線型せんけい部分ぶぶん空間くうかん

数学すうがく、とくに線型せんけい代数だいすう学がくにおいて、線型せんけい部分ぶぶん空間くうかん（せんけいぶぶんくうかん、linear subspace）または部分ぶぶんベクトル空間くうかん（ぶぶんベクトルくうかん、vector subspace）とは、ベクトル空間くうかんの部分ぶぶん集合しゅうごうで、それ自身じしんが元もとの空間くうかんの演算えんざんにより線型せんけい空間くうかんになっているもののことである。

ベクトル空間くうかんのある部分ぶぶん集合しゅうごうが、それ自身じしんある演算えんざんに関かんしてベクトル空間くうかんの構造こうぞうを持もっていたとしても、その演算えんざんがもとの空間くうかんの演算えんざんでないならば部分ぶぶん線型せんけい空間くうかんとは呼よばない、ということに注意ちゅういされたい。また、文脈ぶんみゃくにより紛まぎれの恐おそれのない場合ばあいには、線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんのことを単たんに部分ぶぶん空間くうかんと呼よぶことがある。

定義ていぎ

体からだ K 上うえのベクトル空間くうかん L の空そらでない 部分ぶぶん集合しゅうごう S ⊆ L に対たいして、和わやスカラー積せきは元もとの線型せんけい空間くうかん L で定義ていぎされた演算えんざんとして、

1. a + b ∈ S
2. αあるふぁa ∈ S

(for all a, b ∈ S and for all αあるふぁ ∈ K) が満みたされるとき、S を L の線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんと呼よぶ。

例れい

• ベクトル空間くうかん V 自身じしんや V の零れい元げんだけから成なる集合しゅうごう {0} は V の部分ぶぶん空間くうかんである。これを自明じめいな部分ぶぶん空間くうかんという。
• K 上うえのベクトル空間くうかん V の任意にんいの元もと v に対たいして、集合しゅうごう Kv = {av | a ∈ K} は V の線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんである。これを v の生成せいせいする線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんという。

• Rⁿ や Cⁿ に対たいし、原点げんてんを含ふくむ 直線ちょくせん、平面へいめん、超ちょう平面へいめんは、全すべて線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんである。

  注意ちゅうい：原点げんてんを含ふくまない 直線ちょくせん、平面へいめん、超ちょう平面へいめんは線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんとはならないが、これらは線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんの概念がいねんと深ふかく結むすびついている。実際じっさい、これらの概念がいねんを定義ていぎするときには、線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんの概念がいねんを使つかうのが普通ふつうである（ユークリッド幾何きか学がくの古典こてん的てきな公理系こうりけいでは、これらの用語ようごは無む定義ていぎ語ごとなる）。正確せいかくにはこれらは、アフィン部分ぶぶん空間くうかんとよばれるものである。詳くわしくはアフィン空間くうかんの項こうを参照さんしょう。

性質せいしつ

ベクトル空間くうかん V の線型せんけい部分ぶぶん空間くうかん U, W に対たいし、その和わ

U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W}　

と交まじわり

U ∩ W = {v | v ∈ U かつ v ∈ W}

も V の線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんである。

また、V' も K 上うえの線型せんけい空間くうかんであって f が V から V' への線型せんけい写像しゃぞうであるとき、V の任意にんいの線型せんけい部分ぶぶん空間くうかん W に対たいして

f(W) = {f(w) | w ∈ W}

は V の線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんであり、V' の任意にんいの線型せんけい部分ぶぶん空間くうかん W' に対たいして

f ^-1(W' ) = {v ∈ W | f(v) ∈ W' }

は V' の線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんである。特とくに、f の像ぞう Im f = f(V)、核かく Ker f = f ^-1({0'}) は、それぞれ V' , V の線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんである。ただし 0' は V' の零れい元げんを表あらわす。

関連かんれん項目こうもく

• ベクトル空間くうかん
• 部分ぶぶん空間くうかん
• 代数だいすう系けい
• アフィン空間くうかん

外部がいぶリンク

• Weisstein, Eric W. "Subspace". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• vector subspace - PlanetMath.（英語えいご）