους τους αντιμεταθετικούς δακτυλίους. Ένα σημαντικό παράδειγμα είναι το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, η οποία λέει ότι κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να αναλυθεί μοναδικά σε πρώτους αριθμούς. Μοναδικές αναλύσεις δεν υπάρχουν πάντοτε σε άλλους δακτυλίους, αλλά η Νέτερ βρήκε ένα θεώρημα μοναδικής ανάλυσης, που σήμερα ονομάζεται Λάσκερ-Νέτερ, γιατα ιδεώδη πολλών δακτυλίων. Μεγάλο μέρος του έργου της Νέτερ έγκειται στον καθορισμό τουτι ιδιότητες ισχύουν για όλους τους δακτυλίους, στην επινόηση νέων αναλόγων των παλαιών θεωρημάτων των ακεραίων, καιστον καθορισμό του ελαχίστου συνόλου των υποθέσεων που απαιτούνται γιανα δώσουν ορισμένες ιδιότητες των δακτυλίων.
Table 2 from Noether's dissertation [92] on invariant theory. This table collects 202 of the 331 invariants of ternary biquadratic forms. These forms are graded in two variables x and u. The horizontal direction of the table lists the invariants with increasing grades in x, while the vertical direction lists them with increasing grades in u.
Μεγάλο μέρος του έργου της Νέτερ στην πρώτη εποχή της καριέρας της συνδέθηκε μετηνθεωρία αναλλοίωτων, κυρίως μετην αλγεβρική θεωρία αναλλοίωτων. Η θεωρία αναλλοίωτων ασχολείται με εκφράσεις που παραμένουν σταθερές (αναλλοίωτες) στο πλαίσιο μιας ομάδας μετασχηματισμών. Ως ένα καθημερινό παράδειγμα, εάν ένα άκαμπτο μέτρο περιστρέφεται, οι συντεταγμένες (x, y, z) των τελικών σημείων αλλάζουν, αλλά το μήκος του L δίδεται από τον τύπο L2 = Δx2 + Δy2 + Δz2 παραμένει το ίδιο. Η θεωρία αναλλοίωτων ήταν ένας ενεργός τομέας έρευνας στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, οφείλεται εν μέρει στο πρόγραμμα τουΈρλαγκεντουΦέλιξ Κλάιν, σύμφωνα μετο οποίο διαφορετικά είδη της γεωμετρίας πρέπει να χαρακτηρίζονται από τις αναλλοίωτες τους σύμφωνα με μετασχηματισμούς, π.χ., η πολλαπλή αναλογία της προβολικής γεωμετρίας. Το αρχετυπικό παράδειγμα αναλλοίωτων είναι η διακρίνουσα B2 − 4AC μιας δυαδικής τετραγωνικής μορφής Ax2 + Bxy + Cy2. Αυτή ονομάζεται αναλλοίωτη επειδή είναι αμετάβλητη ως προς γραμμικούς μετασχηματισμούς x→ax + by, y→cx + dyμετην ορίζουσα ad − bc = 1.Αυτοί οι μετασχηματισμοί αποτελούν την ειδική γραμμική ομάδα SL2. (Δεν υπάρχουν αναλλοίωτες στο πλαίσιο της γενικής γραμμικής ομάδας όλων των αντιστρέψιμων γραμμικών μετασχηματισμών, διότι αυτοί οι μετασχηματισμοί μπορεί να είναι πολλαπλασιασμοί με κλιμακωτό παράγοντα . Γιανα διορθωθεί αυτό, η κλασική θεωρία αναλλοίωτων συμπεριέλαβε επίσης τις σχετικές αναλλοίωτες, οι οποίες αποτελούν αναλλοίωτες ως καιτον κλιμακωτό παράγοντα ). Κάποιος μπορεί να ζητήσει όλα τα πολυώνυμα σε A, B, και C που παραμένουν αναλλοίωτα από τη δράση της SL2: αυτές ονομάζονται οι αναλλοίωτες των δυαδικών τετραγωνικών μορφών, και αποδεικνύεται ότι είναι τα πολυώνυμα στη διακρίνουσα. Γενικότερα, μπορεί κανείς να ζητήσει τις αναλλοίωτες ομογενών πολυωνύμων A0xry0 + ... + Arx0yrτου υψηλότερου βαθμού, οι οποίες θα είναι συγκεκριμένα πολυώνυμα με συντελεστές A0, ..., Ar, και ακόμη γενικότερα, μπορεί κανείς να θέσει την ανάλογη ερώτηση γιατα ομογενή πολυώνυμα με περισσότερες από δύο μεταβλητές.
Ένας από τους κύριους στόχους της θεωρίας αναλλοίωτων ήταν να λύσει το «πρόβλημα πεπερασμένης βάσης». Το ποσό ή το προϊόν δυο οποιωνδήποτε αναλλοίωτων είναι αναλλοίωτη, καιτο πεπερασμένο πρόβλημα βάση έθεσε το ερώτημα αν ήταν δυνατό να συμπεριλάβει όλες τις αναλλοίωτες, ξεκινώντας με ένα ολοκληρωμένο κατάλογο των αναλλοίωτων, που ονομάζονται γεννήτριες, καιστη συνέχεια, προσθέτοντας ή πολλαπλασιάζοντας τις γεννήτριες μαζί. Για παράδειγμα, η διακρίνουσα δίνει μια πεπερασμένη βάση (με ένα στοιχείο) για τις αναλλοίωτες της δυαδικής τετραγωνικής μορφής. Ο σύμβουλος της Νέτερ, ο Paul Gordan, ήταν γνωστός ως ο «βασιλιάς της θεωρίας αναλλοίωτων», καιη κυρίαρχη συμβολή τουστα μαθηματικά ήταν η λύση του προβλήματος πεπερασμένης βάσης, το 1870, για αναλλοίωτες ομογενών πολυωνύμων με δύο μεταβλητές.[93][94]Το απέδειξε δίνοντας μια κατασκευαστική μέθοδο γιατην εύρεση όλων των αναλλοίωτων καιτων γεννητριών τους, αλλά δεν ήταν σε θέση να πραγματοποιήσει αυτή την κατασκευαστική προσέγγιση για αναλλοίωτες με τρεις ή περισσότερες μεταβλητές. Το 1890, ο David Hilbert απέδειξε μια παρόμοια πρόταση για τις αναλλοίωτες ομογενών πολυωνύμων με οποιοδήποτε αριθμό των μεταβλητών.[95][96] Επιπλέον, η μέθοδος του δούλευε, όχι μόνο γιατην ειδική γραμμική ομάδα, αλλά καιγια ορισμένες από τις υποομάδες της, όπως η ειδική ορθογώνια ομάδα.[97]Η πρώτη απόδειξη του προκάλεσε κάποια διαμάχη, επειδή δεν είχε δώσει μια μέθοδο γιατην κατασκευή των γεννητριών, ανκαισε μεταγενέστερο έργο έκανε τη μέθοδο του κατασκευαστική. Γιατη διδακτορική της διατριβή, η Νέτερ επέκτεινε την υπολογιστική απόδειξη του Gordan σε ομογενή πολυώνυμα με τρεις μεταβλητές. Η κατασκευαστική προσέγγιση της Νέτερ κατέστησε δυνατή τη μελέτη των σχέσεων μεταξύ των αναλλοίωτων. Αργότερα, αφού είχε στραφεί σεπιο αφηρημένες μεθόδους, η Νέτερ ονόμασε τη διατριβή της Mist (χάλια) και Formelngestrüpp (μια ζούγκλα από εξισώσεις).
Ηθεωρία Γκαλουά ασχολείται με μετασχηματισμούς σωμάτων αριθμώνπου μεταθέτουν τις ρίζες μίας εξίσωσης. Θεωρήστε μία πολυωνυμική εξίσωση μιας μεταβλητής x βαθμού n, της οποίας οι συντελεστές προέρχονται από κάποιο σώμα βάσης,το οποίο μπορεί να είναι για παράδειγμα το σώμα τωνπραγματικών αριθμών, τωνρητών ή τωνακέραιων modulo7. Μπορεί να υπάρχουν τιμές του x,τέτοιες ώστε να κάνουν το πολυώνυμο να ισούται με μηδέν. Τέτοιες τιμές αν υπάρχουν λέγονται ρίζες. Αν έχουμε το πολυώνυμο x2 + 1 και βρισκόμαστε στο σώμα των πραγματικών αριθμών,τότε το πολυώνυμο δεν έχει ρίζες γιατί για κάθε τιμή του x το πολυώνυμο θα είναι μεγαλύτερο ή ίσο του ένα. Αν ωστόσο το σώμα είναι επεκτεταμένο, τότε το πολυώνυμο ίσως να έχει ρίζες καιαν επεκταθεί αρκετά τότε πάντα θα έχει αριθμό ριζών ίσο μετον βαθμό του.Συνεχίζοντας στο προηγούμενο παράδειγμα,αντο σώμα που έχουμε είναι των μιγαδικών αριθμών,τότε το πολυώνυμο παίρνει δύο ρίζες,τις i και –i, όπου i ηφανταστική μονάδα,δηλαδή i 2 = −1. Γενικά το σώμα επέκτασης στο οποίο το πολυώνυμο αναλύεται στις ρίζες του λέγεται σώμα ριζώντου πολυωνύμου.
Ηομάδα Γκαλουά ενός πολυωνύμου είναι το σύνολο όλων των δυνατών μετασχηματισμών της ομάδας ριζών του,διατηρώντας παράλληλα το σώμα βάσης και τις ρίζες του πολυωνύμου. (Στην μαθηματική γλώσσα αυτοί οι μετασχηματισμοί ονομάζονται αυτομορφισμοί). Η ομάδα Γκαλουά του x2 + 1 αποτελείτε από δύο στοιχεία: τον ταυτοτικό αυτομορφισμό ο οποίος στέλνει κάθε μιγαδικό αριθμό στον εαυτό τουκαιοσυζυγής αυτομορφισμόςπου στέλνει το i στο –i. Δεδομένου ότι η ομάδα Γκαλουά δεν αλλάζει το σώμα βάσης,αφήνει όλους του συντελεστές του πολυωνύμου σταθερούς,οπότε καιτο σύνολο των ριζών του. Κάθε ρίζα μπορεί να σταλθεί σε κάποια άλλη έτσι ώστε ο αυτομορφισμός αυτός να ορίζει μία μετάθεση των n ριζών μεταξύ τους. Η σημασία της ομάδας Γκαλουά προέρχεται από τοΘεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Γκαλουάτο οποίο αποδεικνύει ότι τα σώματα που βρίσκονται μεταξύ του σώματος βάσης καιτου σώματος ριζών βρίσκονται σε μία ένα προς ένα αντιστοιχία με τις υποομάδες Γκαλουά.
Το 1918 η Νέτερ δημοσίευσε μια σημαντική εργασία πάνω στοαντίστροφο πρόβλημα Γκαλουά.[98] Αντί να προσδιορίσουμε την ομάδα Γκαλουά των μετασχηματισμών δοθέντος σώματος και της επέκτασής του,η Νέτερ αναρωτήθηκε,έχοντας ένα σώμα και μία ομάδα,αν είναι πάντα εφικτό να βρούμε μία επέκταση του σώματος πουνα έχει την συγκεκρίμενη ομάδα ως την ομάδα Γκαλουά του.Το ονόμασε ‘πρόβλημα της Νέτερ’ το οποίο αναρωτιέται αντο σταθερό σώμα μιας υποομάδας G της ομάδας μεταθέσων Sn πουδραστο σώμα k(x1, ... , xn) είναι πάντα μία υπερβατική επέκταση του σώματος k.(Αναφέρθηκε για πρώτη φορά σε αυτό το πρόβλημα σεμια εργασία του 1913,[99] όπου απέδωσε το πρόβλημα στον συνάδελφό της Φίσερ). Έδειξε ότι ισχύει για n = 2, 3,ή 4. Το 1969 ο R. G. Swan βρήκε ένα αντιπαράδειγμα στο πρόβλημα της Νέτερ, με n = 47 και G μία κυκλική ομάδα τάξης 47[100] (ανκαι αυτή η ομάδα μπορεί να ορισθεί ως ομάδα Γκαλουά πάνω από τους ρητούς με πολλούς τρόπους). Το αντίστροφο πρόβλημα Γκαλουά παραμένει άλυτο.[101]
Ο David Hilbert καιο Felix Klein έφεραν την Νέτερ στοΓκέτιγκεντο 1915, ζητώντας την εμπειρογνωμοσύνη της σε θέματα θεωρίας αναλλοίωτων γιανα τους βοηθήσει στην κατανόηση της γενικής σχετικότητας, μιας γεωμετρικής θεωρίας της βαρύτητας που αναπτύχθηκε κυρίως από τονΆλμπερτ Αϊνστάιν. Ο Hilbert είχε παρατηρήσει ότι ηδιατήρηση της ενέργειας φαινόταν να παραβιάζεται στη γενική σχετικότητα, το οποίο οφείλεται στο γεγονός ότι η βαρυτική ενέργεια μπορούσε να έλκεται. Η Νέτερ παρέδωσε την επίλυση αυτού του παραδόξου, καθώς και ένα θεμελιώδες εργαλείο της σύγχρονης θεωρητικής φυσικής, μετοπρώτο θεώρημα της Νέτερ, το οποίο απέδειξε το 1915, αλλά δεντο δημοσίευσε μέχρι το 1918.[102] Έλυσε το πρόβλημα, όχι μόνο γιατη γενική σχετικότητα, αλλά προσδιόρισε τις συντηρημένες ποσότητες για κάθε σύστημα φυσικών νόμων που κατέχει κάποια συνεχή συμμετρία.
Αφού παρέλαβε το έργο της, ο Αϊνστάιν έγραψε στον Hilbert: "Χθες έλαβα από τη δεσποινίδα Νέτερ μια πολύ ενδιαφέρουσα εργασία σχετικά με τις αναλλοίωτες. Με εντυπωσιάζει το ότι τέτοια πράγματα μπορούν να γίνουν κατανοητά σε ένα τέτοιο γενικό τρόπο. Η παλιά φρουρά στο Γκέτινγκεν θα πρέπει να λάβει κάποια μαθήματα από τη δεσποινίδα Νέτερ! Φαίνεται να γνωρίζει καλά το αντικείμενο της".[103]
Για παράδειγμα, αν ένα φυσικό σύστημα συμπεριφέρεται το ίδιο, ανεξάρτητα από το πόσο είναι προσανατολισμένο στο χώρο, οι φυσικοί νόμοι πουτο διέπουν είναι συμμετρικοί εκ περιστροφής: Από αυτή τη συμμετρία, το θεώρημα Νέτερ δείχνει ότι η στροφορμή του συστήματος πρέπει να διατηρείται.[104]Το φυσικό σύστημα δεν χρειάζεται να είναι συμμετρικό: Ένας οδοντωτός αστεροειδής πέφτοντας στο διάστημα διατηρεί στροφορμή, παρά την ασυμμετρία του. Αντίθετα, η συμμετρία των φυσικών νόμων που διέπουν το σύστημα είναι υπεύθυνη γιατον νόμο διατήρησης. Ως άλλο παράδειγμα, αν ένα φυσικό πείραμα έχει το ίδιο αποτέλεσμα, σε οποιοδήποτε μέρος και οποιαδήποτε στιγμή, τότε οι νόμοι του είναι συμμετρικοί υπό συνεχείς μεταβολές στο χώρο καιτο χρόνο: Από το θεώρημα της Νέτερ, αυτές οι συμμετρίες αντιπροσωπεύουν τους νόμους διατήρησης της γραμμικής ορμήςκαι ενέργειας μέσα σε αυτό το σύστημα, αντίστοιχα.
Το θεώρημα της Νέτερ έχει γίνει ένα θεμελιώδες εργαλείο της σύγχρονης θεωρητικής φυσικής, τόσο λόγω της επίγνωσης που δίνει στους νόμους διατήρησης, αλλά και ως ένα πρακτικό εργαλείο υπολογισμού.[4]Το θεώρημα της, επιτρέπει στους ερευνητές να προσδιορίσουν τις διατηρητέες ποσότητες από τις παρατηρούμενες συμμετρίες ενός φυσικού συστήματος. Αντιστρόφως, διευκολύνει την περιγραφή ενός φυσικού συστήματος που βασίζεται στις κατηγορίες των υποθετικών φυσικών νόμων. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ένα νέο φυσικό φαινόμενο έχει ανακαλυφθεί. Το θεώρημα της Νέτερ παρέχει έναν έλεγχο για θεωρητικά μοντέλα του φαινομένου: ανη θεωρία έχει μια συνεχή συμμετρία, τότε το θεώρημα της Νέτερ, εγγυάται ότι η θεωρία έχει μια διατηρητέα ποσότητα, καιγιανα είναι η θεωρία σωστή, αυτή η διατήρηση πρέπει να είναι παρατηρήσιμη σε πειράματα.
Ανκαιτα αποτελέσματα της πρώτης εποχής της Νέτερ ήταν εντυπωσιακά και χρήσιμα, η φήμη της ως μαθηματικός στηρίζεται περισσότερο στην πρωτοποριακή εργασία που έκανε στη δεύτερη καιστην τρίτη εποχή της, όπως σημειώνεται από τους Hermann Weyl και BL van der Waerden στις νεκρολογίες τους για αυτήν.
Σε αυτές τις εποχές της, δεν εφάρμοσε απλώς τις ιδέες και τις μεθόδους των προηγούμενων μαθηματικών: αντίθετα, έγραφε νέα συστήματα μαθηματικών ορισμών πουθα χρησιμοποιούνταν από τους μελλοντικούς μαθηματικούς. Ειδικότερα, ανέπτυξε μια εντελώς νέα θεωρία τωνιδεωδώνδακτυλίων, γενικεύοντας το προγενέστερο έργο τουΡίχαρντ Ντέντεκιντ. Είναι επίσης γνωστή γιατο ότι ανέπτυξε συνθήκες αύξουσας αλυσίδας, μια απλή συνθήκη πεπερασμένων που απέδωσε ισχυρά αποτελέσματα στα χέρια της. Αυτές οι συνθήκες καιη θεωρία των ιδεωδών επέτρεψαν στη Νέτερ να γενικεύσει πολλά παλιότερα αποτελέσματα καινα ασχοληθεί μετα παλιά προβλήματα από μια νέα προοπτική, όπως μετηνθεωρία απαλοιφήςκαι τις αλγεβρικές πολλαπλότητεςπου είχαν μελετηθεί από τον πατέρα της.
Σε αυτή την εποχή, η Νέτερ έγινε διάσημη γιατην επιδέξια χρήση των συνθηκών αύξουσας (Teilerkettensatz) ή φθίνουσας (Vielfachenkettensatz) αλυσίδας. Μια ακολουθία μη κενών υποσυνόλων A1, A2, A3, κλπ από ενός συνόλου S συχνά λέγεται φθίνουσα, εάν το καθένα είναι ένα υποσύνολο του επόμενου :
Ανάλογα, μια ακολουθία από υποσύνολα S λέγεται φθίνουσα εάν το κάθε υποσύνολο περιέχει το επόμενο :
Μια αλυσίδα γίνεται σταθερή μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων, αν υπάρχει ένα n τέτοιο ώστε για κάθε m ≥ n. Μια συλλογή από υποσύνολα ενός συνόλου ικανοποιεί την συνθήκη αύξουσας αλυσίδας αν κάθε αύξουσα ακολουθία γίνεται σταθερή μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Ικανοποιεί την συνθήκη φθίνουσας αλυσίδας αν κάθε φθίνουσα ακολουθία γίνεται σταθερή μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων.
Οι συνθήκες αύξουσας και φθίνουσας αλυσίδας είναι γενικές, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούν να εφαρμοστούν σε πολλούς τύπους μαθηματικών αντικειμένων και, επιφανειακά, μπορεί ναμην φαίνονται πολύ ισχυρές. Η Νέτερ έδειξε το πώς να εκμεταλλεύονται αυτές τις συνθήκες, όμως, μετο μέγιστο όφελος: για παράδειγμα, πώς να τις χρησιμοποιείς γιανα δείξεις ότι κάθε σύνολο υπο-αντικειμένων έχει ένα μέγιστο / ελάχιστο στοιχείο ή ότι ένα σύνθετο αντικείμενο μπορεί να παραχθεί από ένα μικρότερο αριθμό στοιχείων . Τα συμπεράσματα αυτά είναι συχνά ζωτικής σημασίας βήματα σεμια απόδειξη.
Πολλά είδη αντικειμένων στην αφηρημένη άλγεβρα μπορούν να ικανοποιήσουν τις συνθήκες της αλυσίδας, και , αν ικανοποιούν μια συνθήκη αύξουσας αλυσίδας, συχνά καλούνται Ναιτεριανά προς τιμήν της. Εξ ορισμού, ένας Ναιτεριανός δακτύλιος ικανοποιεί μια συνθήκη αύξουσας αλυσίδας στα αριστερά και δεξιά ιδεώδη του, ενώ μιαΝαιτεριανή ομάδα ορίζεται ως μια ομάδα στην οποία κάθε γνησίως αύξουσα αλυσίδα από υποομάδες είναι πεπερασμένη. Ένα Ναιτεριανό module είναι ένα module στο οποίο κάθε γνησίως αύξουσα αλυσίδα από υπο-modules διακόπτει μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό. Ένας Ναιτεριανός χώρος είναι ένας τοπολογικός χώροςστον οποίο κάθε γνησίως αύξουσα αλυσίδα ανοικτών υποχώρων διακόπτει μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό όρων: Ο ορισμός αυτός είναι φτιαγμένος έτσι ώστε τοφάσμα ενός Ναιτεριανού δακτυλίου να είναι ένας Ναιτεριανός τοπολογικός χώρος.
Η συνθήκη της αλυσίδας συχνά "κληρονομείται" από ταυπο-αντικείμενα. Για παράδειγμα, όλοι οι υποχώροι ενός Ναιτεριανού χώρου, είναι Ναιτεριανοί κιοι ίδιοι• όλες οι υποομάδες, καιοι ομάδες πηλίκο μιας Ναιτεριανής ομάδας είναι ,παρομοίως, Ναιτεριανοί• και, τηρουμένων των αναλογιών, το ίδιο ισχύει καιγιαυπο-modules και modules πηλίκο ενός Ναιτεριανού module. Όλοι οι δακτύλιοι πηλίκο ενός Ναιτεριανού δακτυλίου είναι Ναιτεριανοί, αλλά αυτό δεν ισχύει απαραίτητα για τους υποδακτυλίους του. Η συνθήκη αλυσίδας μπορεί επίσης να κληρονομηθεί από συνδυασμούς ή επεκτάσεις ενός Ναιτεριανού αντικειμένου. Για παράδειγμα, πεπερασμένα ευθεία αθροίσματα Ναιτεριανών δακτυλίων είναι Ναιτεριανά, όπως είναι ο δακτύλιος της τυπικής δυναμοσειράς πάνω σε ένα Ναιτεριανό δακτύλιο.
Μια άλλη εφαρμογή τέτοιων συνθηκών αλυσίδας είναι στην επαγωγή σε Ναιτεριανούς -επίσης γνωστή ως βάσιμη επαγωγή-που είναι μια γενίκευση της μαθηματικής επαγωγής. Συχνά χρησιμοποιείται γιανα περιορίσει γενικές προτάσεις σχετικά με συλλογές αντικειμένων σε προτάσεις σχετικά με συγκεκριμένα αντικείμενα αυτής της συλλογής. Ας υποθέσουμε ότι τοS είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο. Ένας τρόπος γιανα αποδειχθεί μια πρόταση σχετικά μετα αντικείμενα τουS είναι να υποθέσουμε την ύπαρξη ενός αντιπαραδείγματος καινα αναχθούμε σεμια αντίφαση, αποδεικνύοντας έτσι την άρνηση της αρχικής πρότασης. Η βασική προϋπόθεση της Ναιτεριανής επαγωγής είναι ότι κάθε μη κενό υποσύνολο τουS περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο. Ειδικότερα, το σύνολο όλων των αντιπαραδειγμάτων περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο, το ελάχιστο αντιπαράδειγμα. Γιανα αποδείξει την αρχική πρόταση, ως εκ τούτου, αρκεί να αποδείξει κάτι φαινομενικά πολύ ασθενέστερο: Για κάθε αντιπαράδειγμα, υπάρχει ένα μικρότερο αντιπαράδειγμα.
Η εργασία της Νέτερ, Idealtheorie in Ringbereichen (Θεωρία των ιδεωδών σε τομείς δακτυλίων, 1921)[105], είναι το θεμέλιο της γενικής γενικής θεωρίας αντιμεταθετικών δακτυλίων, και δίνει έναν από τους πρώτους γενικούς ορισμούς ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου.[106]Πριν από την εργασία της, τα περισσότερα αποτελέσματα στην αντιμεταθετική άλγεβρα περιορίστηκαν σε ειδικά παραδείγματα αντιμεταθετικών δακτυλίων, όπως οι δακτύλιοι πολυωνύμων πάνω από σώματα ή οι δακτύλιοι των αλγεβρικών ακεραίων. Η Νέτερ απέδειξε ότι σε έναν δακτύλιο που ικανοποιεί την συνθήκη αύξουσας αλυσίδας σε ιδεώδη, κάθε ιδεώδες είναι πεπερασμένα παραγόμενο. Το 1943, ο Γάλλος μαθηματικός Claude Chevalley επινόησε τον όρο, Ναιτεριανός δακτύλιος, γιανα περιγράψει αυτή την ιδιότητα.[106] Ένα σημαντικό αποτέλεσμα της εργασίας της Νέτερ του 1921 είναι το θεώρημα Λάσκερ-Νέτερ, το οποίο εκτείνει το θεώρημα του Λάσκερ γιατην πρωτογενή διάσπαση των ιδεωδών των δακτυλίων πολυωνύμων σε όλους τους Ναιτεριανούς δακτυλίους. Το θεώρημα Λάσκερ-Νέτερ μπορεί να θεωρηθεί ως μια γενίκευση του θεμελιώδους θεωρήματος της αριθμητικής το οποίο αναφέρει ότι κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να εκφραστεί ως προϊόν πρώτων αριθμών, και ότι αυτή η διάσπαση είναι μοναδική.
Το έργο της Νέτερ Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl-und Funktionenkörpern (Αφηρημένη Δομή της Θεωρίας των Ιδεωδών στους Αλγεβρικούς Αριθμούς και Σώματα Συναρτήσεων, 1927),[107]που χαρακτηρίζεται από τους δακτυλίους στους οποίους τα ιδεώδη έχουν μοναδική παραγοντοποίηση σε κύρια ιδεώδη, όπως ταπεδία Dedekind: αναπόσπαστα πεδία που είναι Ναιτεριανά, διαστάσεων 0 ή 1, και αναπόσπαστα κλειστά στα σώματα πηλίκο τους. Αυτή η εργασία περιέχει επίσης αυτά που τώρα λέγονται τα θεωρήματα ισομορφισμών, τα οποία περιγράφουν ορισμένους θεμελιώδεις φυσικούς ισομορφισμούς, και κάποια άλλα βασικά αποτελέσματα για modules της Νέτερ καιτουΑρτίν.
Το 1923-24 η Νέτερ εφάρμοσε την θεωρία ιδεωδών της στηνθεωρία απαλοιφής -σε ένα σκεύασμα που απέδωσε στον μαθητή της, Kurt Hentzelt- δείχνοντας ότι τα θεμελιώδη θεωρήματα γιατηνπαραγοντοποίηση πολυωνύμωνθα μπορούσαν να μεταφερθούν άμεσα.[108][109][110] Παραδοσιακά, η θεωρία απαλοιφής ασχολείται μετην απαλοιφή ενός ή περισσότερων μεταβλητών από ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων, συνήθως μετη μέθοδο των συνισταμένων. Για παράδειγμα, το σύστημα των εξισώσεων συχνά μπορεί να γραφτεί μετη μορφή ενός πίνακα M (πουδεν περιέχει την μεταβλητή x) επί ένα διάνυσμα v (έχουν μόνο διαφορετικές δυνάμεις τωνx) με αποτέλεσμα τομηδενικό διάνυσμα, M•v = 0. Ως εκ τούτου, η ορίζουσα του πίνακα Μ πρέπει να είναι μηδέν, παρέχοντας μια νέα εξίσωση στην οποία η μεταβλητή Χ έχει απαλειφθεί.
Τεχνικές όπως η αρχική μη κατασκευαστική λύση του Hilbert στο πρόβλημα πεπερασμένης βάσης δενθα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν γιανα πάρουμε ποσοτικές πληροφορίες σχετικά με τις αναλλοίωτες της δράσης ομάδας, και, επιπλέον, δεν ίσχυαν για όλες τις δράσης ομάδας. Στην εργασία της, το 1915 ,[111]η Νέτερ βρήκε μια λύση στο πρόβλημα της πεπερασμένης βάσης γιαμια πεπερασμένη ομάδα μετασχηματισμών Gη οποία δρασε έναν πεπερασμένης διάστασης διανυσματικό χώρο πάνω από ένα σώμα χαρακτηριστικής μηδέν. Η λύση της δείχνει ότι ο δακτύλιος των αναλλοίωτων παράγεται από ομοιογενείς αναλλοίωτες των οποίων ο βαθμός είναι μικρότερος ή ίσος μετην τάξη της πεπερασμένης ομάδας• Αυτό ονομάζεται, δέσμευση της Νέτερ. Η εργασία της έδωσε δύο αποδείξεις της δέσμευσης της Νέτερ, αμφότερες από τις οποίες λειτουργούν όταν η χαρακτηριστική του σώματος είναι σχετικά πρώτη μετο |G|!, το παραγοντικό της τάξης |G| της ομάδας G. Ο αριθμός των γεννητριών δεν είναι απαραίτητο να ικανοποιεί τη δέσμευση της Νέτερ όταν η χαρακτηριστική του σώματος διαιρεί το |G|,[112] αλλά η Νέτερ δεν ήταν σε θέση να καθορίσει ανη δέσμευση ήταν σωστή, όταν η χαρακτηριστική του σώματος διαιρεί το |G|! αλλά όχι την |G| . Για πολλά χρόνια, ο προσδιορισμός της αλήθειας ή του ψεύδους της δέσμευσης σε αυτή την περίπτωση ήταν ένα ανοικτό πρόβλημα που ονομάστηκε «το χάσμα της Νέτερ". Τελικά επιλύθηκε ξεχωριστά από τον Fleischmann το 2000 και τον Fogarty το 2001, πουκαιοι δύο έδειξαν ότι η δέσμευση εξακολουθεί να ισχύει.[113][114]
Στην εργασία της το 1926,[115]η Νέτερ επέκτεινε το θεώρημα του Hilbert σε αναπαραστάσεις μιας πεπερασμένης ομάδας πάνω από κάθε σώμα• η νέα περίπτωση πουδεν προκύπτει από το έργο του Hilbert, είναι όταν η χαρακτηριστική του σώματος διαιρεί την τάξη της ομάδας. Το αποτέλεσμα της Νέτερ επεκτάθηκε αργότερα από τονWilliam Haboushσε όλες τις αναγωγικές ομάδες μετην απόδειξη τουγιατην εικασία Mumford.[116]Σε αυτή την εργασία της η Νέτερ εισήγαγε επίσης το λήμμα κανονικοποίησης της Νέτερ, αποδεικνύοντας ότι μιαπεπερασμένα παραγόμενη περιοχήA πάνω από ένα σώμα k έχει ένα σύνολο x1, ... , xn από αλγεβρικά ανεξάρτητα στοιχεία, όπως και ότι ηA είναι ακέραια περιοχή πάνω από τοk[x1, ... , xn].
Όπως σημείωσαν οιΠάβελ ΑλεξάντροφκαιΧέρμαν Βάιλ στις νεκρολογίες τους, οι συνεισφορές της Νέτερ στην τοπολογία δείχνουν την γενναιοδωρία της με ιδέες και πως οι ιδέες της μπορούσαν να «μεταμορφώσουν» ολόκληρους τομείς των μαθηματικών. Στην τοπολογία, οι μαθηματικοί μελετούν τις ιδιότητες των αντικειμένων που παραμένουν αναλλοίωτα ακόμη και μετά από παραμόρφωση, ιδιότητες όπως τη μεταξύ τους σύνδεση. Ένα γνωστό αστείο είναι ότι ένας τοπολόγος δεν μπορεί να διακρίνει ένα ντόνατ από μια κούπα καφέ, δεδομένου ότι μπορούν να παραμορφώνονται συνεχώς το ένα στο άλλο.
Η Νέτερ πιστώνεται με τις θεμελιώδεις ιδέες που οδήγησαν στην ανάπτυξη της Αλγεβρικής Τοπολογίας από την προηγούμενη συνδυαστική τοπολογία, συγκεκριμένα, μετην ιδέα τωνομάδων ομολογίας.[117] Σύμφωνα μετον απολογισμό του Alexandrov, η Νέτερ παρακολουθούσε διαλέξεις τουΧάινζ Χοφκαιτου ιδίου τα καλοκαίρια του 1926 και του 1927, όπου και «έκανε συνεχώς παρατηρήσεις, οι οποίες συχνά ήταν βαθιές και λεπτές»[118], και συνεχίζει ότι,
Όταν ... για πρώτη φορά εκείνη ήρθε σε επαφή μεμια συστηματική κατασκευή της συνδυαστικής τοπολογίας, αμέσως παρατήρησε ότι θα άξιζε τον κόπο να μελετήσει άμεσα τις ομάδες αλγεβρικών συμπλόκων και κύκλων ενός δεδομένου πολυέδρου καιτην υποομάδα της κυκλικής ομάδας που αποτελείται από κύκλους ομόλογους μετο μηδέν• αντί του συνηθισμένου ορισμού τωναριθμών Betti, πρότεινε αμέσως τον ορισμό της ομάδας Betti ως την συμπληρωματική (πηλίκο) ομάδα της ομάδας όλων των κύκλων στην υποομάδα των κύκλων ομόλογη με μηδέν. Η παρατήρηση αυτή φαίνεται πλέον αυτονόητη. Όμως, σε εκείνα τα χρόνια (1925-1928) ήταν μια εντελώς νέα άποψη.[119]
Η πρόταση της Νέτερ ότι η τοπολογία πρέπει να μελετηθεί αλγεβρικά, υιοθετήθηκε αμέσως από τους Hopf, Alexandrov, και άλλους,[119]και έγινε ένα συχνό θέμα συζήτησης ανάμεσα στους μαθηματικούς του Γκέτινγκεν.[120]Η Νέτερ παρατήρησε ότι η ιδέα της γιαμια ομάδα Betti κάνει τον τύπο τωνEuler-Poincaréπιο απλό να κατανοηθεί, καιτο έργο του Hopf γιατο θέμα αυτό[121] "φέρει το αποτύπωμα αυτών των παρατηρήσεων της Έμι Νέτερ».[122]Η Νέτερ αναφέρει τις ιδέες της γιατην τοπολογία μόνο ως ένα μέρος σεμια δημοσίευση του 1926,[123] όπου τις παραθέτει ως εφαρμογή της θεωρίας ομάδων.[124]
Η αλγεβρική προσέγγιση στην τοπολογία αναπτύχθηκε ανεξάρτητα στην Αυστρία. Σεμια σειρά μαθημάτων το 1926-1927 στη Βιέννη, οΛεοπόλντ Βιτόρις όρισε μια ομάδα ομολογίας, η οποία αναπτύχθηκε από τονΒάλτερ Μάγιερ, σε έναν αξιωματικό ορισμό το 1928.[125]
ΟΧάλμουτ Χάσε συνεργάστηκε μετη Νέτερ και άλλους γιαναβρειτη θεωρία της κεντρικής απλής άλγεβρας
Μεγάλο μέρος της έρευνας πάνω στους υπερμιγαδικούς αριθμούςκαιστηνομάδα αναπαραστάσεων διεξήχθη τον δέκατο ένατο και στις αρχές του εικοστού αιώνα, αλλά παρέμεινε ασύνδετη. Η Νέτερ ένωσε τα αποτελέσματα και παρέδωσε την πρώτη γενική θεωρία αναπαράστασης των ομάδων καιτων αλγεβρών.[126]Εν συντομία, η Νέτερ ενέταξε την θεωρία των δομών των συνδυαστικών αλγεβρών καιτην θεωρία αναπαράστασης των ομάδων σεμια ενιαία αριθμητική θεωρία των modules καιτων ιδεωδών σε δακτυλίους που πληρούν τις συνθήκες αύξουσας αλυσίδας . Αυτό το ενιαίο έργο της Νέτερ ήταν θεμελιώδους σημασίας γιατην ανάπτυξη της σύγχρονης άλγεβρας.[127]
Μια πρωτοποριακή εργασία από την Νέτερ, τον Χάλμουτ Χάσε, καιτον Richard Brauer αναφέρεται σε άλγεβρες μεδιαίρεση,[129]οι οποίες είναι αλγεβρικά συστήματα στα οποία η διαίρεση είναι δυνατή. Απέδειξαν δύο σημαντικά θεωρήματα: ένα τοπικό-παγκόσμιο θεώρημα που δηλώνει ότι ανμια πεπερασμένων διαστάσεων κεντρική άλγεβρα με διαίρεση πάνω από ένα σώμα αριθμών διασπάται τοπικά παντού, τότε διασπάται σε παγκόσμιο επίπεδο (οπότε είναι ασήμαντο), και από αυτό, συνάγεται τοHauptsatz τους («κύριο θεώρημα») : [[κάθε πεπερασμένων διαστάσεων κεντρική άλγεβρα με διαίρεση πάνω από ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών F διασπάται πάνω σεμια κυκλική κυκλοτομική επέκταση]]. Αυτά τα θεωρήματα επιτρέπουν την ταξινόμηση όλων των πεπερασμένων διαστάσεων κεντρικών αλγεβρών με διαίρεση πάνω από ένα συγκεκριμένο σώμα αριθμών. Μια επόμενη εργασία της Νέτερ έδειξε, ως ειδική περίπτωση ενός γενικότερου θεωρήματος, ότι όλα τα μέγιστα υποσώματα άλγεβρας με διαίρεση D είναι σώματα διάσπασης.[130] Αυτή η εργασία περιέχει επίσης το θεώρημα Skolem-Νέτερτο οποίο ορίζει ότι οποιεσδήποτε δύο ενσωματώσεις μιας επέκτασης του σώματος kσεμια πεπερασμένης διάστασης κεντρική απλή άλγεβρα πάνω από τοk, αποτελούν σύζευξη. Το θεώρημα Brauer-Νέτερ[131] δίνει ένα χαρακτηριστικό των σωμάτων διάσπασης μιας κεντρικής άλγεβρας με διαίρεση πάνω από ένα σώμα.
Το "Emmy Noether Campus" στο Πανεπιστήμιο του Siegen στεγάζει τα τμήματα μαθηματικών και φυικής
Το έργο της Νέτερ συνεχίζει να είναι σημαντικό γιατην ανάπτυξη της θεωρητικής φυσικής καιτων μαθηματικών και αυτή σταθερά συμπεριλαμβάνεται στους μεγαλύτερους μαθηματικούς του εικοστού αιώνα. Στη νεκρολογία του, ο συνάδελφος αλγεβριστής BL van der Waerden αναφέρει ότι οι μαθηματική πρωτοτυπία της ήταν «απόλυτη πέρα από κάθε σύγκριση»[132], καιο Hermann Weyl είπε ότι η Νέτερ «άλλαξε το πρόσωπο της άλγεβρας μετο έργο της».[7] Κατά τη διάρκεια της ζωής της, ακόμη και μέχρι και σήμερα, η Νέτερ έχει χαρακτηριστεί ως η σπουδαιότερη γυναίκα μαθηματικός στην καταγραμμένη ιστορία από μαθηματικούς[133][3][134], όπως οιΠάβελ Αλεξάντροφ,[135]Χέρμαν Βάιλ,[136]καιΖαν Ντιεντονέ.[137]
«Αν θέλουμε να κρίνουμε τους πιο ικανούς μαθηματικούς εν ζωή, η Fräulein Νέτερ ήταν ηπιο σημαντική δημιουργική μαθηματική ιδιοφυΐα που έχει εμφανιστεί μέχρι στιγμής από την στιγμή που ξεκίνησε η τριτοβάθμια εκπαίδευση των γυναικών . Στον τομέα της άλγεβρας, στην οποία οιπιο ταλαντούχοι μαθηματικοί έχουν απασχολούνται για αιώνες, ανακάλυψε μεθόδους που έχουν αποδειχθεί τεράστιας σημασίας γιατην ανάπτυξη της σημερινής νεότερης γενιάς των μαθηματικών.»
Στις 2 Ιανουαρίου του 1935, λίγους μήνες πριντον θάνατο της, ο μαθηματικός Νόρμπερτ Βίνερ έγραψε τα εξής:[138]
«Η Δεσποινίς Νέτερ είναι... η σπουδαιότερη γυναίκα μαθηματικός που έχει εμφανιστεί ποτέ• κι επίσης η σπουδαιότερη γυναίκα επιστήμονας εν ζωή σε οποιουδήποτε είδος, και μελετητής τουλάχιστον στο επίπεδο της Μαντάμ Κιουρί.»
Σεμια έκθεση στη Διεθνή Έκθεση του 1964 που αφιερώνεται στους Σύγχρονους Μαθηματικούς, η Νέτερ ήταν η μόνη γυναίκα μεταξύ των αξιοσημείωτων μαθηματικών του σύγχρονου κόσμου.[139]
Η Νέτερ έχει τιμηθεί με διάφορα βραβεία
ΟΣύλλογος για τις Γυναίκες στα Μαθηματικά απονέμει μια Διάλεξη της Νέτερ γιανα τιμήσει τις γυναίκες στα μαθηματικά κάθε χρόνο• το 2005, στο φυλλάδιο γιατο γεγονός, ο Σύλλογος χαρακτηρίζει τη Νέτερ ως "μια από τους μεγάλους μαθηματικούς της εποχής της, κάποια που δούλεψε και αγωνίστηκε για αυτό που αγαπούσε και πίστευε. Η ζωή καιτο έργο της παραμένουν μια τεράστια πηγή έμπνευσης».[140]
Συνεπές μετην αφοσίωσή της στους μαθητές της, τοΠανεπιστήμιο του Siegen στεγάζει το τμήμα μαθηματικών και φυσικής τουσε κτίρια στην πανεπιστημιούπολη Έμι Νέτερ.[141]
Το Γερμανικό Ίδρυμα Έρευνας (Deutsche Forschungsgemeinschaft) λειτουργεί το πρόγραμμα Έμι Νέτερ, μια υποτροφία που παρέχει χρηματοδότηση για τους πολλά υποσχόμενους νεαρούς μεταδιδακτορικούς επιστήμονες στην περαιτέρω έρευνα τους και στις εκπαιδευτικές δραστηριότητες τους.[142]
Μια οδός στην πόλη καταγωγής της, το Έρλαγκεν, έχει πάρει το όνομα της καιτου πατέρα της, Μαξ Νέτερ.
Το σχολείο που διαδέχτηκε το γυμνάσιο της στο Έρλαγκεν, μετονομάστηκε σε σχολείο της Έμι Νέτερ.[137]
Το πρόσωπο Emmy Nutter (Έμι Τρελή), η καθηγήτρια φυσικής στο μυθιστόρημα "The God Patent» του Ransom Stephens, βασίζεται στην Έμι Νέτερ.[143]
Ακόμη πιο μακριά απ’το σπίτι μας:
Ο κρατήρας Nöther της αθέατης πλευράς της Σελήνης πήρε το όνομα της.
Noether, Emmy (1918b), «Invariante Variationsprobleme», Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. (Göttingen: Math-phys. Klasse) 1918: 235–57. English translation by M. A. Tavel (1918), arXiv:physics/0503066.
Alexandrov, Pavel S. (1981), «In Memory of Emmy Noether», στο: Brewer, James W; Smith, Martha K, επιμ., Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, σελ. 99–111, ISBN0-8247-1550-0.
Byers, Nina (2006), «Emmy Noether», στο: Byers, Nina; Williams, Gary, επιμ., Out of the Shadows: Contributions of 20th Century Women to Physics, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN0-521-82197-5.
Dick, Auguste (1981), Emmy Noether: 1882–1935, Boston: Birkhäuser, ISBN3-7643-3019-8. Trans. H. I. Blocher.
Fleischmann, Peter (2000), «The Noether bound in invariant theory of finite groups», Advances in Mathematics156 (1): 23–32, doi:10.1006/aima.2000.1952.
Gilmer, Robert (1981), «Commutative Ring Theory», στο: Brewer, James W; Smith, Martha K, επιμ., Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, σελ. 131–43, ISBN0-8247-1550-0.
Haboush, WJ (1975), «Reductive groups are geometrically reductive», Ann. Math. (The Annals of Mathematics, Vol. 102, No. 1) 102 (1): 67–83, doi:10.2307/1970974.
Hasse, Helmut (1933), «Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe über einem algebraischen Zahlkörper», Mathematische Annalen107: 731–60, doi:10.1007/BF01448916.
James, Ioan (2002), Remarkable Mathematicians from Euler to von Neumann, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN0-521-81777-3.
Kimberling, Clark (1981), «Emmy Noether and Her Influence», στο: Brewer, James W; Smith, Martha K, επιμ., Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, σελ. 3–61, ISBN0-8247-1550-0.
Lam, Tsit Yuen (1981), «Representation Theory», στο: Brewer, James W; Smith, Martha K, επιμ., Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, σελ. 145–56, ISBN0-8247-1550-0.
Mac Lane, Saunders (1981), «Mathematics at the University of Göttingen 1831–1933», στο: Brewer, James W; Smith, Martha K, επιμ., Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, σελ. 65–78, ISBN0-8247-1550-0.
Malle, Gunter; Matzat, Bernd Heinrich (1999), Inverse Galois theory, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN978-3-540-62890-3.
Schmadel, Lutz D (2003), Dictionary of Minor Planet Names (5th revised and enlarged έκδοση), Berlin: Springer-Verlag, ISBN3-540-00238-3.
Swan, Richard G (1969), «Invariant rational functions and a problem of Steenrod», Inventiones Mathematicae7 (2): 148–158, doi:10.1007/BF01389798.
Taussky, Olga (1981), «My Personal Recollections of Emmy Noether», στο: Brewer, James W; Smith, Martha K, επιμ., Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work, New York: Marcel Dekker, σελ. 79–92, ISBN0-8247-1550-0.
