反證はんしょう法ほう

反證はんしょう法ほう（粵拼：Faan² zing³ faat³；英文えいぶん：Proof by contradiction），又また叫さけべ做證あかし偽にせ法ほう、矛盾むじゅん證明しょうめい，係かかり一いち個こ數學すうがく上うえ一いち個こ攞嚟證明しょうめい啲嘢唔啱嘅方法ほう。係かかり拉ひしげ丁ちょう文あや入いれ面めん，反證はんしょう法ほう畀人嗌做「reductio ad absurdum」，意思いし係がかり「推斷すいだん出で荒あら謬嘅嘢」。

呢個方法ほうほう嘅橋妙みょう係がかり咁：首くび先さき整せい一いち個こ命題めいだい（Proposition） $p$ ，然しか後こう就假設かせつ（Assume） $p$ 呢個命題めいだい係がかり啱嘅；跟住就推一いち啲只要よう $p$ 係かかり啱，就一定會發生嘅結果出嚟，最後さいご就指出で呢個結果けっか係がかり唔成立せいりつ或ある者もの係がかり喺邏輯上うえ矛盾むじゅん嘅，咁就可か以證明しょうめい $p$ 係かかり錯嘅。

真ま值表[編輯へんしゅう]

反證はんしょう法ほう可か以用真ま值表嚟證明しょうめい：因いん為ため如果「 $p\rightarrow q$ 」係がかり真しん（True；T）但ただし係かかり $q$ 係かかり假かり（False；F）嘅，咁 $p$ 嘅值只ただ可能かのう係がかり假かり。

**推論すいろん**
$p$	$q$	$p$ → $q$
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

簡單かんたん例れい子こ[編輯へんしゅう]

要求ようきゅう：

證明しょうめい「如果 $n\in \mathbb {Z}$ 係かかり一いち個こ單數たんすう，咁 $n^{2}$ 都會とかい係がかり一いち個こ單數たんすう」。

證明しょうめい：

假設かせつ有ゆう個こ情況じょうきょう， $n\in \mathbb {Z}$ 係かかり一いち個こ單數たんすう，但ただし係かかり $n^{2}$ 係かかり一いち個こ雙そう數すう。

即そく係かかり對應たいおう某ぼう啲 $k\in \mathbb {Z}$ ， $n=2k+1$ 。計けい吓

{\begin{aligned}n^{2}&=(2k+1)^{2}\\&=4k^{2}+2k+1\\\end{aligned}}

好明よしあき顯あきら呢個情況じょうきょう下か $n^{2}$ 唔係一いち個こ雙そう數すう，所以ゆえん同どう前提ぜんてい矛盾むじゅん。所以ゆえん $n^{2}$ 佢一定いってい係がかり個こ單數たんすう。「如果 $n\in \mathbb {Z}$ 係かかり一いち個こ單數たんすう，咁 $n^{2}$ 有ゆう可能かのう係がかり一いち個こ雙そう數すう」呢句嘢唔成立せいりつ－「如果 $n\in \mathbb {Z}$ 係かかり一いち個こ單數たんすう，咁 $n^{2}$ 都會とかい係がかり一いち個こ單數たんすう」。

進すすむ階かい例れい子こ[編輯へんしゅう]

要求ようきゅう：

證明しょうめい冇任何なん兩個りゃんこ正せい整數せいすう（Positive integer） $x,y\in \mathbb {Z} _{>0}$ 可か以乎合あい $x^{2}-y^{2}=1$ 呢條式しき。呢個證明しょうめい需要じゅよう用よう到いた分類ぶんるい證明しょうめい（Proof by exhaustion）。

證明しょうめい：

假設かせつ有ゆう兩個りゃんこ正せい整數せいすう $x,y\in \mathbb {Z} _{>0}$ 符合ふごう $x^{2}-y^{2}=1$ 呢條式しき。（假設かせつ）

利用りよう $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ ，得知とくち $(x+y)(x-y)=1$ 。

如果淨きよし係がかり睇整數せいすう， $1$ 只ただ可か以係 $1\cdot 1=1$ 同どう $-1\cdot -1=1$ 嗰度嚟。

如果係がかり $1\cdot 1=1$ ，即そく係がかり $x+y=1$ 同どう $x-y=1$ 。

因いん此， $x=1,y=0$ 。（由よし假設かせつ推出個こ矛盾むじゅん－因いん為ため唔可能かのう有ゆう一個正整數係比一更細。）

如果係がかり $-1\cdot -1=1$ ，即そく係がかり $x+y=-1$ 同どう $x-y=-1$ 。

因いん此， $x=-1,y=0$ 。（又また試ためし由よし假設かせつ推出個こ矛盾むじゅん：更さら冇可能かのう，因いん為ため要求ようきゅう正せい整數せいすう。）

總括そうかつ所有しょゆう可能かのう，個こ假設かせつ都と係がかり唔成立せいりつ，所以ゆえん一定いってい唔存在そんざい $x,y\in \mathbb {Z} _{>0}$ －冇任何なん兩個りゃんこ正せい整數せいすう可か以乎合あい $x^{2}-y^{2}=1$ 呢條式しき。

${\sqrt {2}}$ 係かかり非有理ひゆうり數すう[編輯へんしゅう]

要求ようきゅう：

利用りよう矛盾むじゅん證明しょうめい嚟證明しょうめい「 ${\sqrt {2}}$ 係かかり非ひ有理數ゆうりすう（Irrational number；冇辦法用ほうよう整數せいすう寫うつし做分數ぶんすう嘅數字すうじ）。」

證明しょうめい：

假設かせつ ${\sqrt {2}}$ 可か以係個こ有理數ゆうりすう（Rational number；可か以用整數せいすう寫うつし做分數すう嘅數字すうじ）。咁即係がかり喺至少しょう一いち個こ情況じょうきょう下か ${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$ ，而 $m\in \mathbb {Z}$ 同どう $n\in \mathbb {Z}$ 都と係がかり整數せいすう。

喺呢度ど，進しん一いち步ほ假設かせつ ${\frac {m}{n}}$ 係かかり已やめ經けい約やく咗簡，費ひ事ごと有ゆう約數やくすう嘅撈絞しぼ。

${\begin{aligned}{\sqrt {2}}&={\frac {m}{n}}\\({\sqrt {2}})^{2}&={\bigl (}{\frac {m}{n}}{\bigr )}^{2}\\2&={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\\2n^{2}&=m^{2}\end{aligned}}$

由よし上面うわつら得とく出で， $m^{2}$ 係かかり雙そう數すう。

假設かせつ $m$ 係かかり單數たんすう，利用りよう簡單かんたん例れい子こ嘅定理ていり，咁 $m^{2}$ 一定いってい係がかり單數たんすう。（矛盾むじゅん：因よし為ため $m^{2}$ 係かかり雙そう數すう。）

所以ゆえん， $m$ 係かかり雙そう數すう，而且可か以寫成なり $m=2k$ ， $k\in \mathbb {Z}$ 係かかり某ぼう個こ整數せいすう。

${\begin{aligned}2n^{2}&=m^{2}\\2n^{2}&=(2k)^{2}\\2n^{2}&=4k^{2}\\n^{2}&=2k^{2}\end{aligned}}$

利用りよう上面うわつら，再さい總そう結ゆい得とく出で $n$ 係かかり雙そう數すう，而且可か以寫成なり $n=2j$ ， $j\in \mathbb {Z}$ 係かかり某ぼう個こ整數せいすう。

${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}={\frac {2k}{2j}}={\frac {k}{j}}$

因いん為ため，假設かせつ ${\frac {m}{n}}$ 係かかり已やめ經けい約やく咗簡，所以ゆえん唔可以有另一いち個こ ${\frac {k}{j}}$ 。

所以ゆえん ${\sqrt {2}}$ 唔可以用整數せいすう寫うつし做分數すう。

可か以利用りよう呢個步ふ驟推出で ${\sqrt {3}}$ 、 ${\sqrt {5}}$ 、 ${\sqrt {p}}$ ， $p$ 係かかり質しつ數すう，都と唔係有理數ゆうりすう。