環たまき論ろん

環たまき論ろん係かかり抽象ちゅうしょう代數だいすう入いれ面めん嘅其中ちゅう一いち個こ研究けんきゅう分ぶん支ささえ，主要しゅよう研究けんきゅう環たまき呢個代數だいすう結構けっこう，環たまき係がかり一いち種しゅ類似るいじ整數せいすう嘅結構けっこう，有ゆう加法かほう同どう乘法じょうほう，而且符合ふごう交換こうかん律りつ、結合けつごう律りつ同どう分配ぶんぱい律りつ等ひとし等とう嘅性質しつ。環たまき論ろん研究けんきゅう環かん嘅結構けっこう，環たまき嘅表示ひょうじ論ろん（或ある者もの叫さけべ做模も），一啲特別類型嘅環（羣環、除じょ環たまき、萬有ばんゆう包絡ほうらく環たまき），同どう埋うめ一啲特別嘅性質，例れい如同調どうちょう性質せいしつ同どう埋うめ多項式たこうしき恆等こうとう式しき等ひとし。

數學すうがく家か對たい交換こうかん環たまき嘅認識にんしき比ひ非ひ交換こうかん環たまき深ふか好こう多た。代數だいすう幾何きか同どう埋うめ代數だいすう數すう論ろん提供ていきょう咗好多た交換こうかん環かん嘅例子こ，大だい大だい咁刺激しげき同どう推進すいしん咗交換こうかん環かん理論りろん嘅發展はってん，呢個領域りょういき依よ家いえ叫さけべ做交換こうかん代數だいすう，成なり爲ため咗現代げんだい數學すうがく好こう重要じゅうよう嘅一部分ぶぶん。因よし爲ため呢三さん個こ領域りょういき（代數だいすう幾何きか、代數だいすう數すう論ろん同どう交換こうかん代數だいすう）嘅關係かんけい太ふと緊密きんみつ，有ゆう時好じこう難なん區分くぶん某ぼう個こ定理ていり究竟きゅうきょう喺屬於呢三個領域之中嘅邊個，噉嘅區分くぶん亦また都と係がかり無意義むいぎ嘅。例れい如Hillbert's Nullstellensatz，係かかり代數だいすう幾何きか入いれ面めん嘅基礎きそ定理ていり，但ただし係かかり個こ定理ていり嘅論述ろんじゅつ同どう埋うめ證明しょうめい都と係がかり用よう交換こうかん幾何きか嘅。又また例れい如費ひ馬ば最後さいご定理ていり，佢嘅論述ろんじゅつ係がかり好こう簡單かんたん嘅初等とう數すう論ろん，但ただし係かかり證明しょうめい就大量りょう牽涉到いた代數だいすう幾何きか同どう埋うめ代數だいすう數すう論ろん喇。

非ひ交換こうかん環たまき就唔同どう喇，因いん爲ため會かい有ゆう好こう多た奇き怪かい嘅現象げんしょう發生はっせい，雖然佢係一いち個こ獨立どくりつ嘅理論ろん，但ただし係かかり近年きんねん嘅研究けんきゅう趨勢すうせい係がかり將はた佢擺埋うめ係がかり交換こうかん環たまき隔へだた籬ませ平行へいこう發展はってん，用よう幾何きか嘅思維去諗，當とう個こ環たまき係がかり某ぼう個こ奇き怪かい空間くうかん嘅函數かんすう環たまき，呢個趨勢すうせい係がかり喺1980年代ねんだい開始かいし，發展はってん出で非ひ交換こうかん幾何きか，同どう埋うめ發現はつげん量子りょうし羣。呢啲理論りろん加か深ふか咗數學がく家か對たい非ひ交換こうかん環かん嘅認識にんしき，特別とくべつ係がかり非ひ交換こうかんNoetherian環たまき。

想そう睇環嘅基本きほん定義ていぎ、概念がいねん同どう埋うめ性質せいしつ，請去環たまき (代數だいすう)。

交換こうかん環たまき

内うち文ぶん：交換こうかん環たまき同どう交換こうかん代數だいすう

如果個こ環たまき入いれ面めん嘅乘法ほう係がかり交換こうかん嘅話，呢個環かん就叫做交換こうかん環たまき。交換こうかん環たまき之の下仲しもなか有ゆう細分さいぶん唔同種類しゅるい嘅環，而呢啲唔同どう嘅性質せいしつ好こう多た時じ都と係がかり爲ため咗模仿翻整數せいすう環たまき $\mathbb {Z}$ 入いれ面めん嘅性質しつ。喺交換こうかん代數だいすう入いれ面めん，通常つうじょう唔會逐個逐個元素げんそ去さ考慮こうりょ，反はん而會考慮こうりょ佢嘅理想りそう，而質しつ理想りそう嘅定義就よしなり係がかり爲ため咗模仿翻整數せいすう環たまき入いれ面めん質しつ數すう嘅定義ていぎ。

• 域いき：非ひ零れい交換こうかん環たまき，入いれ面めん唔係零れい嘅元素げんそ乘じょう埋うめ都と唔係零れい，喺上面めん可か以研究けんきゅう整除せいじょ性せい；
• 主しゅ理想りそう域いき：每まい一いち個こ理想りそう都と係がかり主しゅ理想りそう，亦また即そく係かかり話ばなし，每まい一個理想都係由一個元素生成せいせい；
• 歐おう幾いく理り德とく域いき：存在そんざい輾轉てんてん相しょう除法じょほう嘅域。

小結こむすび：歐おう幾いく理り德とく域いき => 主しゅ理想りそう域いき => 質しつ數すう分解ぶんかい域いき => 域いき => 交換こうかん環たまき。