出典 しゅってん 百科 ひゃっか 事典 じてん
数学 すうがく ネーター環 たまき （ネーターかん、英 えい Noetherian ring ）は、イデアル の昇 のぼり 鎖 くさり 条件 じょうけん 種 しゅ 有限 ゆうげん 性 せい 持 も 環 たまき 一種 いっしゅ エミー・ネーター によって提唱 ていしょう 有限 ゆうげん 生成 せいせい 条件 じょうけん 単項 たんこう 整 せい 域 いき 一般 いっぱん 化 か 見 み
環 たまき 対 たい 以下 いか 条件 じょうけん ZFC公理系 こうりけい のもとで同値 どうち
（昇 のぼり 鎖 くさり 条件 じょうけん 左 ひだり 任意 にんい 昇 のぼり 鎖 くさり 列 れつ 有限 ゆうげん 回 かい 停止 ていし
（極大 きょくだい 条件 じょうけん 左 ひだり 空 そら 任意 にんい 族 ぞく 包含 ほうがん 関係 かんけい 関 かん 極大 きょくだい 元 もと 持 も
（有限 ゆうげん 型 がた 条件 じょうけん 任意 にんい 左 ひだり 有限 ゆうげん 生成 せいせい これらの条件 じょうけん 一 ひと 従 したが 全部 ぜんぶ 満 み 環 たまき 左 ひだり 的 てき 左 ひだり 環 たまき 左 ひだり 全 すべ 右 みぎ 置 お 換 か 同様 どうよう 成 な 立 た 右 みぎ 環 たまき 定義 ていぎ 左 ひだり 的 てき 右 みぎ 的 てき 環 たまき 両側 りょうがわ 環 たまき 呼 よ 単 たん 環 たまき 呼 よ 考 かんが 環 たまき 可 か 換 かわ 環 たまき 左 ひだり 環 たまき 右 みぎ 環 たまき 自然 しぜん 両側 りょうがわ 環 たまき 的 てき 可 か 換 かわ 環 たまき 単 たん ネーター環 たまき と呼 よ 左右 さゆう 区別 くべつ 明確 めいかく 誤解 ごかい 虞 おそれ 場合 ばあい 左 ひだり 的 てき 右 みぎ 的 てき 的 てき 省略 しょうりゃく 呼 よ 環 たまき 用語 ようご 必 かなら 可 か 換 かわ 環 たまき 意味 いみ
可 か 換 かわ 環 たまき 任意 にんい 素 す 有限 ゆうげん 生成 せいせい 十分 じゅうぶん [1]
ネーター環 たまき 定義 ていぎ 包含 ほうがん 関係 かんけい 双対 そうつい 降 くだ 鎖 くさり 条件 じょうけん 極小 きょくしょう 条件 じょうけん 満 み 環 たまき アルティン環 たまき と呼 よ 環 たまき 一般 いっぱん 環 たまき 組成 そせい 列 れつ 持 も
ネーター環 たまき 定義 ていぎ 左 ひだり 右 みぎ 積 せき 加 か 群 ぐん 左 ひだり 右 みぎ 作用 さよう 読 よ 替 か 環 たまき 環 たまき 上 じょう 部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん 読 よ 替 か ネーター加 か 群 ぐん の概念 がいねん 得 え 左 ひだり 環 たまき 自然 しぜん 自身 じしん 上 うえ 左 ひだり 加 か 群 ぐん 加 か 群 ぐん 他 た
ネーター環 たまき 剰余 じょうよ 環 たまき 環 たまき 同 おな 環 たまき 準 じゅん 同型 どうけい 像 ぞう 環 たまき
ネーター環 たまき 部分 ぶぶん 環 たまき 環 たまき 限 かぎ R を関係 かんけい yx = y 2 = 0 をもった元 もと x と y で生成 せいせい Z -代数 だいすう 左 ひだり 環 たまき 右 みぎ 環 たまき 証明 しょうめい
R
=
Z
[
x
]
⊕
Z
[
x
]
y
{\displaystyle R=\mathbb {Z} [x]\oplus \mathbb {Z} [x]y}
直和 なおかず 分解 ぶんかい
Z
[
x
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}
部分 ぶぶん 環 たまき 基底 きてい 定理 ていり 後述 こうじゅつ 環 たまき R はネーター環 たまき
Z
[
x
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}
上 うえ 左 ひだり 加 か 群 ぐん 有限 ゆうげん 生成 せいせい ネーター加 か 群 ぐん 、したがって R 上 うえ 加 か 群 ぐん 左 ひだり 環 たまき 仮 かり R が右 みぎ 環 たまき R のイデアル
I
=
Z
[
x
]
y
{\displaystyle I=\mathbb {Z} [x]y}
有限 ゆうげん 生成 せいせい 右 みぎ R 加 か 群 ぐん x と y は I に右 みぎ 自明 じめい 作用 さよう I は有限 ゆうげん 生成 せいせい 群 ぐん
I
=
Z
y
⊕
Z
x
y
⊕
Z
x
2
y
⊕
⋯
{\displaystyle I=\mathbb {Z} y\oplus \mathbb {Z} xy\oplus \mathbb {Z} x^{2}y\oplus \dotsb }
に矛盾 むじゅん R は右 みぎ 環 たまき
ヒルベルトの基底 きてい 定理 ていり [ 編集 へんしゅう ] ネーター環 たまき 上 じょう 一変 いっぺん 数 すう 多項式 たこうしき 環 たまき 環 たまき ヒルベルトの基底 きてい 定理 ていり 独 どく Hilbertscher Basissatz 英 えい Hilbert's basis theorem 呼 よ 逆 ぎゃく 明 あき 成 な 立 た 代入 だいにゅう 写像 しゃぞう 考 かんが 帰納的 きのうてき 環 たまき 上 じょう 任意 にんい 有限 ゆうげん 個 こ 変数 へんすう 多項式 たこうしき 環 たまき 環 たまき 環 たまき 上 じょう 有限 ゆうげん 生成 せいせい 環 たまき 多項式 たこうしき 環 たまき 準 じゅん 同型 どうけい 像 ぞう 基底 きてい 定理 ていり 環 たまき 上 じょう 有限 ゆうげん 生成 せいせい 環 たまき 再 ふたた 環 たまき 従 したが 同様 どうよう 環 たまき 上 じょう 形式 けいしき 的 てき 級数 きゅうすう 環 たまき 環 たまき
可 か 換 かわ 環 たまき A の素 す P に対 たい 真 しん 減少 げんしょう 列 れつ
P
=
P
0
⊋
P
1
⊋
⋯
⊋
P
r
{\displaystyle P=P_{0}\supsetneq P_{1}\supsetneq \cdots \supsetneq P_{r}}
の長 なが r と定 さだ P で始 はじ 素 もと 真 しん 減少 げんしょう 列 れつ 長 なが 最大 さいだい 値 ち P の高 たか P で表 あらわ A の素 もと 限 かぎ I に対 たい 高 たか I を I を含 ふく 素 す 高 たか 最小 さいしょう 値 ち 定 さだ A がネーター環 たまき クルルの主 しゅ 定理 ていり [注釈 ちゅうしゃく 任意 にんい 素 す 高 たか 有限 ゆうげん 環 たまき A のクルル次元 じげん P が A の素 す 全体 ぜんたい 動 うご P の最大 さいだい 値 ち 定義 ていぎ 環 たまき 次元 じげん A の素 す 真 しん 上昇 じょうしょう 列 れつ 長 なが 環 たまき 定義 ていぎ 有限 ゆうげん 最大 さいだい 値 ち 一致 いっち 環 たまき 次元 じげん 常 つね 有限 ゆうげん 限 かぎ
^ クルルの標高 ひょうこう 定理 ていり
^ Cohen, I. S. (1950). “Commutative rings with restricted minimum condition” (英語 えいご Duke Mathematical Journal 17 (1): 27–42. doi :10.1215/S0012-7094-50-01704-2 . ISSN 0012-7094 . https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077475897 .
![{\displaystyle R=\mathbb {Z} [x]\oplus \mathbb {Z} [x]y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47e08af36a94d33aa68f55049d903c1e387a261)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4da3ac703cc7721ebba91a53f6752de7157124)
![{\displaystyle I=\mathbb {Z} [x]y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1997bf050a4454e5609c38332a4265e9d8b57ad5)
