代数だいすう的てき構造こうぞう

数学すうがくにおいて代数だいすう的てき構造こうぞう（だいすうてきこうぞう、algebraic structure）とは、集合しゅうごうに定さだまっている算法さんぽう（演算えんざんともいう）や作用さようによって決きまる構造こうぞうのことである。代数だいすう的てき構造こうぞうの概念がいねんは、数学すうがく全体ぜんたいを少数しょうすうの概念がいねんのみを用もちいて見通みとおしよく記述きじゅつするためにブルバキによって導入どうにゅうされた。 また、代数だいすう的てき構造こうぞうを持もつ集合しゅうごうは代数だいすう系けい（だいすうけい、algebraic system）であるといわれる。すなわち、代数だいすう系けいというのは、集合しゅうごう A とそこでの算法さんぽう（演算えんざんの規則きそく）の族ぞく R の組くみ (A, R) のことを指さす。逆ぎゃくに、具体ぐたい的てきなさまざまな代数だいすう系けいから、それらが共通きょうつうしてもつ原理げんり的てきな性質せいしつを抽出ちゅうしゅつして抽象ちゅうしょう化か・公理こうり化かしたものが、代数だいすう的てき構造こうぞうと呼よばれるのである。 なお、分野ぶんや（あるいは人ひと）によっては代数だいすう系けいそのもの、あるいは代数だいすう系けいのもつ算法さんぽう族ぞくのことを代数だいすう的てき構造こうぞうとよぶこともあるようである。 後者こうしゃは、代数だいすう系けいの代数だいすう構造こうぞうとも呼よばれる。 現代げんだいでは、代数だいすう学がくとは代数だいすう系けいを研究けんきゅうする学問がくもんのことであると捉とらえられている。

代数だいすう的てき構造こうぞうの例れい

• 一ひとつの演算えんざんによって決きまる代数だいすう的てき構造こうぞう
  • マグマ: 一ひとつの二に項こう演算えんざんの定義ていぎされた集合しゅうごう。
    • 準じゅん群ぐん: a × x = b、y × a = b であるような x と y が一意いちいに決きまるマグマ
    • ループ: 単位たんい元もと e を持もつ準じゅん群ぐん。任意にんいの元もとが左ひだりおよび右みぎ逆ぎゃく元もとを持もつマグマとも言いえる。
    • 半はん群ぐん: 結合けつごう法則ほうそくを満みたすマグマ
    • モノイド: 単位たんい元もとを持もつ半はん群ぐん
    • 群ぐん: 任意にんいの元もとが逆ぎゃく元もとを持もつモノイド、もしくは結合けつごう法則ほうそくを満みたすループ
    • アーベル群ぐん: 可か換かわな群ぐん

	単位たんい律りつ	可逆かぎゃく律りつ	結合けつごう律りつ	消けし約やく律りつ	可か換かわ律りつ
準じゅん群ぐん	×	×	×	○	×
ループ	○	△	×	○	×
半はん群ぐん	×	×	○	×	×
モノイド	○	×	○	×	×
群ぐん	○	○	○	○	×
アーベル群ぐん	○	○	○	○	○

• 二ふたつの演算えんざんによって決きまる代数だいすう的てき構造こうぞう
  • 環たまき: 加法かほうに関かんしてアーベル群ぐんであり、乗法じょうほうに関かんして半はん群ぐん（またはモノイド）であり、分配ぶんぱい法則ほうそくを満みたす。
  • 体からだ: 0 でない元もとが乗法じょうほうに関かんして群ぐん（またはアーベル群ぐん）をなす環たまき
• 演算えんざんと作用さようによって決きまる構造こうぞう
  • 環たまき上じょうの加か群ぐん: 環たまきの作用さようするアーベル群ぐん
  • ベクトル空間くうかん: 体からだ上じょうの加か群ぐん
    • 算法さんぽうや二に項こう演算えんざんの項こうに記しるす通とおり、加か群ぐんやベクトル空間くうかんなどにいて環たまきや体からだが与あたえる外部がいぶ的てきな作用さようも適当てきとうな方法ほうほうで内部ないぶ的てきな 1 項こう算法さんぽう（単項たんこう算法さんぽう）と捉とらえなおすことができるので、加か群ぐんやベクトル空間くうかんやほかにも同様どうように作用さよう域いきを持もつ構造こうぞうである多元たげん環たまきなどが、群ぐんや環たまきと同様どうようのもの（多おおくの演算えんざんによって決きまる構造こうぞう）として統一とういつ的てきに論ろんずることもできる。
• さらに複雑ふくざつなもの
  • 代数だいすう（多元たげん環たまき）: 乗法じょうほうの定義ていぎされた加か群ぐんやベクトル空間くうかん
  • 結合けつごう代数だいすう: 乗法じょうほうが結合けつごう法則ほうそくを満みたす代数だいすう
  • 可か換かわ代数だいすう: 乗法じょうほうが可か換かわな結合けつごう代数だいすう
  • 束たば: 二ふたつの演算えんざんが定義ていぎされている集合しゅうごうで、演算えんざんが冪べき等とうで可か換かわで結合けつごう的てきで簡約かんやく律りつ（吸収きゅうしゅう律りつ）を満みたすもの。これは順序じゅんじょ的てき構造こうぞうから定義ていぎすることもできる。

一般いっぱん的てきな代数だいすう的てき構造こうぞうは普遍ふへん代数だいすうという数学すうがくの分野ぶんやで研究けんきゅうされる。代数だいすう的てき構造こうぞうはまた、ほかの構造こうぞうに加くわえて定義ていぎされることもある。位相いそう構造こうぞうをもつ位相いそう群ぐん、位相いそう線型せんけい空間くうかん、リー群ぐんはそのような例れいである。

どの構造こうぞうも、それぞれに固有こゆうの準じゅん同型どうけい（構造こうぞうを保たもつ写像しゃぞう）の概念がいねんを持もっている。このことを使つかって、それぞれの構造こうぞうを満みたすもの全体ぜんたいの圏けんを考かんがえることができる。

構造こうぞうの類るいと種たね

代数だいすう系けい (A, R) と (B, S) とは、それぞれの代数だいすう構造こうぞう（算法さんぽう族ぞく） R と S とが項こう数すうを込こめて等ひとしいか同どう一いち視しできるとき、同類どうるいであるという（項こう数すうについては算法さんぽうの項こう参照さんしょう）。 例たとえば群ぐんは、積せきだけを算法さんぽうとする代数だいすう系けいとみなせば半はん群ぐんと同類どうるいであるが、各かく元もとにその逆ぎゃく元もとを対応たいおうさせる写像しゃぞうも群ぐんの（単項たんこうの）算法さんぽうに含ふくめて考かんがえると、半はん群ぐんとは同類どうるいではない。 そして群ぐんをそのように半はん群ぐんと同類どうるいでない代数だいすう系けいとして定義ていぎする方ほうが、代数だいすう系けいの論ろんとしては正当せいとうで、理論りろん上じょうも便利べんりなことがある（群論ぐんろん参照さんしょう）。

また、環たまきを加法かほうと乗法じょうほうを算法さんぽうとする代数だいすう系けいとみなし、束たばを結むすびと交まじわりを算法さんぽうとする代数だいすう系けいとみなせば、加法かほう x + y と結むすび x ∨ y 、乗法じょうほう x × y と交まじわり x ∧ y とを同一どういつ視しすることによって、この両者りょうしゃは同類どうるいの代数だいすう系けいとなる。

しかし、環たまきにおける加法かほう・乗法じょうほうと束たばにおける結むすび・交まじわりとは、異ことなる法則ほうそくに従したがう。 例たとえば、環たまきでの加法かほう・乗法じょうほうは分配ぶんぱい律りつ x × (y + z) = (x × y) + (x × z) に従したがうが、束たばでの結むすび・交まじわりは必かならずしも分配ぶんぱい律りつ x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) には従したがわない。 また、束たばでの交まじわり・結むすびは冪べき等とう律りつ x ∧ x = x, x ∨ x = x に従したがうが、環たまきでの加法かほう・乗法じょうほうは冪べき等とう律りつ x × x = x, x + x = x に必かならずしも従したがわない。

そこで、同類どうるいの代数だいすう系けいをさらに「それらの算法さんぽうがどういう法則ほうそくに従したがうか」によって分類ぶんるいして種たねに分わけて、それぞれの種たねに属ぞくす代数だいすう系けいをまとめて抽象ちゅうしょう化かして論ろんずるのが普通ふつうである。 歴史れきし的てきには、半はん群ぐん・群ぐん・環たまき・多元たげん環たまき・体からだ・束たばなどはそうやって出来できた抽象ちゅうしょう概念がいねんである。

重要じゅうような概念がいねん

代数だいすう系けいについての基本きほん概念がいねんには以下いかの2つがある。

• 代数だいすう系けいの部分ぶぶん代数だいすう系けい（部分ぶぶん系けい）: もとの代数だいすう系けいの部分ぶぶん集合しゅうごうで、もとの構造こうぞうの制限せいげんを構造こうぞうとして伴ともなうもの。
• 同種どうしゅの代数だいすう系けいの間あいだの準じゅん同型どうけい写像しゃぞう（準じゅん写うつし）: 定義ていぎ域いき上うえの演算えんざんの後のちに写像しゃぞうした値ねと、写像しゃぞうした後のちに値域ちいき上うえの演算えんざんを行おこなって得えた値ねが一致いっちする写像しゃぞう。

代数だいすう学がくの一いち分科ぶんかである線型せんけい代数だいすう学がくに例れいをとれば、線型せんけい空間くうかんが研究けんきゅう対象たいしょうとする代数だいすう系けいに当あたり、線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんが部分ぶぶん系けいに当あたり、線型せんけい写像しゃぞうが代数だいすう系けい間あいだの準じゅん写うつしに当あたる。

代数だいすう系けいについての副次的ふくじてき概念がいねんには、生成せいせい系けい・直積ちょくせき（直和なおかず）・商しょう・拡大かくだい・普遍ふへん性せい・表現ひょうげんなどがある。

算法さんぽうの全域ぜんいき性せい・局所きょくしょ性せい

実数じっすうすべてから成なる集合しゅうごうとそこでの四則しそく（加減乗除かげんじょうじょの算法さんぽう、すなわち足たし算ざん・引ひき算ざん・掛かけ算ざん・割わり算ざん）との組くみは、典型てんけい的てきな代数だいすう系けいである。 この例れいでは、足たし算ざん・引ひき算ざん・掛かけ算ざんは任意にんいの二ふたつの数かずの組くみについて実行じっこう可能かのうであるが、割わり算ざんは、0での割わり算ざんができないという意味いみで局所きょくしょ的てき（あるいは非ひ全域ぜんいき的てき）である。 代数だいすう系けいの算法さんぽうには一般いっぱんには、こういうような局所きょくしょ的てき（あるいは非ひ全域ぜんいき的てき）算法さんぽうも含ふくまれる。 たとえば行列ぎょうれつの足たし算ざん・掛かけ算ざんも、あらゆるサイズの行列ぎょうれつから成なる集合しゅうごうでの算法さんぽうとみなせば、局所きょくしょ的てきである。

こういう局所きょくしょ的てき算法さんぽうを含ふくむ代数だいすう系けいの理論りろんは複雑ふくざつであるので、数学すうがくの分野ぶんやでは避さけられる傾向けいこうがある。たとえば行列ぎょうれつの足たし算ざん・掛かけ算ざんも、数学すうがく者しゃの間あいだでさえ、上記じょうきのような意味いみでの局所きょくしょ的てき算法さんぽうと捉とらえて説明せつめいされることは稀まれである。また、上記じょうきの実数じっすうと四則しそくとから成なる代数だいすう系けいは体からだの典型てんけいであるが、体からだの概念がいねんも環たまきの概念がいねんも、局所きょくしょ的てき算法さんぽうである除法じょほうを用もちいないで説明せつめいするのが通例つうれいである。

一方いっぽうで、数理すうり論ろん理学りがくでは、研究けんきゅう対象たいしょうとして形式けいしき言語げんごを代数だいすう系けいの一種いっしゅと捉とらえるが、形式けいしき言語げんごにおける算法さんぽうは局所きょくしょ的てきのものが一般いっぱん的てきである。たとえば、述語じゅつご論理ろんり学がくにおける形式けいしき言語げんごである述語じゅつご言語げんご（論理ろんり式しきと項こうとから成なる）では、論理ろんり記号きごう ∧, ∨, ￢, ⇒, ∀x, ∃x は論理ろんり式しきに対たいしてのみ実行じっこう可能かのうな局所きょくしょ算法さんぽうを表あらわし、関数かんすう記号きごうや述語じゅつご記号きごうは、項こうのみに対たいして実行じっこう可能かのうな局所きょくしょ算法さんぽうを表あらわすと解ほぐされる。 また、推論すいろん規則きそくも局所きょくしょ的てき算法さんぽうと解かいされる。たとえば三段論法さんだんろんぽうは、二ふたつの論理ろんり式しき A と A ⇒ B とから第だい三さんの論理ろんり式しき B を導みちびき出だす推論すいろん規則きそくであるが、これは、第だい二にの論理ろんり式しきが A ⇒ B という特別とくべつな形かたちのときだけ実行じっこう可能かのうな局所きょくしょ算法さんぽうと解かいされる。

関連かんれん項目こうもく

• 圏けん論ろん
• 抽象ちゅうしょう代だい数学すうがく