數學すうがく歸納きのう法ほう

數學すうがく歸納きのう法ほう（粵拼：Sou³ hok⁶ gwai¹ naap⁶ faat³；英文えいぶん：Proof by mathematical induction）係がかり一いち種しゅ數學すうがく上うえ常用じょうよう嘅證明しょうめい方法ほうほう。利用りよう自然しぜん數すう（Natural number）嘅性質せいしつ去さ證明しょうめい一個有排序嘅命題めいだい（Proposition）。

數學すうがく歸納きのう法ほう法則ほうそく

數學すうがく歸納きのう法ほう法則ほうそく（Principal Mathematical Induction）係數けいすう學がく歸納きのう法ほう證明しょうめい命題めいだい嘅邏輯。

首くび先さき要よう證明しょうめい以下いか呢兩樣さま嘢：

• 當とう $n=1$ 嘅時候じこう，$P_{n}$ 呢個命題めいだい係がかり啱嘅；
• 當とう $P_{k}$ 呢個命題めいだい係がかり啱嘅時候じこう，可か以引伸しん到いた $P_{k+1}$ 都と係がかり啱嘅；

假かり如以上じょう兩りょう點てん成立せいりつ到いた嘅話，咁就有ゆう得とく話ばなし當とう $n=2$ 嘅時候じこう，$P_{n}$ 呢個命題めいだい會かい係がかり啱嘅，而推落去又また有ゆう得とく話ばなし當とう $n=3$ 嘅時候じこう，$P_{n}$ 呢個命題めいだい都會とかい係がかり啱嘅，如此類推るいすい，就有得とく話ばなし「對應たいおう所有しょゆう嘅自然しぜん數すう $n$，$P_{n}$ 都會とかい係がかり啱」（For all natural number $n$, $P_{n}$ is true）。

基本きほん方法ほうほう

數學すうがく歸納きのう法ほう需要じゅよう以下いか三さん個こ步ふ驟：

1. 基本きほん步ふ驟（Base step）：證明しょうめい命題めいだい喺 $n=1$ 嘅時候じこう係がかり啱嘅。
2. 歸納きのう假設かせつ（Induction hypothesis）：假設かせつ命題めいだい喺 $n=k$ 嘅時候じこう係がかり啱嘅。
3. 推斷すいだん（Inductive step）：利用りよう(2)嘅假設かせつ，證明しょうめい命題めいだい喺 $n=k+1$ 嘅時候じこう都と係がかり啱嘅。

例れい子こ一いち

證明しょうめい ${\frac {1}{1\times 3}}+{\frac {1}{3\cdot 5}}+\cdot +{\frac {1}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {n}{2n+1}}$

證明しょうめい：

基本きほん步ふ驟：當とう $n=1$，${\frac {1}{(2\times 1-1)(2\times 1+1)}}={\frac {1}{1\times 3}}={\frac {1}{3}}$

${\frac {1}{2\times 1+1}}={\frac {1}{3}}$

歸納きのう假設かせつ：假設かせつ ${\frac {1}{(2k-1)(2k+1)}}={\frac {k}{2k+1}}$

推斷すいだん：想そう證明しょうめい $n=k+1$係かかり啱嘅。

${\begin{aligned}{\frac {1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}}&={\frac {1}{(2k+2-1)(2k+2+1)}}\\&={\frac {1}{(2k+1)(2k+3)}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {1}{1\times 3}}+{\frac {1}{3\cdot 5}}+\cdot +{\frac {1}{(2k-1)(2k+1)}}+{\frac {1}{(2k+1)(2k+3)}}&={\frac {k}{2k+1}}+{\frac {1}{(2k+1)(2k+3)}}\\&={\frac {k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}}\\&={\frac {2k^{2}+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}}\\&={\frac {(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)}}\\&={\frac {k+1}{2(k+1)+1}}\end{aligned}}$ 所以ゆえん呢個命題めいだい對應たいおう所有しょゆう嘅$n\in \mathbb {N}$係かかり啱。

例れい子こ二に

證明しょうめい「如果 $x\neq 0\in \mathbb {Z}$ 係かかり非ひ零れい整數せいすう，咁對應おう所有しょゆう正せい整數せいすう $n\in \mathbb {Z} _{>0}$，$x^{2n}$ 係かかり正數せいすう。」

證明しょうめい：

基本きほん步ふ驟：如果 $n=1$，$x^{2n}=x^{2}$ 咁 $x^{2}$ 係かかり正數せいすう。

歸納きのう假設かせつ：如果 $n=k$ 係かかり啱嘅話ばなし，即そく係がかり $n=x^{2k}$ 係かかり正數せいすう。

推斷すいだん：如果 $n=k+1$，

$${\begin{aligned}x^{2n}&=x^{2(k+1)}\\&=x^{2k+2}\\&=x^{2k}\cdot x^{2}\end{aligned}}$$

應用おうよう

加か總そう類型るいけい

假設かせつ $n$ 係かかり正せい整數せいすう。

• $1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$
• $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$
• $2+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{n}=2(2^{n}-1)$
• $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

乘の完かん再さい加か型がた

假設かせつ $n$ 係かかり正せい整數せいすう。

• ${\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$
• $1\times 2+2\times 2^{2}+\cdots +n\times 2^{n}=(n-1)2^{n+1}+2$
• $a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +[a+(n-1)d]={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$
• $a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}=a{\frac {1-r^{n}}{1-r}}$，如果$r\neq 1$
• ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{3^{n}}}={\frac {1}{2}}(1-{\frac {1}{3^{n}}})$

指數しすう定律ていりつ

假設かせつ $m,n$ 係かかり正せい整數せいすう，$x,y$ 係かかり整數せいすう。

• $(xy)^{n}=x^{n}y^{n}$
• $n(x+y)=nx+ny$
• $(m+n)x=mx+nx$
• $x^{m}\times x^{n}=x^{m+n}$

簡單かんたん不等式ふとうしき

假設かせつ $n$ 係かかり正せい整數せいすう。

• $4n>n+2$
• $n<2^{n}$
• $x^{n}<y^{n}$，$x,y$ 都と係がかり整數せいすう同どう埋うめ $0<x<y$
• $n!\leq n^{n}$

不等式ふとうしき

假設かせつ $n$ 係かかり正せい整數せいすう。

• $1+n<n^{2}$，$n\geq 2$
• $1+2n<2^{n}$，$n\geq 3$
• $2^{n}<n!$，$n\geq 4$
• $n^{3}<n!$，$n\geq 6$

睇埋

• 直接ちょくせつ證明しょうめい
• 分類ぶんるい證明しょうめい
• 反證はんしょう法ほう
• 否定ひてい證明しょうめい

參考さんこう

• Tillema, E., Kilpatrick, J., Johnson, H., Grady, M., Konnova, S., & Heid, M. K. (2015). Proof by mathematical induction. Mathematical Understanding for Secondary Teaching: A Framework and Classroom-Based Situations, 433.