歐おう幾いく理り德とく域いき（Euclidean domain）係がかり一いち個こ代數だいすう性質せいしつ。佢有一いち個こ條件じょうけん，符合ふごう呢個條件じょうけん嘅域いき，就係歐おう幾いく理り德とく域いき。
一いち個こ域いき D {\displaystyle {\textbf {D}}} 係かかり歐おう幾いく理り德とく域いき，咁佢一定いってい有ゆう一いち個こ轉換てんかん E {\displaystyle E} 將はた D {\displaystyle {\textbf {D}}} 嘅嘢射い去ざ N + {\displaystyle \mathbb {N} ^{+}} ，非ひ零れい整數せいすう，同どう埋うめ呢個轉換てんかん一定いってい係がかり符合ふごう以下いか性質せいしつ；
一般いっぱん會かい叫さけべ呢個轉換てんかん E {\displaystyle E} 做歐おう幾いく理り德とく距離きょり（Euclidean Norm）。
明あかり顯あらわ整數せいすう Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 係かかり一個歐幾理德域，同どう埋うめ佢嘅距離きょり就係 E ( a ) = | a | {\displaystyle E(a)=|a|} 。因よし為ため有ゆう餘よ數すう定理ていり，所以ゆえん佢就係がかり一個歐幾理德域。
每まい一個歐幾理德域都係單たん點てん環たまき倍數ばいすう域いき。
設しつらえ D {\displaystyle {\textbf {D}}} 係かかり歐おう幾いく理り德とく域いき。
咁 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 一定いってい係がかり單たん點てん。
設しつらえ I {\displaystyle I} 做一いち個こ環たまき倍數ばいすう， b ∈ I {\displaystyle b\in I} 係かかり喺 I {\displaystyle I} 入いれ面めん而且非ひ零れい，重要じゅうよう符合ふごう E ( b ) = min { E ( x ) : x ∈ I ∖ 0 } {\displaystyle E(b)=\min\{E(x):x\in I\backslash 0\}} 。
如果 a ∈ I {\displaystyle a\in I} ，咁就一定いってい有ゆう q , r {\displaystyle q,r} 使つかい到いた a = q b + r {\displaystyle a=qb+r} ， E ( r ) < E ( b ) {\displaystyle E(r)<E(b)} 。
因よし為ため r = a − q b ∈ I {\displaystyle r=a-qb\in I} ，咁除非ひ r = 0 {\displaystyle r=0} ，否いや則のり就會矛盾むじゅん。
所以ゆえん a = q b {\displaystyle a=qb} ， I = D b = ⟨ b ⟩ {\displaystyle I={\textbf {D}}b=\langle b\rangle } ，係かかり單たん點てん。
高こう斯整數すう（Gaussian Integers） Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} 係かかり另一個出名嘅歐幾理德域。
Z [ i ] = { x + y i : x , y ∈ Z } , i = − 1 {\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\{x+yi:x,y\in \mathbb {Z} \},i={\sqrt {-1}}}
佢係一いち個こ域いき，同時どうじ佢嘅歐おう幾いく理り德とく距離きょり E {\displaystyle E} 係かかり E ( z ) = | x + y i | 2 = x 2 + y 2 {\displaystyle E(z)=|x+yi|^{2}=x^{2}+y^{2}}
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\{x+yi:x,y\in \mathbb {Z} \},i={\sqrt {-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eeb120a3042342f971747abc1eecebc61fc6ff)
