除法じょほう

20 個このりんごを 4 つに等分とうぶん配はいしたとき、それぞれのグループにはりんごが 5 個こある。20÷4=5

除法じょほう（じょほう、英えい: division）とは、乗法じょうほうの逆ぎゃく演算えんざんであり四則しそく演算えんざんのひとつに数かぞえられる二に項こう演算えんざんの一種いっしゅである。除算じょざん（じょさん、じょざん）、割わり算ざん（わりざん）とも呼よばれる。

除法じょほうは ÷（日本にっぽんで一般いっぱん的てき） や /（世界せかい的てきに優勢ゆうせい）、：（ドイツ・フランス）、及および⟌（筆算ひっさんの場合ばあい）などといった記号きごうを使つかって表あらわされる（#記号きごうについても参照さんしょう）。除算じょざんする2つの数かずのうち一方いっぽうの項こうを被除数ひじょすう (ひじょすう、英えい: dividend) と呼よび、他方たほうを除数じょすう (英えい: divisor) と呼よぶ。有理数ゆうりすうの除法じょほうについて、その演算えんざん結果けっかは被除数ひじょすうと除数じょすうの比ひを与あたえ、分数ぶんすうを用もちいて表あらわせられる。このとき被除数ひじょすうは分子ぶんし (英えい: numerator)、除数じょすうは分母ぶんぼ (英えい: denominator) に対応たいおうする。被除数ひじょすうと除数じょすうは、被除数ひじょすうの右側みぎがわに除数じょすうを置おいて以下いかのように表あらわされる。

被除数ひじょすう ÷ 除数じょすう

除算じょざんは商しょう (英えい: quotient) と剰余じょうよ (英えい: remainder) の2つの数かずを与あたえ、商しょうと除数じょすうの積せきに剰余じょうよを足たしたものは元もとの被除数ひじょすうに等ひとしい。

商しょう × 除数じょすう + 剰余じょうよ = 被除数ひじょすう

剰余じょうよは余あまりとも呼よばれ、除算じょざんによって「割わり切きれない」部分ぶぶんを表あらわす。剰余じょうよが0である場合ばあい、「被除数ひじょすうは除数じょすうを割わり切きれる」と表現ひょうげんされ、このとき商しょうと除数じょすうの積せきは被除数ひじょすうに等ひとしい。剰余じょうよを具体ぐたい的てきに決定けっていする方法ほうほうにはいくつかあるが、自然しぜん数すうの除法じょほうについては、剰余じょうよは除数じょすうより小ちいさくなるように取とられる。たとえば、13 を 4 で割わった余あまりは 1、商しょうは3となる。これらの商しょうおよび剰余じょうよを求もとめる最もっとも原始げんし的てきな方法ほうほうは、引ひけるだけ引ひき算ざんを行おこなうことである。つまり13を4で割わる例れいでは、13から4を1回かいずつ引ひいていき（13 − 4 = 9, 9 − 4 = 5, 5 − 4 = 1 < 4）、引ひかれる数かずが4より小ちいさくなるまで引ひき算ざんを行おこなったら、その結果けっかを剰余じょうよ、引ひき算ざんした回数かいすうを商しょうとする。これは自然しぜん数すうの乗法じょうほうを足たし算ざんによって行おこなうことと逆ぎゃくの関係かんけいにある。

剰余じょうよを与あたえる演算えんざんに % などの記号きごうを用もちいる場合ばあいがある。

剰余じょうよ = 被除数ひじょすう % 除数じょすう

除数じょすうが0である場合ばあい、除数じょすうと商しょうの積せきは必かならず0になるため商しょうを一意いちいに定さだめることができない。従したがって0を除数じょすうとする除法じょほうの商しょうは未定義みていぎとなる（ゼロ除算じょざんを参照さんしょう）。

有理数ゆうりすうやそれを拡張かくちょうした実数じっすう、複素数ふくそすうにおける除法じょほうでは、整数せいすうや自然しぜん数すうの除法じょほうと違ちがって剰余じょうよは使つかわれず、

商しょう × 除数じょすう = 被除数ひじょすう

という関係かんけいが除数じょすうが0の場合ばあいを除のぞき常つねに成なり立たつ。この関係かんけいは次つぎのようにも表あらわされる。

被除数ひじょすう ÷ 除数じょすう = 商しょう

実数じっすうなどにおける定義ていぎから離はなれると、除法じょほうは乗法じょうほうを持もつ代数だいすう的てき構造こうぞうについて「乗法じょうほうの逆ぎゃく元もとを掛かけること」として一般いっぱん化かできる。一般いっぱんの乗法じょうほうは交換こうかん法則ほうそくが必かならずしも成なりたないため、除法じょほうも左右さゆう2通とおり考かんがえられる。

記号きごうについて

詳細しょうさいは「除算じょざん記号きごう」を参照さんしょう

日本にっぽんでは除算じょざん記号きごうとして「÷」が広ひろく用もちいられるが、日本にっぽん以外いがいで「÷」が広ひろく用もちいられている国くにはアメリカ、イギリス、韓国かんこく、中国ちゅうごく、タイなど限かぎられた国こくしかない。世界せかい的てきには除算じょざん記号きごうとしては「／（スラッシュ）」が優勢ゆうせいであり、コンピュータープログラミングにおいても半角はんかくの「/」を用もちいるのが一般いっぱん的てきである。他たにはドイツやフランスでは除算じょざん記号きごうとして「：（コロン）」が使用しようされている。また一般いっぱんに除算じょざんの筆算ひっさんでは「÷」や「／」等とうを使つかうのではなく、記号きごう「⟌」を用もちいてその右みぎ下かに被除数ひじょすう、左ひだりに除数じょすうを書かく形かたちで書かき表あらわし、その上うえで商しょうを「⟌」の上うえに書かいて乗算じょうざんと減算げんざんの組くみ合あわせにより計算けいさんする（長ちょう除法じょほう。詳細しょうさいは筆算ひっさん#筆算ひっさんによる除算じょざんを参照さんしょう）。また素因数そいんすう分解ぶんかいや進すすむ法ほう変換へんかんなど連続れんぞくして除算じょざんを行おこなう場合ばあいなどには、その「⟌」を上下じょうげ反転はんてんさせたような記号きごうを使つかい、その右みぎ上じょうに被除数ひじょすう、左ひだりに除数じょすう、下したに商しょうを書かく形かたちで書かき表あらわすことがある（短たん除法じょほう）。

整数せいすうの除法じょほう

整数せいすう m と n に対たいして、

m = qn

を満みたす整数せいすう q が唯ただ一ひとつ定さだまるとき、m ÷ n = q によって除算じょざんを定さだめる。m は被除数ひじょすう（ひじょすう、英えい: dividend）あるいは実み（じつ）と呼よばれ、n は除数じょすう（じょすう、英えい: divisor）あるいは法ほう（ほう、英えい: modulus）と呼よばれる。また q は m を n で割わった商しょう（しょう、英えい: quotient）と呼よばれる。商しょう q は他たに「m の n を法ほうとする商しょう」「法ほう n に関かんする商しょう (英えい: quotient modulo n)」 などとも言いう。 またこのとき、m は n で整除せいじょ（せいじょ）される、割わり切きれる（わりきれる、英えい: divisible）あるいは n は m を整除せいじょする、割わり切きるなどと表現ひょうげんされる。このことはしばしば記号きごう的てきに n ∣ m と書かき表あらわされる。 除数じょすう n が 0 である場合ばあいを考かんがえると、除数じょすう 0 と任意にんいの整数せいすう q の積せきは 0 となり、被除数ひじょすう m が 0 なら任意にんいの整数せいすう q が方程式ほうていしきを満みたすため、商しょうは一意いちいに定さだまらない。同様どうように被除数ひじょすう m が 0 以外いがいの場合ばあいにはどのような整数せいすう q も方程式ほうていしきを満みたさないため、商しょうは定さだまらない。

整数せいすうの範囲はんいでは上述じょうじゅつのような整数せいすう q が定さだまる保証ほしょうはなく、たとえば被除数ひじょすう m が 7 の場合ばあいを考かんがえると除数じょすう n が 1, 7, −1, −7 のいずれかでない限かぎり商しょう q は整数せいすうの範囲はんいで定さだまらない。整数せいすうの範囲はんいで商しょうが必かならず定さだまるようにするには、剰余じょうよ（じょうよ、英えい: remainder, residue）を導入どうにゅうして除法じょほうを拡張かくちょうする必要ひつようがある。つまり、方程式ほうていしき

m = qn + r

を満みたすような q, r をそれぞれ商しょうと剰余じょうよとして与あたえる。このような方程式ほうていしきを満みたす整数せいすう q, r は複数ふくすう存在そんざいするが（たとえばある q, r に対たいして q − 1 と n + r の組くみは同様どうように上記じょうきの方程式ほうていしきを満みたす）、剰余じょうよ r の取とり得える値ねに制限せいげんを与あたえて一意いちいに商しょう q と剰余じょうよ r の組くみを定さだめることができる。よく用もちいられる方法ほうほうは剰余じょうよ r を除数じょすう n より絶対ぜったい値ちが小ちいさな非負ひふの数かずと定さだめることである。このような除法じょほうはユークリッド除法じょほうと呼よばれる。

m = qn + r かつ0 ≤ r < |n|

これは、感覚かんかく的てきには被除数ひじょすうから除数じょすうを引ひけるだけ引ひいた残のこりを剰余じょうよと定さだめているということである。こうして定さだめられる剰余じょうよはしばしば「m の n を法ほうとする剰余じょうよ」「m の法ほう n に関かんする剰余じょうよ (英えい: residue modulo "n") 」などとい表いあらわされる。 剰余じょうよrが0でないことはしばしば「mはnで割わり切きれない」と表あらわされ、記号きごう的てきに n ∤ m と表あらわされる。 ユークリッド除法じょほうによる計算けいさん例れいは以下いかの通とおりである。以下いかでは除数じょすうを 4, −4, 被除数ひじょすうを 22, −22 としている。

• 0 ≤ r < |n|

22 = 5 × 4 + 2：商しょう 5, 剰余じょうよ 2

22 = (−5) × (−4) + 2：商しょう −5, 剰余じょうよ 2

−22 = (−6) × 4 + 2：商しょう −6, 剰余じょうよ 2

−22 = 6 × (−4) + 2：商しょう 6, 剰余じょうよ 2

「割わり切きれない」という用語ようごはしばしば「小数点しょうすうてん以下いかが無限むげんに続つづく」の意いで不適切ふてきせつに用もちいられることがあるが、「割わり切きれない」からといってそうであるとは限かぎらない（たとえば上記じょうきの例れいでは、「22は4で割わり切きれない」が、その有理数ゆうりすう除算じょざんにおける商しょうは「5.5」であり小数しょうすう第だい一いち位いまでで表あらわすことが出来できる）。

絶対ぜったい的てき最小さいしょう剰余じょうよ

他たの剰余じょうよに対たいする制限せいげん方法ほうほうとして、剰余じょうよの絶対ぜったい値ちが最小さいしょうとなるよう商しょうを定さだめる方法ほうほうがある。この方法ほうほうでは、

−|n|/2 < r ≤ |n|/2

あるいは

−|n|/2 ≤ r < |n|/2

の範囲はんいに剰余じょうよ r が含ふくまれる。この場合ばあい、ユークリッド除法じょほうと違ちがい r は負まけの値ねを取とり得える。このように定さだめられる剰余じょうよを絶対ぜったい的てき最小さいしょう剰余じょうよ (絶対ぜったい値ち最小さいしょう剰余じょうよとも。英えい: least absolute remainder, absolutely least residue, minimal residue) と呼よぶ。 絶対ぜったい的てき最小さいしょう剰余じょうよを用もちいる場合ばあいの計算けいさん例れいは以下いかの通とおりである。以下いかでは除数じょすうを 4, −4, 被除数ひじょすうを 22, −22 としている。

• −|n|/2 < r ≤ |n|/2

22 = 5 × 4 + 2：商しょう 5, 剰余じょうよ 2

22 = (−5) × (−4) + 2：商しょう −5, 剰余じょうよ 2

−22 = (−6) × 4 + 2：商しょう −6, 剰余じょうよ 2

−22 = 6 × (−4) + 2：商しょう 6, 剰余じょうよ 2

• −|n|/2 ≤ r < |n|/2

22 = 6 × 4 − 2：商しょう 6, 剰余じょうよ −2

22 = (−6) × (−4) − 2：商しょう −6, 剰余じょうよ −2

−22 = (−5) × 4 − 2：商しょう −5, 剰余じょうよ −2

−22 = 5 × (−4) − 2：商しょう 5, 剰余じょうよ −2

いずれの方法ほうほうであっても、除数じょすう n が0の場合ばあい、剰余じょうよ r は0でなければならず、被除数ひじょすう m がどんな数かずであっても商しょうqを一意いちいに定さだめることはできない。 絶対ぜったい的てき最小さいしょう剰余じょうよとユークリッド除法じょほうによって定さだめられる最小さいしょう非負ひふ剰余じょうよ、あるいは別べつの方法ほうほうのいずれを用もちいるかは自由じゆうであり、与あたえられる剰余じょうよがそのいずれかであるかは予あらかじめ決きめられた規約きやくに従したがう。この規約きやくは、計算けいさんする対象たいしょうや計算けいさん機きの機種きしゅ、あるいはプログラミング言語げんごにより、まちまちである。簡単かんたんな分析ぶんせきとサーベイが "Division and Modulus for Computer Scientists" という文献ぶんけんにまとめられている。

有理数ゆうりすうの除法じょほう

整数せいすうの除法じょほうでは、考かんがえている数かず（自然しぜん数すうまたは整数せいすう）の範囲はんい内ないで商しょうを取とり直なおして剰余じょうよを定義ていぎすることで、除法じょほうをその数かずの範囲はんい全体ぜんたいで定義ていぎできることを述のべた。さらに、よく知しられているように、数かずの範囲はんいを有理数ゆうりすうまで拡張かくちょうし、商しょうに有理数ゆうりすうを許ゆるすことによって、剰余じょうよの概念がいねんは不要ふようとなり、有理数ゆうりすうの全体ぜんたいで四則しそく演算えんざんが自由じゆうに行おこなえるようになる。

任意にんいの被除数ひじょすう a の 0 でない除数じょすう b による除算じょざんは、有理数ゆうりすう c をただ一ひとつ与あたえる。

$a\div b=c$

この有理数ゆうりすう c は

$c\times b=b\times c=a$

を満みたす。また、除算じょざんは、除数じょすうの逆数ぎゃくすうの乗算じょうざんに置おき換かえることができる。

$a\div b=a\times {\frac {1}{b}}$

したがって、除算じょざんおよび乗算じょうざんの順序じゅんじょは入いれ替かえることができる。

${\begin{aligned}(a\div b)\times c&=\left(a\times {\frac {1}{b}}\right)\times c=(a\times c)\times {\frac {1}{b}}=(a\times c)\div b,\\(a\div b)\div c&=\left(a\times {\frac {1}{b}}\right)\times {\frac {1}{c}}=\left(a\times {\frac {1}{c}}\right)\times {\frac {1}{b}}=(a\div c)\div b\end{aligned}}$

また、2つの除算じょざんは乗算じょうざんを用もちいてまとめることができる。

$(a\div b)\div c=a\div (b\times c)$

しかし、除数じょすうと被除数ひじょすうとを入いれ替かえることはできない。

$a\div b\neq b\div a$

$(a\div b)\div c\neq a\div (b\div c)$

2番目ばんめの例れいのように括弧かっこの位置いちを変かえると計算けいさん結果けっかが変かわってしまうので、

$a\div b\div c$

と書かかれた場合ばあいには特別とくべつな解釈かいしゃくを与あたえる必要ひつようがある。一般いっぱん的てきには左側ひだりがわの演算えんざんが優先ゆうせんされ、次つぎ式しきの右辺うへんの意味いみに解釈かいしゃくされる。

$a\div b\div c=(a\div b)\div c$

有理数ゆうりすうの除算じょざんについて、除数じょすうを被除数ひじょすうに対たいして分配ぶんぱいすることができる。

$(a+b)\div c=a\div c+b\div c$

ただし、被除数ひじょすうを除数じょすうに対たいして分配ぶんぱいすることはできない。

$a\div (b+c)\neq a\div b+a\div c$

有理数ゆうりすうの除算じょざんの結果けっかは、分数ぶんすうを用もちいて表あらわすことができる。

$a\div b={\frac {a}{b}}$

ある有理数ゆうりすうに対応たいおうする分数ぶんすうの表あらわし方かたは無数むすうに存在そんざいする。たとえば 0 でない有理数ゆうりすう c を用もちいて、

$a\div b={\frac {ac}{bc}}={\frac {\frac {a}{c}}{\frac {b}{c}}}$

と表あらわしてもよい。 また、有理数ゆうりすうは分母ぶんぼと分子ぶんしがともに整数せいすうである分数ぶんすうを用もちいて表あらわすことができる。2つの有理数ゆうりすう a, b をそれぞれ整数せいすう p, q, r, s を用もちいて分数ぶんすう表記ひょうきする。

$a={\frac {p}{q}},\quad b={\frac {r}{s}}$

すると、それらの除算じょざんは次つぎのように計算けいさんすることができる。

${\frac {p}{q}}\div {\frac {r}{s}}={\frac {p}{q}}\times {\frac {s}{r}}={\frac {p\times s}{q\times r}}={\frac {ps}{qr}}$

この表示ひょうじから明あきらかなように、有理数ゆうりすうを有理数ゆうりすうで割わった商しょうはまた有理数ゆうりすうである。次つぎのように計算けいさんしてもよい。

${\frac {p}{q}}\div {\frac {r}{s}}={\frac {p\div r}{q\div s}}={\frac {\frac {p}{r}}{\frac {q}{s}}}$

このような意味いみで、四則しそく演算えんざんが自由じゆうに行おこなえる集合しゅうごうの抽象ちゅうしょう化かとして体からだの概念がいねんが現あらわれる。すなわち、有理数ゆうりすうの全体ぜんたいが作つくる集合しゅうごう Q は体からだである。

実数じっすうの除法じょほう

実数じっすうは有理数ゆうりすうの極限きょくげんとして表あらわされ、それによって有理数ゆうりすうの演算えんざんから実数じっすうの演算えんざんが矛盾むじゅんなく定義ていぎされる。すなわち、任意にんいの実数じっすう x, y (y ≠ 0) に対たいし x_n → x, y_n → y (n → ∞) を満みたす有理数ゆうりすうの列れつ {x_n}_{n ∈ N}, {y_n}_{n ∈ N}（例たとえば、x, y の小しょう数表示すうひょうじを第だい n 桁けたまでで打うち切きったものを x_n, y_n とするような数列すうれつ）が与あたえられたとき

$x/y:=\lim _{n\to \infty }x_{n}/y_{n}$

と定さだめると、この値ねは極限きょくげん値ちが x, y である限かぎりにおいて数列すうれつのとり方かたによらずに一定いっていの値ねをとる。これを実数じっすうの商しょうとして定さだめるのである。

複素数ふくそすうの除法じょほう

実数じっすうの除法じょほうを用もちいれば複素数ふくそすうの除法じょほうが、被除数ひじょすうが 0 の場合ばあいを除のぞいた任意にんいの 2 つの複素数ふくそすうについて定義ていぎできる。 2 つの複素数ふくそすう z, w について、w の共役きょうやく複素数ふくそすう w を用もちいれば、複素数ふくそすうの除法じょほう z/w は次つぎのように計算けいさんできる（ただし除数じょすう w は 0 でないとする）。

${\frac {z}{w}}={\frac {z}{w}}{\frac {\overline {w}}{\overline {w}}}={\frac {z{\overline {w}}}{\left|w\right|^{2}}}.$

また、複素数ふくそすう z, w の実み部ぶと虚きょ部ぶを 4 つの実数じっすう Re z, Im z, Re w, Im w を用もちいて z = Re z + i Im z, w = Re w + i Im w と表あらわせば、複素数ふくそすうの除法じょほう z/w は次つぎのように表あらわせる。

${\frac {z}{w}}={\frac {\operatorname {Re} z+i\operatorname {Im} z}{\operatorname {Re} w+i\operatorname {Im} w}}={\frac {\operatorname {Re} z\operatorname {Re} w+\operatorname {Im} z\operatorname {Im} w}{(\operatorname {Re} w)^{2}+(\operatorname {Im} w)^{2}}}+i\,{\frac {\operatorname {Re} z\operatorname {Im} w-\operatorname {Im} z\operatorname {Re} w}{(\operatorname {Re} w)^{2}+(\operatorname {Im} w)^{2}}}.$

極ごく形式けいしきでは

${\frac {z}{w}}={\frac {|z|e^{i\arg z}}{|w|e^{i\arg w}}}={\frac {|z|}{|w|}}e^{i(\arg z-\arg w)}$

と書かける。やはり |w| = 0 つまり w = 0 のところでは定義ていぎできない。

0で割わること

詳細しょうさいは「ゼロ除算じょざん」を参照さんしょう

代数だいすう的てきには、除法じょほうは乗法じょうほうの逆ぎゃくの演算えんざんとして定義ていぎされる。つまり a を b で割わるという除法じょほうは

$a\div b=x\iff a=b\times x$

を満みたす唯ただ一ひとつの x を与あたえる演算えんざんでなければならない。ここで、唯ただ一ひとつというのは簡約かんやく律りつ

$bx=by\Rightarrow x=y$

が成立せいりつするということを意味いみする。この簡約かんやく律りつが成立せいりつしないということは、bx = by という条件じょうけんだけからは x = y という情報じょうほうを得えたことにはならないということであり、そのような条件下じょうけんかで強つよいて除法じょほうを定義ていぎしたとしても益えきが無ないのである。

実数じっすうの乗法じょうほうにおいて、簡約かんやくが不能ふのうな一ひとつの特徴とくちょう的てきな例れいとして b = 0 である場合ばあい、つまり「0 で割わる」という操作そうさを挙あげることができる。実際じっさい、b = 0 であるとき a = bx によって除法じょほう a ÷ b を定さだめようとすると、もちろん a = 0 である場合ばあいに限かぎられるが、いかなる x, y についても 0x = 0 = 0y が成立せいりつしてしまって x の値ねは定さだまらない。無論むろん、a ≠ 0 ならば a = 0x なる x は存在そんざいせず a ÷ b は定義ていぎ出来できない。つまり、実数じっすうの持もつ代数だいすう的てきな構造こうぞうと0による 除算じょざんは両立りょうりつしない。

日本にっぽんの算術さんじゅつにおける除法じょほう

珠算しゅざんにおける除法じょほうでは、古ふるくは江戸えど時代じだいから昭和しょうわ戦前せんぜんまで「二に一天いってん作さく五ご」（10÷2＝5に相当そうとうし、そろばんの操作そうさ法ほうは割わられる桁けたの1を5に変かえて商しょうとする）に代表だいひょうされる割わり算ざん九きゅう九きゅう（割わり声ごえ・九きゅう帰き法ほう・八はち算さん・見み一いち）を用もちいた帰かえり除法じょほうが用もちいられてきたが、昭和しょうわ戦後せんごからは掛かけ算ざん九きゅう九きゅうを逆ぎゃくに使つかう商しょう除法じょほうが標準ひょうじゅん的てきとなっている。

伝承でんしょう

割算わりざん天下一てんかいちを名乗なのった毛利もうり重能しげよしの著書ちょしょ「割算わりざん書しょ」によれば、割算わりざんの起源きげんは以下いかのように記しるされている。

夫おっと割算わりざんと云うんは、寿ことぶき天たかし屋や辺あたり連れんと云うん所しょに智恵ちえ万徳まんとくを備はれる名木めいぼく有ゆう。此木くのぎに百味ひゃくみ之の含霊の菓、一生いっしょう一切いっさい人間にんげんの初はつ、夫婦ふうふ二に人にん有ゆう故こ、是ぜを其時二にに割わり初はつより此方こちら、割算わりざんと云うん事ごと有ゆう — 鳴海なるみ風ふう、小説しょうせつになる江戸えど時代じだいの数学すうがく者しゃ

参考さんこう文献ぶんけん

• 鳴海なるみ風ふう (2007年ねん3月がつ31日にち). “小説しょうせつになる江戸えど時代じだいの数学すうがく者しゃ” (PDF). 日本にっぽん数すう学会がっかい. 2016年ねん11月13日にち閲覧えつらん。
• Daan Leijen (2003年ねん6月がつ1日にち). “Division and Modulus for Computer Scientists” (PDF) (英語えいご). Microsoft. 2013年ねん11月13日にち閲覧えつらん。

関連かんれん文献ぶんけん

• 足立あだち恒雄つねお『数かず　体系たいけいと歴史れきし』朝倉書店あさくらしょてん、2002年ねん1月がつ20日はつか。ISBN 978-4-254-11088-3。http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11088-3/。 
• 彌永やなが昌吉しょうきち『数かずの体系たいけい』 上じょう、岩波書店いわなみしょてん〈岩波いわなみ新書しんしょ(青あお版ばん) 815〉、1972年ねん3月がつ25日にち。ISBN 978-4-00-416001-4。http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/41/4/4160010.html。 
• 彌永やなが昌吉しょうきち『数かずの体系たいけい』 下した、岩波書店いわなみしょてん〈岩波いわなみ新書しんしょ(黄き版ばん) 43〉、1978年ねん4月がつ20日はつか。ISBN 978-4-00-420043-7。http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/42/1/4200430.html。 
• 島内しまうち剛一ごういち『数学すうがくの基礎きそ』日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ〈日にち評ひょう数学すうがく選書せんしょ〉、2008年ねん12月（原著げんちょ1971年ねん3月がつ30日にち）。ISBN 978-4-535-60106-2。https://www.nippyo.co.jp/shop/book/4132.html。  - 1971年ねん3月がつに「日にち評ひょう数学すうがく選書せんしょ」の1冊さつとして刊行かんこうされた旧きゅう著ちょを、2008年ねん12月に復刊ふっかん。
• 高木たかぎ貞治さだはる『新式しんしき算術さんじゅつ講義こうぎ』高瀬たかせ正ただし仁ひとし 解説かいせつ、筑摩書房ちくましょぼう〈ちくま学芸がくげい文庫ぶんこ タ27-1 Math & Science〉、2008年ねん5月がつ20日はつか（原著げんちょ1904年ねん6月がつ28日にち）。ISBN 978-4-480-09146-8。http://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480091468/。  - 1904年ねん（明治めいじ37年ねん）に博文ひろぶみ館かんから発行はっこうされた旧きゅう著ちょの復刊ふっかん。
• 高木たかぎ貞治さだはる『数かずの概念がいねん』（改版かいはん）岩波書店いわなみしょてん、1970年ねん（原著げんちょ1949年ねん8月がつ20日はつか）。ISBN 978-4-00-005153-8。http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/9/0051530.html。 
• エトムント・ランダウ『数かずの体系たいけい　解析かいせきの基礎きそ』蟹江かにえ幸博ゆきひろ、丸善まるぜん出版しゅっぱん〈数学すうがくクラシックス 28〉、2014年ねん1月がつ30日にち。ISBN 978-4-621-08713-8。https://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/9784621087138.html。 

関連かんれん項目こうもく

• 算法さんぽう
• 除法じょほうの原理げんり
• 素数そすう
• 体からだ論ろん
• ユークリッド整せい域いき
• ユークリッドの補題ほだい

外部がいぶリンク

• Weisstein, Eric W. "Divide". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Weisstein, Eric W. "Division". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Weisstein, Eric W. "Division by Zero". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Weisstein, Eric W. "Minimal Residue". mathworld.wolfram.com (英語えいご).