場ば上じょう多項式たこうしき

場ば上じょう多項式たこうしき（Polynomials over Fields）係がかり一類いちるい多項式たこうしき，呢類多項式たこうしき嘅常數すう係がかり黎はじむ自じ一いち個こ場ば。

定義ていぎ

${\textbf {D}}$係かかり一いち個こ域いき，${\textbf {F}}$係かかり一いち個こ場ば。

咁一個場上嘅多項式係：$$\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$$而所有しょゆう嘅$i=0,\cdots ,n$，$a_{i}\in {\textbf {F}}$。

呢個多項式たこうしき嘅次つぎ方かた（Degree）係がかり$n$，一般いっぱん會かい用よう$\deg f=n$黎はじむ代表だいひょう$f$呢個多項式たこうしき嘅次方かた。

$a_{n}$就係呢個多項式たこうしき嘅帶おび領りょう常數じょうすう（Leading Coefficient）。

如果$a_{n}=1$，咁呢個こ多項式たこうしき就係單調たんちょう多項式たこうしき（monic）。

唔同次じ方かた嘅多項式たこうしき同どう計算けいさん

名な	多項式たこうしき	次つぎ方かた
零れい項こう式しき （Zero Polynomial）	$0$	$-\infty$
常數じょうすう （Constant）	$a,a\in {\textbf {F}}$	$0$
線せん性せい多項式たこうしき （Linear）	$a_{1}x+a_{0}$	$1$
二に次じ多項式たこうしき （Quadratic）	$a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$	$2$
三さん次じ多項式たこうしき （Cubic）	$a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$	$3$
四よん次じ多項式たこうしき （Quartic）	$a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$	$4$
五ご次じ多項式たこうしき （Quintic）	$a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$	$5$
六ろく次じ多項式たこうしき （Sextic）	$a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$	$6$

多項式たこうしき加法かほう

場ば上じょう多項式たこうしき嘅加法ほう同どう中學ちゅうがく學がく嘅基本上ほんじょう一はじめ樣さま。

有ゆう兩個りゃんこ多項式たこうしき，$f=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$同どう$g=\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}$。

咁$f+g=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+\cdots$

多項式たこうしき乘法じょうほう

有ゆう兩個りゃんこ多項式たこうしき，$f=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$同どう$g=\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}$。

咁$fg=c_{0}+c_{1}x+\cdots$

而$c_{k}=\sum _{k}^{i+j}a_{k}b_{i+j-k}$。

域いき上じょう多項式たこうしき環たまき定理ていり

有ゆう左ひだり呢兩個りゃんこ運算うんざん，可か以將所有しょゆう嘅場上じょう多項式たこうしき集合しゅうごう埋うめ一齊いっせい整せい一いち個こ域いき上じょう多項式たこうしき環たまき${\textbf {D}}[x]$（Polynomial Ring）。

定理ていり

設しつらえ${\textbf {D}}$係かかり一いち個こ域いき，咁${\textbf {D}}[x]$係かかり一いち個こ域いき上うえ多項式たこうしき環たまき，咁：

1. ${\textbf {D}}[x]$都と係がかり一いち個こ域いき；
2. 如果$p,q\in {\textbf {D}}[x]$都と係がかり${\textbf {D}}[x]$入いれ面めん，咁$\deg(p+q)\leq \max\{\deg p,\deg q\}$；
3. 所有しょゆう係がかり${\textbf {D}}[x]$入いれ面めん嘅$p,q\in {\textbf {D}}[x]$，$\deg(pq)=\deg(p)+\deg(q)$；
4. ${\textbf {D}}[x]$嘅單位い就係${\textbf {D}}$嘅單位い。

域いき-多項式たこうしき相等そうとう定理ていり

如果${\textbf {D}}$同どう${\textbf {D}}'$都と係がかり域いき，$\varphi :{\textbf {D}}\to {\textbf {D}}'$係かかり一いち個こ環かん相等そうとう轉換てんかん，咁${\hat {\varphi }}:{\textbf {D}}[x]\to {\textbf {D}}'[x]$呢個轉換てんかん就係${\hat {\varphi }}(a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n})=\varphi (a_{0})+\varphi (a_{1})x+\cdots +\varphi (a_{n})x^{n}$，而佢都と係がかり一いち個こ環たまき相等そうとう轉換てんかん。

呢條定理ていり講こう左ひだり，如果兩個りゃんこ域いき係がかり一いち樣よう，咁佢地ち整せい出で黎はじむ嘅域上じょう多項式たこうしき環たまき都會とかい係がかり一いち樣よう。

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