体積たいせき

体積たいせき; volume
量りょう記号きごう	V
次元じげん	L3
種類しゅるい	スカラー
SI単位たんい	立方りっぽうメートル (m3)
CGS単位たんい	立方りっぽうセンチメートル (cm3)
DKS単位たんい	リットル (L)
FPS単位たんい	立方りっぽうフィート (ft3)
プランク単位たんい	プランク体積たいせき (VP)
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体積たいせき（たいせき、英えい: volume）とは3次元じげん空間くうかんにおいて、その空間くうかんの領域りょういきの大おおきさを示しめす量りょう（物理ぶつり量りょう）である^[1]^[2]。和語わごでは嵩かさ（かさ）という。

定義ていぎ[編集へんしゅう]

上記じょうきの通とおり、三さん次元じげんの構造こうぞう（モノなど）の空間くうかん的てきな大おおきさの程度ていどを示しめす量りょうが体積たいせきであるが、厳密げんみつさが求もとめられる数学すうがくにおいては、体積たいせきの定義ていぎの説明せつめいは複雑ふくざつである。以下いかにその概略がいりゃくを示しめす（難解なんかいであれば、#体積たいせきの算出さんしゅつ法ほうへ読よみ進すすんでさしつかえない）。

体積たいせきは、3次元じげん空間くうかん内ないの部分ぶぶん集合しゅうごう（すなわち三さん次元じげんの図形ずけい）に対たいして規定きていすることができる。この三さん次元じげん図形ずけいは、定義ていぎ関数かんすうによって指定してい（空間くうかん上じょうの位置いちや形かたちを決定けってい）することができる。体積たいせきとは、この定義ていぎ関数かんすうを3次元じげん座標ざひょう系けいの全体ぜんたいにわたって積分せきぶんして得えられる値ねである^[3]。たとえば、ユークリッド空間くうかんで直交ちょっこう座標ざひょう系けいにおける定義ていぎ関数かんすうf(x,y,z)を使つかうと、この関数かんすうで表現ひょうげんされる三さん次元じげん図形ずけいの体積たいせきは三重みえ積分せきぶんを用もちいて次つぎのように表あらわされる。

\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y,z)dxdydz

この定義ていぎから、0次元じげんの概念がいねんである点てんや、1次元じげんの概念がいねんの線せん、2次元じげんの面めんといった次元じげんが3未満みまんの図形ずけいの「体積たいせき」については、それぞれこの積分せきぶんの値ねは0となる。

参考さんこうまでに、体積たいせきのより広ひろい概念がいねんとして測度そくどがある。

体積たいせきの公式こうしき[編集へんしゅう]

かいつまんでいえば体積たいせきとは、各かく片へんの長ながさが $a$ , $b$ , $c$ の直方体ちょくほうたいに対たいして、積せき $abc$ を計算けいさんしたものである。これはもちろん上記じょうきの定義ていぎに則のっとった結果けっかである。基本きほん的てきな三さん次元じげん図形ずけいに対たいしては、上記じょうきの定義ていぎは簡単かんたんな計算けいさん式しきで表現ひょうげんすることができる。以下いかにそれらの体積たいせきの計算けいさん法ほう（公式こうしき）をいくつか示しめす。なお、式しき中ちゅうの $π ぱい$ は円周えんしゅう率りつ (3.14…)である。


図形ずけい	公式こうしき	注ちゅう
立方体りっぽうたい	$s$ ³	$s$ は一いち辺へんの長ながさ
直方体ちょくほうたい	$lwh$	$l$ , $w$ , $h$ はそれぞれ奥行おくゆき、幅はば、高たかさである^[4]
円柱えんちゅう	$π ぱい$ $r$ ² $h$	$r$ は上下じょうげの円えんの半径はんけい、 $h$ は高たかさである
球たま	4/3 $π ぱい$ $r$ ³	$r$ は球っきゅうの半径はんけいである
円錐えんすい	1/3 $π ぱい$ $r$ ² $h$	$r$ は底面ていめんの円えんの半径はんけい、 $h$ は高たかさである
角柱かくちゅう	$Ah$	$A$ は底そこ面積めんせき、 $h$ は高たかさである
平行へいこう六面体ろくめんたい	\| $A$ · ( $B$ × $C$ )\|	$A$ , $B$ , $C$ は平行へいこう六面体ろくめんたいを張はる独立どくりつな3次元じげんベクトルである^[5]
任意にんいの図形ずけい	∫ $A$ ( $h$ ) $dh$	$h$ 軸じくに沿そって、関数かんすう $A$ ( $h$ )で示しめされる断だん面積めんせきをもつ図形ずけいである^[6]。ここで、 $h$ は高たかさ方向ほうこうの変数へんすうである。

体積たいせきの単位たんい[編集へんしゅう]

体積たいせきは、物理ぶつり量りょうとしては「長ながさの3乗じょう」の次元じげんを有ゆうしている。体積たいせきを計算けいさんする際さいに、長ながさの単位たんいで表現ひょうげんされる数値すうちを（公式こうしきなどで）計算けいさんするが、その長ながさの単位たんいの3乗じょうが一般いっぱんに体積たいせきの単位たんいとなる。たとえば、mmであればmm³、kmであればkm³である^[7]。

国際こくさい単位たんい系けいでは、体積たいせきの単位たんいは立方りっぽうメートル (m³)を使用しようする^[8]。この単位たんいは漢字かんじで表記ひょうきして立米りゅうべい（りゅうべい）と呼よばれることもある。また、立方りっぽうセンチメートル (cm³; cc^[9]やmLと同義どうぎ)や、リットル (1,000 cm³ = L)も体積たいせきの単位たんいとして実用じつよう上じょうよく用もちいられている。

尺貫法しゃっかんほうにおける体積たいせきの単位たんいは、石いし・斗と・升ます・合ごう・才ざいなどがある。

体積たいせきの計測けいそく[編集へんしゅう]

化学かがく分析ぶんせきでは体積たいせき計けいが用もちいられる。特とくにガラス製せいのメスフラスコついては国際こくさい標準ひょうじゅん化か機構きこう (ISO)にて詳細しょうさいな構造こうぞうや使用しよう方法ほうほうなどの規格きかくが定さだめられている^[10]。

体積たいせきの計測けいそくにはメスフラスコ（全量ぜんりょうフラスコ）のほか、ホールピペット（全量ぜんりょうピペット）やメスピペット、ビュレット、メスシリンダーがある^[10]。メスフラスコのように、容器ようきの全量ぜんりょうの目盛めもりまで液体えきたいを入いれたときに目盛めもり等とうの表記ひょうき値ちが体積たいせきを表あらわす受用じゅようの器具きぐ（英えい: To Contain (TC)、独どく: Einguss (E)で表記ひょうき）、および、ピペットやビュレットのように、固有こゆうの排出はいしゅつ時間じかん内ないに排出はいしゅつ先さき端はしより出でた液えきの量りょうを体積たいせきとして表あらわす出で用ようの器具きぐ（同おなじくTo Deliver (TD)やAusguss (A)の表記ひょうき）に、これらは分類ぶんるいされる^[10]。

体積たいせきと容積ようせき[編集へんしゅう]

容積ようせき（ようせき）あるいは容量ようりょう（ようりょう）は、ある容器ようきの収納しゅうのう容量ようりょうを考かんがえたとき、その中なかに入はいり得える物体ぶったい・物質ぶっしつの体積たいせきのことを指さす。物理ぶつり量りょうとしては、容積ようせきは体積たいせきと同おなじように算出さんしゅつ可能かのうであり^[11]、容積ようせきの単位たんいは一般いっぱんに体積たいせきと同おなじものを使用しようする。日本にっぽんでは、計量けいりょう単位たんいを定さだめている計量けいりょう法ほう体系たいけいにおいて、「容積ようせき」の語かたりが用もちいられることはなく、すべて「体積たいせき」あるいは「内容ないよう体積たいせき」と表記ひょうきされている^{[注釈ちゅうしゃく 1]}^{[注釈ちゅうしゃく 2]}。食品しょくひん表示ひょうじ基準きじゅんにおいても、食品しょくひんの内容ないよう量りょうの表示ひょうじ規制きせいとして、「容積ようせき」ではなく「体積たいせき」あるいは「内容ないよう体積たいせき」が用もちいられている^{[注釈ちゅうしゃく 3]}。

脚注きゃくちゅう[編集へんしゅう]

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

注釈ちゅうしゃく[編集へんしゅう]

^ 計量けいりょう法ほう^[12]第だい2条じょう第だい1項こう第だい1号ごうの列挙れっきょの単位たんい、別表べっぴょう第だい1 体積たいせきの項こう。
^ 計量けいりょう単位たんい令れい^[13]別表べっぴょう第だい1 第だい11号ごう「体積たいせき」、別表べっぴょう第だい3 第だい5号ごう「濃度のうど」体積たいせき百ひゃく分ふん率りつなど。
^ 食品しょくひん表示ひょうじ基準きじゅん^[14]第だい3条じょう（横断おうだん的てき義務ぎむ表示ひょうじ）、内容ないよう量りょう又または固形こけい量りょう及および内容ないよう総量そうりょう 1において、「内容ないよう重量じゅうりょう、内容ないよう体積たいせき又または内容ないよう数量すうりょうを表示ひょうじすることとし、内容ないよう体積たいせきはミリリットル又るまたはリットル…」としている。

出典しゅってん[編集へんしゅう]

^ “体積たいせき｜算数さんすう用語ようご集しゅう”. www.shinko-keirin.co.jp. 2023年ねん10月がつ20日はつか閲覧えつらん。
^ ブリタニカ国際こくさい大だい百科ひゃっか事典じてん小しょう項目こうもく事典じてん: 体積たいせき.
^ 世界せかい大だい百科ひゃっか事典じてん第だい2版はん: 体積たいせき
^ 上記じょうき本文ほんぶんと文字もじは異ことなるが、同おなじ意味いみである。つまるところ、何なにを文字もじに使つかっても直方体ちょくほうたいの体積たいせきの公式こうしきは変かわらない。
^ 式しき中ちゅうの演算えんざん子こはそれぞれ、"·" はドット積せき、"×" はクロス積せきを表あらわす。"|x|"はxの絶対ぜったい値ちを表あらわす。
^ この公式こうしきは、#定義ていぎからも分わかるように、三重みえ積分せきぶんのうち二に重じゅう積分せきぶんのみを先さきに計算けいさんしてしまった形かたちの特別とくべつな場合ばあい（二に重じゅう積分せきぶんの結果けっかが $A$ ( $h$ )）である。
^ ここで単位たんいの先頭せんとうにSI接頭せっとう語ご（いわゆる補助ほじょ単位たんい）が付ついているが、いずれもm³（立方りっぽうメートル）にSI接頭せっとう語ごを付つけたものではない。順序じゅんじょとしては、SI接頭せっとう語ごを付つけた単位たんい(mmやkm)をまず準備じゅんびし、それらをそれぞれ3乗じょうしている。
^ なお、SI基本きほん単位たんいとしての長ながさの単位たんいはメートル (m)である。
^ ccは元来がんらい"cubic centimetre"の略称りゃくしょうであり、これは"cm³"の英語えいごでの読よみそのものである。その略号りゃくごうのccが単位たんいとして定着ていちゃくしている。
^ ^a ^b ^c 穂坂ほさか光司こうじ「ガラス体積たいせき計けいの基礎きそ知識ちしき」クライミング、2020年ねん4月がつ15日にち閲覧えつらん
^ 容積ようせきの計算けいさんでは、収納しゅうのう・収蔵しゅうぞうできる空間くうかん領域りょういきの大おおきさで計算けいさんを行おこなう。
^ “計量けいりょう法ほう”. e-Gov法令ほうれい検索けんさく. 総務そうむ省しょう行政ぎょうせい管理かんり局きょく. 2014年ねん7月がつ4日にち閲覧えつらん。
^ “計量けいりょう単位たんい令れい”. e-Gov法令ほうれい検索けんさく. 総務そうむ省しょう行政ぎょうせい管理かんり局きょく. 2014年ねん7月がつ4日にち閲覧えつらん。
^ “食品しょくひん表示ひょうじ基準きじゅん”. e-Gov法令ほうれい検索けんさく. 総務そうむ省しょう行政ぎょうせい管理かんり局きょく. 2016年ねん4月がつ17日にち閲覧えつらん。