可か換かわ体からだ

抽象ちゅうしょう代だい数学すうがくにおいて可か換かわ体からだ（かかんたい、仏ふつ: corps commutatif）あるいは単たんに体からだ（たい、英えい: field）とは、零れいでない可か換かわ可か除じょ環たまき、あるいは同おなじことだが非ひ零れい元げん全体ぜんたいが乗法じょうほうの下したで可か換かわ群ぐんをなすような環たまきのことである。そのようなものとして体からだは、適当てきとうなアーベル群ぐんの公理こうりと分配ぶんぱい則そくを満みたすような加法かほう、減法げんぽう、乗法じょうほう、除法じょほうの概念がいねんを備そなえた代数だいすう的てき構造こうぞうである。最もっともよく使つかわれる体からだは、実数じっすう体からだ、複素数ふくそすう体からだ、有理数ゆうりすう体からだであるが、他ほかにも有限ゆうげん体たい、関数かんすうの体からだ、代数だいすう体たい、p 進すすむ数すう体たいなどがある。

任意にんいの体からだは、線型せんけい代数だいすうの標準ひょうじゅん的てきかつ一般いっぱん的てきな対象たいしょうであるベクトル空間くうかんのスカラーとして使つかうことができる。（ガロア理論りろんを含ふくむ）体からだ拡大かくだいの理論りろんは、ある体からだに係数けいすうを持もつ多項式たこうしきの根ねに関係かんけいする。他たの結果けっかとして、この理論りろんにより、古典こてん的てきな問題もんだいである定規じょうぎとコンパスを用もちいた角かくの三さん等分とうぶん問題もんだいや円えん積せき問題もんだいが不可能ふかのうであることの証明しょうめいや五ご次じ方程式ほうていしきが代数だいすう的てきに解とけないというアーベル-ルフィニの定理ていりの証明しょうめいが得えられる。現代げんだい数学すうがくにおいて、体からだ論ろんは数かず論ろんや代数だいすう幾何きかにおいて必要ひつよう不可欠ふかけつな役割やくわりを果はたしている。

代数だいすう的てき構造こうぞうとして、すべての体からだは環たまきであるが、すべての環たまきが体からだであるわけではない。最もっとも重要じゅうような違ちがいは、体からだは（ゼロ除算じょざんを除のぞいて）除算じょざんができるが、環たまきは乗法じょうほう逆ぎゃく元もとがなくてもよいということである。例たとえば、整数せいすうの全体ぜんたいは環たまきをなすが、2x = 1 は整数せいすうにおいて解かいを持もたない。また、体からだにおける乗法じょうほう演算えんざんは可か換かわでなければならない。可か換かわ性せいを仮定かていしない除法じょほうの可能かのうな環たまきは可か除じょ環たまき、斜体しゃたい、あるいは体からだと呼よばれる。

環たまきとして、体からだは整せい域いきの特別とくべつなタイプとして分類ぶんるいでき、以下いかのようなクラスの包含ほうがんの鎖くさりがある。

可か換かわ環たまき ⊃ 整せい域いき ⊃ 整せい閉整域いき ⊃ 一意いちい分解ぶんかい環たまき ⊃ 単項たんこうイデアル整せい域いき ⊃ ユークリッド環たまき ⊃ 体からだ ⊃ 有限ゆうげん体たい

体からだをアルファベットで表あらわすときは、K（続つづいて L, M 等ひとし）を用もちいる慣例かんれいがある。これは体からだがドイツ語ごで "Körper" だからである。英語えいごの "field" の頭文字かしらもじをとって F が用もちいられることもある。F の次つぎの文字もじ G は群ぐんと紛まぎらわしいから、前まえの文字もじ E も用もちいられる。

定義ていぎ

「体からだ (数学すうがく)」も参照さんしょう

体からだとは、以下いかの条件じょうけんを満みたす加法かほうと乗法じょうほうと呼よばれる 2 つの二に項こう演算えんざんによって定さだまる代数だいすう的てき構造こうぞうのことである。以下いか、台たい集合しゅうごう K に加法かほう "+" と乗法じょうほう "×" が定さだめられているとし、乗法じょうほうの結果けっか（積せき） a × b は ab と略記りゃっきする。

• K は加法かほうに関かんしてアーベル群ぐんである：
  • a, b, c を K の任意にんいの元もととするとき、結合けつごう法則ほうそく a + (b + c) = (a + b) + c が成なり立たつ。
  • a + 0_K = 0_K + a = a が K の元もと a の取とり方かたに依よらずに満みたされる零れい元げんと呼よばれる特別とくべつな元もと 0_K が存在そんざいする。
  • a が K の元もとならばそれに対たいして a + (−a) = (−a) + a = 0_K を満みたす、マイナス元もとと呼よばれる元もと −a が常つねに存在そんざいする。
  • 交換こうかん法則ほうそくが成なり立たつ。つまり K のどんな元もと a, b についても、 a + b = b + a となる。
• K は乗法じょうほうに関かんしてモノイドであって、0 以外いがいの元もとが可か換かわ群ぐんをなす：
  • a, b, c を K の任意にんいの元もととするとき、結合けつごう法則ほうそく a(bc) = (ab)c が成なり立たつ。
  • a1_K = 1_Ka = a が K の零れい元げん 0_K でない元もと a の取とり方かたに依よらずに満みたされる単位たんい元もとと呼よばれる特別とくべつな元もと 1_K が存在そんざいする。
  • a が零れい元げん 0_K でない K の元もとならばそれに対たいして aa⁻¹ = a⁻¹a = 1_K を満みたす、逆ぎゃく元もとと呼よばれる元もと a⁻¹ が常つねに存在そんざいする。
  • 交換こうかん法則ほうそくが成なり立たつ。つまり K の任意にんいの非ひ零れい元げん a, b に対たいし ab = ba が成なり立たつ。
• 乗法じょうほうは加法かほうに対たいして分配ぶんぱい的てきである：a, b, c を K の任意にんいの元もととするとき、a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc が成なり立たつ。

また、この条件じょうけんを満みたす代数だいすう的てき構造こうぞうを備そなえた代数だいすう系けい (K, +, 0_K, ×, 1_K) あるいは省略しょうりゃくして単たんに集合しゅうごう K は「体からだを成なす」という。零れい元げんのみからなる集合しゅうごう {0} は 1 = 0 と見みれば上記じょうきの条件じょうけんを満みたし、自明じめいな体からだと呼よばれるが往々おうおう理論りろん的てきな障害しょうがいとなるため通常つうじょうは除外じょがいして考かんがえる。つまり、体からだの定義ていぎに通常つうじょうは

• 1 ≠ 0, すなわち乗法じょうほうは零れい元げんでない単位たんい元もとを持もつ。

なる条件じょうけんを加くわえる。

例れい

F₂ = {0,1} の演算えんざん表ひょう

加法かほう + 0 1 0 0 1 1 1 0

乗法じょうほう × 0 1 0 0 0 1 0 1

• 有理数ゆうりすうの全体ぜんたい Q は体からだである。
• 実数じっすうの全体ぜんたい R や複素数ふくそすうの全体ぜんたい C も体からだである。
• {0, 1} に対たいし表ひょうのように演算えんざんを定義ていぎすると、これは二元にげん体たいと呼よばれる体からだになり、F₂ などと表あらわす。一見いっけんつまらない例れいであるようだが、この体からだは符号ふごう理論りろんなどに応用おうようを持もっている。
• より一般いっぱんに、p を素数そすうとするとき、集合しゅうごう {0, 1, …, p − 1} に演算えんざんを定義ていぎして体からだにすることができる。この体からだを有限ゆうげん体たいと呼よび、F_p, Z/pZ または GF(p) などと書かく。
• 体からだ k 上うえの有理ゆうり関数かんすうの全体ぜんたい k(x₁, …, x_n) も体からだである。
• 体からだ k 上うえの形式けいしき的てきローラン級数きゅうすうの全体ぜんたい k((x₁, …, x_n)) も体からだである。
• 代数だいすう的てき数すうの全体ぜんたい Q や代数だいすう的てきな実数じっすうの全体ぜんたい Q ∩ R も体からだである。
• 素数そすう p に対たいして p 進数しんすうの全体ぜんたい Q_p も体からだである。
• 定規じょうぎとコンパスによって作図さくず可能かのうな複素数ふくそすう（作図さくず可能かのう数すう）の全体ぜんたいや実数じっすう（作図さくず可能かのう実数じっすう）の全体ぜんたいも体からだである。

諸しょ概念がいねん

「体からだ論ろん用語ようご一覧いちらん」も参照さんしょう

体からだ K が与あたえられたとき、その乗法じょうほう構造こうぞうを忘わすれて加法かほうに関かんするアーベル群ぐんと見みたときの代数だいすう系けい (K, +) を体からだ K の加法かほう群ぐんと呼よぶ。加法かほう群ぐんを K⁺ や G_a(K) と記しるす場合ばあいもある。また乗法じょうほう構造こうぞうのみに注目ちゅうもくして、0 を除のぞく K の元もとの全体ぜんたい K^* に乗法じょうほうを与あたえて得えられる代数だいすう系けい (K^*, ×) は群ぐんであり、乗法じょうほう群ぐんと呼よばれる。K の乗法じょうほう群ぐんをしばしば K^× とも記しるし、G_m(K) と記しるされることもある。体からだ K の乗法じょうほう群ぐんの任意にんいの有限ゆうげん部分ぶぶん群ぐんは巡回じゅんかい群ぐんである。

体からだの元もとの濃度のうどを位い数すうといい、有限ゆうげんな位い数すうを持もつ体からだを有限ゆうげん体たいと呼よび、そうでない体からだを無限むげん体たいと呼よぶ。有限ゆうげん斜体しゃたいは常つねに可か換かわ体からだである（ウェダバーンの小しょう定理ていり）。

n1 で単位たんい元もと 1 を n 回かい足たしたものを表あらわすとき、n1 = 0 となるような正せいの整数せいすう n のうち最もっとも小ちいさなものをその体からだの標しるべ数すうという。ただし、そのような n が存在そんざいしないとき標しるべ数すうは 0 であると決きめる。体からだの標しるべ数すうは 0 または素数そすうである。

体からだは 0 以外いがいの元もとが全すべて可逆かぎゃくとなる単位たんい的てき環たまきである。したがって、そのイデアルや部分ぶぶん環たまきの概念がいねんを考かんがえることができるが、体からだは自明じめいでないイデアルを持もたない（これを体からだは単純たんじゅん環たまきであるという）。体からだの単位たんい的てき環たまきとしての部分ぶぶん環たまきが再ふたたび体からだをなすとき、部分ぶぶん体たいという。

体からだ K, L とその間あいだの写像しゃぞう f: K → L が与あたえられたとき、f が体からだの準じゅん同型どうけいであるとは、単位たんい的てき環たまきとしての準じゅん同型どうけいであることをいう。つまり、体からだ準じゅん同型どうけい f は K の任意にんいの元もと a, b および、K, L それぞれの単位たんい元もと 1_K, 1_L に対たいして

$f(a+b)=f(a)+f(b)$

$f(ab)=f(a)f(b)$

$f(1_{K})=1_{L}$

を全すべて満みたす。また、その像ぞう Im(f) = {f(x) | x ∈ K} は L の部分ぶぶん体たいとなり、核かく Ker(f) = {x ∈ K | f(x) = 0_L} は K のイデアルとなるが、体からだが単純たんじゅん環たまきであることと単位たんい元もとが零れい元げんに写うつることはないことから、体からだの準じゅん同型どうけいは必かならず単たん射いになる。したがって、体からだの準じゅん同型どうけい f: K → L の像ぞう Im(f) は K に体からだとして同型どうけいである。これを中なかへの同型どうけいと呼よび、さらに f が全ぜん射いであるとき上うえへの同型どうけいであるという。

関連かんれん項目こうもく

• 環たまき論ろん
• ベクトル空間くうかん
• 有限ゆうげん体たい
• 標しるべ数すう

外部がいぶリンク

• Weisstein, Eric W. "Field". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Kuz'min, L.V. (2001), “Field”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Field&oldid=29756