直接ちょくせつ證明しょうめい

直接ちょくせつ證明しょうめい（粵拼：Zik⁶ zip³ zing³ ming⁴；英文えいぶん：Direct Proof），又また叫さけべ推導，係かかり數學すうがく證明しょうめい嘅方法ほう之の一いち，亦また都と係がかり最さい普及ふきゅう同どう埋うめ常用じょうよう嘅。有ゆう句く話ばなし：「有ゆう時じ最さい直接ちょくせつ嘅解決かいけつ方法ほうほう係がかり最さい簡單かんたん。」就正正ただし最さい可か以代表だいひょう直接ちょくせつ證明しょうめい。呢個證明しょうめい方法ほうほう係がかり先さき揾出一啲數學家覺得唔使證明都可以當係真嘅命題めいだい（粵拼：Ming⁶ tai⁴；Proposition）或ある者もの之の前ぜん已やめ經けい證明しょうめい咗嘅定理ていり（粵拼：Ding⁶ lei⁵；Theorem），用もちい純じゅん邏輯推理すいり（粵拼：Teoi¹ lei⁵；Deductive reasoning）去さ推個結論けつろん出で嚟。

概念がいねん

大だい部分ぶぶん定理ていり都と可か以分做「如果 $A$ 成立せいりつ，咁 $B$ 就成立せいりつ。」如果 $A$ 令れい到いた $A_{1}$ 成立せいりつ，而 $A_{1}$ 令れい到いた $A_{2}$ 成立せいりつ，如此類推るいすい。最後さいご $A_{n}$ 令れい到いた $B$ 成立せいりつ，咁樣「 $A\implies B$ 」。

利用りよう邏輯運算うんざん字じ表ひょう達たち嘅話係がかり：

$A\implies A_{1}\implies A_{2}\implies \cdots A_{n}\implies B$

例れい子こ

證明しょうめい：「假設かせつ整數せいすう $m\in \mathbb {Z}$ 。如果 $m$ 係かかり單數たんすう，咁樣 $m^{2}$ 都と係がかり單數たんすう。」

答案とうあん

如果

m

係かかり單數たんすう，即そく係がかり話ばなし對應たいおう任にん何なん整數せいすう

r\in \mathbb {Z}

，

m=2r+1

。

由よし此，

$m^{2}=(2r+1)^{2}=4r^{2}+4r+1=2(2r^{2}+2r)+1$

所以ゆえん， $m^{2}$ 係かかり單數たんすう。

證明しょうめい：「任にん何なん兩個りゃんこ實數じっすう $m,n\in \mathbb {Z}$ 。如果 $n>m>0$ ，咁樣 ${\frac {m+1}{n+1}}>{\frac {m}{n}}$ 。」

草稿そうこう：其實係がかり點てん樣さま諗到個こ證明しょうめい呢？利用りよう下面かめん呢條式しき，睇下係がかり唔係真しん係がかり $n>m$ 。

${\begin{aligned}{\frac {m+1}{n+1}}&>{\frac {m}{n}}\\(m+1)n&>m(n+1)\\mn+n&>mn+m\\n&>m\\\end{aligned}}$

答案とうあん

利用りよう上面うわつら：

${\begin{aligned}n&>m\\mn+n&>mn+m\\(m+1)n&>m(n+1)\\{\frac {m+1}{n+1}}&>{\frac {m}{n}}\\\end{aligned}}$

證明しょうめい方かた程ほど相等そうとう

如果要よう證明しょうめい一いち條じょう方かた程ほど相等そうとう，除じょ咗正常つね嘅左面めん等とう於右面めん之の外そと，亦また可か以利用りよう以下いか幾いく個こ方法ほうほう：

$x-y=0\iff x=y$
$x\leq y$ 同どう埋うめ $x\geq y\iff x=y$
$x=z$ 同どう埋うめ $y=z\iff x=y$

例れい子こ：「證明しょうめい $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$ 。」

證明しょうめい：利用りよう左ひだり面めん等とう於右面めん

利用りよう $\sin \theta$ 同どう $\cos \theta$ 嘅定義ていぎ證明しょうめい，留意りゅうい畢氏定理ていり嘅應用おうよう。

${\begin{aligned}\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta &=({\frac {o}{h}})^{2}+\cos ^{2}\theta ,\quad \sin \theta ={\frac {o}{h}}\\&=({\frac {o}{h}})^{2}+({\frac {a}{h}})^{2},\quad \cos \theta ={\frac {a}{h}}\\&={\frac {o^{2}+a^{2}}{h^{2}}}\\&={\frac {h^{2}}{h^{2}}},\quad o^{2}+a^{2}=h^{2}{\text{ (Pyth. Thm.)}}\\&=1\end{aligned}}$

證明しょうめい：利用りよう

x-y=0\iff x=y

同どう上面うわつら差さ唔多，

${\begin{aligned}\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta -1&=({\frac {o}{h}})^{2}+\cos ^{2}\theta -1,\quad \sin \theta ={\frac {o}{h}}\\&=({\frac {o}{h}})^{2}+({\frac {a}{h}})^{2}-1,\quad \cos \theta ={\frac {a}{h}}\\&={\frac {o^{2}+a^{2}}{h^{2}}}-1\\&={\frac {h^{2}}{h^{2}}}-1,\quad o^{2}+a^{2}=h^{2}{\text{ (Pyth. Thm.)}}\\&=1-1\\&=0\end{aligned}}$

雙そう向むこう式しき證明しょうめい

雙そう向むこう式しき定義ていぎ

雙そう向むこう式しき（粵拼：Soeng¹ hoeng³ sik¹；If and only If Statement）係がかり邏輯上うえ嘅一類句るいく字じ，佢係指ゆび嗰句句く子こ無論むろん順じゅん方向ほうこう定じょう係がかり逆ぎゃく方向ほうこう都と啱嘅。喺數學すうがく語ご言げん上うえ佢係用よう「 $\iff$ 」邏輯運算うんざん子こ嚟代表だいひょう嘅。

一般句字都未必係雙向，例れい如話：「老母ろうぼ係がかり女人にょにん。」但ただし係かかり，女人にょにん未必みひつ係がかり老母ろうぼ。用よう邏輯運算うんざん子こ嚟表達たち， $A\implies B$ 唔代表だいひょう $B\implies A$ 。

因いん此，證明しょうめい雙そう向むこう式しき需要じゅよう證明しょうめい兩個りゃんこ方向ほうこう，「 $\implies$ 」同どう埋うめ「 $\Longleftarrow$ 」。

例れい子こ

證明しょうめい：「假設かせつ $a,b,c\in \mathbb {R}$ ，咁 $ax^{2}+bx+c=0\iff {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ 。」

證明しょうめい：呢個

\implies

方向ほうこう

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\(x+{\frac {b}{2a}})^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x&={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\\&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\\end{aligned}}$

證明しょうめい：呢個

\Longleftarrow

方向ほうこう

${\begin{aligned}x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\\(x+{\frac {b}{2a}})^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\ax^{2}+bx+c&=0\\\end{aligned}}$

證明しょうめい一個集係另一個集嘅子集

假設かせつ一個數學家想要證明一個集しゅう（Set） $A$ 係かかり另一いち個こ集しゅう $B$ 嘅子こ集しゅう（Subset），即そく係がかり要よう證明しょうめい $A\subset B$ 。如果喺 $A$ 入いれ面めん搵任何なん一いち粒つぶ嘢 $a$ （即そく係がかり $a\in A$ ），佢同時又ときまた係がかり $B$ 嘅嘢（即そく係がかり $a\in B$ ）嘅話，咁就證明しょうめい到いた $A\subset B$ 。

例れい子こ：「證明しょうめい任にん何なん兩個りゃんこ集しゅう $A$ 、 $B$ ， $A\cap B\subset A\cup B$ 」

答案とうあん

揀任何なん一いち粒つぶ嘢 $x\in A\cap B$ 。

${\begin{aligned}&x\in A\cap B\\\implies &x\in A{\text{ and }}x\in B\\\implies &x\in A{\text{ or }}x\in B\\\implies &x\in A\cup x\in B\end{aligned}}$

證明しょうめい兩個りゃんこ集しゅう相等そうとう

如果想おもえ要よう證明しょうめい兩個りゃんこ集しゅう $A$ 、 $B$ 係かかり一いち樣よう嘅，就需要よう證明しょうめい $A\subseteq B$ 同どう埋うめ $B\subseteq A$ ，咁樣先さき至いたり可か以話 $A=B$ 。

更さら多た例れい子こ

以下いか幾いく個こ證明しょうめい都と可か以利用りよう直接ちょくせつ證明しょうめい好こう簡單かんたん就搞掂：

如果 $n$ 係かかり雙そう數すう，咁 $2^{n}-1$ 就唔會かい係がかり質しつ數すう。
兩個りゃんこ連續れんぞく單數たんすう加か埋うめ係がかり四よん嘅倍數すう。
如果 $f:X\to Y$ 係かかり一いち個こ由ゆかり $X$ 射い去ざ $Y$ 嘅函數すう。設しつらえ $A$ 同どう $B$ 都と係がかり $X$ 嘅子集しゅう。咁「 $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$ 」，「 $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$ 」都と係がかり成立せいりつ。
如果 $A$ 、 $B$ 同どう $C$ 都と係がかり集しゅう，咁「 $A\cap (B\cap C)\subseteq B\cup (A\cup C)$ 」、「 $(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)$ 」同どう「 $(A\times B)\cup (C\times D)\subseteq (A\cup C)\times (B\cup D)$ 」都と成立せいりつ。
如果 $A$ 同どう $B$ 都と係がかり $X$ 嘅子集しゅう，「 $A\subseteq B\iff A\cap B^{c}=\varnothing \iff A^{c}\cup B=X$ 」。

睇埋

參考さんこう

Barwise, J. (Ed.). (1982). Handbook of mathematical logic (Vol. 90). Elsevier.