抽象ちゅうしょう代だい数学すうがく

群ぐんに似にた構造こうぞう
	全域ぜんいき性せい	結合けつごう性せい	単位たんい的てき	可逆かぎゃく的てき
群ぐん	Yes	Yes	Yes	Yes
モノイド	Yes	Yes	Yes	No
半はん群ぐん	Yes	Yes	No	No
ループ	Yes	No	Yes	Yes
準じゅん群ぐん	Yes	No	No	Yes
マグマ	Yes	No	No	No
亜あ群ぐん	No	Yes	Yes	Yes
圏けん	No	Yes	Yes	No

抽象ちゅうしょう代だい数学すうがく（ちゅうしょうだいすうがく、英えい: abstract algebra）とは、群ぐん、環たまき、体からだ、加か群ぐん、ベクトル空間くうかんや線型せんけい環たまきのように公理こうり的てきに定義ていぎされる代数だいすう的てき構造こうぞうに関かんする数学すうがくの研究けんきゅうの総称そうしょうである。

概要がいよう

二に十じゅう世紀せいき初頭しょとうの揺籃ようらん期きには現代げんだい代数だいすうともよばれ、数学すうがくにおける厳密げんみつさへの指向しこうのもととなった。はじめは数学すうがく全体ぜんたいと自然しぜん科学かがくの多おおくが依存いぞんしている古典こてん的てきな代数だいすうの論理ろんり的てき前提ぜんていが記号きごう論ろん理学りがくによる公理こうりの形かたちで書かき下くだされ、それをもとに群論ぐんろんや環たまき論ろんなどの理論りろんが純粋じゅんすい数学すうがくとして具現ぐげん化かするという形かたちで理論りろんが発展はってんした。現在げんざいでは抽象ちゅうしょう代数だいすう学がくという言葉ことばはそういった諸しょ分野ぶんやの総体そうたいを、実数じっすう、複素数ふくそすうや未知数みちすうからなる代数だいすう的てきな数式すうしきや方程式ほうていしきの変形へんけいのやり方かたをあつかう初等しょとう代数だいすう学がく（高校こうこうまでの代数だいすう）から区別くべつするために用もちいられている。この初等しょとう代数だいすう学がくは可か換かわ環たまき論ろんへの導入どうにゅう的てきな部分ぶぶんとみなすこともできる。

一ひとつの二に項こう内ない算法さんぽうからなる代数だいすう的てき構造こうぞうの最もっとも簡単かんたんなものはマグマであり、それに付加ふか的てきな条件じょうけんを課かすことで準じゅん群ぐん、モノイド、半はん群ぐんなどの、そして最もっとも重要じゅうような数学すうがく的てき構造こうぞうに数かぞえられる群ぐんの概念がいねんがえられる。 より複雑ふくざつな例れいとして、

• 二ふたつの内うち算法さんぽうを考かんがえる環たまきや体からだ
• 外そと算法さんぽうを考かんがえる加か群ぐんやベクトル空間くうかん
• さらにこれらの構造こうぞうをあわせた、体からだ上じょうの線型せんけい環たまき
• 結合けつごう的てき代数だいすうとリー環たまき
• より記号きごう論ろん理学りがく的てきな束たばやブール代数だいすう

などがあげられる。これらの対象たいしょうは、準じゅん同型どうけい（それぞれの構造こうぞうを保たもつ写像しゃぞう）とあわせて圏けんをなし、圏けん論ろんによって異ことなった種類しゅるいの代数だいすう的てき構造こうぞうの比較ひかくや翻訳ほんやくの枠組わくぐみが与あたえられる。

代数だいすう学がくの系統けいとう的てきな研究けんきゅうによって、異ことなった見みかけの概念がいねんに対たいし共通きょうつうの論理ろんり的てき説明せつめいが与あたえられるようになった。例たとえば、一方いっぽうでは正方まさかた行列ぎょうれつの和わや積せきを考かんがえることができ、もう一方いっぽうではベクトル空間くうかんの上うえの線型せんけい写像しゃぞうの和わや写像しゃぞうの合成ごうせいが考かんがえられる。これらはともに線型せんけい環たまきをなしているが、行列ぎょうれつを列れつベクトルの空間くうかん上じょうの線型せんけい写像しゃぞうと見みなしたり、ベクトル空間くうかんの基底きていを選えらんで線形せんけい写像しゃぞうを行列ぎょうれつ表示ひょうじしたりすることでこの二ふたつの概念がいねんが実際じっさいに等価とうかなものであることもわかる。

数学すうがく的てき対象たいしょうの具体ぐたい的てきな定義ていぎから離はなれてその構造こうぞうのみに着目ちゃくもくする考かんがえ方かたはエヴァリスト・ガロアにさかのぼることができる。エミー・ネーターやファン・デル・ヴェルデンによる加か群ぐんの研究けんきゅうと、それを引ひき継ついだブルバキの「数学すうがく原論げんろん」によって集合しゅうごう論ろん的てきな抽象ちゅうしょう代数だいすう学がくの今日きょう的てきな定式ていしき化かが達成たっせいされた。一方いっぽうで圏けん論ろん的てきな研究けんきゅうも進すすめられ、分類ぶんるいトポスの理解りかいなどが得えられた。

歴史れきし的てきには、様々さまざまな代数だいすう的てき構造こうぞうはいきなり抽象ちゅうしょう代数だいすう学がくにおいて定義ていぎされたというより、数学すうがくの他ほかの分野ぶんやで現あらわれ、その抽象ちゅうしょう代数だいすう的てきな構造こうぞうが公理こうり的てきに抽出ちゅうしゅつされている。このため抽象ちゅうしょう代数だいすう学がくはそれ以外いがいの数学すうがくの分野ぶんやとの間あいだに数々かずかずの結むすびつきがある。例たとえばソフス・リーによって19世紀せいきの終おわり頃ころにやっと取とり出だされた代数だいすう構造こうぞうであるリー環たまきなどの抽象ちゅうしょう代数だいすう学がくの結果けっかは、現代げんだいの様々さまざまな数学すうがくや数理すうり物理ぶつり学がくにおいて積極せっきょく的てきに利用りようされている。代数だいすう的てき整数せいすう論ろんや代数だいすう的てき位相いそう幾何きか学がく、代数だいすう幾何きか学がくなどは代数だいすうの手法しゅほうをほかの領域りょういきに適用てきようしている数学すうがくの分野ぶんやである。他方たほう、乱暴らんぼうない方いかたをすれば、数学すうがくにおける表現ひょうげん論ろんは「抽象ちゅうしょう代数だいすう」から「抽象ちゅうしょう」を取とり払はらうため、与あたえられた構造こうぞうの具体ぐたい的てきな現あらわれを研究けんきゅうしているということができる。

「抽象ちゅうしょう代数だいすう」という言葉ことばは代数だいすう系けいの一般いっぱん論ろんである普遍ふへん代数だいすう学がくで使つかわれることもあるが、たいていの著者ちょしゃは単たんに「代数だいすう」と言いってすませている。普遍ふへん代数だいすう学がくにおいては様々さまざまな代数だいすう的てき構造こうぞうの定義ていぎと性質せいしつが統一とういつ的てきに取とり扱あつかわれる。

関連かんれん項目こうもく

• 代数だいすう的てき構造こうぞう
• 線形せんけい代数だいすう学がく