ベルンシュタインの定理ていり

ベルンシュタインの定理ていり（ベルンシュタインのていり、カントール＝ベルンシュタイン＝シュレーダーの定理ていり、シュレーダー＝ベルンシュタインの定理ていり、カントール＝ベルンシュタインの定理ていりとも、英えい: Schröder–Bernstein theorem）とは、集合しゅうごう A から集合しゅうごう B に単たん射い があり、集合しゅうごう B から集合しゅうごう A へも単たん射しゃがあれば、集合しゅうごう A から集合しゅうごう B への全ぜん単たん射しゃがあるというものである。濃度のうどにおいては、これは |A| ≤ |B| かつ |B| ≤ |A| ならば |A| = |B| である、ということを言いっているわけで、非常ひじょうに基本きほん的てきな要請ようせいがこの定理ていりによって満みたされることになる。

歴史れきし

数学すうがくではよくあることだが、この定理ていりは歴史れきし的てきに込こみ入いった事情じじょうを経へて成立せいりつしており、歴史れきし的てき経緯けいいを正確せいかくに反映はんえいした名前なまえを決きめるのは難むずかしい。伝統でんとう的てきによく用もちいられていた「シュレーダー＝ベルンシュタイン」は1898年ねんに独立どくりつに公刊こうかんされた2つの証明しょうめいの著者ちょしゃを反映はんえいしている。一方いっぽう、歴史れきし的てきに最初さいしょ（1895年ねん）にこの定理ていりの主張しゅちょうを初はじめて発表はっぴょうしたカントールの名前なまえが加くわえられたり、シュレーダーの証明しょうめいには誤あやまりが含ふくまれていたためシュレーダーの名前なまえは加くわえられなかったり、という事情じじょうがある。さらに、歴史れきし的てきにこの定理ていりを初はじめて証明しょうめいしたデデキントの名前なまえは普通ふつう加くわえられていない。

時どき系列けいれつをまとめると次つぎのようになる。

• 1887年ねん リヒャルト・デデキントがこの定理ていりを証明しょうめいするが発表はっぴょうせず
• 1895年ねん ゲオルク・カントールの最初さいしょの集合しゅうごう論ろんと超ちょう限きり数すうの論文ろんぶんに基数きすうの比較ひかく可能かのう性せいの帰結きけつとしてこの定理ていりの主張しゅちょうが述のべられる
• 1896年ねん エルンスト・シュレーダーが証明しょうめいを発表はっぴょうする
• 1897年ねん カントールのセミナーに参加さんかしていた学生がくせいだったフェリックス・ベルンシュタインが証明しょうめいを付つける
• 1897年ねん ベルンシュタインの訪問ほうもんを受うけた後のちでデデキントが独立どくりつに2つ目めの証明しょうめいを見みつける
• 1898年ねん エミール・ボレルの著書ちょしょの中なかで（1897年ねんにチューリッヒでカントールから教おそわった）ベルンシュタインの証明しょうめいが述のべられる

デデキントの2つの証明しょうめいはどちらも、自身じしんによるモノグラフ中なかで示しめされた、

$A\subset B\subset C,|A|=|C|\Rightarrow |A|=|B|=|C|$

に相当そうとうする命題めいだいに基もとづくものだった。カントールはこの定理ていりに相当そうとうする現象げんしょうを1882年ねんか83年ねんごろには集合しゅうごう論ろんと超ちょう限きり数すうの研究けんきゅうの過程かていで（選択せんたく公理こうりの仮定かていの下もとで、ということになるが）発見はっけんしていたとされる。

証明しょうめい

集合しゅうごう A と B との間あいだに単たん射い写像しゃぞう

$f\colon A\to B,\ g\colon B\to A$

が与あたえられたとする。 集合しゅうごう族ぞく $\{C_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ を、次つぎのように帰納的きのうてきに定義ていぎする。

$C_{0}:=A\setminus g(B),$

$C_{n+1}:=g(f(C_{n}))$

これらの和わ集合しゅうごうを

$C=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }C_{n}$

とすると、C の補ほ集合しゅうごうは g の像ぞうに含ふくまれる。ここで、g の単たん射い性せいによって式しき

$h(x)={\begin{cases}f(x)&{\text{if }}x\in C\\g^{-1}(x)&{\text{if }}x\notin C\end{cases}}$

は写像しゃぞうを定さだめているが、このh は全ぜん単たん射しゃになっている。実際じっさい、x ∈ C_i, y ∈ Aで $g^{-1}(y)=f(x)$ が成なり立たつならば y ∈ C_{i + 1}となることから h の単たん射い性せいが従したがう。一方いっぽう、

$g^{-1}(A\setminus C)=g^{-1}(A)\setminus g^{-1}(C)$

であり、g^-1(A) = B と

$\quad g^{-1}(C)=g^{-1}(C\setminus C_{0})=\cup _{i=1}^{\infty }g^{-1}(C_{i})=\cup _{i=1}^{\infty }g^{-1}(g(f(C_{i-1})))=\cup _{i=0}^{\infty }f(C_{i})=f(C)$

から、$g^{-1}(A\setminus C)=B\setminus f(C)$であるが、これは h が全ぜん射しゃであることを示しめしている。

例れい

ベルンシュタインの定理ていりを用もちいて、 $[0,\infty )$ から $(0,\infty )$ への全ぜん単たん射しゃを構成こうせいする。
関数かんすう $f\colon [0,\infty )\to (0,\infty )$, $g\colon (0,\infty )\to [0,\infty )$ を $f(x)=x+1$, $g(x)=x$ と定さだめると、どちらも単たん射しゃである。
このとき、$g\circ f(x)=x+1$, $(g\circ f)^{n}(x)=x+n$ であるから、

$\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(g\circ f)^{n}([0,\infty )\setminus g((0,\infty )))=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(g\circ f)^{n}([0,\infty )\setminus (0,\infty ))=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(g\circ f)^{n}(\{0\})=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{n\}=\mathbb {N}$

となる。
したがって、 $g^{-1}(x)=x$ に注意ちゅういして、関数かんすう $h\colon [0,\infty )\to (0,\infty )$ を

$h(x)={\begin{cases}x+1&{\text{if }}x\in \mathbb {N} \\x&{\text{if }}x\notin \mathbb {N} \end{cases}}$

と定さだめると、$h$ は $[0,\infty )$ から $(0,\infty )$ への全ぜん単たん射しゃになる。

参考さんこう文献ぶんけん

• マーティン・アイグナー、ギュンター・ツィーグラー『天てん書しょの証明しょうめい』蟹江かにえ幸博ゆきひろ 訳わけ（縮刷しゅくさつ版ばん）、丸善まるぜん出版しゅっぱん、2012年ねん9月がつ（原著げんちょ2002年ねん12月がつ）。ISBN 978-4-621-06535-8。http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/9784621065358.html。  - 原はらタイトル：Proofs from The Book。
• Hinkis, Arie (2013), Proofs of the Cantor-Bernstein theorem. A mathematical excursion, Science Networks. Historical Studies, 45, Heidelberg: Birkhäuser/Springer, doi:10.1007/978-3-0348-0224-6, ISBN 978-3-0348-0223-9, MR3026479, http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-0348-0224-6/page/1 

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外部がいぶリンク

• 法則ほうそくの辞典じてん『ベルンシュタインの定理ていり』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. "Schröder-Bernstein Theorem". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Cantor-Schroeder-Bernstein theorem in nLab