羣

  深入ふかいり講こう羣，請睇羣論。

羣（英文えいぶん：group）係がかり數學すうがく上うえ一いち種しゅ代數だいすう結構けっこう。一いち個こ羣係一いち個こ集しゅう，喺上面めん定義ていぎ一いち種しゅ運算うんざん（一般いっぱん叫さけべ佢做「乘法じょうほう」，不ふ過か唔一定いってい係がかり，多數たすう時候じこう都と唔係指ゆび四則しそく運算うんざん嘅「乘法じょうほう」），要よう令れい到いた集あつまり裏面りめん任意にんい兩個りゃんこ元素げんそ進行しんこう運算うんざん，結果けっか仍然係がかり呢個集しゅう嘅元素げんそ。羣必須ひっす符合ふごう結合けつごう性質せいしつ、恆等こうとう性質せいしつ同どう可逆かぎゃく性質せいしつ。

定義ていぎ

如果有ゆう一いち個こ叫さけべG嘅Set，我わが想そう佢係喺一いち個こ羣，就需要よう有ゆう一いち個こ二に元もと運算うんざん（Binary Operation）「•」，（多數たすう叫さけべ佢做乘の，因いん為ため係がかり用よう一いち點てん嚟表示ひょうじ）。而Set入いれ面めん嘅嘢同どう個こ運算うんざん，需要じゅよう符合ふごう以下いか幾いく個こ條件じょうけん：

• 閉合性質せいしつ（Closure）：$\forall a,b\in G,a\cdot b\in G$。意思いし係がかり，喺G入いれ面めん求もとめ其搵兩りょう粒つぶ嘢出嚟「乘じょう」埋うめ佢，「乘じょう」完かん出で嚟嘅嘢要係がかり喺返$G$入いれ面めん。
• 結合けつごう性質せいしつ（Associative）：$\forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$。意思いし係がかり，無論むろん有ゆう幾多いくた粒つぶ嘢，點てん樣さま乘じょう都と無む問題もんだい，做左前面ぜんめん先さき又また得え，做左後ご面めん先さき亦また得う。
• 恆等こうとう性質せいしつ（Identity）：$\exists {\text{ }}e\in G{\text{, such that }}\forall a\in G,a\cdot e=e\cdot a=a$。意思いし係がかり，嗰堆嘢入面めん一定要有一粒嘢叫$e$或ある者もの叫さけべ${\underline {1}}$又また或ある者もの叫さけべidentity，佢乘咩嘢都と無む變へん嘅。
• 可逆かぎゃく性質せいしつ（Invertibility）：$\forall a\in G,\exists {\text{ }}a^{-1}{\text{ such that }}a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$。意思いし係がかり，嗰堆嘢入面めん，每まい一いち粒つぶ嘢，都會とかい有ゆう對應たいおう嘅另一いち粒つぶ嘢，佢哋乘じょう埋うめ會かい變へん返かえし做$e$。

咁如果はて一いち個こset，再さい畀多個こ運算うんざん佢，又また咁啱符合ふごう嗮以上じょう條件じょうけん，咁個set加か埋うめ呢個運算うんざん呢就係がかり一いち個こgroup，寫うつし成なり$(G,\cdot )$。

以上いじょう並なみ唔要求ようきゅう$\forall a,b\in G,a\cdot b=b\cdot a$，即そく係がかり前後ぜんご調ちょう位い乘じょう埋うめ唔一定いってい一いち樣よう。但ただし如果呢條式しき都と啱嘅話ばなし，咁呢個こ羣就叫さけべ做阿おもね標しるべ羣（Abelian group）。

例れい子こ

整數せいすう羣

整數せいすう係かかり第だい一いち個こ識得嘅羣。整數せいすう嘅集，係かかり寫うつし成なり$\mathbb {Z}$，佢入面めん裝そう住じゅう所有しょゆう嘅整數すう，即そく係がかり$\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\dots \}$。因よし為ため羣需要じゅよう一いち個こ運算うんざん，所以ゆえん就畀咗個加法かほう佢。咁就需要じゅよう證明しょうめい$(\mathbb {Z} ,+)$係かかり一いち個こ羣。

1. Closure：（$\forall a,b\in G,a\cdot b\in G$）假設かせつ$\mathbb {Z}$入いれ面めん其中兩個りゃんこ元素げんそ，叫さけべ做a同どうb。由よし於$a+b$得とく出で嘅係整數せいすう，而$\mathbb {Z}$係かかり包つつみ齊ひとし曬所有しょゆう整數せいすう。所以ゆえん$a+b\in \mathbb {Z}$。
2. Associative：（$\forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$）假設かせつ$\mathbb {Z}$入いれ面めん揀任何なん三さん個こ元素げんそ，叫さけべ做a、b同どう埋うめc。做加法ほう嗰時，做完$a+b$先さき再さい加かc，同どう做完$b+c$之これ後ご再さい加かa，兩個りゃんこ結果けっか係がかり一いち樣よう嘅。所以ゆえん$(a+b)+c=a+(b+c)$。
3. Identity：（$\exists {\text{ }}e\in G{\text{, such that }}\forall a\in G,a\cdot e=e\cdot a=a$） 是ぜ旦だん搵一いち個こ元素げんそ，佢搞完かん（即そく係がかり加か）其他元素げんそ，佢都係がかり無む變へん嘅，咁呢個こ「其他元素げんそ」就係0。因よし為ため0加か任にん何なん嘢，都と等とう於無加か過か嘢。
4. Invertibility：（$\forall a\in G,\exists {\text{ }}a^{-1}{\text{ such that }}a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$） 每まい一いち粒つぶ喺$\mathbb {Z}$入いれ面めん嘅元素げんそ，都と係がかり有ゆう另一半いっぱん，而佢同どう佢另一半加埋之後，會かい變へん做0。一いち個こ元素げんそa，佢嘅另一半いっぱん就係(-a)，佢哋加か埋うめ就會變へん做0。

幾何きか變換へんかん

譬たとえ如話，喺$\mathbb {R} ^{n}$上うえ有ゆう個こ圖形ずけい，對たい呢個圖形ずけい所しょ進行しんこう嘅平移うつり、旋轉せんてん等とう變換へんかん構成こうせい一いち個こ群ぐん。

注意ちゅうい，呢個群ぐん嘅元素げんそ唔係數すう，而係變換へんかん（即そく係がかり映うつ射い）；運算うんざん唔係加減かげん法ほう，而係映うつ射い嘅複合あい。群ぐん只ただ需定義ていぎ一いち種しゅ運算うんざん，而且唔要求ようきゅう交換こうかん律りつ成立せいりつ，所以ゆえん佢嘅應用おうよう廣こう泛過其他代數だいすう結構けっこう（例れい如域いき要よう定義ていぎ加法かほう、乘法じょうほう兩りょう種たね運算うんざん）。不ふ過か亦また有ゆう交換こうかん群ぐん。

常見つねみ例れい子こ

群ぐん	運算うんざん	恆等こうとう元もと（Identity）	樣よう（Form）	逆ぎゃく元もと（Inverse）	係かかり唔係阿おもね標しるべ
$\mathbb {Z}$	$+$	$0$	$n$	$-n$	係かかり
$\mathbb {Q} ^{+}$	$\times$	$1$	${\frac {m}{n}}:n\neq 0$	${\frac {n}{m}}$	係かかり
$\mathbb {Z} _{n}$	$+\mod n$	$0$	$k$	$n-k$	係かかり
$\mathbb {R} ^{\times }$	$\times$	$1$	$x$	${\frac {1}{x}}$	係かかり
${\textbf {GL}}(2,F)$	矩のり陣じん乘法じょうほう	${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ $ad-bc\neq 0$	${\begin{bmatrix}{\frac {d}{ad-bc}}&{\frac {-b}{ad-bc}}\\{\frac {-c}{ad-bc}}&{\frac {a}{ad-bc}}\end{bmatrix}}$	唔係
$\mathbb {Z} _{n}^{\times }$	$\times \mod n$	$1$	$k:\gcd(k,n)=1$	$kx\mod n=1$嘅解	係かかり
$\mathbb {R} ^{n}$	$+$	$(0,0,\cdots ,0)$	$(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$	$(-a_{1},-a_{2},\cdots ,-a_{n})$	係かかり
${\textbf {SL}}(2,F)$	矩のり陣じん乘法じょうほう	${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}$	唔係
$D_{n}$	$\circ$	$R_{0}$	$R_{a'}L$	$LR_{360-a'}$	唔係

性質せいしつ

由よし定義ていぎ入いれ面めん可か以睇到群ぐん嘅第一いち個こ性質せいしつ就係：「如果一いち個こ群ぐん符合ふごう$\forall a,b\in G,a\cdot b=b\cdot a$要求ようきゅう，咁樣呢個群ぐん就係阿おもね標しるべ群ぐん。」，但ただし係かかり群ぐん都と有ゆう其他性質せいしつ：

• 用よう域いき（Field）入いれ面めん非ひ零れい嘅噖，加か一般いっぱん既すんで乘法じょうほう整せい成なり嘅群，就會係がかり一個一般乘法嘅阿標群。
• 用よう環たまき（Ring）入いれ面めん嘅野，加か一般加法整成嘅群，就會係がかり一個一般加法嘅阿標群。

其他有ゆう關せき群ぐん入いれ面めん嘅嘢嘅性質しつ。以下いか都と假定かてい$G$係かかり個こ群ぐん同どう埋うめ$a,b,c\in G$都と係がかり$G$入いれ面めん嘅嘢。

1. 如果$a\cdot b=a\cdot c$係かかり$G$入いれ面めん成立せいりつ，咁$b=c$。對應たいおう既すんで係がかり，如果$ba=ca$，咁$b=c$。
2. 每まい一いち個こ$G$入いれ面めん，只ただ係がかり得とく一いち粒つぶ$e$。
3. 每まい一いち粒つぶ$a$，佢嘅$a^{-1}$都と係がかり得とく一いち粒つぶ。
4. $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
5. $(a^{-1})^{-1}=a$
6. 對應たいおう任にん何なん整數せいすう$m,n\in \mathbb {Z}$，$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$同どう$(a^{m})^{n}=a^{mn}$都會とかい成立せいりつ。

證明しょうめい

證明しょうめい(1)

因よし為ため$a\cdot b=a\cdot c$喺$G$入いれ面めん成立せいりつ，咁一定いってい會かい有ゆう一いち個こ$a^{-1}$係かかり$G$入いれ面めん，咁即係がかり$${\begin{aligned}a\cdot b&=a\cdot c\\a^{-1}\cdot (a\cdot b)&=a^{-1}\cdot (a\cdot c)\\(a^{-1}\cdot a)\cdot b&=(a^{-1}\cdot a)\cdot c\\e\cdot b&=e\cdot c\\b&=c\end{aligned}}$$

證明しょうめい(2)

假設かせつ有ゆう兩個りゃんこ$e,e'\in G$。

咁因為ため$e$係かかり恆等こうとう，所以ゆえん$e\cdot e'=e'\cdot e=e$。

而因為ため$e'$係かかり恆等こうとう，所以ゆえん$e'\cdot e=e\cdot e'=e'$。

由よし上面うわつら兩りょう條じょう式しき睇到，$e=e'$。

證明しょうめい(3)

假設かせつ$a\in G$，同時どうじ有ゆう兩りょう粒つぶ$m,m'$符合ふごう$a\cdot m=e$，$a\cdot m'=e$。

咁得出で，$a\cdot m=e=a\cdot m'$。

利用りよう(1)嘅結果けっか，得知とくち$m=m'$。

證明しょうめい(4)

假設かせつ$a,b\in G$。$${\begin{aligned}(ab)\cdot (ab)^{-1}&=e\\b\cdot (ab)^{-1}&=a^{-1}\\(ab)^{-1}&=a^{-1}\cdot b^{-1}\end{aligned}}$$

證明しょうめい(5)

假設かせつ$a\in G$。$${\begin{aligned}a^{-1}\cdot (a^{-1})^{-1}&=e\\(a^{-1})^{-1}&=a\\\end{aligned}}$$

有限ゆうげん群ぐん同どう基數きすう

基數きすう（Order）係かかり群ぐん嘅一いち個こ概念がいねん，佢同集しゅう嘅基數すう（Carnality）嘅意思いし一いち樣よう，都と係がかり指ゆび一個群入面嘅嘢嘅數量。不ふ過か群ぐん嘅基數すう亦また可か以應用おうよう喺群入いれ面めん嘅嘢度ど。

定義ていぎ(有限ゆうげん群ぐん)

假設かせつ$G$係かかり一いち個こ群ぐん。如果$G$係かかり有限ゆうげん群ぐん（Finite Group or Finite Order），即そく係がかり話ばなし佢入面めん只ただ係がかり得とく有限ゆうげん嘅元素げんそ（嘢）。

$G$入いれ面めん嘅嘢嘅數量すうりょう會かい叫さけべ做$G$嘅基數すう（Order of G），一般いっぱん會かい用よう$|G|$嚟表示ひょうじ。

如果$G$入いれ面めん嘅嘢係がかり無限むげん咁多，會かい將はた$G$叫さけべ做無限むげん群ぐん（Infinite Order）。

定理ていり

如果有ゆう$G$同どう$H$兩個りゃんこ群ぐん。將はた$\circ$定義ていぎ為ため一いち個こ係がかり$G\times H$入いれ面めん嘅運算うんざん，而呢個こ運算うんざん係がかり咁嘅$$(g,h)\circ (g',h')=(g\cdot g',h\cdot h')$$咁樣$G$就係一いち個こ群ぐん。

如果$G$同どう$H$都と係がかり阿おもね標しるべ群ぐん，咁$G\times H$都と係がかり阿おもね標しるべ群ぐん。

如果$G$同どう$H$都と係がかり有限ゆうげん群ぐん，咁$G\times H$都と係がかり，而且$|G\times H|=|G||H|$。

定義ていぎ(元素げんそ基數きすう)

設しつらえ$G$係かかり一いち個こ群ぐん，$g\in G$係かかり$G$入いれ面めん嘅一いち粒つぶ嘢。

如果$g$係かかり有ゆう基數きすう（Finite Order），即そく係がかり話ばなし，對應たいおう一いち啲嘅正せい整數せいすう$k\in \mathbb {Z} ^{+}$，$g^{k}=e$。

一般いっぱん，會かい將はた最さい細ほそ嘅正整數せいすう$n\in \mathbb {Z} ^{+}$，符合ふごう$g^{n}=e$，叫さけべ做$g$嘅基數すう（Order of the element $g$）。

一般いっぱん會かい寫うつし做，$|a|=n$，$g$嘅基數すう係がかり$n$。

如果$g$係かかり冇基數すう（Infinite Order），即そく係がかり話ばなし，對應たいおう所有しょゆう嘅正整數せいすう$k\in \mathbb {Z} ^{+}$，$g^{k}\neq e$。

性質せいしつ

以下いか假設かせつ咗$G$係かかり一いち個こ群ぐん，而$g$係かかり$G$入いれ面めん嘅嘢。

1. 如果$g$係かかり冇基數すう，咁每一いち粒つぶ$g^{k}$都と係がかり唔同嘅（唔相等とう嘅），$k\in \mathbb {Z} ^{+}$係かかり正數せいすう。
2. 如果$g$係かかり有ゆう基數きすう，而佢嘅基數すう係がかり$n$，咁$g^{k}=e\iff n|k$同どう埋うめ$g^{i}=g^{j}\iff i\equiv j\mod n$。
3. 如果$g$係かかり有ゆう基數きすう，而基數すう係がかり$n=td$，咁$g^{t}$嘅基數すう係がかり$d$。
4. 如果$g^{i}=g^{j},i\neq j$，咁$g$就有基數きすう。

證明しょうめい

證明しょうめい(1)

利用りよう否定ひてい證明しょうめい，證明しょうめい如果有ゆう$g^{k}$係かかり相等そうとう，咁即係がかり$g$係かかり有ゆう基數きすう。

假設かせつ$g^{i}=g^{j},j>i$。

${\begin{aligned}g^{i}&=g^{j}\\g^{-i}\cdot g^{i}&=g^{-i}\cdot g^{j}\\e&=g^{j-i}\end{aligned}}$

咁即係がかり$g$係かかり有ゆう基數きすう。

證明しょうめい(2)

假設かせつ$g$嘅基數すう係がかり$n$。

因よし為ため$n|k$，所以ゆえん$nt=k$。

$g^{k}=g^{nt}=(g^{n})^{t}=e^{t}=e$

上面うわつら證明しょうめい咗，如果$k$係かかり$n$嘅倍數すう，咁$g^{k}=e$。

利用りよう(1)嘅證明しょうめい得知とくち，$j-i$係かかり$n$嘅倍數すう。

利用りよう同どう餘よ定義ていぎ，$i\equiv j\mod n$。

證明しょうめい(3)

假設かせつ$g$嘅基數すう係がかり$n=td$。

${\begin{aligned}g^{n}&=e\\g^{td}&=e\\(g^{t})^{d}&=e\\(g^{t})\cdots {\text{ d times }}\cdots (g^{t})&=e\end{aligned}}$

所以ゆえん$g^{t}$嘅基數すう係がかり$d$。

應用おうよう

利用りよう上面うわつら嘅概念がいねん同どう性質せいしつ，可か以證明しょうめい出で更さら多た嘅定理ていり。以下いか都と假設かせつ$G$係かかり一いち個こ群ぐん，$g,a,b,c$都と係がかり$G$入いれ面めん嘅剐。

1. 如果$g^{2}=g$，咁$g=e$。
2. 如果$ab=e$，咁$ba=e$。
3. 如果$G$係かかり阿おもね標しるべ群ぐん，咁$(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$係かかり一定いってい成立せいりつ。「$\iff$」
4. 如果$G$嘅基數すう係がかり$2$，咁$G$就係一いち個こ阿おもね標しるべ群ぐん。「即そく係がかり話ばなし，$|G|=2\iff g=g^{-1}$」
5. 只ただ會得えとく一いち粒つぶ$g$係かかり符合ふごう$agb=c$。
6. $|g|=|g^{-1}|$
7. 如果$|G|$係かかり雙そう數すう，咁$G$入いれ面めん就會有ゆう粒つぶ嘢嘅基數きすう係がかり$2$。

睇埋

• 子こ群ぐん
• 積せき群ぐん
• 群ぐん轉換てんかん