表面積ひょうめんせき

表面積ひょうめんせき（ひょうめんせき）は、立体りったい図形ずけいの表面ひょうめんの面積めんせき。直感ちょっかん的てきには、立体りったい図形ずけいを水中すいちゅうに入いれたとき濡ぬれる部分ぶぶんの面積めんせきのことである。

ユークリッド空間くうかんで、図形ずけいを a倍ばいに拡大かくだいすると、体積たいせきは a³倍ばいになるのに対たいし、表面積ひょうめんせきは a²倍ばいになる。ただし、3軸じくそれぞれの方向ほうこうに a. b, c倍ばいに拡大かくだいした場合ばあいは、体積たいせきは abc倍ばいになるが、表面積ひょうめんせきの変化へんかは図形ずけいによる。

せん断だん成分せいぶんのある変形へんけいに対たいしては、体積たいせきは一定いっていだが表面積ひょうめんせきは一般いっぱんに異ことなる。例たとえば、底面ていめんが合同ごうどうで高たかさが同おなじ平行へいこう六面体ろくめんたいと直方体ちょくほうたいは、体積たいせきが等ひとしいが表面積ひょうめんせきは異ことなる。

表面積ひょうめんせきは、一般いっぱんには積分せきぶんを使つかって計算けいさんされる。対称たいしょう性せいの高たかい図形ずけいのみ、初等しょとう数学すうがくで求もとまる公式こうしきが得えられる。楕円だえん体たいのように、体積たいせきは簡単かんたんに求もとまるが表面積ひょうめんせきを求もとめるには複雑ふくざつな計算けいさんが必要ひつような図形ずけいもある。

表面積ひょうめんせきの公式こうしきの例れい

立方体りっぽうたい	$6a^{2}$	辺あたり長ちょう a
直方体ちょくほうたい	$2(ab+bc+ca)$	辺あたり長ちょう a, b, c
球たま	$4\pi r^{2}$	半径はんけい r
扁ひらた球だま	$2\pi a^{2}\left(1+{\frac {(1-e^{2})\tanh ^{-1}e}{e}}\right)$	長ちょう半径はんけい a, 離はなれ心しん率りつ e
長ちょう球たま	$2\pi a^{2}\left(1-e^{2}+{\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin ^{-1}e}{e}}\right)$	長ちょう半径はんけい a, 離はなれ心しん率りつ e
トーラス	$4\pi ^{2}Rr$	大だい半径はんけい R, 小しょう半径はんけい r
直じき円錐えんすい	$\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$	底面ていめんの半径はんけい r, 高たかさ h
直ちょく円柱えんちゅう	$2\pi r(r+h)$	底面ていめんの半径はんけい r, 高たかさ h
直柱ひたはしら体たい	$2B+sh$	底そこ面積めんせき B, 底面ていめんの周しゅう s, 高たかさ h
デルタ多面体ためんたい （正せい四よん・八はち・二に十じゅう面体めんていを含ふくむ）	${\frac {\sqrt {3}}{4}}na^{2}$	辺あたり長ちょう a, 面めん数すう n
正せい十じゅう二に面体めんてい	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}$	辺あたり長ちょう a
メンガーのスポンジ	$\infty$

高次こうじ元もと図形ずけいの表面積ひょうめんせき

一般いっぱんの n次元じげん図形ずけいについては、図形ずけいの表面ひょうめんの n − 1次元じげんルベーグ測度そくどを表面積ひょうめんせきと呼よぶ。面積めんせき（2次元じげんルベーグ測度そくど）でないことを強調きょうちょうしたいときは、超ちょう表面積ひょうめんせきともいう。

ユークリッド空間くうかんでは、図形ずけいを a倍ばいに拡大かくだいすると、体積たいせき（図形ずけいの n次元じげんルベーグ測度そくど）は aⁿ倍ばい、表面積ひょうめんせきは aⁿ⁻¹ 倍ばいになる。