昇のぼり鎖くさり条件じょうけん

昇のぼり鎖くさり条件じょうけん（しょうさじょうけん、英えい: ascending chain condition; ACC）および降くだ鎖くさり条件じょうけん（こうさじょうけん、英えい: descending chain condition; DCC）とは、ある代数だいすう的てき構造こうぞうが満みたす有限ゆうげん性せいに関かんする性質せいしつである。これらの性質せいしつを持もつ代数だいすう的てき構造こうぞうで最もっとも代表だいひょう的てきなものに、可か換かわ環たまきのイデアルがある^[1]^[2]^[3]。昇のぼり鎖くさり条件じょうけんおよび降くだ鎖くさり条件じょうけんは、ダフィット・ヒルベルト、エミー・ネーター、エミール・アルティンらが可か換かわ環たまきの構造こうぞうに関かんする理論りろんを構築こうちくする上じょうで、重要じゅうような役割やくわりを果はたした。

昇のぼり鎖くさり条件じょうけんおよび降くだ鎖くさり条件じょうけんそれ自体じたいは、いかなる半はん順序じゅんじょ集合しゅうごうに対たいしても意味いみを持もつような、抽象ちゅうしょう的てきな形式けいしきで表あらわすことができる。この考かんがえ方かたは Gabriel–Rentschler による抽象ちゅうしょう代数だいすうの次元じげんに関かんする理論りろんにおいて有用ゆうようである。

定義ていぎ

半はん順序じゅんじょ集合しゅうごう $P$ において、任意にんいの真しんの上昇じょうしょう列れつ $a 1 < a 2 < a 3 < ...$ が有限ゆうげん回かいで止とまるときに昇のぼり鎖くさり条件じょうけんが成なり立たつと言いう。この条件じょうけんは次つぎのようにもい換いかえられる。任意にんいの列れつ

a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots

に対たいして、ある自然しぜん数すう $n$ が存在そんざいして、

a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots

が成なり立たつ。

同様どうように、半はん順序じゅんじょ集合しゅうごう $P$ において、任意にんいの真しんの下降かこう列れつ $a 1 > a 2 > a 3 > ...$ が有限ゆうげん回かいで止とまるときに降くだ鎖くさり条件じょうけんが成なり立たつと言いう。この条件じょうけんは次つぎのようにもい換いかえられる。任意にんいの列れつ

a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots

に対たいして、ある自然しぜん数すう $n$ が存在そんざいして、

a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots

が成なり立たつ。

注釈ちゅうしゃく

「無限むげんに続つづく真しんの上昇じょうしょう／下降かこう列れつがない」ことと少すこし異ことなるそれよりも強つよい条件じょうけんとして、「任意にんいに長ながい真しんの昇のぼり鎖くさり／降くだ鎖くさり列れつが存在そんざいしない」（つまり列れつの長ながさの最大さいだい値ちが存在そんざいする）というものがある。
降くだ鎖くさり条件じょうけんを満みたすことと、整せい礎いしずえであること、つまり任意にんいの空そらでない部分ぶぶん集合しゅうごうが極小きょくしょう元もとをもつことは同値どうちである。これは極小きょくしょう条件じょうけん (minimal condition) とも呼よばれる。
昇のぼり鎖くさり条件じょうけんを満みたすことと、逆ぎゃく整せい礎いしずえであること、つまり任意にんいの空そらでない部分ぶぶん集合しゅうごうが極大きょくだい元もとをもつことは同値どうちである。これは極大きょくだい条件じょうけん (maximal condition) とも呼よばれる。
有限ゆうげん半はん順序じゅんじょ集合しゅうごうは昇のぼり鎖くさり条件じょうけんと降くだ鎖くさり条件じょうけんを満みたす。
降くだ鎖くさり条件じょうけんを満みたす全ぜん順序じゅんじょ集合しゅうごうは整列せいれつ集合しゅうごうと呼よばれる。

脚注きゃくちゅう

^ Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, p. 6, Prop. 1.1.4.
^ Fraleigh & Katz 1967, p. 366, Lemma 7.1.
^ Jacobson 2009, pp. 142, 147.

参考さんこう文献ぶんけん

Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (1969). Introduction to Commutative Algebra. Perseus Books. ISBN 0-201-00361-9
Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. (2004). Algebras, rings and modules. Kluwer Academic Publishers. ISBN 1-4020-2690-0
Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (1967). A first course in abstract algebra (5 ed.). Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-53467-3
Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra. I. Dover. ISBN 978-0-486-47189-1

[FOOTNOTEHazewinkelGubareniKirichenko20046Prop._1.1.4-1] Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, p. 6, Prop. 1.1.4.

[FOOTNOTEFraleighKatz1967366Lemma_7.1-2] Fraleigh & Katz 1967, p. 366, Lemma 7.1.

[FOOTNOTEJacobson2009142,_147-3] Jacobson 2009, pp. 142, 147.

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[3]

定義ていぎ

注釈ちゅうしゃく

脚注きゃくちゅう

関連かんれん項目こうもく

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