域いき中ちゅう分數ぶんすう場じょう

域いき中ちゅう分數ぶんすう場じょう（Fields of Fractions of an Integral Domain）係がかり一いち種しゅ代數だいすう結構けっこう。一般いっぱん嚟講，就係大だい眾所認知にんち嘅分數すう，${\frac {m}{n}},m,n\in \mathbb {Z}$。域いき中ちゅう分數ぶんすう場じょう利用りよう呢個概念がいねん去さ應用おうよう係がかり其他嘢上面めん。同時どうじ，呢個都と係がかり喺域いき（Integral Domain）入いれ面めん整せい一いち個こ場ば出で嚟嘅方法ほうほう。

等價とうか設定せってい

設しつらえ${\textbf {D}}$係かかり一いち個こ域いき。將はた$P={\textbf {D}}\backslash ({\textbf {D}}^{\times }\cup \{0\})=\{(a,b):a,b\in {\textbf {D}},b\neq 0\}$。

定義ていぎ一いち個こ等價とうか關係かんけい$\equiv$喺$P$入いれ面めん：$(a,b)\equiv (a',b')\iff ab'=a'b$。

呢個設定せってい即そく係がかり話はなし，通つう咗分母はは之これ後ご，大家たいか數すう值一樣さま。

證明しょうめい：

• 自じ反はん性せい：$(a,b)\equiv (a,b)\iff ab=ab$
• 對稱たいしょう性せい：$(a,b)\equiv (c,d)\iff ad=cb\iff (c,d)\equiv (a,b)$
• 傳つて遞性：$(a,b)\equiv (c,d)\iff ad=cb$同時どうじ$(c,d)\equiv (e,f)\iff cf=de$，$af=be\iff (a,b)\equiv (e,f)$

將はた$P/\equiv$叫さけべ做$Q({\textbf {D}})$，而$Q({\textbf {D}})$就係分數ぶんすう場じょう（Field of Fractions）。

加法かほう同乘どうじょう法ほう

喺$Q({\textbf {D}})$入いれ面めん，都會とかい有ゆう加法かほう同乘どうじょう法ほう，而佢哋都係がかり普通ふつう嘅加同乘どうじょう。

設しつらえ${\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}$同どう${\frac {c}{d}}={\frac {c'}{d'}}$。

咁$ab'=a'b$，$cd'=c'd$；

$(ad+bc)b'd'=ab'd'+bb'cd'=a'bdd'+bb'c'd=(a'd'+b'c')bd$。

所以ゆえん${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}={\frac {a'd'+b'c'}{b'd'}}={\frac {a'}{b'}}+{\frac {c'}{d'}}$。

同樣どうよう地ち$(ac)(b'd')=(ab')(cd')=(a'b)(c'd)=(a'c')(bd)$，

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a'}{b'}}\cdot {\frac {c'}{d'}}$。

睇埋

• 環たまき
• 域いき
• 子こ環たまき
• 場ば
• 等價とうか關係かんけい