五ご次じ方程式ほうていしき

五ご次じ方程式ほうていしき（ごじほうていしき、英語えいご: quintic equation）とは、次数じすうが5であるような代数だいすう方程式ほうていしきのこと。

概要がいよう

一般いっぱんに一変いっぺん数すうの五ご次じ方程式ほうていしきは

a₅ x⁵ + a₄ x⁴ + a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x + a₀ = 0, (a₅ ≠ 0)

の形かたちで表現ひょうげんされる。

代数だいすう学がくの基本きほん定理ていりによれば、任意にんいの複素数ふくそすう係数けいすう方程式ほうていしきは複素数ふくそすうの中なかに根ねが存在そんざいする。その一方いっぽう、五ご次じ以上いじょうの一般いっぱんの方程式ほうていしきに対たいする代数だいすう的てき解法かいほうは存在そんざいしない。すなわち、一般いっぱんの五ご次じ方程式ほうていしきに対たいして代数だいすう的てきな根ねの公式こうしきは存在そんざいしない。もう少すこし詳くわしく書かくと、五ご次じの一般いっぱん方程式ほうていしきの根ねを、その式しきの各項かくこうの係数けいすうと有理数ゆうりすうの、有限ゆうげん回かいの四則しそく演算えんざん及および有限ゆうげん回かいの根号こんごうをとる操作そうさの組くみ合あわせで表示ひょうじすることはできない。

これはルフィニ、アーベルらによって示しめされた（アーベル–ルフィニの定理ていり参照さんしょう）。 またガロアによって方程式ほうていしきが代数だいすう的てきに解とける条件じょうけんが裏付うらづけられている（ガロア理論りろん参照さんしょう）。

なお、代数だいすう的てきではないが、楕円だえん関数かんすうなどを用もちいた根ねの公式こうしきは存在そんざいする。

解かいの公式こうしき

五ご次じ方程式ほうていしきの解かいを超越ちょうえつ的てきな手続てつづきを許ゆるして構成こうせいする方法ほうほうとしては、

• レベル5のモジュラー方程式ほうていしきの解かいを利用りようする方法ほうほう
• 超ちょう幾何級数きかきゅうすうを利用りようする方法ほうほう

の2つが知しられている。 前者ぜんしゃはエルミートによって、後者こうしゃはクラインによって証明しょうめいされた。

エルミートによる解法かいほう

五ご次じ方程式ほうていしきの解かいを構成こうせいするためには、まず、次つぎの3つの事実じじつを知しっておかねばならない。

• 任意にんいの五ご次じ方程式ほうていしきは代数だいすう的てき操作そうさのみによってブリング-ジェラード(Bring-Jerrard)の標準ひょうじゅん形がたに変形へんけいできる。
• レベル5のモジュラー方程式ほうていしきの解かいが具体ぐたい的てきに求もとめられる。
• それらの解かいのある特定とくていのコンビネーションが五ご次じ方程式ほうていしきを満足まんぞくし、ブリング-ジェラードの標準ひょうじゅん形がたと関係付かんけいづけることができる。

これらを結合けつごうすることで五ご次じ方程式ほうていしきの解かいを構成こうせいすることができる。

ブリング-ジェラードの標準ひょうじゅん形がた

任意にんいの五ご次じ方程式ほうていしき

$x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

はチルンハウス変換へんかん

$y=x^{4}+b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}$

において適当てきとうに係数けいすう b_j を選えらぶことによって、ブリング-ジェラードの標準ひょうじゅん形がた

$y^{5}+y+b=0$

へ変換へんかんすることが可能かのうであるので、まず、この形かたちへ帰着きちゃくさせる。この手続てつづきは代数だいすう的てきに実行じっこう可能かのうであるが b_j は a_l の複雑ふくざつな関数かんすうである。

レベル5のモジュラー方程式ほうていしき

複素ふくそトーラスの周期しゅうきをそれぞれ $\omega _{1},\omega _{2}$ として、$\tau$ を

$\tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}$

で定義ていぎする。ただし、$\tau$ は純じゅん虚数きょすうと仮定かていする。また、

$q=e^{i\pi \tau }$

と定義ていぎする。この時とき $q$ と $q^{n}$ が満足まんぞくする関係かんけい式しき、または同値どうちだが $\tau$ と $n\tau$ とが満みたすべき関係かんけい式しきのことを「レベル $n$ のモジュラー方程式ほうていしき」と言いう。この方程式ほうていしきは次つぎの形かたちをとる。

${\frac {L'}{L}}=n{\frac {K'}{K}}.$

ただし、$K,L$ はそれぞれ母はは数すうが $k,l$ の第だい1種しゅ完全かんぜん楕円だえん積分せきぶん、$K',L'$ はそれぞれ母はは数すうが $k':={\sqrt {1-k^{2}}}$、$l':={\sqrt {1-l^{2}}}$ の第だい1種しゅ完全かんぜん楕円だえん積分せきぶんを表あらわす。この方程式ほうていしきによって、2つの母はは数すう $k,l$ が満みたすべき方程式ほうていしきが決きまる。$n=5$ のとき $\tau$ と $5\tau$ は次つぎの関係かんけい式しきを満足まんぞくすることが分わかっている。

$F\left[-{\sqrt[{4}]{\kappa (5\tau )}},{\sqrt[{4}]{\kappa (\tau )}}\right]=0,\quad F(x,y)=x^{6}-y^{6}+5x^{2}y^{2}(x^{2}-y^{2})-4xy(x^{4}y^{4}-1)=0,$

ただし、$\kappa (\tau )$は母はは数すうを表あらわす。また、この式しきの証明しょうめいの途中とちゅうで次つぎの2つの命題めいだいが証明しょうめいされる。

• $K=\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )]$ と定義ていぎすると、$F[x,{\sqrt[{4}]{\kappa }}(\omega )]\in \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{\kappa }}(\omega )][x]=K[x]$ は $K$ 上うえで既すんで約やくである。
• この方程式ほうていしきの解かいが $\alpha _{\infty }=-{\sqrt[{4}]{\kappa (5\tau )}},\quad \alpha _{l}={\sqrt[{4}]{\kappa \left({\frac {\tau +16l}{5}}\right)}}\quad l\in \{1,2,3,4\}$

で与あたえられる。

解かいの構成こうせい

今いま、

${\begin{aligned}r_{0}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{0})(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\\r_{1}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{1})(\alpha _{2}-\alpha _{0})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\\r_{2}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{2})(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{0}-\alpha _{4}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\\r_{3}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4})(\alpha _{1}-\alpha _{0}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\\r_{4}&=(\alpha _{\infty }-\alpha _{4})(\alpha _{0}-\alpha _{3})(\alpha _{1}-\alpha _{2}){\sqrt[{4}]{\kappa }}(\tau )\end{aligned}}$

と定義ていぎすると、$r_{i}$ は $\;K({\sqrt {5\,}})\;$ 上うえの方程式ほうていしき

$x^{5}-2^{4}\cdot 5^{3}\kappa ^{2}(1-\kappa ^{2})^{2}x-2^{6}\cdot 5^{\frac {5}{2}}\kappa ^{2}(1-\kappa ^{2})^{2}(1+\kappa ^{2})=0$

の解かいであることが証明しょうめいできる。この式しきとブリング-ジェラードの標準ひょうじゅん形がたとを結合けつごうすることで五ご次じ方程式ほうていしきの解かいが構成こうせいできる。具体ぐたい的てきには、

$b=-{\rm {i}}{\frac {2(1+\kappa ^{2})}{5^{\frac {5}{4}}{\sqrt {\kappa (1-\kappa ^{2})}}}}$

の変換へんかんで互たがいに移うつり変かわる。これより、複素数ふくそすう $\kappa (\tau )$ は、四よん次じ方程式ほうていしきを解とくことで決定けっていできる。$r_{i}$ を決定けっていするには、この他ほかに $\tau$ そのものの値ねも必要ひつようであるので、残のこされている手続てつづきはパラメータ $\tau$ の決定けっていである。そして、この部分ぶぶんが超越ちょうえつ的てき操作そうさを含ふくんでいる。$\kappa (\tau )$ と $\tau$ とは、楕円だえん曲線きょくせん C

$y^{2}=(1-x^{2})(1-\kappa ^{2}x^{2})$

上うえの第だい1種しゅ積分せきぶん

$\xi ={\frac {dx}{y}}={\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\kappa ^{2}x^{2})}}}$

の周期しゅうきの比ひ、すなわち第だい一種いっしゅ完全かんぜん楕円だえん積分せきぶん

$K=K(\kappa )=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\kappa ^{2}x^{2})}}},\quad K'=K'(\kappa )=K(\kappa ')=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-{\kappa '}^{2}x^{2})}}},\quad \kappa '={\sqrt {1-\kappa ^{2}}}$

を用もちいて、

$\tau ={\frac {{\rm {i}}K'}{K}}$

の関係かんけいで結むすばれている。これが $\kappa (\tau )$から $\tau$ を決定けっていする式しきである。この式しきは代数だいすう的てきには解とけないが、この方程式ほうていしきを満足まんぞくする $\tau$ を $r_{i}$ に代入だいにゅうして五ご次じ方程式ほうていしきの解かいが得えられる。

クラインによる解法かいほう

正せい二に十じゅう面体めんてい的てき対称たいしょう性せい（Icosahedral symmetry）

五ご次じ方程式ほうていしきを正せい20面体めんてい方程式ほうていしき（60次じ方程式ほうていしき）に帰着きちゃくさせ、正せい20面体めんてい方程式ほうていしきの解かいは超ちょう幾何きか関数かんすうで示しめされる。

正せい20面体めんていを二に次元じげん球面きゅうめん S²に内接ないせつ。 二に次元じげん球面きゅうめん S²とリーマン球面きゅうめん（複素ふくそ射影しゃえい直線ちょくせん）を同どう一いち視し。複素ふくそ射影しゃえい直線ちょくせんの斉ひとし次じ座標ざひょうを$z_{1},z_{2}(z={z_{1}}/{z_{2}})$とし、以下いかの式しきを得える。

$f=z_{1}z_{2}(z_{1}^{10}+11z_{1}^{5}z_{2}^{5}-z_{2}^{10}),$

$H=-(z_{1}^{20}+z_{2}^{20})+228(z_{1}^{15}z_{2}^{5}-z_{1}^{5}z_{2}^{15})-494z_{1}^{10}z_{2}^{10},$

$T=(z_{1}^{30}+z_{2}^{30})+522(z_{1}^{25}z_{2}^{5}-z_{1}^{5}z_{2}^{25})-10005(z_{1}^{20}z_{2}^{10}+z_{1}^{10}z_{2}^{20}).$

これらを用もちいて(と書かいているのにTは使つかわれていない？)

$q(z)={\frac {H(z_{1},z_{2})^{3}}{1728f(z_{1},z_{2})^{5}}}={\frac {H(z,1)^{3}}{1728f(z,1)^{5}}}$

となり、 $q(z)=u$ は（uが何なにであるか言及げんきゅうがない？）60次じの方程式ほうていしき、いわゆる正せい20面体めんてい方程式ほうていしき

$((z^{20}+1)-288(z^{15}-z^{5})+494z^{10})^{3}+1728uz^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^{5}=0$

となる。 逆ぎゃくを求もとめると F(αあるふぁ,βべーた,γがんま;ｚ）をガウスの超ちょう幾何きか関数かんすうとして

$z={\frac {F({\frac {11}{60}},{\frac {31}{60}},{\frac {6}{5}};{\frac {1}{u}})}{{\sqrt[{5}]{1728}}F(-{\frac {1}{60}},{\frac {19}{60}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{u}})}}$

限定げんてい的てきな代数だいすう的てき解法かいほう

一般いっぱん式しきが代数だいすう的てきに解とけないということは、上記じょうきに示しめしたとおりであるが、特定とくていの五ご次じ方程式ほうていしきがどのような場合ばあいに解とけるかは分わかっている。ラグランジュが3次じ、4次じで用もちいた手法しゅほうをそのまま持もち込こんだ場合ばあい、

$x=(\alpha _{1}+\zeta \alpha _{2}+\zeta ^{2}\alpha _{3}+\zeta ^{3}\alpha _{4}+\zeta ^{4}\alpha _{5})^{5}$ (ただし ζぜーた は1の原始げんし5乗じょう根ね)

の置換ちかんを考察こうさつすることになるが、この場合ばあい5次じ対称たいしょう群ぐんの位い数すうは120で、出現しゅつげんする式しきは5次じ巡回じゅんかい群ぐんの位い数すう=5で割わった24通とおりである。つまりその為ために解とかなければならない方程式ほうていしきは24次じ式しきとなり5次じよりはるかに悪化あっかする。

そこでより位い数すうの低ひくい置換ちかんを与あたえるような式しきを考察こうさつする必要ひつようがあるが、これは1861年ねんにアーサー・ケイリーが与あたえたものが最良さいりょうとなる。

$x=(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{2}\alpha _{3}+\alpha _{3}\alpha _{4}+\alpha _{4}\alpha _{5}+\alpha _{5}\alpha _{1}-\alpha _{1}\alpha _{3}-\alpha _{2}\alpha _{4}-\alpha _{3}\alpha _{5}-\alpha _{4}\alpha _{1}-\alpha _{5}\alpha _{2})^{2}$

この場合ばあい出現しゅつげんする式しきは6通とおりであり、6次じ方程式ほうていしきを解とくことに帰着きちゃくする。もちろんこれを代数だいすう的てきに解とくことは一般いっぱん的てき状況じょうきょうでは不可能ふかのうであるが、根ねの平方へいほうが有理数ゆうりすうになる場合ばあいに限かぎり、実質じっしつ的てきな次数じすうが下さがり、代数だいすう的てきに解とける。以下いかは3次じ、4次じのラグランジュの解法かいほう同様どうようにして元もとの方程式ほうていしきの根ねを得える。これが五ご次じ方程式ほうていしきが代数だいすう的てきに解とける必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんである。

超ちょう冪べき根ねによる解法かいほう

詳細しょうさいは「超ちょう冪べき根ね」を参照さんしょう

四則しそく演算えんざんと通常つうじょうの冪べき根ねをとることに加くわえて超ちょう冪べき根ね（すなわち既すんで約やくな方程式ほうていしき x⁵ + x - a = 0 の唯一ゆいいつの実根みね）をとる操作そうさも「代数だいすう的てき操作そうさ」として許容きょようした場合ばあい、この拡張かくちょうされた意味いみにおいて一般いっぱん五ご次じ方程式ほうていしきが「代数だいすう的てきに」解とけることが知しられている。

ガロア群ぐん

5次じの推移すいい群ぐんは以下いかの 5種類しゅるいである。

• S₅ 対称たいしょう群ぐん（位い数すう 120）
• A₅ 交代こうたい群ぐん（位い数すう 60）
• B'₅ メタ巡回じゅんかい群ぐん（位い数すう 20）
• B₅ 半はんメタ巡回じゅんかい群ぐん（位い数すう 10）
• C₅ 巡回じゅんかい群ぐん（位い数すう 5）

既すんで約やくな $\mathbb {Q}$ 係数けいすうの 5 次じ方程式ほうていしき $x^{5}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ のガロア群ぐん G は，♯G = 120, 60, 20, 10, 5 である。

• 5次じ対称たいしょう群ぐん S₅
• 5次じ交代こうたい群ぐん A₅
• 位くらい数すう20のフロベニウス群ぐん F₂₀
• 10次じ二に面体めんてい群ぐん D₁₀
• 5次じ巡回じゅんかい群ぐん C₅

関連かんれん項目こうもく

• アーベル-ルフィニの定理ていり
• ガロア理論りろん
• 群論ぐんろん（可か解かい群ぐん）
• ヤコビの虚数きょすう変換へんかん式しき

外部がいぶリンク

• 5次じ方程式ほうていしきの解かいの公式こうしきを求もとめる
• n次じ方程式ほうていしきの解かいをDKA法ほうを用もちいて求もとめる
• Bruce Bartlett:The Quintic, the Icosahedron, and Elliptic Curves, AMS Notices (April 2024)