Ναιτεριανός δακτύλιος
Αντίστοιχα,, ένας δακτύλιος είναι αριστερό-Ναιτεριανός (αντίστοιχα δεξιός-Ναιτεριανός)
Χαρακτηρισμοί
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Ένας δακτύλιος είναι αριστερός-Ναιτεριανός
α ν ικανοποιείτ η συνθήκη της αύξουσας αλυσίδαςγ ι α τ α αριστερά ιδεώδη. - Ένας δακτύλιος είναι δεξιός-Ναιτεριανός
α ν ικανοποιείτ η συνθήκη αύξουσας αλυσίδαςγ ι α τ α δεξιά ιδεώδη. - Ένας δακτύλιος είναι Ναιτεριανός
α ν είναικ α ι αριστεράκ α ι δεξιά Ναιτεριανός.
Υπάρχουν
- Κάθε αριστερό ιδεώδες I
σ τ ο R παράγεται πεπερασμένα, δηλαδή υπάρχουν στοιχείασ τ ο I τέτοια ώστε .[1] - Κάθε
μ η κενό σύνολο αριστερών ιδεωδώντ ο υ R, μερικώς ταξινομημένομ ε συμπερίληψη, έχει ένα μέγιστο στοιχείο.[1]
Παρόμοια αποτελέσματα ισχύουν
- Δεδομένης μιας ακολουθίας στοιχείων
σ τ ο R, υπάρχει ένας ακέραιος τέτοιος ώστε κάθεν α είναι ένας πεπερασμένος γραμμικός συνδυασμόςμ ε συντελεστέςσ τ ο R.
Ιδιότητες
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Α ν ο R είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος, τότεο πολυωνυμικός δακτύλιος είναι Ναιτεριανός απότ ο θεώρημα βάσηςτ ο υ Χίλμπερτ.Μ ε επαγωγή,ο είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος. Επίσης, R[[X]],ο δακτύλιοςτ ω ν δυναμοσειρών, είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος.Α ν R είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιοςκ α ι I είναι ένα αμφίπλευρο ιδεώδες, τότεο πηλίκο δακτύλιος R/I είναι επίσης Ναιτεριανός . Διαφορετικά,η εικόνα οποιουδήποτε υποτακτικού ομομορφισμού δακτυλίου ενός Ναιτεριανού δακτυλίου είναι Ναιτεριανός .- Ένας δακτύλιος R είναι αριστερός-Ναιτεριανός
α ν κ α ι μόνοα ν κάθε πεπερασμένα παραγόμενο αριστερό R module είναι ένα Ναιτεριανός module. Α ν ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος δέχεται ένα πιστό Ναιτεριανός module πάνωτ ο υ , τότεο δακτύλιος είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος.[4].- (Εάκιν-Ναγκάτα)
Α ν ένας δακτύλιοςΑ είναι υποδακτύλιος ενός αντιμεταθετικού Ναιτεριανού δακτυλίουΒ έτσι ώστεο Β ν α είναι ένα πεπερασμένα παραγόμενο module πάνωσ τ ο ν Α , τότεο Α είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος[5]. - Ομοίως,
α ν ένας δακτύλιοςΑ είναι υποδακτύλιος ενός αντιμεταθετικού Ναιτεριανού δακτυλίουΒ έτσι ώστεο Β ν α είναι πιστά επίπεδος πάνωσ τ ο ν Α (ή γενικότεραν α εμφανίζειτ ο ν Α ως καθαρό υποδακτύλιο), τότεο Α είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος (δείτετ ο άρθρο "πιστά επίπεδος"γ ι α τ ο σκεπτικό). - Κάθε εντοπισμός ενός αντιμεταθετικού Ναιτεριανού δακτυλίου είναι Ναιτεριανός.
Μ ι α συνέπειατ ο υ θεωρήματος Ακιζούκι-Χόπκινς-Λεβίτσκι είναι ότι κάθε αριστερός Αρτινικός δακτύλιος είναι αριστερός Ναιτεριανός .Μ ι α άλλη συνέπεια είναι ότι ένας αριστερός Αρτινικός δακτύλιος είναι δεξιός Ναιτεριανόςα ν κ α ι μόνοα ν είναι δεξιός Αρτινικός.Ο ι ανάλογες δηλώσειςμ ε τ η ν εναλλαγήτ ω ν λέξεων "δεξιά"κ α ι "αριστερά" είναι επίσης αληθείς.- Ένας αριστερός Ναιτεριανός δακτύλιος είναι αριστερά συνεκτικός
κ α ι ένας αριστερός Ναιτεριανός τομέας είναι ένας αριστερός τομέαςΟ ρ . - (Bass) Ένας δακτύλιος είναι (αριστερά/δεξιά) Ναιτεριανός
α ν κ α ι μόνοα ν κάθε άμεσο άθροισμα εγχυτικών (αριστερά/δεξιά) ενοτήτων είναι εγχυτικό. Κάθε αριστερή ενέσιμη ενότητα πάνω απόμ ι α αριστερή Ναιτεριανή ενότητα μπορείν α αναλυθεί ως άμεσο άθροισμαμ η αναλύσιμων ενέσιμων ενοτήτων.[6] Σ ε έναν αντιμεταθετικό Ναιτεριανό δακτύλιο, υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλά ελάχιστα πρωταρχικά ιδεώδη. Επίσης,η συνθήκη φθίνουσας αλυσίδας ισχύειγ ι α τ α πρωταρχικά ιδεώδη.Σ ε ένα αντιμεταθετικό Ναιτεριανό πεδίο R, κάθε στοιχείο μπορείν α παραγοντοποιηθείσ ε μ η αναγώγιμα στοιχεία (ε ν συντομία,τ ο R είναι πεδίο παραγοντοποίησης). Έτσι, εάν, επιπλέον,η παραγοντοποίηση είναι μοναδική μέχριτ ο ν πολλαπλασιασμότ ω ν παραγόντωνμ ε μονάδες, τότετ ο R είναι ένα μοναδικό πεδίο παραγοντοποίησης.
![{\displaystyle R[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afeccd52deabb878398a8485755c3ceea80caf9a)
![{\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603ad23a1d391b47d6f89883903aa6abee11a83b)
Παραδείγματα
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Οποιοδήποτε πεδίο, συμπεριλαμβανομένων
τ ω ν πεδίωντ ω ν ρητών αριθμών,τ ω ν πραγματικών αριθμώνκ α ι τ ω ν μιγαδικών αριθμών, είναι Ναιτεριανός. (Ένα πεδίο έχει μόνο δύο ιδανικά -τ ο ν εαυτότ ο υ κ α ι τ ο (0)). - Οποιοσδήποτε δακτύλιος κύριων ιδεωδών, όπως
ο ι ακέραιοι αριθμοί, είναι Ναιτεριανός αφού κάθε ιδεώδες παράγεται από ένα μόνο στοιχείο.Σ ε αυτά περιλαμβάνονταιο ι τομείς κύριων ιδεωδώνκ α ι ο ι ευκλείδειοι χώροι. - Ένας τομέας Ντέντεκιντ (
π .χ .ο ι δακτύλιοιτ ω ν ακεραίων) είναι ένας τομέαςτ ο υ Νουθεριανού,σ τ ο ν οποίο κάθε ιδεώδες παράγεται από δύοτ ο πολύ στοιχεία. Ο δακτύλιος συντεταγμένων μιας affine ποικιλίας είναι ένας Ναιτεριανός δακτύλιος, ως συνέπειατ ο υ θεωρήματος βάσης Χίλμπερτ.Η περιβάλλουσα άλγεβρα U μιας πεπερασμένης διάστασης άλγεβρας Lie είναι ένας αριστερόςκ α ι δεξιός Ναιτεριανός δακτύλιος- αυτό προκύπτει απότ ο γεγονός ότιο σχετικός βαθμωτός δακτύλιος της U είναι ένα πηλίκοτ ο υ ,τ ο οποίο είναι ένας πολυωνυμικός δακτύλιος πάνω από ένα πεδίο (τ ο θεώρημα PBW[7])- άρα, Ναιτεριανός.[8]Γ ι α τ ο ν ίδιο λόγο,η άλγεβρα Weyl,κ α ι γενικότεραο ι δακτύλιοιτ ω ν διαφορικών τελεστών, είναι Ναιτεριανός [9].Ο δακτύλιοςτ ω ν πολυωνύμωνσ ε πεπερασμένου πλήθους μεταβλητές πάνω στους ακέραιους αριθμούς ήσ ε ένα πεδίο είναι Ναιτεριανός.
Ο δακτύλιοςτ ω ν πολυωνύμωνσ ε απείρως πολλές μεταβλητές,X1, X2, X3,κ .λ π .Η ακολουθίατ ω ν ιδανικών (X1), (X1, X2), (X1, X2, X3),κ .λ π . είναι αύξουσακ α ι δ ε ν τερματίζεται.Ο δακτύλιος όλωντ ω ν αλγεβρικών ακεραίων αριθμώνδ ε ν είναι Ναιτεριανός. Παραδείγματος χάριν, περιέχειτ η ν άπειρη αύξουσα αλυσίδα κύριων ιδανικών: (21/2), (21/4), (21/8), ...Ο δακτύλιοςτ ω ν συνεχών συναρτήσεων από τους πραγματικούς αριθμούς προς τους πραγματικούς αριθμούςδ ε ν είναι Ναιτεριανός: Έστω Inτ ο ιδεώδες όλωντ ω ν συνεχών συναρτήσεων f ώστε f(x) = 0γ ι α όλατ α x ≥ n.Η ακολουθίατ ω ν ιδεωδών I0, I1, I2,κ .λ π . είναιμ ι α αύξουσα αλυσίδαπ ο υ δ ε ν τερματίζεται.Ο δακτύλιοςτ ω ν σταθερών ομάδων ομοτοπίαςτ ω ν σφαιρώνδ ε ν είναι Ναιτεριανός[10].
Ωστόσο, ένας
Ο δακτύλιοςτ ω ν ρητών συναρτήσεωνπ ο υ παράγονται από xκ α ι y /xn πάνω από ένα πεδίο k είναι ένας υποδακτύλιοςτ ο υ πεδίου k(x,yσ ε δύο μόνο μεταβλητές.
Πράγματι, υπάρχουν δακτύλιοι
Αυτός
Ένας μοναδικός τομέας παραγοντοποίησης
Ένας δακτύλιος αποτίμησης
Δακτύλιοι Ναιτεριανών ομάδων
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Έστω
![{\displaystyle R[G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cfc4570ea0faa6453735827f1e877904ecf78fe)
Ο δακτύλιος είναι αριστερά-Ναιτεριανός.Ο δακτύλιος είναι δεξιός-Ναιτεριανός.
Πράγματι,
![{\displaystyle R[G]\to R[G]^{\operatorname {op} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/722475972b9edeac817de0cfdcfca52d5b7894d8)
Έστω
Βασικά θεωρήματα
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Πολλά σημαντικά θεωρήματα
Αντιμεταθετική περίπτωση
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Πάνω
σ ε έναν αντιμεταθετικό Ναιτεριανό δακτύλιο, κάθε ιδεώδες έχει πρωτογενή διάσπαση,π ο υ σημαίνει ότι μπορείν α γραφτεί ως τομή πεπερασμένου αριθμού πρωτογενών ιδεωδών (τ ω ν οποίωνο ι ρίζες είναι όλες διαφορετικές), όπου ένα ιδεώδες Q ονομάζεται πρωτογενέςα ν είναι ορθόκ α ι κάθε φοράπ ο υ xy ∈ Q, είτε x ∈ Q είτε y n ∈ Qγ ι α κάποιο θετικό ακέραιο n. Παραδείγματος χάριν,α ν ένα στοιχείο είναι ένα γινόμενο δυνάμεων διακριτών πρώτων στοιχείων, τότεκ α ι έτσιη πρωτοβάθμια διάσπαση είναιμ ι α άμεση γενίκευση της πρωτοβάθμιας παραγοντοποίησης ακεραίωνκ α ι πολυωνύμων.[13] - Ένας Ναιτεριανός δακτύλιος ορίζεται
μ ε όρους αύξουσας αλυσίδας ιδανικών.Τ ο λήμμα Αρτίν-Ρις, απότ η ν άλλη πλευρά, δίνει κάποιες πληροφορίεςγ ι α μ ι α φθίνουσα αλυσίδα ιδανικώνπ ο υ δίνονται από δυνάμεις ιδανικών . Είναι ένα τεχνικό εργαλείοπ ο υ χρησιμοποιείταιγ ι α τ η ν απόδειξη άλλων βασικών θεωρημάτων, όπωςτ ο θεώρημα τομήςΚ ρ ο υ λ . Η θεωρίατ ω ν διαστάσεωντ ω ν αντιμεταθετικών δακτυλίων συμπεριφέρεται άσχημασ ε μ η -Ναιτεριανούς δακτυλίους-τ ο πολύ θεμελιώδες θεώρημα,τ ο θεώρηματ ο υ Κ ρ ο υ λ γ ι α τ o κύριο ιδεώδες, βασίζεται ήδησ τ η ν "Ν αιτεριανή" υπόθεση. Εδώ,σ τ η ν πραγματικότητα,η "Ν αιτεριανή" υπόθεση συχνάδ ε ν είναι αρκετήκ α ι αντί αυτής χρησιμοποιούνται συχνά (Ναιτεριανοί) δακτύλιοι, εκείνοιπ ο υ ικανοποιούνμ ι α ορισμένη θεωρητική παραδοχή διαστάσεων.Ο ι Ναιτεριανοί δακτύλιοιπ ο υ εμφανίζονταισ ε εφαρμογές είναι ως επίτ ο πλείστον καθολικά αλυσοειδείς.
Επίδραση σ ε αμφιμονοσήμαντα πρότυπα
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Δεδομένου ενός δακτυλίου, υπάρχει στενή σχέση μεταξύ της συμπεριφοράς
- R είναι ένας αριστερός Ναιτεριανός δακτύλιος.
- (Bass) Κάθε άμεσο άθροισμα ενέσιμων αριστερών R-modules είναι αμφιμονοσήμαντο [6].
- Κάθε αμφιμονοσήμαντο αριστερό R-module είναι άμεσο άθροισμα αδιάσπαστων εγχυτικών συνόλων.[14]
- ( Φέιθ-Γουόκερ) Υπάρχει ένας πληθικός αριθμός τέτοιος ώστε κάθε αμφιμονοσήμαντη αριστερή ενότητα πάνω από
τ ο ν Rν α είναι ένα άμεσο άθροισμα από -παραγόμενες ενότητες (μ ι α ενότητα είναι -παραγόμενηα ν έχει ένα σύνολο παραγομένωνμ ε πληθικότητατ ο πολύ ).[15]. - Υπάρχει ένα αριστερό R-module H τέτοιο ώστε κάθε αριστερό R-module
ν α ενσωματώνεταισ ε ένα άμεσο άθροισμα αντιγράφωντ ο υ H.[16]
Βιβλιογραφία
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, 13 (2 έκδοση), New York: Springer-Verlag,
σ ε λ . x+376, doi:, ISBN 0-387-97845-3 - Atiyah, M. F., MacDonald, I. G. (1969). Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley-Longman. (ISBN 978-0-201-40751-8)
- Bourbaki, Nicolas (1989). Commutative Algebra: Chapters 1-7 (
σ τ α Αγγλικά). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-19371-7. - Eisenbud, David (1995). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.
- Formanek, Edward; Jategaonkar, Arun Vinayak (1974). «Subrings of Noetherian rings». Proceedings of the American Mathematical Society 46 (2): 181–186. doi:. https://www.ams.org/journals/proc/1974-046-02/S0002-9939-1974-0414625-5/home.html.
- Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), D-modules, perverse sheaves, and representation theory, Progress in Mathematics, 236, Birkhäuser, doi:, ISBN 978-0-8176-4363-8, Zbl 1292.00026
- Lam, Tsit Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2nd έκδοση). New York: Springer.
σ ε λ . 19. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 0387951830. MR 1838439. - Chapter X of edition=3
Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ 1,0 1,1 Lam (2001), p. 19
- ↑ Eisenbud 1995, Exercise 1.1.
- ↑ Cohen, Irvin S. (1950). «Commutative rings with restricted minimum condition» (
σ τ α αγγλικά). Duke Mathematical Journal 17 (1): 27–42. doi:. ISSN 0012-7094. https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077475897. - ↑ Matsumura 1989, Theorem 3.5.
- ↑ Matsumura 1989, Theorem 3.6.
- ↑ 6,0 6,1 Anderson & Fuller 1992, Proposition 18.13.
- ↑ «Birkhoff-Witt theorem - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 16 Απριλίου 2024.
- ↑ Bourbaki 1989, Ch III, §2, no. 10, Remarks at the end of the number
- ↑ Hotta, Takeuchi & Tanisaki (2008, §D.1, Proposition 1.4.6)
- ↑ The ring of stable homotopy groups of spheres is not noetherian
- ↑ Formanek & Jategaonkar 1974, Theorem 3
- ↑ Ol’shanskiĭ, Aleksandr Yur’evich (1991). Geometry of defining relations in groups. Mathematics and Its Applications. Soviet Series (
σ τ α Αγγλικά). 70. Μτφρ. Bakhturin, Yu. A. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. doi:10.1007/978-94-011-3618-1. ISBN 978-0-7923-1394-6. ISSN 0169-6378. MR 1191619. Zbl 0732.20019. - ↑ Eisenbud 1995, Proposition 3.11.
- ↑ Anderson & Fuller 1992, Theorem 25.6. (b)
- ↑ Anderson & Fuller 1992, Theorem 25.8.
- ↑ Anderson & Fuller 1992, Corollary 26.3.
- ↑ Anderson & Fuller 1992, Lemma 25.4.
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
