體からだ (數學すうがく)

場ば（英文えいぶん：field），又また譯わけ做體からだ（法文ほうぶん：corps、西にし班はん牙きば文ぶん：cuerpo）係がかり一いち種しゅ代數だいすう結構けっこう。同時どうじ，佢又係がかり環たまき又また係かかり域いき。即そく係がかり一いち個こ可か以做加か、減げん、乘の、除じょ嘅環。

場ば可か以睇做最簡單かんたん嘅一いち種しゅ環たまき，因いん為ため佢嘅理想りそう只ただ有ゆう兩個りゃんこ，一いち個こ係がかり零れい理想りそう，另一個係成個場自己。

佢主要よう經けい擴張かくちょう域いき嚟討論ろん多項式たこうしき嘅根，即そく係がかり伽とぎ華はな理論りろん。

代數だいすう幾何きか入いれ面めん都と成なる日にち會かい用よう到いた場じょう同どう埋うめ場じょう擴張かくちょう，例れい如畀一いち個こ幾何きか物體ぶったい，可か以考慮こうりょ佢嘅函數かんすう場じょう（Function field），而呢個こ函數かんすう場じょう好こう多た時じ都と包含ほうがん住じゅう好こう多た原本げんぽん嘅幾何なん物件ぶっけん嘅資訊。同どう伽とぎ華はな理論りろん唔同嘅係，代數だいすう幾何きか入いれ面めん考慮こうりょ嘅場，佢嘅超越ちょうえつ維度（transcendental degree）好こう多た時じ都と係がかり大過たいか0，而伽華はな理論りろん入いれ面めん考慮こうりょ嘅就好こう多た時じ都と係がかり0維嘅。

定義ていぎ

純じゅん代數だいすう定義ていぎ

一いち個こ集しゅう${\textbf {F}}$，再さい加か兩個りゃんこ二元にげん運算うんざん$+$（加か）同どう$\times$（乘の），重じゅう有ゆう兩りょう粒つぶ特別とくべつ嘅元素げんそ，一粒ひとつぶ係がかり$0$；一いち粒つぶ係がかり$1$，呢個設定せってい符合ふごう以下いか條件じょうけん：

1. $({\textbf {F}},+,0)$係かかり阿おもね標しるべ群ぐん。
2. $({\textbf {F}}\backslash \{0\},\times ,1)$係かかり阿おもね標しるべ群ぐん。
3. 對應たいおう任にん何なに$a$，$b$同どう$c$喺${\textbf {F}}$入いれ面めん，$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$。

咁${\textbf {F}}$就係一いち個こ場じょう。

環たまき論ろん角度かくど定義ていぎ

利用りよう環たまき論ろん嘅角度かくど嚟睇，場じょう都と可か以有同どう上面うわつら一いち樣よう嘅定義ていぎ：

「一いち個こ帶たい${\underline {1}}$嘅可か溝みぞ通どおり環たまき，如果佢入面めん所有しょゆう非ひ零れい嘅嘢都と係がかり可逆かぎゃく元もと（Unit），咁佢就係一いち個こ場じょう。」

利用りよう多項式たこうしき定義ていぎ

從したがえ上面うわつら嘅定義ていぎ可か以引伸しん出で以下いか呢個定義ていぎ：

「喺一いち個こ可か溝みぞ通どおり環たまき到いた，當とう$a\neq 0$，$ax=b$條じょう方かた程ほど永遠えいえん有ゆう解かい嘅話，咁佢就係一いち個こ場じょう。」

明あかり顯あらわ，個こ解かい就係$x=a^{-1}b$。換かわ句く話はなし講こう，呢個環たまき可か以做到加か、減げん、乘の、除じょ。

例れい子こ

• $\mathbb {Q}$ —— 有理數ゆうりすう；
• $\mathbb {R}$ —— 實數じっすう；
• $\mathbb {Z} _{5}$ —— 整數せいすう除じょ以5嘅餘數すう嘅等價とうか類るい。

以上いじょう呢三さん個こ都と係がかり場じょう。

場ば係がかり域いき

根據こんきょ定義ていぎ，明あきら顯あきら場じょう就係一いち個こ域いき（Integral Domain）。可か以引伸しん到いた以下いか定義ていぎ：

「一個場係無兩粒非零嘢乘埋係零，即そく係がかり無むZero Divisor。」

證明しょうめい：

如果${\textbf {F}}$係かかり一いち個こ場じょう。設しつらえ$a\in {\textbf {F}}$，$a\neq 0$。

如果$ab=0$，咁$0=a^{-1}\cdot 0=a^{-1}\cdot (a\cdot b)=b$。

咁即係がかり任にん何なん兩りょう粒つぶ非ひ零れい嘢乘埋うめ唔係零れい。

睇埋

• 域いき
• 有限ゆうげん場じょう
• 環かん同位どうい轉換てんかん
• 擴展場じょう