位相いそう群ぐん

実数じっすうの全体ぜんたいは加法かほうに関かんして位相いそう群ぐんを成なす

数学すうがくにおける位相いそう群ぐん（いそうぐん、英えい: topological group）は、位相いそうの定さだめられた群ぐんであって、そのすべての群ぐん演算えんざんが与あたえられた位相いそうに関かんして連続れんぞくとなるという意味いみにおいて代数だいすう構造こうぞうと位相いそう構造こうぞうが両立りょうりつする。したがって位相いそう群ぐんに関かんして、群ぐんとしての代数だいすう的てき操作そうさを行おこなったり、位相いそう空間くうかんとして連続れんぞく写像しゃぞうについて扱あつかったりすることができる。位相いそう群ぐんの連続れんぞく群ぐん作用さようは、連続れんぞく対称たいしょう性せいを調しらべるのに利用りようでき、例たとえば物理ぶつり学がくなどにも多おおくの応用おうようを持もつ。

文献ぶんけんによっては、本ほん項こうに言いうところの位相いそう群ぐんを連続れんぞく群ぐんと呼よび、単たんに「位相いそう群ぐん」と言いえば位相いそう空間くうかんとして T₂（ハウスドルフの分離ぶんり公理こうり）を満みたす連続れんぞく群ぐんすなわちハウスドルフ位相いそう群ぐんを意味いみするものがある。

定義ていぎ

位相いそう空間くうかん G に群ぐん演算えんざん（乗法じょうほうあるいは積せきとよばれる二に項こう演算えんざんと逆ぎゃく元もとをとる単項たんこう演算えんざん）が定義ていぎされているとき、G において群ぐん構造こうぞうと位相いそう構造こうぞうとが両立りょうりつする（あるいは可か換かわである、うまくいっている、compatible）とは、条件じょうけん

1. 乗法じょうほう G × G → G; (g, h) ↦ gh は連続れんぞくである。
2. 反転はんてん G → G; g ↦ g⁻¹ は連続れんぞくである。

がともに成なり立たつことを言いう（ここで乗法じょうほう演算えんざんの連続れんぞく性せいは、G × G に直積ちょくせき位相いそうを与あたえて位相いそう空間くうかんと見みたときの連続れんぞく性せい（二に変数へんすうの連続れんぞく性せい）であり、各かく因子いんしそれぞれに関かんして連続れんぞく（偏へん連続れんぞく）というよりも強つよい）。

定義ていぎ

両立りょうりつする群ぐん構造こうぞうと位相いそう構造こうぞうを持もつ集合しゅうごう G は位相いそう群ぐんであるという。すなわち位相いそう群ぐんは、すべての群ぐん演算えんざんが連続れんぞくな群ぐんを言いう。

この定義ていぎでは入いれていないけれども、多おおくの文献ぶんけんで G 上うえの位相いそうがハウスドルフであることを仮定かていする。これは単位たんい元もと 1 が G において閉集合しゅうごうを成なすと仮定かていすることと同値どうちになる。その理由りゆうおよびいくつか同値どうちな条件じょうけんは後述こうじゅつする。いずれにせよ、任意にんいの位相いそう群ぐんは適当てきとうな商しょうをとることでハウスドルフにすることができる。

圏けん論ろんの言葉ことばで言いえば、位相いそう群ぐんとは位相いそう空間くうかんの圏けんにおける群ぐん対象たいしょうとしてちょうど定義ていぎできる。これは通常つうじょうの群ぐんが集合しゅうごうの圏けんにおける群ぐん対象たいしょうであると言いうのと同おなじ仕方しかたである。群ぐんの定義ていぎが射い（二に項こうの積せき、単項たんこうの反転はんてん、零れい項こうの単位たんい元もと）によって与あたえられているという意味いみで圏けん論ろん的てき定義ていぎとなっていることに注意ちゅういせよ。

準じゅん同型どうけい

位相いそう群ぐん G, H に対たいし、写像しゃぞう G → H が位相いそう群ぐんの準じゅん同型どうけいであるとは、それが連続れんぞくな群ぐん準じゅん同型どうけいとなるときに言いう。位相いそう群ぐんの同型どうけいは、群ぐん同型どうけいであって、なおかつ台だいとなる位相いそう空間くうかんの間あいだの同相どうしょうでもある。これは単たんに連続れんぞくな群ぐん同型どうけいであるという条件じょうけんよりも強つよく、逆ぎゃく写像しゃぞうもまた連続れんぞくでなければならない。代数だいすう的てきな群ぐん同型どうけいだが位相いそう群ぐんとしては同型どうけいでないという位相いそう群ぐんの例れいが存在そんざいする。実際じっさい、任意にんいの非ひ離散りさん位相いそう群ぐんに対たいし、その位相いそうを離散りさん位相いそうに取とり換かえた位相いそう群ぐんを考かんがえれば、台たいとなる群ぐんは同おなじ（特とくに同型どうけい）だが、位相いそう群ぐんとしては同型どうけいにならない。

すべての位相いそう群ぐんと、それらの間あいだのすべての準じゅん同型どうけいを併あわせたものは、ひとつの圏けんを成なす。

例れい

• 任意にんいの群ぐんは離散りさん位相いそうを考かんがえることにより、自明じめいに位相いそう群ぐんと考かんがえることができる（そのような群ぐんは離散りさん群ぐんと呼よばれる）。この意味いみで位相いそう群ぐん論ろんは通常つうじょうの群論ぐんろんに含ふくまれる。
• 実数じっすうの全体ぜんたい R に通常つうじょうの位相いそうを入いれたものは、加法かほうに関かんする位相いそう群ぐんとなる。より一般いっぱんに、n-次元じげんユークリッド空間くうかん Rⁿ は加法かほうに関かんして位相いそう群ぐんである。位相いそうアーベル群ぐんの他ほかの例れいとして、円周えんしゅう群ぐん S¹ や自然しぜん数すう n に対たいするトーラス群ぐん (S¹)ⁿ が挙あげられる。
• 古典こてん群ぐんは非ひアーベル位相いそう群ぐんの重要じゅうような例れいである。例たとえば、成分せいぶんが実数じっすうの n × n 可逆かぎゃく行列ぎょうれつ全体ぜんたいの成なす一般いっぱん線型せんけい群ぐん GL(n, R) は、ユークリッド空間くうかん R^n×nの部分ぶぶん空間くうかんとしての位相いそうを入いれて位相いそう群ぐんとみることができる。他たの古典こてん群ぐんとして、直交ちょっこう群ぐん O(n) は、Rⁿ 上うえの線型せんけい変換へんかんで、任意にんいのベクトルの長ながさを変かえないもの全体ぜんたいの成なす群ぐんである。直交ちょっこう群ぐんは位相いそう空間くうかんとしてコンパクトになる。ユークリッド幾何きか学がくの大だい部分ぶぶんは、直交ちょっこう群ぐんあるいはそれと近ちかい関係かんけいを持もつ Rⁿ の対称たいしょう性せいの群ぐん O(n) ⋉ Rⁿ の構造こうぞうの研究けんきゅうと見みなすことができる。
• ここまでに挙あげた群ぐんはすべてリー群ぐん、すなわち滑なめらかな多様たよう体たいであって、群ぐん演算えんざんが連続れんぞくなだけでなく滑なめらかな写像しゃぞうとなるようなものになっている。リー群ぐんはよくわかっている位相いそう群ぐんである。つまり、リー群ぐんに関かんする多おおくの問題もんだいがリー環たまきに関かんする準じゅん代数だいすう的てきな問題もんだいに読よみ替かえられ、そして解決かいけつされている。
• リー群ぐんでない位相いそう群ぐんの例れいとして、有理数ゆうりすうの加法かほう群ぐん Q に R から遺伝いでんする位相いそうを入いれたものを考かんがえる。これは可算かさんな空間くうかんであって、かつ離散りさん位相いそうとは異ことなる位相いそうを持もつ。数かず論ろんにおいて重要じゅうような例れいに、素数そすう p に対たいする p-進すすむ整数せいすうの加法かほう群ぐん Z_p は、有限ゆうげん群ぐん Z/pⁿZ の n → ∞ の逆ぎゃく極限きょくげんである。この群ぐん Z_p は、コンパクト（実じつはカントール集合しゅうごうに同相どうしょう）である点てんでよく振ふる舞まうが、（実み）リー群ぐんと異ことなり完全かんぜん不ふ連結れんけつである。より一般いっぱんに、p-進すすむリー群ぐんの理論りろんがあって、それには GL(n, Z_p) のようなコンパクト群ぐんも、GL(n, Q_p) のような局所きょくしょコンパクト群ぐんも含ふくまれる。ここに、Q_p は p-進数しんすうの成なす局所きょくしょコンパクト位相いそう体たいである。
• ある種しゅの位相いそう群ぐんは無限むげん次元じげんリー群ぐんと見みなせる（このような呼よび方かたは砕くだけたい方いかただが、そのような例れいとなる群ぐんの様々さまざまな族ぞくを表あらわすのに、ちょうどよい）。例たとえば、バナッハ空間くうかんやヒルベルト空間くうかんのような位相いそう線型せんけい空間くうかんは加法かほうに関かんして位相いそうアーベル群ぐんになる。他ほかにも研究けんきゅうされている無限むげん次元じげん群ぐんとして、ループ群ぐん、カッツ–ムーディ群ぐん、自己じこ微分びぶん同相どうしょう群ぐん、自己じこ同相どうしょう群ぐん、ゲージ群ぐんなどが挙あげられる。
• 任意にんいの乗法じょうほう単位たんい元もとを持もつバナッハ代数だいすうにおいて、その可逆かぎゃく元もと全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう（単元たんげん群ぐん）は乗法じょうほうに関かんして位相いそう群ぐんを成なす。例たとえば、ヒルベルト空間くうかん上じょうの可逆かぎゃく有界ゆうかい作用素さようその群ぐんはこの方法ほうほうで生しょうじる。

性質せいしつ

• 位相いそう群ぐん G の反転はんてん演算えんざんは G 上うえの自己じこ同相どうしょうである。同様どうように、各かく元もと a ∈ G の左ひだり乗じょうおよび右みぎ乗じょうは G の自己じこ同相どうしょうを与あたえる。
• 任意にんいの位相いそう空間くうかんは、二に通とおりの仕方しかたで、一様いちよう空間くうかんと見みることができる。左ひだり一いち様よう性せいは各かく元もとの左ひだり乗じょうを一様いちよう連続れんぞく写像しゃぞうとする一様いちよう構造こうぞうを言いい、右みぎ一いち様よう性せいは右みぎ乗じょうを一様いちよう連続れんぞく写像しゃぞうとする一様いちよう構造こうぞうを言いう。G が非ひアーベルならば、これら二ふたつが一致いっちする必要ひつようはない。この一様いちよう構造こうぞうにより、完備かんび性せいや一様いちよう連続れんぞく性せいあるいは一様いちよう収束しゅうそく性せいを位相いそう群ぐん上じょうで述のべることができる。
• 一様いちよう空間くうかんとして、任意にんいの位相いそう群ぐんは完全かんぜん正則せいそくである。これにより、単位たんい元もと（のみからなる一いち点てん集合しゅうごう）が G において閉（これは T₀（コルモゴロフ）条件じょうけん）ならば、G は T₂（ハウスドルフ）、さらに T_3½（チホノフ）にさえなる。G がハウスドルフでないときには、単位たんい元もとの閉包へいほう K による剰余じょうよ群ぐん G/H によってハウスドルフ位相いそう群ぐんを得えることができる。これは G のコルモゴロフ商しょうをとることと同値どうちである。

  定理ていり (Birkhoff–Kakutani)

  以下いかの三みっつは同値どうち

  • 単位たんい元もと 1 が G において閉であり、G において 1 の可算かさん基本きほん近傍きんぼう系けいが存在そんざいする。
  • G は位相いそう空間くうかんとして距離きょり付づけ可能かのうである。
  • G 上うえに左ひだり不変ふへん距離きょりが存在そんざいして、それによる距離きょり位相いそうがもともとの位相いそうに一致いっちする。ただし、G 上うえの距離きょりが左ひだり不変ふへんであるとは、各かく元もと a ∈ G の左ひだり乗じょう x ↦ ax が G 上うえの等とう距変換へんかんとなるものをいう。）

• 位相いそう群ぐんの任意にんいの部分ぶぶん群ぐんは、相対そうたい位相いそうに関かんしてそれ自身じしんが位相いそう群ぐんになる。G の部分ぶぶん群ぐん H に対たいし、左ひだり剰余じょうよ類るい全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう G/H に商しょう位相いそうを入いれたものは G の等質とうしつ空間くうかんと呼よばれる。商しょう写像しゃぞう q: G → G/H は常つねに開ひらくになる。例たとえば、正せい整数せいすう n に対たいし、超ちょう球面きゅうめん Sⁿ は、Rⁿ⁺¹ の回転かいてん群ぐん SO(n + 1) の等質とうしつ空間くうかんで、実際じっさい Sⁿ = SO(n + 1)/SO(n) が成なり立たつ。等質とうしつ空間くうかん G/H がハウスドルフとなるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、H が G において閉となることである。半なかばこれを理由りゆうに、位相いそう群ぐんの研究けんきゅうにおいて部分ぶぶん群ぐんとしては閉部分ぶぶん群ぐんを主おもに考かんがえるのが自然しぜんである。
• 任意にんいの開ひらき部分ぶぶん群ぐん H は G において閉である。これは H の補ほ集合しゅうごうが、開ひらき集合しゅうごう gH (g ∈ G\H) の合併がっぺいに等ひとしいことからわかる。
• G の正規せいき部分ぶぶん群ぐん H に対たいし、剰余じょうよ群ぐん G/H は商しょう位相いそうに関かんして位相いそう群ぐんを成なす。この剰余じょうよ群ぐんがハウスドルフとなるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、H が G において閉となることである。例たとえば、剰余じょうよ群ぐん R/Z は円周えんしゅう群ぐん S¹ に同型どうけいである。
• G の部分ぶぶん群ぐん H に対たいし、H の閉包へいほうもまた部分ぶぶん群ぐんとなる。同様どうように、H が G の正規せいき部分ぶぶん群ぐんならば、H の閉包へいほうも G において正規せいきになる。
• 任意にんいの位相いそう群ぐんにおいて、単位たんい成分せいぶん（すなわち、単位たんい元もとを含ふくむ連結れんけつ成分せいぶん）は閉部分ぶぶん群ぐんを成なす。単位たんい成分せいぶん C と任意にんいの点てん a ∈ G に対たいし、左ひだり剰余じょうよ類るい aC は G の a を含ふくむ連結れんけつ成分せいぶんとなる。したがって、G における C の左ひだり剰余じょうよ類るい全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう、あるいは右みぎ剰余じょうよ類るい全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうは、G の連結れんけつ成分せいぶん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうに等ひとしい。これにより、剰余じょうよ群ぐん G/C は完全かんぜん不ふ連結れんけつであることが従したがう
• 通常つうじょうの群論ぐんろんにおける代数だいすう的てきな群ぐんの同型どうけい定理ていりは、位相いそう群ぐんに対たいしては必かならずしも正ただしくない（これは全ぜん単たん射しゃな準じゅん同型どうけいが必かならずしも位相いそう群ぐんの同型どうけいでないことによる）。それでも、定理ていりに現あらわれる写像しゃぞうを適切てきせつに制限せいげんすれば、定理ていりは成なり立たつ。例たとえば、第だい一同いちどう型がた定理ていりの主張しゅちょう「f: G → H が準じゅん同型どうけいならば、それが誘導ゆうどうする写像しゃぞう G/ker(f) → im(f) は同型どうけい」が成なり立たつための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、f がその像ぞうの上うえへの開ひらき写像しゃぞうとなることである。

ヒルベルトの第だい五ご問題もんだい

位相いそう群ぐんとリー群ぐんとの間あいだの関係かんけいについて、いくつか強力きょうりょくな結果けっかが存在そんざいする。まず、リー群ぐんの間あいだの任意にんいの連続れんぞく準じゅん同型どうけい G → H は滑なめらかになる。これにより、位相いそう群ぐんがリー群ぐんの構造こうぞうを持もつならば、その構造こうぞうは一意いちいに決きまる。また、カルタンの定理ていりは、リー群ぐんの任意にんいの閉部分ぶぶん群ぐんがリー部分ぶぶん群ぐん、特とくに滑なめらかな部分ぶぶん多様たよう体たいとなることを述のべる。

ヒルベルトの第だい五ご問題もんだいは、位相いそう多様たよう体たいの構造こうぞうを持もつ位相いそう群ぐん G がリー群ぐんとなるか（つまり、滑なめらかな多様たよう体たいの構造こうぞうが入はいり、群ぐん演算えんざんが滑なめらかであるようにできるか）を問とうものである。この問題もんだいはGleason, Montgomery, Zippinらによって肯定こうてい的てきに解決かいけつされた。実じつは G は実じつ解析かいせき的てき構造こうぞうを持もつ。この可か微分びぶん構造こうぞうを用もちいて、G のリー環たまきを定義ていぎすることができる（これは被覆ひふく空間くうかんの違ちがいを除のぞいて連結れんけつ群ぐん G を決定けっていする線型せんけい代数だいすう学がく的てきな対象たいしょうである）。結果けっかとして、ヒルベルトの第だい五ご問題もんだいの解かいは、位相いそう多様たよう体たいであるような位相いそう群ぐんの分類ぶんるいという代数だいすう的てきな問題もんだいに帰着きちゃくされたが、一般いっぱんには複雑ふくざつな問題もんだいである。

この定理ていりは位相いそう群ぐんの広範こうはんなクラスに対たいしても帰結きけつを持もつ。まず、任意にんいのコンパクト群ぐん（ハウスドルフと仮定かていする）はコンパクトリー群ぐんの射影しゃえい極限きょくげんである。その重要じゅうような場合ばあいの一ひとつが射い有限ゆうげん群ぐんと呼よばれる有限ゆうげん群ぐんの射影しゃえい極限きょくげんで、例たとえば p-進すすむ整数せいすう全体ぜんたいの成なす加法かほう群ぐん Z_p や、体からだの絶対ぜったいガロワ群ぐんは射い有限ゆうげん群ぐんである。さらに任意にんいの連結れんけつ局所きょくしょコンパクト群ぐんが、連結れんけつリー群ぐんの射影しゃえい極限きょくげんになる。他たの極端きょくたんな例れいで、完全かんぜん不ふ連結れんけつ局所きょくしょコンパクト群ぐん（TDLC群ぐん）は常つねにコンパクト開ひらき部分ぶぶん群ぐんを含ふくみ、それは射い有限ゆうげん群ぐんである必要ひつようがある。例たとえば、局所きょくしょコンパクト群ぐん GL(n,Q_p) はコンパクト開ひらき部分ぶぶん群ぐん GL(n,Z_p)（これは有限ゆうげん群ぐん GL(n,Z/p^r) の r → ∞ の射影しゃえい極限きょくげん）を含ふくむ。

（局所きょくしょ）コンパクト群ぐんの表現ひょうげん

位相いそう群ぐん G の位相いそう空間くうかん X への（連続れんぞく）作用さようは、G の X への群ぐん作用さようであって、対応たいおうする写像しゃぞう G × X → X が連続れんぞくとなるものをいう。同様どうように、位相いそう群ぐん G の実じつまたは複素ふくそ線型せんけい空間くうかん V における表現ひょうげん（線型せんけい表現ひょうげん）は、G の V への連続れんぞく作用さようであって、各かく g ∈ G に対たいする写像しゃぞう v ↦ gv が V 上うえの線型せんけい変換へんかんとなるものを言いう。

群ぐん作用さようおよび表現ひょうげん論ろんは特とくにコンパクト群ぐんに対たいしてはよくわかっており、それは有限ゆうげん群ぐんの表現ひょうげん論ろんの内容ないようを一般いっぱん化かするものになっている。例たとえば、コンパクト群ぐんの任意にんいの有限ゆうげん次元じげん表現ひょうげんは既すんで約やく表現ひょうげんの直和なおかずである。また、コンパクト群ぐんの無限むげん次元じげんユニタリ表現ひょうげんは、ヒルベルト空間くうかんとして既すんで約やく表現ひょうげん（これらはすべて有限ゆうげん次元じげん）の直和なおかずに分解ぶんかいすることができる。これはピーター–ワイルの定理ていりの一部いちぶである。例たとえば、フーリエ級数きゅうすう論ろんが述のべるのは、円周えんしゅう群ぐん S¹ の複素ふくそヒルベルト空間くうかん L²(S¹) におけるユニタリ表現ひょうげんの分解ぶんかいである。S¹ の既すんで約やく表現ひょうげんはすべて一いち次元じげんであり、適当てきとうな整数せいすう n に対たいする z ↦ zⁿ の形かたちをしている（ここで S¹ は非ひ零れい複素数ふくそすうの成なす乗法じょうほう群ぐん C* の部分ぶぶん群ぐんと見みている）。これら既すんで約やく表現ひょうげんは L²(S¹) に各々おのおの重複じゅうふく度ど 1 で現あらわれる。

全すべてのコンパクト連結れんけつリー群ぐんの既すんで約やく表現ひょうげんは、分類ぶんるいが済すんでいる。特とくに各かく既すんで約やく表現ひょうげんの指標しひょうはワイルの指標しひょう公式こうしきで与あたえられる。

より一般いっぱんに、局所きょくしょコンパクト群ぐんは、ハール測度そくどによって与あたえられる自然しぜんな測度そくどおよび積分せきぶんの概念がいねんが入はいり、調和ちょうわ解析かいせきの豊ゆたかな理論りろんを含ふくむ。局所きょくしょコンパクト群ぐんの任意にんいのユニタリ表現ひょうげんは、既すんで約やくユニタリ表現ひょうげんの直ちょく積分せきぶんとして記述きじゅつできる。この分解ぶんかいは G がI-型かた（アーベル群ぐんや半はん単純たんじゅんリー群ぐんなどの重要じゅうような例れいの大だい部分ぶぶんがこれに含ふくまれる）ならば本質ほんしつ的てきに一意いちいである。基本きほん的てきな例れいはフーリエ変換へんかんで、これは実数じっすうの加法かほう群ぐん R のヒルベルト空間くうかん L²(R) への作用さようを R の既すんで約やくユニタリ表現ひょうげんの直ちょく積分せきぶんに分解ぶんかいする。R の既すんで約やくユニタリ表現ひょうげんはすべて一いち次元じげんで、適当てきとうな a ∈ R に対たいする x ↦ e^2πぱいiax の形かたちをしている。

局所きょくしょコンパクト群ぐんの既すんで約やくユニタリ表現ひょうげんは無限むげん次元じげんとなり得える。表現ひょうげん論ろんの大おおきな目標もくひょうは、認容にんよう表現ひょうげん（許容きょよう表現ひょうげん）のラングランズ分類ぶんるいに関係かんけいして、半はん単純たんじゅんリー群ぐんに対たいするユニタリ双対そうつい（既すんで約やくユニタリ表現ひょうげん全体ぜんたいの成なす空間くうかん）を求もとめることである。ユニタリ双対そうついは、SL(2,R)など多おおくの場合ばあいについて知しられているが、全すべてではない。

局所きょくしょコンパクトアーベル群ぐん G に対たいしては、任意にんいの既すんで約やくユニタリ表現ひょうげんは一いち次元じげんである。この場合ばあい、ユニタリ双対そうつい ˆG は群ぐんとなり、実じつは局所きょくしょコンパクトアーベル群ぐんになる。ポントリャーギン双対そうつい性せいとは、局所きょくしょコンパクトアーベル群ぐん G に対たいして ˆG のユニタリ双対そうついがもとの群ぐん G に等ひとしいことを述のべるものである。例たとえば、整数せいすうの加法かほう群ぐん Z の双対そうつい群ぐんは円周えんしゅう群ぐん S¹ であり、実数じっすうの加法かほう群ぐん R の双対そうつい群ぐんは R に同型どうけいである。

任意にんいの局所きょくしょコンパクト群ぐん G は十じゅう分ふん多おおくの既すんで約やくユニタリ表現ひょうげんを持もち、例たとえば G の任意にんいの点てんを区別くべつすることができる （ゲルファント–ライコフの定理ていり）。対照たいしょう的てきに、局所きょくしょコンパクトでない位相いそう群ぐんの表現ひょうげん論ろんは、特別とくべつな場合ばあいを除のぞきほとんど発展はってんしておらず、おそらく一般いっぱん論ろんを期待きたいするのは妥当だとうでない。例たとえば、アーベルなバナッハ・リー群ぐんでそのヒルベルト空間くうかん上じょうの任意にんいの表現ひょうげんが自明じめいとなるものはたくさんある。

位相いそう群ぐんのホモトピー論ろん

位相いそう群ぐんはすべての位相いそう空間くうかんの中なかでも特別とくべつのものだが、それはそれらのホモトピー型がたの意味いみでもそうである。基本きほんとなるのは、位相いそう群ぐん G が弧状こじょう連結れんけつな位相いそう空間くうかんである分類ぶんるい空間くうかん BG を決定けっていすることである（分類ぶんるい空間くうかんは、緩ゆるやかな仮定かていの下したで位相いそう空間くうかん上じょうの主あるじ G-束たばを分類ぶんるいする）。群ぐん G はホモトピー圏けんにおいて BG のループ空間くうかんに同型どうけいである。これは G のホモトピー型がたに様々さまざまな制約せいやくがあることを意味いみする。これら制約せいやくの中なかにはH空間くうかんの広ひろい文脈ぶんみゃくで満足まんぞくされるものもある。

例たとえば、位相いそう群ぐん G の基本きほん群ぐんはアーベル群ぐんである（より一般いっぱんに、G のホモトピー群ぐんのホワイトヘッド積せきは零れいになる）。また、任意にんいの体からだ k に対たいするコホモロジー環たまき H*(G, k) はホップ代数だいすうの構造こうぞうを持もつ。ハインツ・ホップとアルマン・ボレルによるホップ代数だいすうの構造こうぞう定理ていりの観点かんてんから、これは位相いそう群ぐんの取とりうるコホモロジー環たまきに強つよい制約せいやくをかけるものになっている。特とくに、G が弧状こじょう連結れんけつな位相いそう群ぐんでその有理ゆうり係数けいすうコホモロジー環たまき H*(G, Q) が各かく次数じすうで有限ゆうげん次元じげんとなるならば、この環たまきは Q 上うえの自由じゆう次数じすう付つき可か換かわ環たまきでなければならない。これはすなわち、偶数ぐうすう次じ生成せいせい元もと上じょうの多項式たこうしき環たまきと奇数きすう次じ生成せいせい元もと上じょうの外積がいせき代数だいすうとの代数だいすうのテンソル積せきである。

特とくに、連結れんけつリー群ぐん G に対たいし、G の有理ゆうり係数けいすうコホモロジー環たまきは奇数きすう時じの生成せいせい元もと上じょうの外積がいせき代数だいすうである。さらには、連結れんけつリー群ぐん G は極大きょくだいコンパクト部分ぶぶん群ぐん K を（共軛きょうやくを除のぞいて一意いちいに）持もち、K の G への包含ほうがんはホモトピー同値どうちになる。したがって、リー群ぐんのホモトピー型がたを記述きじゅつすることは、コンパクトリー群ぐんのそれに帰着きちゃくされる。例たとえば、SL(2, R) の極大きょくだいコンパクト部分ぶぶん群ぐんは円周えんしゅう群ぐん SO(2) で、その等質とうしつ空間くうかん SL(2, R)/SO(2) は双そう曲きょく平面へいめんに同どう一いち視しできる。双そう曲きょく平面へいめんは可か縮ちぢみであるから、円周えんしゅう群ぐんの SL(2, R) への包含ほうがん写像しゃぞうはホモトピー同値どうちになる。

最後さいごに、コンパクト連結れんけつリー群ぐんはキリング、カルタン、ヴァイルによって分類ぶんるいがされた。結果けっかとして、リー群ぐんの取とりうるホモトピー型がたの本質ほんしつ的てきに完全かんぜんな記述きじゅつができる。例たとえば、高々たかだか三さん次元じげんのコンパクト連結れんけつリー群ぐんは、トーラス、二に次じ特殊とくしゅユニタリ群ぐん SU(2)（三さん次元じげん球面きゅうめん S³ に微分びぶん同相どうしょう）、その剰余じょうよ群ぐん SU(2)/{±1} ≅ SO(3)（三さん次元じげん実じつ射影しゃえい空間くうかん RP³ に微分びぶん同相どうしょう）の何いずれかである。

一般いっぱん化か

位相いそう群ぐんの様々さまざまな一般いっぱん化かが、連続れんぞく性せい条件じょうけんを緩ゆるめることによって得えられる。

• 半はん位相いそう群ぐん (semi­topological group) は、群ぐんの乗法じょうほうが偏へん連続れんぞくとなる位相いそうを持もつ群ぐん。すなわち、半はん位相いそう群ぐん G は各かく元もと c ∈ G の定さだめる二ふたつの写像しゃぞう x ↦ xc および x ↦ cx が連続れんぞくになる。
• 準じゅん位相いそう群ぐん (quasi­topological group) は、反転はんてん演算えんざんも連続れんぞくとなるような半はん位相いそう群ぐんを言いう。
• パラ位相いそう群ぐん (para­topological group) は、群ぐんの乗法じょうほうが連続れんぞくとなる位相いそうを持もつ群ぐん（反転はんてんは連続れんぞくとは限かぎらない）、すなわち台だいとなる半はん群ぐん構造こうぞうが群ぐんとなるような位相いそう半はん群ぐんを言いう。

参考さんこう文献ぶんけん

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• Armstrong, M. A. (1997). Basic Topology (1st ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90839-0. MR0705632 
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• Bourbaki, Nicolas (1998), General Topology. Chapters 1–4, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64241-2, MR1726779 
• Bredon, Glen E. (1997). Topology and Geometry. Graduate Texts in Mathematics (1st ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3. MR1700700 
• Hatcher, Allen (2001), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, MR1867354, https://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html 
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970), Abstract Harmonic Analysis, 2, Springer-Verlag, ISBN 978-0387048321, MR0262773 
• Mackey, George W. (1976), The Theory of Unitary Group Representations, University of Chicago Press, ISBN 0-226-50051-9, MR0396826 
• Montgomery, Deane; Zippin, Leo (1955), Topological Transformation Groups, New York, London: Interscience Publishers, MR0073104 

関連かんれん項目こうもく

• 代数だいすう群ぐん
• 位相いそう環たまき

外部がいぶリンク

• Rowland, Todd. "Topological Group". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Weisstein, Eric W. "Continuous Group". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• topological group - PlanetMath.（英語えいご）
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Topological group”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Topological_group 
• topological group in nLab