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数学 すうがく においてネーター環 たまき (ネーターかん、英 えい : Noetherian ring )は、イデアル の昇 のぼり 鎖 くさり 条件 じょうけん などのある種 しゅ の有限 ゆうげん 性 せい を持 も つ環 たまき の一種 いっしゅ 。エミー・ネーター によって提唱 ていしょう された。すべてのイデアルは有限 ゆうげん 生成 せいせい という条件 じょうけん から単項 たんこう イデアル整 せい 域 いき の一般 いっぱん 化 か と見 み ることもできる。
環 たまき に対 たい して、以下 いか の 3 条件 じょうけん はZFC公理系 こうりけい のもとで同値 どうち である。
(昇 のぼり 鎖 くさり 条件 じょうけん ):左 ひだり イデアルの任意 にんい の昇 のぼり 鎖 くさり 列 れつ は有限 ゆうげん 回 かい で停止 ていし する。
(極大 きょくだい 条件 じょうけん ):左 ひだり イデアルの空 そら でない任意 にんい の族 ぞく は包含 ほうがん 関係 かんけい に関 かん する極大 きょくだい 元 もと を持 も つ。
(有限 ゆうげん 型 がた 条件 じょうけん ):任意 にんい の左 ひだり イデアルは有限 ゆうげん 生成 せいせい 。
これらの条件 じょうけん のどれか一 ひと つ、従 したが って全部 ぜんぶ を満 み たす環 たまき は左 ひだり ネーター的 てき であるあるいは左 ひだり ネーター環 たまき であるという。「左 ひだり イデアル」を全 すべ て「右 みぎ イデアル」に置 お き換 か えても同様 どうよう のことが成 な り立 た ち、右 みぎ ネーター環 たまき が定義 ていぎ される。左 ひだり ネーター的 てき かつ右 みぎ ネーター的 てき である環 たまき は両側 りょうがわ ネーター環 たまき と呼 よ ぶ(単 たん にネーター環 たまき と呼 よ ぶこともある)が、考 かんが えている環 たまき が可 か 換 かわ 環 たまき であれば左 ひだり ネーター環 たまき あるいは右 みぎ ネーター環 たまき は自然 しぜん に両側 りょうがわ ネーター環 たまき となる。ゆえにネーター的 てき 可 か 換 かわ 環 たまき は単 たん にネーター環 たまき と呼 よ ぶ(左右 さゆう の区別 くべつ が明確 めいかく であって誤解 ごかい の虞 おそれ のない場合 ばあい には、左 ひだり ネーター的 てき あるいは右 みぎ ネーター的 てき であることをネーター的 てき と省略 しょうりゃく して呼 よ ぶこともあるので、ネーター環 たまき という用語 ようご が必 かなら ずしも可 か 換 かわ ネーター環 たまき を意味 いみ するものというわけではない)。
可 か 換 かわ 環 たまき がネーターであるためには、任意 にんい の素 す イデアル が有限 ゆうげん 生成 せいせい であることが十分 じゅうぶん である[1] 。
ネーター環 たまき の定義 ていぎ において包含 ほうがん 関係 かんけい の双対 そうつい をとった、降 くだ 鎖 くさり 条件 じょうけん 、極小 きょくしょう 条件 じょうけん を満 み たす環 たまき をアルティン環 たまき と呼 よ ぶ。アルティン環 たまき は一般 いっぱん にネーター環 たまき となり、組成 そせい 列 れつ を持 も つ。
ネーター環 たまき の定義 ていぎ において、左 ひだり または右 みぎ からの積 せき を加 か 群 ぐん への左 ひだり または右 みぎ 作用 さよう に読 よ み替 か え、環 たまき のイデアルを環 たまき 上 じょう の部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん と読 よ み替 か えることによりネーター加 か 群 ぐん の概念 がいねん を得 え る。左 ひだり ネーター環 たまき とは自然 しぜん に自身 じしん の上 うえ の左 ひだり 加 か 群 ぐん とみてネーター加 か 群 ぐん であるものに他 た ならない。
ネーター環 たまき の剰余 じょうよ 環 たまき はネーター環 たまき である。あるいは同 おな じことだが、ネーター環 たまき の準 じゅん 同型 どうけい 像 ぞう はネーター環 たまき である。
ネーター環 たまき の部分 ぶぶん 環 たまき はネーター環 たまき とは限 かぎ らない。
R を関係 かんけい yx = y 2 = 0 をもった元 もと x と y で生成 せいせい される Z -代数 だいすう とすると、これは左 ひだり ネーター環 たまき だが右 みぎ ネーター環 たまき でない。証明 しょうめい 。
R
=
Z
[
x
]
⊕
Z
[
x
]
y
{\displaystyle R=\mathbb {Z} [x]\oplus \mathbb {Z} [x]y}
と直和 なおかず 分解 ぶんかい し、
Z
[
x
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}
は部分 ぶぶん 環 たまき であるがヒルベルトの基底 きてい 定理 ていり (後述 こうじゅつ )よりネーター環 たまき なので、R はネーター環 たまき
Z
[
x
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}
上 うえ 左 ひだり 加 か 群 ぐん として有限 ゆうげん 生成 せいせい なのでネーター加 か 群 ぐん 、したがって R 上 うえ でもネーター加 か 群 ぐん 、すなわち左 ひだり ネーター環 たまき である。また、仮 かり に R が右 みぎ ネーター環 たまき であるとすると、R のイデアル
I
=
Z
[
x
]
y
{\displaystyle I=\mathbb {Z} [x]y}
は有限 ゆうげん 生成 せいせい 右 みぎ R 加 か 群 ぐん であり、x と y は I に右 みぎ から自明 じめい に作用 さよう するので、 I は有限 ゆうげん 生成 せいせい アーベル群 ぐん となる。これは
I
=
Z
y
⊕
Z
x
y
⊕
Z
x
2
y
⊕
⋯
{\displaystyle I=\mathbb {Z} y\oplus \mathbb {Z} xy\oplus \mathbb {Z} x^{2}y\oplus \dotsb }
に矛盾 むじゅん する。したがって R は右 みぎ ネーター環 たまき でない。
ネーター環 たまき 上 じょう の一変 いっぺん 数 すう 多項式 たこうしき 環 たまき はまたネーター環 たまき である。これをヒルベルトの基底 きてい 定理 ていり (独 どく : Hilbertscher Basissatz 、英 えい : Hilbert's basis theorem )と呼 よ ぶ。逆 ぎゃく は明 あき らかに成 な り立 た つ(「0を代入 だいにゅう する写像 しゃぞう 」を考 かんが えよ)。帰納的 きのうてき にネーター環 たまき 上 じょう 任意 にんい 有限 ゆうげん 個 こ 変数 へんすう の多項式 たこうしき 環 たまき もネーター環 たまき である。環 たまき 上 じょう の有限 ゆうげん 生成 せいせい 環 たまき は多項式 たこうしき 環 たまき の準 じゅん 同型 どうけい 像 ぞう であるから、基底 きてい 定理 ていり からはネーター環 たまき 上 じょう の有限 ゆうげん 生成 せいせい 環 たまき が再 ふたた びネーター環 たまき となることが従 したが う。また同様 どうよう にしてネーター環 たまき 上 じょう の形式 けいしき 的 てき べき級数 きゅうすう 環 たまき もネーター環 たまき となる。
可 か 換 かわ 環 たまき A の素 す イデアル P に対 たい して、真 しん の減少 げんしょう 列 れつ
P
=
P
0
⊋
P
1
⊋
⋯
⊋
P
r
{\displaystyle P=P_{0}\supsetneq P_{1}\supsetneq \cdots \supsetneq P_{r}}
の長 なが さを r と定 さだ める。P で始 はじ まる素 もと イデアルの真 しん の減少 げんしょう 列 れつ の長 なが さの最大 さいだい 値 ち を P の高 たか さ (height) といい、ht P で表 あらわ す。また、A の素 もと とは限 かぎ らないイデアル I に対 たい しては、その高 たか さ ht I を I を含 ふく む素 す イデアルの高 たか さの最小 さいしょう 値 ち と定 さだ める。A がネーター環 たまき であるならば、クルルの主 しゅ イデアル定理 ていり (Krull's principal ideal theorem[注釈 ちゅうしゃく 1] )によって任意 にんい の素 す イデアルの高 たか さは有限 ゆうげん である。ネーター環 たまき A のクルル次元 じげん (Krull dimension)を、P が A の素 す イデアル全体 ぜんたい を動 うご くときの ht P の最大 さいだい 値 ち と定義 ていぎ する。ネーター環 たまき の次元 じげん は、A の素 す イデアルの真 しん の上昇 じょうしょう 列 れつ の長 なが さ(これは、ネーター環 たまき の定義 ていぎ から有限 ゆうげん )の最大 さいだい 値 ち と一致 いっち する。ネーター環 たまき のクルル次元 じげん は常 つね に有限 ゆうげん になるとは限 かぎ らない。
^ クルルの標高 ひょうこう 定理 ていり (Krull's height theorem)とも
^ Cohen, I. S. (1950). “Commutative rings with restricted minimum condition” (英語 えいご ). Duke Mathematical Journal 17 (1): 27–42. doi :10.1215/S0012-7094-50-01704-2 . ISSN 0012-7094 . https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077475897 .