根号こんごう

{\sqrt {\;}}

根号こんごう（こんごう、英えい : radical symbol）とは、ある数かずが $n$ 乗のされる前まえの元もとの数かず、すなわちある数かずの冪べき根ねを表あらわすのに用もちいる記号きごうで、 $\sqrt$ のことである。

2が2乗じょうされる前まえの数かずは、根号こんごうを用もちいて ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ （ルート2）と表あらわし、これを2の平方根へいほうこんという。

3が3乗じょうされる前まえの数かずは ${\textstyle {\sqrt[{3}]{3}}}$ と表あらわし、これを3の立方根りっぽうこんという。

このように、ある数かずを $a$ とおいた場合ばあい、 $a$ が $n$ 乗じょうされる前まえの数かず、すなわち $a$ の $n$ 乗の根ねは ${\textstyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ と表あらわされる^[1]。

歴史れきし

冪べき根ねという数かずの概念がいねんは紀元前きげんぜんのピタゴラスの時代じだいからあったが、その頃ころは単たんなる無理むり数すうで記号きごうは用もちいられていなかった^[2]。

その後ご、インドの数学すうがく者しゃブラーマグプタは無理むりを表あらわす「carani」の頭文字かしらもじ $c$ を用もちいて表あらわす方法ほうほうを生うみ出だした^[2]。

13世紀せいきには記号きごうが根ねの意味いみを持もつようになりラテン語らてんごの radix（根ねや根源こんげんの意い、英語えいごの root に相当そうとう）を用もちいたり、イタリアでは radix を略りゃくした記号きごうとして大文字おおもじの $R$ と小文字こもじの $x$ を組くみ合あわせた記号きごうが使つかわれるようになった。

イギリス系けいでは latus（正方形せいほうけいの一いち辺へんの意い、英語えいごの side に相当そうとう）の頭文字かしらもじ $l$ が使つかわれた^[3]。

ドイツの数学すうがく者しゃクリストッフ・ルドルフによる1525年ねんの著作ちょさく “Coss”（『代数だいすう』）で、根号こんごうの原型げんけいとなる $\surd$ が初はじめて用もちいられたとされ、この記号きごうは radix の頭文字かしらもじの r を変形へんけいしたものであるといわれるが諸説しょせつある^[1]。

上うえに横よこ棒ぼうを引ひいて範囲はんいを示しめすのは、1637年ねんにルネ・デカルトが考案こうあんした^[1]。

平方根へいほうこん以外いがいのn乗の根ねについてはしばらく形式けいしきが決きまらず、アイザック・ニュートンは $\surd ^{3}$ として立方根りっぽうこんを表あらわした一方いっぽうで、デカルトは cube の頭文字かしらもじの c を用もちいて立方根りっぽうこんを ${\sqrt {c.a}}$ （ $a$ は何なんらかの数かず）と表あらわした^[3]。

このような表あらわし方かたの違ちがいは、17世紀せいきから18世紀せいき頃ころに現在げんざいの表あらわし方かたに統一とういつされていった^[1]^[3]。

用例ようれい

共通きょうつうのルールとして、乗法じょうほうや除法じょほうの記号きごうは省略しょうりゃくし、除法じょほうの場合ばあいは分数ぶんすうで表あらわす。

$3\times {\sqrt {2}}\rightarrow 3{\sqrt {2}},\quad {\sqrt {2}}\div 3\rightarrow {\frac {\sqrt {2}}{3}}$

平方根へいほうこん

$\sqrt$ の横線おうせんの下したに平方根へいほうこんを求もとめる数式すうしきを書かく。式しきが長ながい場合ばあいは必要ひつようなだけ横線おうせんをのばす。

{\sqrt {2\,}},\quad {\sqrt {x\,}},\quad {\sqrt {x+y+z+w+\dotsb \;}}

演算えんざんの優先ゆうせん順位じゅんいは横線おうせんにより示しめされるが、その後ごも数式すうしきが続つづくときは印刷いんさつの都合つごうなどで判別はんべつしにくいことがあるので、全体ぜんたいを括弧かっこでくくったり、乗算じょうざん記号きごうを書かいたりすることもある。

{\sqrt {x}}\,y={\bigl (}{\sqrt {x}}{\bigr )}y={\sqrt {x}}\cdot y\neq {\sqrt {xy}}

^{[注釈ちゅうしゃく 1]}

非負ひふの実数じっすうの平方根へいほうこん（のうち根号こんごうで表あらわされる方ほう）は ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ 乗じょうであり、根号こんごうの代かわりに冪べき乗じょうで表あらわすこともある。

{\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}

開平かいへい法ほうの筆算ひっさんにおいては、 $\sqrt$ の横よこ棒ぼうの上うえに被ひ開平かいへい数すう2桁けたごとに求もとめた根ねの値ねを書かく。左ひだりに垂たれ下さがる記号きごうの形状けいじょうと、横よこ棒ぼうの上うえに求もとめた値ねを書かく点てんは、除算じょざんの筆算ひっさんの記号きごう（⟌）と共通きょうつうしているが、「 $\sqrt$ 」と「⟌」は別物べつものである。

多重たじゅう根号こんごう

詳細しょうさいは「多重たじゅう根号こんごう」を参照さんしょう

根号こんごうは必要ひつようなだけ入いれ子こにできる。このように入いれ子こにした式しきは根号こんごうの中なかに無理むり式しきを含ふくむパターンであることがほとんどであるため、基本きほん的てきに多重たじゅう根号こんごうとなる。

\quad {\sqrt {x+{\sqrt {x+{\sqrt {x+{\sqrt {x+\dotsb \ }}\;}}\;}}\,}}

イデアルの根基こんき

詳細しょうさいは「イデアルの根基こんき」を参照さんしょう

可か換かわ環たまきのイデアル ${\textstyle {\mathfrak {a}}}$ の根基こんきは

{\sqrt {\mathfrak {a}}}:={\bigl \{}x\mathrel {\big |} x^{n}\in {\mathfrak {a}}{\text{ for some integer }}n>0{\bigr \}}.

^[4]

非ひ可か換かわの場合ばあいは

{\sqrt {\mathfrak {a}}}:={\bigl \{}a\mathrel {\big |} {\text{if }}S{\text{ is an }}m{\text{-system, and }}a\in S{\text{ then }}S\cap {\mathfrak {a}}\neq \emptyset {\bigr \}}.

コンピュータでの表現ひょうげん

プレーンテキストで表あらわすときは、√の後のちに数字すうじ等とうを続つづける。あるいは単たんに、1/2乗じょうと表あらわす。演算えんざんの優先ゆうせん順位じゅんいがはっきりしないなら括弧かっこを使つかう。

√x

x ^ (1/2)

√(x + b)

HTML等ひとしでは、数字すうじ等とうの上うえにオーバーラインをつけることもある。環境かんきょうによっては根号こんごうと綺麗きれいに繋つながらない。

√x

符号ふごう位置いち

記号きごう	Unicode	JIS X 0213	文字もじ参照さんしょう	名称めいしょう
√	`U+221A`	`1-2-69`	`√` `√` `√`	根号こんごう SQUARE ROOT
∛	`U+221B`	`-`	`∛` `∛`	三さん乗じょう根号こんごう CUBIC ROOT
∜	`U+221C`	`-`	`∜` `∜`	四よん乗じょう根号こんごう FOURTH ROOT

脚注きゃくちゅう

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

注釈ちゅうしゃく

^ ${\textstyle {\sqrt {x}}y}$ は ${\textstyle {\sqrt {x}}}$ に ${\textstyle y}$ をかけるのに対たいして、 ${\textstyle {\sqrt {xy}}}$ は根号こんごうの中なかの数かずが ${\textstyle x}$ と ${\textstyle y}$ をかけたものになる。この違ちがいに注意ちゅういする必要ひつようがある。

出典しゅってん

^ ^a ^b ^c ^d “数学すうがく記号きごうの由来ゆらいについて（5）－べき乗じょう、平方根へいほうこん等とう－”. ニッセイ基礎研究所にっせいきそけんきゅうしょ. 2022年ねん6月がつ12日にち閲覧えつらん。
^ ^a ^b 岡部おかべら 2012, p. 36
^ ^a ^b ^c 岡部おかべら 2012, p. 37
^ “Ideal Radical”. Wolfram MathWorld. 2022年ねん6月がつ13日にち閲覧えつらん。

参考さんこう文献ぶんけん

上垣うえがき渉わたる (2006). はじめて読よむ数学すうがくの歴史れきし. ベレ出版しゅっぱん. ISBN 978-4860641108
岡部おかべ恒治つねじ、川村かわむら康文やすふみ、長谷川はせがわ愛美まなみ、本丸ほんまる諒りょう、松本まつもと悠ゆう『身近みぢかな数学すうがくの記号きごうたち』株式会社かぶしきがいしゃ　オおーム社むしゃ、2012年ねん8月がつ1日にち。ISBN 4274212432。

外部がいぶリンク

[4] ${\textstyle {\sqrt {x}}y}$ は ${\textstyle {\sqrt {x}}}$ に ${\textstyle y}$ をかけるのに対たいして、 ${\textstyle {\sqrt {xy}}}$ は根号こんごうの中なかの数かずが ${\textstyle x}$ と ${\textstyle y}$ をかけたものになる。この違ちがいに注意ちゅういする必要ひつようがある。

[:0-1] “数学すうがく記号きごうの由来ゆらいについて（5）－べき乗じょう、平方根へいほうこん等とう－”. ニッセイ基礎研究所にっせいきそけんきゅうしょ. 2022年ねん6月がつ12日にち閲覧えつらん。

[:2-2] 岡部おかべら 2012, p. 36

[:1-3] 岡部おかべら 2012, p. 37

[5] “Ideal Radical”. Wolfram MathWorld. 2022年ねん6月がつ13日にち閲覧えつらん。

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[2]

[3]

[注釈ちゅうしゃく 1]

[4]