共通きょうつう部分ぶぶん (数学すうがく)

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数学すうがくにおいて集合しゅうごう族ぞくの共通きょうつう部分ぶぶん（きょうつうぶぶん、英えい: intersection）とは、与あたえられた集合しゅうごうの集あつまり（族ぞく）全すべてに共通きょうつうに含ふくまれる元もとを全すべて含ふくみ、それ以外いがいの元もとは含ふくまない集合しゅうごうのことである。共通きょうつう集合しゅうごう（きょうつうしゅうごう）、共通きょうつう分ぶん^[1]（きょうつうぶん）、交叉こうさ（こうさ、交差こうさ）、交まじわり（まじわり、meet）、積せき集合しゅうごう（せきしゅうごう）、積せき（せき）^[2]などとも呼よばれる。ただし、積せき集合しゅうごうは直積ちょくせき集合しゅうごうの意味いみで用もちいられることが多おおい。

定義ていぎ

二ふたつの集合しゅうごうの交叉こうさ

集合しゅうごう $A$ , $B$ の交まじわりは $A \cap B$ と記しるされる^[5]。これは

x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A かつ x \in B

ということであり、記号きごうでは

A \cap B = {x | x \in A \land x \in B}

と書かける。 $A \cap B$ に含ふくまれるような元もとが存在そんざいするとき $A$ と $B$ とは互たがいに交まじわるあるいは交まじわりを持もつといい、そのような元もとの存在そんざいしないとき A と B は互たがいに素もとであるまたは交まじわりを持もたない (disjoint) という。

有限ゆうげん個この交叉こうさ

有限ゆうげん個この集合しゅうごう $M 1, \dots M k$ の交まじわり

M_{1}\cap M_{2}\cap \cdots \cap M_{k}

は、そのすべてに共通きょうつうに含ふくまれる元もとの全体ぜんたいである。集合しゅうごうの交まじわりは結合けつごう的てき、つまり

(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)

を満みたすから、（一般いっぱん結合けつごう法則ほうそく）により有限ゆうげん個この集合しゅうごうの交まじわりは

(\cdots ((M_{1}\cap M_{2})\cap M_{3})\cap \dotsb \cap M_{k})

に等ひとしく、また括弧かっこの付つけ方かたに依よらない。

\bigcap _{n=1}^{k}M_{n}=M_{1}\cap M_{2}\cap \dotsb \cap M_{k}

とも表あらわす。

任意にんいの交叉こうさ

集合しゅうごうの（空そらでない）族ぞく

{\mathfrak {M}}=\{M_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }

に対たいして、その交まじわりを集合しゅうごう族ぞくに属ぞくする全すべての集合しゅうごうに属ぞくする元もと、つまり

すべての

λ らむだ \in Λ らむだ

に対たいして

x \in M λ らむだ

となる $x$ の全体ぜんたいであると定義ていぎして

\bigcap {\mathfrak {M}},\quad \bigcap _{M\in {\mathfrak {M}}}M,\quad \bigcap _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda }

などで表あらわす。特とくに集合しゅうごう列れつ ${M n} n \in N$ の交まじわり（可算かさん交叉こうさ）の場合ばあいには

\bigcap _{n=1}^{\infty }M_{n}=M_{1}\cap M_{2}\cap M_{3}\cdots =M_{1}\cap (M_{2}\cap (M_{3}\cap \cdots ))

のようにも書かく^[6]。

与あたえられた集合しゅうごう族ぞくの共通きょうつう部分ぶぶんが空そら集合しゅうごうとなるとき、つまり全すべての集合しゅうごうに共通きょうつうに含ふくまれる元もとが一ひとつも存在そんざいしないとき、その集合しゅうごう族ぞくは交まじわりを持もたない (disjoint) という。また、どの二ふたつの集合しゅうごうを取とっても交まじわらないとき、その集合しゅうごう族ぞくは対たいごとに交まじわりを持もたない (pairwise disjoint) と言いう。disjoint ではないが pairwise disjoint な集合しゅうごう族ぞくが存在そんざいする。

例れい

P = {1, 3, 5, 7, 9} （10 以下いかの奇数きすうの集合しゅうごう）、Q = {2, 3, 5, 7} （10 以下いかの素数そすうの集合しゅうごう）とすると、P ∩ Q = {3, 5, 7} である。また、R = {2, 4, 6, 8, 10} （10 以下いかの偶数ぐうすうの集合しゅうごう）とすると P と R には共通きょうつうの要素ようそが存在そんざいしないから P ∩ R は空そら集合しゅうごうである。

実数じっすうからなる開ひらき区間くかんの族ぞく M = {(0, 1 + 1/n) | n は 1 以上いじょうの自然しぜん数すう} の共通きょうつう部分ぶぶんは半開はんかい区間くかん (0, 1] である：

\bigcap \mathbf {M} =\bigcap _{n=1}^{\infty }\left(0,\,1+{\frac {1}{n}}\right)=(0,1].

実際じっさい、 (0, 1] はどの区間くかんにも含ふくまれるので共通きょうつう部分ぶぶんに含ふくまれることは直ただちに言いえる。一方いっぽう、1 < x とするならば x = 1 + ε となる正せいの実数じっすう εいぷしろんが取とれるが、1 / εいぷしろん < n なる自然しぜん数すうは必かならず存在そんざいして、x はそのような n に対たいする (0, 1 + 1 / n) に属ぞくさない。したがって上記じょうきの等式とうしきが成立せいりつする。また、同様どうようの区間くかん族ぞく L = {(0, 1 − 1/n) | n は 1 以上いじょうの自然しぜん数すう} は n = 1 に対応たいおうする区間くかんが空そら集合しゅうごうであるので共通きょうつう部分ぶぶん ∩ L も空そら集合しゅうごう、つまり L は交まじわりを持もたない。

空そらなる交叉こうさ

→「空そら積せき・束論そくろん・空そらな合併がっぺい」も参照さんしょう

上記じょうき、任意にんい個数こすうの集合しゅうごうの交叉こうさの定義ていぎにおいて、族ぞくが空そら集合しゅうごう (∅) となる場合ばあいを排除はいじょしたことに注意ちゅういしなければならない。これは集合しゅうごう族ぞく $M$ の交まじわりを

\bigcap \mathbf {M} =\{x:\forall A\in \mathbf {M} ,\ x\in A\}

で定義ていぎするために、 $M$ が空そらならば $A \in M$ なる集合しゅうごうは存在そんざいしないから「 $x$ が満みたすべき条件じょうけんは一体いったい何なにであるか」という問題もんだいを生しょうじるからである。 $M$ が空そらなるときの上記じょうき条件じょうけんは空虚くうきょな真しんの一いち例れいであるから、答こたえは「可能かのうな限かぎりの全すべての $x$ 」となるべきである。すなわち、空そらな集合しゅうごう族ぞくの交まじわりは普遍ふへん集合しゅうごう（交叉こうさ演算えんざんの単位たんい元もと）と定義ていぎすることになる^[7]。

困こまったことに標準ひょうじゅん的てきな集合しゅうごう論ろん (ZFC) には普遍ふへん集合しゅうごうが存在そんざいしないから、これを部分ぶぶん的てきに回避かいひするために宇宙うちゅうと呼よばれる一ひとつの大おおきな集合しゅうごう $U$ を固定こていしてその部分ぶぶん集合しゅうごうとなる集合しゅうごうのみを考かんがえることがよく行おこなわれる。このような条件下じょうけんかでの $U$ の部分ぶぶん集合しゅうごう族ぞくの交まじわりは

\bigcap \mathbf {M} =\{x\in U:\forall A\in \mathbf {M} ,\ x\in A\}

と定義ていぎされるべきものであって、ここで $M$ を空そらにとっても何なにも問題もんだいは生しょうじない。即すなわち、空そらな交叉こうさは定義ていぎにより well-defined であって宇宙うちゅう全体ぜんたい $U$ に一致いっちする。そしてそれは $U$ の部分ぶぶん集合しゅうごう全体ぜんたいの上うえで定義ていぎされる交叉こうさ演算えんざんの単位たんい元もとである。

注ちゅう

^ 髙木貞治さだはる『数かずの概念がいねん』岩波書店いわなみしょてん、1949年ねん8月がつ20日はつか。
^ 集合しゅうごうの代数だいすう学がくあるいは集合しゅうごう族ぞくのブール代数だいすうにおいて、この場合ばあい、和わに相当そうとうするのは集合しゅうごう論ろん的てき差さまたは対称たいしょう差さである（集合しゅうごう環たまきなども参照さんしょう）。集合しゅうごう論ろん的てき和わは結むすびと呼よばれ、補ほ集合しゅうごうを取とる操作そうさに通つうじて積せきと同等どうとうの役割やくわりを果はたす。
^ Cajori, F. (1993). A History of Mathematical Notations. ¶688: Dover. ISBN 0-486-67766-4
^ Calcolo geometrico, secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann - インターネット・アーカイブ
^ 交まじわりの記号きごう $\cap$ は結むすびの記号きごう $\cup$ と共ともに1888年ねんにジュゼッペ・ペアノによって導入どうにゅうされた^[3]^[4]。
^ 集合しゅうごうが非ひ増大ぞうだい列れつ $M 1 \supset M 2 \supset \dots$ をなすとき、それらの共通きょうつう部分ぶぶんは逆ぎゃく極限きょくげんを用もちいて $\textstyle \varprojlim M_{n}$ と書かくこともできる。
^ Megginson, Robert E. (1998), “Chapter 1”, An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics, 183, New York: Springer-Verlag, pp. xx+596, ISBN 0-387-98431-3

外部がいぶリンク

Weisstein, Eric W. "Intersection". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
intersection - PlanetMath.（英語えいご）

[1] 髙木貞治さだはる『数かずの概念がいねん』岩波書店いわなみしょてん、1949年ねん8月がつ20日はつか。

[2] 集合しゅうごうの代数だいすう学がくあるいは集合しゅうごう族ぞくのブール代数だいすうにおいて、この場合ばあい、和わに相当そうとうするのは集合しゅうごう論ろん的てき差さまたは対称たいしょう差さである（集合しゅうごう環たまきなども参照さんしょう）。集合しゅうごう論ろん的てき和わは結むすびと呼よばれ、補ほ集合しゅうごうを取とる操作そうさに通つうじて積せきと同等どうとうの役割やくわりを果はたす。

[3] Cajori, F. (1993). A History of Mathematical Notations. ¶688: Dover. ISBN 0-486-67766-4

[4] Calcolo geometrico, secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann - インターネット・アーカイブ

[5] 交まじわりの記号きごう $\cap$ は結むすびの記号きごう $\cup$ と共ともに1888年ねんにジュゼッペ・ペアノによって導入どうにゅうされた^[3]^[4]。

[6] 集合しゅうごうが非ひ増大ぞうだい列れつ $M 1 \supset M 2 \supset \dots$ をなすとき、それらの共通きょうつう部分ぶぶんは逆ぎゃく極限きょくげんを用もちいて $\textstyle \varprojlim M_{n}$ と書かくこともできる。

[7] Megginson, Robert E. (1998), “Chapter 1”, An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics, 183, New York: Springer-Verlag, pp. xx+596, ISBN 0-387-98431-3

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