球面きゅうめん

初等しょとう幾何きか学がくやユークリッド幾何きか学がくにおいて、球面きゅうめん（きゅうめん、英えい: sphere^{[注釈ちゅうしゃく 1]}）とは、三さん次元じげん空間くうかんにおいて、与あたえられた定点ていてんからの距離きょりが一いち定値ていち $r$ をもつような点てん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうである^[1]。このとき、与あたえられた定点ていてんをこの球面きゅうめんの中心ちゅうしんといい、距離きょり $r$ をこの球面きゅうめんの半径はんけいという。また、球面きゅうめんの中心ちゅうしんを通とおる直線ちょくせんが、球面きゅうめんから切きり取とられる線分せんぶんの長ながさは常つねに一定いっていであり、半径はんけいの二に倍ばいに等ひとしい。これを球面きゅうめんの直径ちょっけいと呼よぶ。

「どの方向ほうこうから観察かんさつしても、半径はんけい $r$ の円えんに見みえる立体りったい図形ずけい」と定義ていぎすることもできる。

緩ゆるいい方いかたや数学すうがく以外いがいの文脈ぶんみゃくでは、「球たま」「球面きゅうめん」「球体きゅうたい」の3つが同義語どうぎごとして用もちいられたり、"sphere" と "ball" の意味いみが入いれ違ちがっていたりすることもあるが、数学すうがく的てきには球面きゅうめん (sphere) は三さん次元じげんユークリッド空間くうかんに埋うめ込こまれた二に次元じげん閉曲面めんであり、球体きゅうたい (ball) は三さん次元じげん空間くうかん内ないの球面きゅうめんおよび球面きゅうめんの囲かこむ「内側うちがわ」である（いまのように球面きゅうめんを含ふくめる場合ばあいを特とくに「閉球体きゅうたい」と呼よび、囲かこむ領域りょういきに球面きゅうめんをまったく含ふくめない場合ばあいには「開ひらき球体きゅうたい」と呼よぶ。）。

この区別くべつは必かならず守まもられるというようなものではないし、特とくに古ふるい文献ぶんけんでは中身なかみの詰つまった図形ずけいを「球たま」(sphere) としている。これは二に次元じげんの場合ばあいに、「円えん」が（中身なかみの詰つまった）「円えん板ばん」の意味いみだったり（境界きょうかいである）「円周えんしゅう」の意味いみだったりするのとちょうど同おなじである。

球面きゅうめんの方程式ほうていしき

解析かいせき幾何きか学がくにおいて、 $(x 0, y 0, z 0)$ を中心ちゅうしんとする半径はんけい $r$ の球面きゅうめん（ユークリッド球面きゅうめん）は $(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}$ を満みたす点てん $(x, y, z)$ 全体ぜんたいの軌跡きせきである。

$a, b, c, d, e$ は実数じっすうで $a \neq 0$ なるものとし、 $x_{0}:={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}:={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}:={\frac {-d}{a}},\quad \rho :={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}$ と書かけば、上記じょうきの方程式ほうていしきは $f(x,y,z):=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0$ の形かたちになる。一般いっぱんにこの形かたちの方程式ほうていしき（ $x 2, y 2, z 2$ の係数けいすうが等ひとしく、 $xy, yz, zx$ の項こうを持もたない三さん変数へんすう二に次じ多項式たこうしき方程式ほうていしき）が与あたえられたならば、以下いかの何いずれか一ひとつのみが成なり立たつ:^[1]

$ρ ろー < 0$ のときは、この方程式ほうていしきに解かいとなる実み点てんは存在そんざいせず、虚きょ球だま (imaginary sphere) の方程式ほうていしきと呼よぶ。
$ρ ろー = 0$ のとき、方程式ほうていしき $f (x, y, z) = 0$ は中心ちゅうしんとなる一いち点てん $P 0 ≔ (x 0, y 0, z 0)$ のみを解かいとし、点てん球だま (point sphere) の方程式ほうていしきと言いう。
$ρ ろー > 0$ のときには、 $f (x, y, z) = 0$ は $P 0$ を中心ちゅうしんとする半径はんけい $r ≔ \sqrt ρ ろー$ の球面きゅうめんの方程式ほうていしきとなる（上うえのふたつと対照たいしょうする場合ばあい、実じつ球たま (real sphere) の方程式ほうていしきと言いう）。

上記じょうきの方程式ほうていしきで $a = 0$ としたならば $f (x, y, z) = 0$ は平面へいめんの方程式ほうていしきとなる。そこで平面へいめんを無限むげん遠とお点てんを中心ちゅうしんとする半径はんけい無限むげん大だいの球たまと考かんがえることができる^[2]。

$(x 0, y 0, z 0)$ を中心ちゅうしんとする半径はんけい $r$ の球面きゅうめん上じょうの点てんは　 ${\begin{cases}x=x_{0}+r\sin(\varphi )\cos(\theta )\\y=y_{0}+r\sin(\varphi )\sin(\theta )\\z=z_{0}+r\cos(\varphi )\end{cases}}\qquad (0\leq \varphi \leq \pi ,\;0\leq \theta <2\pi )$ と媒介ばいかい表示ひょうじできる^[3]。

原点げんてんを中心ちゅうしんとする任意にんいの半径はんけいを持もつ球面きゅうめんは微分びぶん形式けいしき $x{\mathit {dx}}+y{\mathit {dy}}+z{\mathit {dz}}=0$ の積分せきぶん曲面きょくめんである。この微分びぶん形がたの方程式ほうていしきは、位置いちベクトル $(x, y, z)$ と速度そくどベクトル $(dx, dy, dz)$ が全ぜん球面きゅうめんに亙わたって常つねに互たがいに直交ちょっこうするという事実じじつを反映はんえいしている。

球面きゅうめんは、円周えんしゅうをその任意にんいの直径ちょっけいを軸じくに回転かいてんさせた回転かいてん曲面きょくめんとして構成こうせいすることもできる。円周えんしゅうは特別とくべつな種類しゅるいの楕円だえんであるから、球面きゅうめんは特別とくべつな種類しゅるいの回転かいてん楕円だえん面めんである。円えんを回転かいてんさせる代かわりに楕円だえんをその長ちょう軸じくを軸じくに回転かいてんさせると長ちょう球たま、短たん軸じくを軸じくにすれば扁ひらた球だまとなる。^[4]

囲かこむ体積たいせき

三さん次元じげん空間くうかんにおいて、球面きゅうめんの囲かこむ体積たいせき（厳密げんみつに言いえばこれは「球体きゅうたい」の体積たいせきだが、古典こてん的てきにはこれを「球たま」の体積たいせきと呼よぶ）は、半径はんけいを $r$ として $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ で与あたえられる。この公式こうしきを導みちびいた最初さいしょの人ひとはアルキメデスで、球面きゅうめんの囲かこむ体積たいせきが球面きゅうめんとそれに外接がいせつする円筒えんとう（つまり、円筒えんとうの高たかさおよび底面ていめんの直径ちょっけいが球面きゅうめんの直径ちょっけいと等ひとしい）の間あいだの体積たいせきに二に倍ばいに等ひとしいことを示しめすことで導みちびかれた^[5]。この主張しゅちょうは、カヴァリエリの原理げんりから得えることができる。この公式こうしきを積分せきぶんを使つかって導みちびくこともできる: 原点げんてんを中心ちゅうしんとする半径はんけい $r$ の球たまを想定そうていすれば、輪切わぎり積分せきぶん法ほう（英語えいご版ばん）では、中心ちゅうしんが $x$ -軸じくに沿そって $x = - r$ から $x = r$ まで並ならぶように無限むげん個こ積つみ重かさねた無限むげんに薄うすい円柱えんちゅう (≈ 円えん板ばん) の体積たいせきの総和そうわとして球面きゅうめんの体積たいせきを計算けいさんする。あるいは、球面きゅうめん座標ざひょう系けいの体積たいせき要素ようそ ${\textstyle dV:=r^{2}\sin(\theta ){\mathit {dr}}\,{\mathit {d\theta }}\,{\mathit {d\varphi }}}$ を積分せきぶんしても同おなじ結果けっかが得えられる。

面積めんせき

半径はんけい $r$ の球面きゅうめんの表面積ひょうめんせきは $A:=4\pi r^{2}$ で与あたえられる。この公式こうしきの最初さいしょの発見はっけん者しゃアルキメデスは^[6]、外接がいせつ円筒えんとうの側面そくめんへの射影しゃえいが面積めんせきを保たもつという事実じじつから公式こうしきを導みちびいた^[7]。

公式こうしきを導みちびく別べつなやり方かたは、これが同おなじく半径はんけい $r$ の球たまの体積たいせきの $r$ に関かんする微分びぶんに等ひとしいという事実じじつを利用りようすることである。これは、半径はんけい $r$ の球たまの内部ないぶの全ぜん体積たいせきを、半径はんけい $0$ から $r$ までの無限むげんに薄うすい球たま殻からを無限むげん個こ半径はんけいに垂直すいちょくに積つみ重かさねた体積たいせきの総和そうわとして捉とらえることとして理解りかいできる。無限むげんに薄うすいという条件じょうけんにより、各かく球たま殻からの内側うちがわと外側そとがわの表面積ひょうめんせきの差さは無限むげん小しょうであり、半径はんけい $r$ に対応たいおうする球たま殻からの体積たいせきは単たんに半径はんけい $r$ の球面きゅうめんの表面積ひょうめんせきと無限むげんに小ちいさい厚あつみとの積せきとして得えられることに注意ちゅういする。あるいはまた、球面きゅうめん座標ざひょう系けいにおける球面きゅうめんの面積めんせき要素ようそ $dA ≔ r 2 sin(θ しーた)\cdot d θ しーた \cdotd φ ふぁい$ の積分せきぶんとしても導出どうしゅつできる。

幾何きか学がく的てき性質せいしつ

球面きゅうめんは同どう一いち平面へいめん上じょうにない四よん点てんを指定していすれば一意いちいに決定けっていされる。より一般いっぱんに、通とおる点てんや平面へいめんに接せっするなどの条件じょうけんが四よっつあれば球面きゅうめんが一意いちいに決きまる^[8]。この性質せいしつは、平面へいめん上じょうの円えんが同どう一直線いっちょくせん上じょうにない三さん点てんで一意いちいに決きまるという性質せいしつの三さん次元じげん空間くうかん版ばんと見みることができる。その帰結きけつとして、球面きゅうめんは一ひとつの円えんとその円えんが属ぞくする平面へいめん上じょうにない一いち点てんによって（それらすべてを通とおるという意味いみで）一意いちいに決定けっていできる。

ふたつの球面きゅうめんの方程式ほうていしきの共通きょうつう解かいを調しらべれば、ふたつの球面きゅうめんの交線が円えんとなることが確認かくにんできる。その交円を含ふくむ平面へいめんは交まじわる球面きゅうめんの根ね面めん (radical plane) という^[9]。根ね面めんは実じつ平面へいめんだけれども、交円は虚きょ円えん（二ふたつの球面きゅうめんが共通きょうつう実み点てんを持もたない）や点てん円えん（二ふたつの球面きゅうめんが一いち点てんで接せっする）となることもあり得える^[10]

交円上じょうの実み点てんにおける二ふたつの球面きゅうめんの間あいだの成なす角かくとは、その点てんにおける各かく球面きゅうめんの接せっ平面へいめんによって定義ていぎされる二に面めん角かくを言いう。二ふたつの球面きゅうめんは、その交円上じょうのどの点てんでも同おなじ角度かくどで交まじわる^[11]。ふたつの球面きゅうめんが直角ちょっかくに交まじわるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、それら球面きゅうめんの中心ちゅうしん間あいだの距離きょりの平方へいほうがそれらの半径はんけいの平方和へいほうわに等ひとしいことである^[2]。

球たま束たば

相そう異ことなる二ふたつの球面きゅうめんの方程式ほうていしき $f (x, y, z) = 0$ および $g (x, y, z) = 0$ に対たいして $sf(x,y,z)+tg(x,y,z)=0$ は、助じょ変数へんすう $s, t$ の任意にんいの値ねに対たいして、やはり球面きゅうめんの方程式ほうていしきを与あたえる。適当てきとうな $t, s$ に対たいしてこの方程式ほうていしきを満足まんぞくする球面きゅうめんすべてからなる族ぞくを、もとのふたつの球面きゅうめん（生成せいせい球面きゅうめん）から定さだまる球たま束たばまたは球面きゅうめん束たば (pencil of spheres) と呼よぶ。ただし、この定義ていぎにおいて「球面きゅうめん」には平面へいめん（無限むげん遠とお点てん中心ちゅうしん、半径はんけい無限むげん大だい）の場合ばあいも許ゆるすものとする。生成せいせい球面きゅうめんが両方りょうほうとも平面へいめんである場合ばあいには、球面きゅうめん束たばを成なすすべての球面きゅうめんが平面へいめんとなるか、さもなくば球面きゅうめん束たばはただ一ひとつの平面へいめん（生成せいせい球面きゅうめんの根ね面めん）のみからなる^[2]。

球面きゅうめん束たばがすべて平面へいめんからなるのでないならば、それを以下いかの三種さんしゅに分類ぶんるいすることができる^[10]:

生成せいせい球面きゅうめんの交円が実じつ円えん $C$ ならば、球面きゅうめん束たばは $C$ を含ふくむ球面きゅうめん（根ね面めんも含ふくめて）全体ぜんたいの成なす族ぞくになる。球面きゅうめん束たばに属ぞくする通常つうじょうの球面きゅうめん（平面へいめんでないという意味いみ）の中心ちゅうしんの軌跡きせき（中心ちゅうしん直線ちょくせん）は $C$ の中心ちゅうしんを通とおり根ね面めんに直交ちょっこうする直線ちょくせん上じょうにある。
生成せいせい球面きゅうめんの交円が虚きょ円えんならば、球面きゅうめん束たばに属ぞくする球面きゅうめんはこの虚きょ円えんを通とおるが、通所つうしょの球面きゅうめんとしてはそれらは交まじわらない（共通きょうつう実み点てんはない）。属ぞくする球面きゅうめんの中心ちゅうしん直線ちょくせんは根ね面めん（これは虚きょ円えんを含ふくむ平面へいめんで球面きゅうめん束たばに属ぞくす）に直交ちょっこうする。
生成せいせい球面きゅうめんの交円が点てん円えん $A$ ならば、束たばに属ぞくする球面きゅうめんは全すべて点てん $A$ において接せっし、根ね面めんは束たばに属ぞくするすべての球面きゅうめんの共通きょうつう接せっ平面へいめんである。中心ちゅうしん直線ちょくせんは $A$ において根ね面めんと直交ちょっこうする。

根ね面めん上じょうの固定こていされた点てんから束たばに属ぞくする任意にんいの球面きゅうめんに引ひいた接線せっせんの長ながさは、球面きゅうめんに依よらず同おなじになる^[10]。

根ね面めんは、束たばに属ぞくする球面きゅうめんすべてに直交ちょっこうする任意にんいの球面きゅうめんの中心ちゅうしんが描えがく軌跡きせきに等ひとしい。もっと言いえば、球面きゅうめん束たばに属ぞくする球面きゅうめんの任意にんいのふたつに直交ちょっこうする球面きゅうめんは、束たばに属ぞくするすべての球面きゅうめんと直交ちょっこうし、かつ中心ちゅうしんが束たばの根ね面めん上じょうにある^[10]。

用語ようご法ほう

球たまの中心ちゅうしんを通とおる直線ちょくせん上じょうにある球面きゅうめん上じょうの点てんの対たい（その直線ちょくせんと球面きゅうめんとのふたつの交点こうてん）は対蹠たいしょ点てん（英語えいご版ばん） (antipodal points) と呼よばれる。球たまと中心ちゅうしんおよび半径はんけいを共有きょうゆうする球面きゅうめん上じょうの円えんは大円だいえんと言いい、大円だいえんにより球面きゅうめんは二ふたつの合同ごうどうな図形ずけいに分わけられる。球面きゅうめんの平面へいめん切断せつだん（英語えいご版ばん）は「球面きゅうめん切断せつだん」（球面きゅうめん断面だんめん）という。球面きゅうめん切断せつだんはすべて円えんであり、そのうちで大円だいえんでないものは小しょう円えん（英語えいご版ばん）と呼よばれる^[12]。

二ふたつの相そう異ことなる非ひ対蹠たいしょ点てんの間あいだの球面きゅうめんに沿そった最短さいたん距離きょりとは、それら二に点てんを結むすぶただ一ひとつの大円だいえんがその二に点てんで切きり取とられる二ふたつの弧このうちの小ちいさいほう（精確せいかくには大おおきくないほう）の長ながさである。この「大円だいえん距離きょり」を備そなえた球面きゅうめん上じょうで大円だいえんはリーマン円えん（英語えいご版ばん）となる。

球面きゅうめん上じょうの特定とくていの点てんを任意にんいに選えらんで「北極ほっきょく」とするとき、その対蹠たいしょ点てんを「南極なんきょく」と呼よんで、両りょう極点きょくてんから等距離とうきょりにある大円だいえんを赤道あかみちとする。二ふたつの極点きょくてんを結むすぶ大円だいえんは子午線しごせんまたは経線けいせんと呼よび、球たまの内部ないぶを通とおって両極りょうきょくを結むすぶ直線ちょくせんを自転じてん軸じくと呼よぶ。赤道せきどうと平行へいこうとなる球面きゅうめん上じょうの円えんは緯線いせんである。このような語法ごほうは、近似きんじ的てきに楕円だえん体たいである（地球ちきゅうのような）惑星わくせいに対たいしても用もちいられるものである（ジオイドも参照さんしょう）。

半球はんきゅう面めん

球面きゅうめんの中心ちゅうしんを含ふくむ任意にんいの平面へいめんは、球面きゅうめんをふたつの合同ごうどうな半球はんきゅう面めん (hemisphere) に分割ぶんかつする。球面きゅうめんの中心ちゅうしんを通とおり交まじわる任意にんいのふたつの平面へいめんは、四よっつの球面きゅうめん楔くさび形がた（英語えいご版ばん）または球面きゅうめん二に角形かくがたに細分さいぶん割わりする（これら図形ずけいの頂点ちょうてんは、平面へいめんの交線上じょうにある対蹠たいしょ点てん（英語えいご版ばん）に一致いっちする）。

球面きゅうめんの対蹠たいしょ点てんを同一どういつ視しする商しょうは実じつ射影しゃえい平面へいめん（英語えいご版ばん）と呼よばれる曲面きょくめんで、これを赤道せきどうにある対蹠たいしょ点てんを同一どういつ視しした北半球きたはんきゅうと見みることもできる。

この半球はんきゅう面めんはリーマン円えん（英語えいご版ばん）によって最適さいてき（面積めんせき最小さいしょう）等とう長ちょう充填じゅうてんとなると予想よそう（英語えいご版ばん）されている。^{[訳語やくご疑問ぎもん点てん]}

一般いっぱん化か

任意にんい次元じげん

球面きゅうめんの概念がいねんを、任意にんいの次元じげんに対たいして一般いっぱん化かすることができる。自然しぜん数すう $n$ に対たいして「 $n$ -次元じげん（ユークリッド）球面きゅうめん」(" $n$ -sphere") をしばしば $S n$ と書かいて、中心ちゅうしんとなる定点ていてんから半径はんけいとなる決きまった距離きょり $r$ の位置いちにある ( $n + 1$ )-次元じげんユークリッド空間くうかん内ないの点てんからなる軌跡きせきとして定義ていぎできる。特とくに

零れい次元じげん球面きゅうめん $S 0$ は実数じっすう直線ちょくせん内うちの閉区間あいだ $[- r, r]$ の両りょう端点たんてんである。
一いち次元じげん球面きゅうめん $S 1$ は半径はんけい $r$ の円周えんしゅうである。
二に次元じげん球面きゅうめん $S 2$ は通常つうじょうの球面きゅうめん
三さん次元じげん球面きゅうめん $S 3$ は四よん次元じげんユークリッド空間くうかん内ないの超ちょう球面きゅうめんを表あらわす

$n > 2$ のとき、超ちょう球面きゅうめんともいう^{[注釈ちゅうしゃく 2]}。文献ぶんけんによっては余よ次元じげん（英語えいご版ばん）が 1 のときに限かぎって超ちょう球面きゅうめんと呼よぶ^{[注釈ちゅうしゃく 3]}場合ばあいも稀まれにあるので文脈ぶんみゃくに注意ちゅういすべきである。

$S n$ は、特とくに「単位たんい球面きゅうめん」（原点げんてんを中心ちゅうしんとする単位たんい半径はんけいの球面きゅうめん）を表あらわすために用もちいられることもある。

( $n - 1$ )-次元じげん単位たんい超ちょう球面きゅうめんの表面積ひょうめんせきは、ガンマ函数かんすう $Γ がんま (z)$ を用もちいて ${\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}$ で与あたえられる。

距離きょり空間くうかん

より一般いっぱんに、距離きょり空間くうかん $(E, d)$ において、中心ちゅうしん $x$ および半径はんけい $r > 0$ の球面きゅうめん（距離きょり球面きゅうめん）は $d (x, y) = r$ なる点てん $y$ の軌跡きせきとして定義ていぎされる。

中心ちゅうしんが $E$ の「原点げんてん」として捉とらえられる識別しきべつ点てんにとるとき（例たとえば、ノルム空間くうかんは原点げんてんを持もつ距離きょり空間くうかんである）、定義ていぎや記法きほうにその点てんは現あらわれないかもしれない。半径はんけいを $1$ に取とるとき、単位たんい球面きゅうめんと呼よぶのは従来じゅうらい通どおりである。

距離きょり球体きゅうたいの場合ばあいと異ことなり、距離きょり球体きゅうたいはそれが十分じゅうぶん大おおきい半径はんけいを持もつ場合ばあいでも空そら集合しゅうごうとなり得える。例たとえば $Z n$ にユークリッド距離きょりを入いれるとき、半径はんけい $r$ の球面きゅうめんは空そらでないのは $r 2$ が $n$ 個この整数せいすうの平方和へいほうわに書かけるときに限かぎる。

位相いそう球面きゅうめん

位相いそう幾何きか学がくでは、 $n + 1$ 次元じげん（位相いそう）球体きゅうたいの境界きょうかいに同相どうしょうな空間くうかんとして $n$ -次元じげん（位相いそう）球面きゅうめんは定義ていぎされる。これは $n$ -次元じげんユークリッド球面きゅうめん（通常つうじょうの $n$ -次元じげん球面きゅうめん）に同相どうしょうとなるが、必かならずしも距離きょり付つけられない。

零れい次元じげん位相いそう球面きゅうめんは、離散りさん位相いそうの入はいった点てんの対たいである。
一いち次元じげん位相いそう球面きゅうめんは、同相どうしょうの違ちがいを除のぞいて円周えんしゅうである。たとえば、任意にんいの結むすび目めは一いち次元じげん位相いそう球面きゅうめんとなる。
二に次元じげん位相いそう球面きゅうめんは、同相どうしょうの違ちがいを除のぞいて通常つうじょうの球面きゅうめんである。例たとえば、任意にんいの楕円だえん体たいは二に次元じげん位相いそう球面きゅうめんとなる。

$n$ -次元じげん位相いそう球面きゅうめんもまた $S n$ と書かかれる。位相いそう球面きゅうめんは境界きょうかいのないコンパクト位相いそう多様たよう体たいの例れいになっている。必かならずしも可か微分びぶん多様たよう体たい（滑なめらかな多様たよう体たい）ではないが、滑なめらかな場合ばあいであってもユークリッド球面きゅうめんに微分びぶん同相どうしょうとは限かぎらない。

ハイネ–ボレルの被覆ひふく定理ていりにより $n$ -次元じげんユークリッド球面きゅうめんがコンパクトであることが分わかる。実際じっさい、球面きゅうめんは連続れんぞく函数かんすう $‖ x ‖$ による一いち点てん集合しゅうごうの逆ぎゃく像ぞうであるから閉集合しゅうごうであり、また $S n$ は有界ゆうかいである。

驚嘆きょうたんすべきことに、三さん次元じげん空間くうかん内ないにおいて自己じこ交叉こうさすることを許ゆるせば、通常つうじょうの球面きゅうめんを一切いっさいの切きれ目めを入いれることなく裏返うらがえすことができる。この一連いちれんの方法ほうほうは球たまの裏返うらがえし（英語えいご版ばん） (sphere eversion) と呼よばれる。

球面きゅうめん幾何きか学がく

ユークリッドの平面へいめん幾何きか学がくの基本きほん要素ようそは点てんと直線ちょくせんである。球面きゅうめん上じょうでも、点てんは通常つうじょうの意味いみで定義ていぎできる。「直線ちょくせん」に相当そうとうするものは測地そくち線せんで、いまの場合ばあい具体ぐたい的てきには大円だいえんである。大円だいえんを定義ていぎづける特徴とくちょうは、その上うえにある点てんすべてを含ふくむ平面へいめんが球たまの中心ちゅうしんを通とおることである。弧こ長ちょうによって距離きょりを測はかることにすれば、球面きゅうめん上じょうの任意にんいの二に点てんを結むすぶ最短さいたん経路けいろが、それらの点てんを含ふくむ大円だいえんがそれら点てんで切きり取とられる円弧えんこのうちの短みじかいほうによって与あたえられることが証明しょうめいできる。

古典こてん幾何きか学がくにおける多おおくの定理ていりが球面きゅうめん幾何きか学がくにおいても真しんとなるが、球面きゅうめん上じょうでは古典こてん幾いく何なんの公準こうじゅんがすべて満足まんぞくされるわけではない（平行へいこう線せん公準こうじゅんなどは成立せいりつしない）から、真しんとはならない定理ていりも存在そんざいする。球面きゅうめん三角さんかく法ほうにおいて、角かくは大円だいえんの間あいだで定義ていぎされる。球面きゅうめん三角さんかく法ほうは通常つうじょうの三角さんかく法ほうとは様々さまざまな点てんで異ことなる。例たとえば、球面きゅうめん三角形さんかっけいの内角ないかくの和わは常つねに $180°$ より大おおきい。あるいはまた、任意にんいの互たがいに相似そうじ（英語えいご版ばん）なふたつの球面きゅうめん三角形さんかっけいは合同ごうどうである。

球面きゅうめんに関かんする11の性質せいしつ

ダフィット・ヒルベルトとシュテファン・コーン゠フォッセン（英語えいご版ばん）の著書ちょしょ Geometry and the Imagination^[13]で彼かれらは、球面きゅうめんの11の性質せいしつを記述きじゅつし、それらの性質せいしつが球面きゅうめんを一意いちいに決定けっていするかどうかについて論ろんじた。それらのうちのいくつかは（半径はんけい無限むげん大だいの球面きゅうめんと看做みなせる）平面へいめんも満足まんぞくする。それら11性質せいしつとは:

「球面きゅうめん上じょうのすべての点てんは一ひとつの定点ていてんから同一どういつの距離きょりにある。また、ふたつの定点ていてんからそれら点てんへの距離きょりの比ひは一定いっていである」
[注釈ちゅうしゃく] 前半ぜんはんは球面きゅうめんの通常つうじょうの定義ていぎで、球面きゅうめんを一意いちいに決定けっていする。後半こうはんは容易よういに導みちびかれ、円周えんしゅうに対たいするペルガのアポロニウスの結果けっかと同様どうようのことが従したがう。後半こうはんの内容ないようは平面へいめんも満みたす。
「球面きゅうめんの等高線とうこうせんおよび平面へいめん切断せつだんはすべて円えんである」
[注釈ちゅうしゃく] この性質せいしつは球面きゅうめんを一意いちいに定義ていぎする。
「球面きゅうめんは幅はばが一定いっていかつ周しゅう長ちょうが一定いっていである」
[注釈ちゅうしゃく] 曲面きょくめんの幅はばは平行へいこうな接せっ平面へいめんの対たいの間あいだの距離きょりとして測はかる。他ほかにもいくつか定てい幅はばの凸とつ閉曲面めんはあり、たとえばマイスナーの立体りったい（英語えいご版ばん）はそうである。曲面きょくめんの周しゅう長ちょう (girth) は、曲面きょくめんを平面へいめん上じょうに直交ちょっこう射影しゃえいした像ぞうの境界きょうかいの外周がいしゅうの長ながさである。これらの性質せいしつの各々おのおのは他たの性質せいしつを導みちびく。
「球面きゅうめん上じょうのすべてのてんは臍ほぞ点てん（英語えいご版ばん）である」
[注釈ちゅうしゃく] 球面きゅうめんの法線ほうせんは球っきゅうの中心ちゅうしんから放射状ほうしゃじょうに延のびる直線ちょくせんであるから、曲面きょくめん上じょうの任意にんいの点てんにおいて法ほう方向ほうこうは曲面きょくめんに直角ちょっかくである。法線ほうせんを含ふくむ平面へいめんとの交線は「法ほう断面だんめん」と呼よばれる曲線きょくせんをなし、その曲線きょくせんの曲きょく率りつを「法ほう曲きょく率りつ」と呼よぶ。多おおくの曲面きょくめんに対たいしてその上うえの点てんの多おおくは異ことなる切断せつだんに対たいして異ことなる曲きょく率りつを持もつ。それら曲きょく率りつの中なかで最大さいだいおよび最小さいしょうの値ねを持もつものを主しゅ曲きょく率りつと言いう。任意にんいの閉曲面めんは少すくなくとも四よっつの「臍ほぞ点てん」と呼よばれる点てんを持もつ。臍ほぞ点てんにいてすべての断面だんめん曲きょく率りつ（特とくにふたつの主しゅ曲きょく率りつ）は等ひとしい。臍ほぞ点てんは曲面きょくめんを球面きゅうめんで極きわめて近似きんじできる点てんと見みなすことができる。

球面きゅうめんに対たいしては全すべての法ほう断面だんめんの曲きょく率りつが等ひとしいから、任意にんいの点てんが臍ほぞ点てんである。この性質せいしつを満みたす曲面きょくめんは、球面きゅうめんと平面へいめんに限かぎる。
「球面きゅうめんは中心ちゅうしん曲面きょくめんを持もたない」
[注釈ちゅうしゃく] 与あたえられた法ほう断面だんめんに対たいして、断面だんめん曲きょく率りつに等ひとしい曲きょく率りつを持もち曲面きょくめんに接せっする円えんが存在そんざいして、その中心ちゅうしん線せんは法線ほうせん上じょうに載のる。例たとえば、最大さいだいおよび最小さいしょう断面だんめん曲きょく率りつに対応たいおうする中心ちゅうしん点てんは「焦点しょうてん」と呼よばれ、そのような中心ちゅうしん点てん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうは焦こげ面めん（英語えいご版ばん）を成なす。
大半たいはんの曲面きょくめんでは焦こげ面めんは二に葉よう曲面きょくめん（それぞれが曲面きょくめんとなるような二ふたつの集合しゅうごう）を成なし、ふたつの葉はは臍ほぞ点てんで交まじわる。いくつかの場合ばあいは特別とくべつである:
- 管状かんじょう曲面きょくめん（英語えいご版ばん）の場合ばあい、一葉いちようは曲線きょくせんでありもう一いち葉ようは曲面きょくめんとなる。
- 円錐えんすい、円筒えんとう、トーラス、サイクライド（英語えいご版ばん）の場合ばあいは、二に葉ようとも曲線きょくせんを成なす。
- 球面きゅうめんの場合ばあい、任意にんいの接触せっしょく円えんの中心ちゅうしんは球っきゅうの中心ちゅうしんであり、焦こげ面めんは一いち点てんとなる。この性質せいしつは球面きゅうめんに対たいして一意いちいである。
「球面きゅうめんの任意にんいの測地そくち線せんは閉曲線へいきょくせんである」
[注釈ちゅうしゃく] 測地そくち線せんは曲面きょくめん上じょうの曲線きょくせんで、二に点てん間あいだの最短さいたん距離きょりを与あたえるものである。これは平面へいめん上じょうの直線ちょくせんの概念がいねんを一般いっぱん化かするものである。球面きゅうめん上じょうの測地そくち線せんは大円だいえん。この性質せいしつを満足まんぞくする曲面きょくめんは他ほかにもたくさんある。
「与あたえられた体積たいせきを持もつすべての立体りったいの中なかで、球たまは表面積ひょうめんせきが最もっとも小ちいさくなるもののひとつである。与あたえられた表面積ひょうめんせきを持もつすべての立体りったいの中なかで、球たまは最もっとも大おおきい体積たいせきを持もつものの一ひとつである」
[注釈ちゅうしゃく] これは等とう周しゅう不等式ふとうしきから従したがう。これらの性質せいしつは球面きゅうめんを一意いちいに定義ていぎし、その定義ていぎの仕方しかたはシャボン玉だまのようなものと思おもえる—シャボン玉だまは決きまった体積たいせきを囲かこんで、その体積たいせきに対たいして表面積ひょうめんせきは表面張力ひょうめんちょうりょくが極小きょくしょう（最小さいしょう）化かされるように決きまる。だから自由じゆうに浮うかぶシャボン玉だまは球面きゅうめんを近似きんじする（重力じゅうりょくのような外力がいりょくがシャボン玉だまの形状けいじょうをやや歪いがませる）。
「与あたえられた表面積ひょうめんせきを持もつすべての凸とつ立体りったいのなかで、球面きゅうめんは最もっとも小ちいさい全ぜん平均へいきん曲きょく率りつを持もつ」
[注釈ちゅうしゃく] 平均へいきん曲きょく率りつ（英語えいご版ばん）は二ふたつの主しゅ曲きょく率りつの平均へいきんで、球面きゅうめんは全すべての点てんで二ふたつの主しゅ曲きょく率りつが一定いっていであるから、平均へいきん曲きょく率りつも一定いってい。
「球面きゅうめんは一定いっていの平均へいきん曲きょく率りつを持もつ」
[注釈ちゅうしゃく] 球面きゅうめんは境界きょうかいも特異とくい点てんもなく正せいの一定いってい平均へいきん曲きょく率りつを持もつ唯一ゆいいつの埋うめ込こまれた曲面きょくめんである。他たに一定いっていの平均へいきん曲きょく率りつを持もつ埋うめ込こまれた曲面きょくめんに極小きょくしょう曲面きょくめんがある。
「球面きゅうめんは正せいの一定いっていガウス曲きょく率りつを持もつ」
[注釈ちゅうしゃく] ガウス曲きょく率りつは二ふたつの主しゅ曲きょく率りつの積せきである。ガウス曲きょく率りつは、曲面きょくめん上じょうの長ながさや角度かくどを測はかることで決定けっていされ、その曲面きょくめんの空間くうかんへの埋うめ込こみの仕方しかたに依よらないという意味いみで、曲面きょくめんの持もつ内在ないざい的てきな性質せいしつである。したがって、曲面きょくめんを曲まげてもガウス曲きょく率りつは変かわらず、またほかの正せいの一定いっていガウス曲きょく率りつを持もつ曲面きょくめんは球面きゅうめんに小ちいさな切きれ目めを入いれてそれを曲まげることで得えることができる。そうして得えられた球面きゅうめん以外いがいの曲線きょくせんは境界きょうかいを持もち、球面きゅうめんは境界きょうかいを持もたない正せいの一定いっていガウス曲きょく率りつを持もつ唯一ゆいいつの曲面きょくめんとなる。擬なずらえ球面きゅうめんは負まけの一定いっていガウス曲きょく率りつを持もつ曲面きょくめんの例れいである。
「剛体ごうたい運動うんどうの三さん径みち数すう族ぞくによって球面きゅうめんは球面きゅうめん自身じしんに変形へんけいされる」
[注釈ちゅうしゃく] 原点げんてんを中心ちゅうしんとする単位たんい球面きゅうめんについて、任意にんいの座標軸ざひょうじく回まわりの回転かいてんでこの球面きゅうめんは自身じしんに写うつる。原点げんてんを通とおる任意にんいの直線ちょくせん周まわりの回転かいてんは、三さん座標軸ざひょうじく周まわりの回転かいてんの組くみ合あわせで表あらわすことができる（オイラー角かくの項こうを参照さんしょう）から、先さきの球面きゅうめんをそれ自身じしんに写うつす任意にんいの回転かいてんからなる回転かいてんの三さん径みち数すう族ぞくが存在そんざいする（この族ぞくは三さん次元じげん回転かいてん群ぐん $SO (3)$ である）。ほかに変換へんかんの三さん径みち数すう族ぞくを持もつ曲面きょくめんは、平面へいめん（この場合ばあいの族ぞくは、 $x$ -軸じくおよび $y$ -軸じくに沿そった平行へいこう移動いどうと原点げんてんを中心ちゅうしんとする回転かいてんで径みち数すう付つけられる）に限かぎる。円筒えんとうは剛体ごうたい運動うんどうのに径みち数すう族ぞくを持もつ唯一ゆいいつの曲面きょくめんであり、一いち径みち数すう族ぞくを持もつ曲面きょくめんは回転かいてん曲面きょくめんおよび螺旋らせん面めん（英語えいご版ばん）に限かぎる。

ギャラリー

$An image of one of the most accurate human-made spheres, as it refracts the image of Einstein in the background. This sphere was a fused quartz gyroscope for the Gravity Probe B experiment, and differs in shape from a perfect sphere by no more than 40 atoms (less than 10 nanometers) of thickness. It was announced on 1 July 2008 that Australian scientists had created even more nearly perfect spheres, accurate to 0.3 nanometers, as part of an international hunt to find a new global standard kilogram.[14]$

An image of one of the most accurate human-made spheres, as it refracts the image of Einstein in the background. This sphere was a fused quartz gyroscope for the Gravity Probe B experiment, and differs in shape from a perfect sphere by no more than 40 atoms (less than 10 nanometers) of thickness. It was announced on 1 July 2008 that Australian scientists had created even more nearly perfect spheres, accurate to 0.3 nanometers, as part of an international hunt to find a new global standard kilogram.^[14]
Deck of playing cards illustrating engineering instruments, England, 1702. King of spades: Spheres

注ちゅう

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

注釈ちゅうしゃく

^ 古希こき: σしぐまφふぁいαあるふぁῖρろーαあるふぁ (sphaira) に由来ゆらい
^ 超ちょう立方体りっぽうたいなどと同おなじく「高こう次元じげん」図形ずけいで相当そうとうするものという意味いみで「超ちょう」球面きゅうめんと呼よんでいる
^ この「超ちょう-」の使つかい方かたは、超ちょう平面へいめんなどと同おなじ語法ごほうである。

出典しゅってん

^ ^a ^b Albert 2016, p. 54.
^ ^a ^b ^c Woods 1961, p. 266.
^ Kreyszig 1972, p. 342.
^ Albert 2016, p. 60.
^ Steinhaus 1969, p. 223.
^ Weisstein, Eric W. "Sphere". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
^ Steinhaus 1969, p. 221.
^ Albert 2016, p. 55.
^ Albert 2016, p. 57.
^ ^a ^b ^c ^d Woods 1961, p. 267.
^ Albert 2016, p. 58.
^ Weisstein, Eric W. "Spheric section". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
^ Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (2nd ed.). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9
^ New Scientist | Technology | Roundest objects in the world created

参考さんこう文献ぶんけん

Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
Dunham, William. The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities. pp. 28, 226. ISBN 0-471-17661-3
Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
Steinhaus, H. (1969), Mathematical Snapshots (Third American ed.), Oxford University Press
Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, Dover

外部がいぶリンク

Weisstein, Eric W. "Sphere". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
Surface area of sphere proof.
sphere in nLab
sphere (metric space) - PlanetMath.（英語えいご）
Definition:Sphere at ProofWiki
Sharadze, I.S. (2001), “Sphere”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] 古希こき: σしぐまφふぁいαあるふぁῖρろーαあるふぁ (sphaira) に由来ゆらい

[14] 超ちょう立方体りっぽうたいなどと同おなじく「高こう次元じげん」図形ずけいで相当そうとうするものという意味いみで「超ちょう」球面きゅうめんと呼よんでいる

[15] この「超ちょう-」の使つかい方かたは、超ちょう平面へいめんなどと同おなじ語法ごほうである。

[FOOTNOTEAlbert201654-2] Albert 2016, p. 54.

[FOOTNOTEWoods1961266-3] Woods 1961, p. 266.

[FOOTNOTEKreyszig1972342-4] Kreyszig 1972, p. 342.

[FOOTNOTEAlbert201660-5] Albert 2016, p. 60.

[FOOTNOTESteinhaus1969223-6] Steinhaus 1969, p. 223.

[MathWorld_Sphere-7] Weisstein, Eric W. "Sphere". mathworld.wolfram.com (英語えいご).

[FOOTNOTESteinhaus1969221-8] Steinhaus 1969, p. 221.

[FOOTNOTEAlbert201655-9] Albert 2016, p. 55.

[FOOTNOTEAlbert201657-10] Albert 2016, p. 57.

[FOOTNOTEWoods1961267-11] Woods 1961, p. 267.

[FOOTNOTEAlbert201658-12] Albert 2016, p. 58.

[13] Weisstein, Eric W. "Spheric section". mathworld.wolfram.com (英語えいご).

[16] Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (2nd ed.). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9

[17] New Scientist | Technology | Roundest objects in the world created

[注釈ちゅうしゃく 1]

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[注釈ちゅうしゃく 2]

[注釈ちゅうしゃく 3]

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