商しょう (数学すうがく)

「除法じょほう」、「分数ぶんすう」、および「比ひ」も参照さんしょう

12個このりんごを3で割わった商しょうは4となる。

算術さんじゅつにおいて、商しょう（しょう、英語えいご: quotient 英語えいご発音はつおん: /ˈkwoʊʃənt/, ラテン語らてんご: quotiens 「何なん回かいだけ」より）とは、2数すうの除法じょほうによって得えられる量りょう。商しょうは数学すうがく全体ぜんたいで広ひろく用もちいられ、特とくに整数せいすう除法じょほう（除法じょほうの原理げんり）か、分数ぶんすうあるいは比ひ（有理数ゆうりすうの除法じょほう）として言及げんきゅうされる。例たとえば、ユークリッド除法じょほうでは被除数ひじょすう20を除数じょすう3で割わると、その「商しょう」は「6あまり2」となり、有理数ゆうりすうの除法じょほうでは 62/3 となる。後者こうしゃの場合ばあい、商しょうは単たんに被除数ひじょすうと除数じょすうとの比ひである。

記法きほう

詳細しょうさいは「en:Division (mathematics)#Notation」を参照さんしょう

商しょうは、水平すいへい線せんで分わけられた2数すうあるいは2変数へんすうとして一般いっぱんに表あらわされる。「被除数ひじょすう」と「除数じょすう」はそれぞれの一部分いちぶぶんを、「商しょう」の語かたりは全体ぜんたいを指さす。

$${\dfrac {1}{2}}\quad {\begin{aligned}&\leftarrow {\text{dividend or numerator}}\\&\leftarrow {\text{divisor or denominator}}\end{aligned}}{\Biggr \}}\leftarrow {\text{quotient}}$$

整数せいすう部ぶの定義ていぎ

商しょうはまた、剰余じょうよが負まけにならない最大さいだいの自然しぜん数すうとしても定義ていぎされる。例たとえば、除数じょすう3は被除数ひじょすう20から剰余じょうよが負まけにならずに最大さいだい6回かいまで引ひくことができる。

20 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 ≥ 0

一方いっぽうで

20 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 < 0

となる。

この場合ばあい、商しょうは2数すうの整数せいすう部ぶとなる。

二に整数せいすうの商しょう

詳細しょうさいは「有理数ゆうりすう」を参照さんしょう

有理数ゆうりすうは（分母ぶんぼが0でない）ふたつの整数せいすうの商しょうとして定義ていぎできる。

より詳細しょうさいな定義ていぎは次つぎのとおりである。

実数じっすう r が有理数ゆうりすうであることは分母ぶんぼが0でない2整数せいすうの商しょうとして表あらわされることと同値どうちである。有理数ゆうりすうでない実数じっすうは無理むり数すうである。

より正式せいしきには次つぎのようになる。

実数じっすう r が与あたえられたとき、r が有理数ゆうりすうであるとは r = a/b かつ b ≠ 0 を満みたす整数せいすう a および b が存在そんざいすることと同値どうちである。

無理むり数すう（2整数せいすうの商しょうでない数かず）の存在そんざいは幾何きか学がくで、正方形せいほうけいの辺あたりに対たいする対角線たいかくせんの長ながさの比ひとして最初さいしょに発見はっけんされた。

より一般いっぱんな商しょう

算術さんじゅつ以外いがいで、多おおくの数学すうがく分野ぶんやで「商しょう」の語かたりがより大おおきな構造こうぞうを解体かいたいして作つくられる構造こうぞうの事ことを指さすのに借用しゃくようされている。同値どうち関係かんけいにある集合しゅうごうが与あたえられた際さい、「商しょう集合しゅうごう」はその同値どうち関係かんけいを要素ようそとして含ふくむようにつくられる。商しょう群ぐんは群ぐんを類似るいじの剰余じょうよ類るいの個数こすうに合あわせてばらすことでつくられ、商しょう線型せんけい空間くうかんも同おなじようにベクトル空間くうかんを類似るいじの線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんに分割ぶんかつすることで得えられる。

関連かんれん項目こうもく

• 積せき
• 商圏しょうけん
• 商しょうグラフ
• 整数せいすう除法じょほう
• 商しょう加か群ぐん
• 商しょう対象たいしょう
• 形式けいしき言語げんごの商しょう: 左ひだり商しょう（left quotient）および右みぎ商しょう（right quotient）が存在そんざいする
• 商しょう環たまき
• 商しょう集合しゅうごう
• 商しょう空間くうかん
• 商しょう型がた
• 商しょう算ざんと分割ぶんかつ