直交ちょっこう群ぐん

数学すうがくにおいて、n 次元じげんの直交ちょっこう群ぐん（ちょっこうぐん、英えい: orthogonal group）とは、n 次元じげんユークリッド空間くうかん上うえのある固定こていされた点てんを保たもつような距離きょりを保たもつ変換へんかん全体ぜんたいからなる群ぐんであり、群ぐんの演算えんざんは変換へんかんの合成ごうせいによって与あたえる。O(n) と表記ひょうきする。同値どうちな別べつの定義ていぎをすれば、直交ちょっこう群ぐんとは、元もとがn×n の実じつ直交ちょっこう行列ぎょうれつであり、群ぐんの積せきが行列ぎょうれつの積せきによって与あたえられるものをいう。直交ちょっこう行列ぎょうれつとは、逆ぎゃく行列ぎょうれつがもとの行列ぎょうれつの転置てんちと等ひとしくなるような行列ぎょうれつのことである。

直交ちょっこう行列ぎょうれつの行列ぎょうれつ式しきは 1 か −1 である。O(n) の重要じゅうような部分ぶぶん群ぐんである特殊とくしゅ直交ちょっこう群ぐん SO(n) は行列ぎょうれつ式しきが 1 である直交ちょっこう行列ぎょうれつからなる。この群ぐんは回転かいてん群ぐんともよばれ、例たとえば次元じげん 2 や 3 では、群ぐんの元もとが表あらわす変換へんかんは（2次元じげんにおける）点てんや（3次元じげんにおける）直線ちょくせんのまわりの通常つうじょうの回転かいてんである。低てい次元じげんではこれらの群ぐんの性質せいしつは幅広はばひろく研究けんきゅうされている。

用語ようご「直交ちょっこう群ぐん」は上うえの定義ていぎを一般いっぱん化かして、体からだ上うえのベクトル空間くうかんにおける非ひ退化たいかな対称たいしょう双そう線型せんけい形式けいしきや二に次じ形式けいしきを保たもつような、可逆かぎゃくな線形せんけい作用素さようそ全体ぜんたいからなる群ぐんを表あらわすことがある。特とくに、体からだ F 上うえの n 次元じげんベクトル空間くうかん F ⁿ 上うえの双そう線型せんけい形式けいしきがドット積せきで与あたえられ、二に次じ形式けいしきが二に乗じょうの和わで与あたえられるとき、これに対応たいおうする直交ちょっこう群ぐん O(n, F) は、群ぐんの元もとが F 成分せいぶん n × n 直交ちょっこう行列ぎょうれつで群ぐんの積せきを行列ぎょうれつの積せきで定さだめるものである。これは一般いっぱん線形せんけい群ぐん GL(n, F ) の部分ぶぶん群ぐんであって、以下いかの形かたちで与あたえられる。

$\mathrm {O} (n,F)=\{Q\in \mathrm {GL} (n,F)\mid Q^{\mathsf {T}}Q=QQ^{\mathsf {T}}=I\}.$

ここで Q^T は Q の転置てんちであり、 I は単位たんい行列ぎょうれつである。

偶数ぐうすう次元じげんと奇き数すう次元じげん

直交ちょっこう群ぐんの構造こうぞうは偶数ぐうすう次元じげんと奇数きすう次元じげんでいくつかの点てんで異ことなっている。例たとえば、R のような順序じゅんじょ体たい上うえでは、元もと −I（I は単位たんい行列ぎょうれつ) は偶数ぐうすう次元じげんでは向むきを保存ほぞんするが奇き数すう次元じげんでは反転はんてんさせる。この区別くべつを強調きょうちょうするときは、直交ちょっこう群ぐんを O(2k) や O(2k + 1) と書かくことがある。また、対応たいおうするリー代数だいすうの階数かいすうに対応たいおうすることを念頭ねんとうに置おいて、文字もじ k のかわりに文字もじ p や r を使つかうこともある。あとで述のべるように、対応たいおうするリー代数だいすうとは奇き数すう次元じげんでは ${\mathfrak {so}}(2r+1),$ 偶数ぐうすう次元じげんでは ${\mathfrak {so}}(2r)$ である。

偶数ぐうすう次元じげんにおける O(n) と SO(n) の違ちがい

2次元じげん空間くうかんで、O(2) は原点げんてん周まわりのすべての回転かいてんおよび、原点げんてんを通とおる直線ちょくせんによるすべての鏡かがみ映うつ変換へんかんからなる群ぐんである。一方いっぽう、SO(2) は原点げんてん周まわりのすべての回転かいてんからなる群ぐんである。

これらの群ぐんは密接みっせつに関連かんれんしていて、SO(2) は O(2) の部分ぶぶん群ぐんである。なぜなら、二ふたつの鏡かがみ映うつ変換へんかんの合成ごうせいは回転かいてん変換へんかんを与あたえるからである。

一般いっぱんの次元じげんで考かんがえると、偶数ぐうすう回かいの鏡かがみ映うつ変換へんかんは回転かいてん変換へんかんを与あたえ、回転かいてんの後のち鏡かがみ映うつする操作そうさ、およびその逆ぎゃくは、一ひとつの鏡かがみ映うつ変換へんかんを与あたえる。よって、回転かいてん操作そうさは O(2) の部分ぶぶん空間くうかんとなるが、鏡かがみ映うつ変換へんかんのみの部分ぶぶん集合しゅうごうは部分ぶぶん群ぐんをなさないことがわかる。

「原点げんてんを中心ちゅうしんとした鏡かがみ映うつ変換へんかん」は、それぞれの座標軸ざひょうじくに対たいして、一いち回かいずつ鏡かがみ映うつすることによって生成せいせいできる。この「原点げんてん中心ちゅうしんの鏡かがみ映うつ」は偶数ぐうすう次元じげんにおいては通常つうじょうの意味いみでの鏡かがみ映うつではなく、むしろ回転かいてんである。2次元じげんでは、2回かい適用てきようすると恒等こうとう変換へんかんになるような唯一ゆいいつの非ひ自明じめいな回転かいてんである。一般いっぱん次元じげんにおいて、この変換へんかんは逆ぎゃく変換へんかんが自分じぶん自身じしんと一致いっちする。4次元じげんにおいてこれはisoclinic(等とう斜はす同型どうけい)であり、この分類ぶんるいが一般いっぱん次元じげんに拡張かくちょうされるとしたら、すべての偶数ぐうすう次元じげんにおいてそれは isoclinic であるといえる。

実数じっすう体たい上じょうの直交ちょっこう群ぐん

実数じっすう体たい R 上うえの直交ちょっこう群ぐん O(n, R) および特殊とくしゅ直交ちょっこう群ぐん SO(n, R) は特とくに誤解ごかいの恐おそれのない場合ばあい、O(n) や SO(n) と書かかれる。これらは n(n − 1)/2 次元じげんの実みコンパクトリー群ぐんである。O(n, R) は二ふたつの連結れんけつ成分せいぶんをもち、SO(n, R) が単位たんい元もと成分せいぶん、すなわち単位たんい行列ぎょうれつを含ふくむ連結れんけつ成分せいぶんである。

幾何きか学がく的てき解釈かいしゃく

O(n, R) は Rⁿ 上うえの等とう長ちょう変換へんかん全体ぜんたいからなる群ぐんであるユークリッドの運動うんどう群ぐん E(n) において、原点げんてんを保たもつ変換へんかんからなる部分ぶぶん群ぐんである。このことから、直交ちょっこう群ぐんをユークリッドの運動うんどう群ぐんと一般いっぱん線型せんけい群ぐんの共通きょうつう部分ぶぶんとして与あたえることができる: O(n, R) = E(n) ∩ GL(n, R). SO(n) は、原点げんてんが中心ちゅうしんであるような(n − 1)次元じげん球面きゅうめん (特とくに n = 3 のとき通常つうじょうの球面きゅうめん) および球たま対称たいしょうなすべての図形ずけいの対称たいしょう群ぐんとなっている。

円えん の対称たいしょう群ぐんは O(2, R) である。向むきを保たもつ部分ぶぶん群ぐん SO(2, R) は円周えんしゅう群ぐん T あるいは 1次元じげんのユニタリ群ぐん U(1) に（実じつリー群ぐんとして）同型どうけいである。この同型どうけい写像しゃぞうは、U(1) の元もと exp(φふぁい i) = cos φふぁい + i sin φふぁい を以下いかの SO(2)の元もとに対応たいおうさせる。

${\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}.$

低てい次元じげんの直交ちょっこう群ぐんのトポロジー

低てい次元じげんの実み（特殊とくしゅ）直交ちょっこう群ぐんは良よく知しられた位相いそう空間くうかんと同相どうしょうである。

• O(1) = S⁰, 2点てんからなる離散りさん空間くうかん
• SO(1) = {1}
• SO(2) は S¹
• SO(3) は RP³
• SO(4) は SU(2) × SU(2) = S³ × S³ に二に重じゅう被覆ひふくされる

複素数ふくそすう上じょうの直交ちょっこう群ぐん

複素数ふくそすう体からだ C 上うえの直交ちょっこう群ぐん O(n, C) および特殊とくしゅ直交ちょっこう群ぐん SO(n, C) は、C 上うえ n(n − 1)/2 次元じげんの複素ふくそリー群ぐんである（つまり、R 上うえのリー群ぐんとしてみると、その2倍ばいの次元じげんである）。O(n, C) は二ふたつの連結れんけつ成分せいぶんをもち、SO(n, C) は単位たんい行列ぎょうれつを含ふくむほうの連結れんけつ成分せいぶんである。 n ≥ 2 ではこれらの群ぐんは非ひコンパクトである。

実数じっすうの場合ばあいと同おなじように、SO(n, C) は単たん連結れんけつでない。 n > 2 では SO(n, C) の基本きほん群ぐんは位い数すう 2 の巡回じゅんかい群ぐんであり、SO(2, C) の基本きほん群ぐんは無限むげん巡回じゅんかい群ぐんである。

有限ゆうげん体たい上じょうの直交ちょっこう群ぐん

直交ちょっこう群ぐんは有限ゆうげん体たい F_q 上うえにも定義ていぎできる。ここで q は素数そすう p の冪べきである。

標しるべ数すうが 2 でない体からだ上じょうでは、 直交ちょっこう群ぐんは偶数ぐうすう次元じげんでは二ふたつのタイプ O⁺(2n, q) と O⁻(2n, q)になり、奇き数すう次元じげんでは、一ひとつのタイプ O(2n + 1, q)になる。

V を直交ちょっこう群ぐん G が作用さようするベクトル空間くうかんとすると、直交ちょっこうする部分ぶぶん空間くうかんの直和なおかずとして、以下いかのように書かける。

$V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W,$

ここで L_i は双そう曲きょく的てき直線ちょくせんで W は特異とくいベクトルを含ふくまない。W が自明じめいな部分ぶぶん空間くうかん {0} のとき、G は + のタイプである。W が 1 次元じげんのとき、G は奇き数すう次元じげんになる。W の次元じげんが 2 のとき、G は − のタイプである。

とくに n = 1 である場合ばあいには、O^ϵ(2, q) は位い数すう 2(q − ϵ) の二に面体めんてい群ぐんである。

O(n, q)の位い数すうは、標しるべ数すうが2でないとき以下いかの式しきよって与あたえられる。

$|\mathrm {O} (2n+1,q)|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).$

−1 が F_qにおいて平方へいほうならば

$|\mathrm {O} (2n,q)|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).$

−1 が F_qにおいて平方へいほうでないならば

$|\mathrm {O} (2n,q)|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).$

直交ちょっこうリー代数だいすう

リー群ぐん O(n,  F ), SO(n,  F) に対応たいおうするリー代数だいすうは、n 次つぎ交代こうたい行列ぎょうれつ全体ぜんたいからなり、リーブラケット [ , ] は交換こうかん子こによって与あたえられる。各かく n に対たいし同おなじリー代数だいすうが対応たいおうし、これを ${\mathfrak {o}}(n,F)$ あるいは ${\mathfrak {so}}(n,F)$ と記しるし、直交ちょっこうリー代数だいすうあるいは特殊とくしゅ直交ちょっこうリー代数だいすうという。実数じっすう体たい上じょうのそれぞれの n についてのリー代数だいすうは、半はん単純たんじゅんリー代数だいすうの4つの族ぞくのうち2つのコンパクト実み形がた (compact real form) である。その2種類しゅるいとは、n が奇数きすう 2k + 1 のとき B_k であり、偶数ぐうすう 2r のとき D_r である。