空間 くうかん ベクトル (くうかんベクトル、ドイツ語 ご : Vektor , 英語 えいご : vector , ラテン語 らてんご : vector , 「運搬 うんぱん 者 しゃ 、運 はこ ぶもの」より)は、大 おお きさと向 む きを持 も った量 りょう である。ベクタ 、ベクター ともいう。漢字 かんじ では有向 ゆうこう 量 りょう と表記 ひょうき される。ベクトルで表 あらわ される量 りょう をベクトル量 りょう と呼 よ ぶ。
例 たと えば、速度 そくど や加速度 かそくど 、力 ちから はベクトルである。平面 へいめん 上 じょう や空間 くうかん 内 ない の矢印 やじるし (有向 ゆうこう 線分 せんぶん )として幾何 きか 学 がく 的 てき にイメージされる。ベクトルという用語 ようご はハミルトン によってスカラー などの用語 ようご とともに導入 どうにゅう された。スカラーはベクトルとは対比 たいひ の意味 いみ を持 も つ。
この記事 きじ では、ユークリッド空間 くうかん 内 うち の幾何 きか ベクトル、とくに3次元 じげん のものについて扱 あつか い、部分 ぶぶん 的 てき に一般 いっぱん 化 か ・抽象 ちゅうしょう 化 か された場合 ばあい について言及 げんきゅう する。本 ほん 項目 こうもく で特 とく に断 ことわ り無 な く空間 くうかん と呼 よ ぶときは、3次元 じげん 実 じつ ユークリッド空間 くうかん のことを指 さ す。
点 てん S を始点 してん とし、点 てん T を終点 しゅうてん とする有向 ゆうこう 線分 せんぶん
空間 くうかん 内 ない に二 ふた つの点 てん S と T をとり、S から T へ向 む かう線分 せんぶん を有向 ゆうこう 線分 せんぶん と呼 よ ぶ。S を始点 してん (してん、initial point, source , しっぽ)、T を終点 しゅうてん (しゅうてん、terminal point, target , あたま)と呼 よ び、向 む きの区別 くべつ のために終点 しゅうてん T の側 がわ の端 はし に山 やま を書 か いて線分 せんぶん を矢印 やじるし にする。
互 たが いに同 おな じ向 む きに平行 へいこう な長 なが さの等 ひと しい有向 ゆうこう 線分 せんぶん に対応 たいおう するベクトルは互 たが いに等 ひと しい
ある点 てん S に向 む きと大 おお きさを持 も った量 りょう v が作用 さよう しているとき、v の作用 さよう と同 おな じ向 む きで、長 なが さが v の作用 さよう の大 おお きさに比例 ひれい するように有向 ゆうこう 線分 せんぶん
S
T
→
{\displaystyle {\overrightarrow {ST}}}
をとって v を
v
=
S
T
→
{\displaystyle \mathbf {v} ={\overrightarrow {ST}}}
と表現 ひょうげん する。
別 べつ の点 てん S ′ に同 おな じように v の作用 さよう の向 む き、大 おお きさにあわせて有向 ゆうこう 線分 せんぶん
S
′
T
′
→
{\displaystyle {\overrightarrow {S'T'}}}
をつくるとこれらは互 たが いに平行 へいこう
(
S
T
→
∥
S
′
T
′
→
)
{\displaystyle ({\overrightarrow {ST}}\parallel {\overrightarrow {S'T'}})}
になるが、これも元 もと の量 りょう v を表 あらわ すものとして
v
=
S
′
T
′
→
{\displaystyle \mathbf {v} ={\overrightarrow {S'T'}}}
と記 しる し、同 おな じものとみなすというのが向 む きと大 おお きさを持 も った量 りょう というベクトル の概念 がいねん の幾何 きか 学 がく 的 てき な表現 ひょうげん (幾何 きか 学 がく 的 てき ベクトル )である。
ベクトルのスカラー倍 ばい
あるベクトル a と同 おな じ方向 ほうこう で大 おお きさの比率 ひりつ (スカラー )が k であるようなベクトルを k a と表 あらわ す。また、a と同 おな じ大 おお きさで逆 ぎゃく の向 む きを持 も つベクトルは −a と表 あらわ す。同様 どうよう に、a と逆 ぎゃく の向 む きを持 も ち大 おお きさの比率 ひりつ が k であるようなベクトルは −k a と記 しる す。これをベクトル a のスカラー k 倍 ばい あるいは単 たん にスカラー倍 ばい (スカラー乗法 じょうほう )と呼 よ ぶ。
ベクトルの和 わ
二 ふた つのベクトル a , b の和 わ a + b を、それらの始点 してん を合 あ わせたときにできる平行四辺形 へいこうしへんけい の(始点 してん を共有 きょうゆう する)対角線 たいかくせん に対応 たいおう するベクトルと定 さだ める(三 みっ つ以上 いじょう のベクトルの和 わ も、二 ふた つの和 わ をとる演算 えんざん から帰納的 きのうてき に定 さだ める)。a , b がどんなものであっても a + b = b + a が成 な り立 た っていることに注意 ちゅうい されたい。
また逆 ぎゃく に、あるベクトルを二 ふた つ(以上 いじょう )の異 こと なるベクトルの和 わ に分解 ぶんかい することができる。特 とく にxyz -空間 くうかん の各 かく 軸 じく の方向 ほうこう で長 なが さ 1 の有向 ゆうこう 線分 せんぶん に対応 たいおう するベクトル(基本 きほん ベクトル 、単位 たんい ベクトル )を x , y , z の各 かく 軸 じく でそれぞれ i , j , k と置 お くと、任意 にんい のベクトル v は
v
=
v
x
i
+
v
y
j
+
v
z
k
{\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} }
の形 かたち に表 あらわ せる。
ここで、ピタゴラスの定理 ていり を用 もち いると、ベクトル v の大 おお きさ ||v || は
‖
v
‖
=
v
x
2
+
v
y
2
+
v
z
2
{\displaystyle \lVert \mathbf {v} \rVert ={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}
によって求 もと まる。
ベクトルの始点 してん を xyz -座標 ざひょう 系 けい の原点 げんてん に合 あ わせると、任意 にんい のベクトルはその終点 しゅうてん の座標 ざひょう によって一意的 いちいてき に表 あらわ すことができる。
v
:=
v
x
i
+
v
y
j
+
v
z
k
↔
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
=:
P
(
v
)
.
{\displaystyle \mathbf {v} :=v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} \leftrightarrow (v_{x},v_{y},v_{z})=:P(\mathbf {v} ).}
このとき、空間 くうかん 内 ない の点 てん Q に対 たい して Q = P (v ) となるベクトル v を点 てん Q の位置 いち ベクトル と呼 よ ぶ。
いわゆる矢印 やじるし ベクトルは物理 ぶつり 学 がく の教育 きょういく では力学 りきがく の初歩 しょほ から導入 どうにゅう されるため、ベクトルも古典 こてん 力学 りきがく と同時 どうじ に発生 はっせい したと思 おも われるかもしれないが、実 じつ はもっと後 ご の19世紀 せいき になって現 あらわ れたものである。今 いま でこそベクトルや行列 ぎょうれつ などを使 つか って、物理 ぶつり 学 がく や幾何 きか の問題 もんだい を解 と くといったことは常識 じょうしき であるが、ベクトルが誕生 たんじょう する以前 いぜん の数学 すうがく や物理 ぶつり 学 がく では初等 しょとう 幾何 きか 学 がく 、解析 かいせき 幾何 きか 学 がく や四 よん 元 げん 数 すう などを利用 りよう していた。今日 きょう 我々 われわれ が知 し っているベクトルの概念 がいねん は、およそ200年 ねん もの時間 じかん を掛 か けて徐々 じょじょ に形成 けいせい されてきたものである。そこでは何 なん 十 じゅう 人 にん もの人々 ひとびと が重要 じゅうよう な役割 やくわり を果 は たしてきた[1] 。ベクトルの先祖 せんぞ は四 よん 元 げん 数 すう であり、ハミルトンが1843年 ねん に複素数 ふくそすう の一般 いっぱん 化 か によって考案 こうあん したものである。ハミルトンは最初 さいしょ に、二 に 次元 じげん における複素数 ふくそすう と複素 ふくそ 平面 へいめん のような関係 かんけい を満 み たすような数 かず を三 さん 次元 じげん 空間 くうかん にも見 み いだそうとしたが失敗 しっぱい し、なぜか三 みっ つの数 かず の組 くみ では二 に 次元 じげん の場合 ばあい の複素数 ふくそすう と複素 ふくそ 平面 へいめん のように三 さん 次元 じげん 空間 くうかん を記述 きじゅつ できないことが判明 はんめい した。
研究 けんきゅう の結果 けっか 、最終 さいしゅう 的 てき に四 よん 次元 じげん の四 よん 元 げん 数 すう へとたどり着 つ くこととなった。三 さん 次元 じげん 空間 くうかん を記述 きじゅつ するのに、数 かず が三 さん 組 くみ では記述 きじゅつ が不可能 ふかのう でなぜか四 よん 組 くみ 必要 ひつよう だったのである。二 に 次元 じげん では、二 に 組 くみ の数 かず である複素数 ふくそすう を用 もち いることによって、複素 ふくそ 平面 へいめん を二 に 次元 じげん ユークリッド平面 へいめん と同等 どうとう とみなすとベクトルに似 に た概念 がいねん が記述 きじゅつ できるというのに、三 さん 次元 じげん 空間 くうかん を記述 きじゅつ するのに四 よん 次元 じげん の数 かず が必要 ひつよう だったのである。ハミルトンは1846年 ねん に四 よん 元 げん 数 すう の複素数 ふくそすう における実 み 部 ぶ と虚 きょ 部 ぶ に相当 そうとう するものとしてスカラーとベクトルという用語 ようご を導入 どうにゅう した:
代数 だいすう 的 てき な虚 きょ 部 ぶ (ベクトル)は、幾何 きか 的 てき には直線 ちょくせん または半径 はんけい ベクトルであり、それらは一般 いっぱん 的 てき には、各々 おのおの の四 よん 元 げん 数 すう によって決定 けってい され、空間 くうかん における向 む きと長 なが さが定 さだ まり、それを虚 きょ 部 ぶ または単 たん に四 よん 元 げん 数 すう のベクトルと呼 よ ぶ[2] 。
ベラヴィティス (英語 えいご 版 ばん ) 、コーシー、グラスマン、メビウス、セイントベナント (英語 えいご 版 ばん ) 、マシュー・オブライエン (英語 えいご 版 ばん ) といったハミルトン以外 いがい の何人 なんにん かの数学 すうがく 者 しゃ たちは同 どう 時期 じき にベクトルに似 に た概念 がいねん を開発 かいはつ した。グラスマンの1840年 ねん の論文 ろんぶん 「減衰 げんすい と流 なが れの理論 りろん 」は空間 くうかん 解析 かいせき の最初 さいしょ の体系 たいけい であって、今日 きょう の体系 たいけい と類似 るいじ したものであり、今日 きょう の外積 がいせき 、内積 ないせき 、ベクトルの微分 びぶん に相当 そうとう する概念 がいねん が含 ふく まれていた。グラスマンの業績 ぎょうせき は1870年代 ねんだい まで不当 ふとう に無視 むし され続 つづ けていた[1] 。
ピーター・テイト はハミルトンの後 のち に四 よん 元 げん 数 すう の基礎 きそ を確立 かくりつ した。テイトの1867年 ねん の「四 よん 元 げん 数 すう の初等 しょとう 的 てき 理論 りろん 」には今日 きょう の∇(ナブラ)演算 えんざん 子 こ に相当 そうとう する概念 がいねん が含 ふく まれていた。
ウィリアム・クリフォード (英語 えいご 版 ばん ) は1878年 ねん に力学 りきがく 原論 げんろん (英語 えいご 版 ばん ) を出版 しゅっぱん した。ここでクリフォードは完備 かんび 四 よん 元 げん 数 すう 積 せき から今日 きょう の二 ふた つのベクトルの外積 がいせき 、内積 ないせき に相当 そうとう する概念 がいねん を抽出 ちゅうしゅつ した。このアプローチは四 よん 次元 じげん の実在 じつざい に疑念 ぎねん を抱 だ いている技術 ぎじゅつ 者 しゃ などの人々 ひとびと にベクトル解析 かいせき を通 つう じて三 さん 次元 じげん 空間 くうかん の解析 かいせき を行 おこな う手段 しゅだん を提供 ていきょう したといえる。
アメリカの物理 ぶつり 学者 がくしゃ ギブス は、現代 げんだい 的 てき なベクトル解析 かいせき を用 もち いたものに四 よん 元 げん 数 すう ベースで書 か かれていたマクスウェル の電磁気 でんじき 学 がく の著書 ちょしょ 、「Treatise on Electricity and Magnetism」を書 か き直 なお した。電磁気 でんじき 学 がく の数理 すうり はベクトルが登場 とうじょう するまでは四 よん 元 げん 数 すう が用 もち いられており、ニュートン力学 りきがく が初等 しょとう 幾何 きか 学 がく ベースで後世 こうせい の科学 かがく 者 しゃ らに現代 げんだい 風 ふう の解析 かいせき 学 がく を用 もち いる数理 すうり に書 か き換 か えられたのと同様 どうよう 、マクスウェルのオリジナルのものは四 よん 元 げん 数 すう ベースであり今日 きょう 教 おし えられているベクトルベースの電磁気 でんじき 学 がく もまた後世 こうせい の科学 かがく 者 しゃ らによって書 か き換 か えられたものである。ギブスは自身 じしん のイェール大学 だいがく での講義 こうぎ を元 もと にベクトル解析 かいせき の専門 せんもん 書 しょ 「Elements of Vector Analysis」の最初 さいしょ の分冊 ぶんさつ を1881年 ねん に出版 しゅっぱん したが、ここでは今日 きょう 用 もち いられているベクトル解析 かいせき の基本 きほん 概念 がいねん が概 おおむ ね確立 かくりつ されているといえる[1] 。この講義 こうぎ 録 ろく は英国 えいこく のヘヴィサイド にも送 おく られ評価 ひょうか された。教 おし え子 ご のエドウィン・ウィルソン (英語 えいご 版 ばん ) が1901年 ねん に出版 しゅっぱん した「Vector Analysis」はギブスの講義 こうぎ を元 もと に書 か かれており、四元 よつもと 数 すう の名残 なごり を完全 かんぜん に抹消 まっしょう し今日 きょう のベクトル解析 かいせき の基礎 きそ を確立 かくりつ した最初 さいしょ の著作 ちょさく であるといえる。
これ以降 いこう 、理工 りこう 学 がく ではベクトルの概念 がいねん が盛 さか んに用 もち いられるようになり、四元 よつもと 数 すう は一旦 いったん 廃 すた れたものの、20世紀 せいき 後半 こうはん 以降 いこう コンピュータの発達 はったつ により三 さん 次元 じげん 空間 くうかん のプログラミングに四 よん 元 げん 数 すう が一部 いちぶ で再 ふたた び用 もち いられている。
更 さら に20世紀 せいき に入 はい ると線型 せんけい 代数 だいすう 学 がく の発達 はったつ によりベクトルの概念 がいねん も抽象 ちゅうしょう 化 か し、向 む きを持 も った直線 ちょくせん の矢印 やじるし で表 あらわ せる具体 ぐたい 的 てき な幾何 きか ベクトルのみならず線型 せんけい 空間 くうかん と関連 かんれん した抽象 ちゅうしょう 的 てき 存在 そんざい としても認識 にんしき されるようになっていく。20世紀 せいき 後半 こうはん になると線型 せんけい 代数 だいすう は教育 きょういく にも取 と り入 い れられるようになり、昔 むかし ながらの初等 しょとう 幾何 きか 学 がく や解析 かいせき 幾何 きか 学 がく よりもベクトルや線型 せんけい 代数 だいすう を用 もち いて幾何 きか 学 がく や物理 ぶつり 学 がく の問題 もんだい が教育 きょういく されるようになった。日本 にっぽん の大学 だいがく でも戦後 せんご から1970年代 ねんだい ぐらいまでの間 あいだ に理系 りけい の学生 がくせい の必修 ひっしゅう 科目 かもく としての「解析 かいせき 幾何 きか 学 がく 」や「代数 だいすう ・幾何 きか 」が「行列 ぎょうれつ と行列 ぎょうれつ 式 しき 」、「線型 せんけい 代数 だいすう 」といった科目 かもく に取 と って代 か わられていった。現代 げんだい ではこれらは歴史 れきし はほとんど教 おし えられずに適度 てきど に取捨選択 しゅしゃせんたく しつつ複 ふく 合 あい 的 てき に教育 きょういく されているが、歴史 れきし 的 てき には概 おおむ ね初等 しょとう 幾何 きか 学 がく 、解析 かいせき 幾何 きか 学 がく 、ベクトル解析 かいせき 、線型 せんけい 代数 だいすう の順番 じゅんばん に発達 はったつ してきたものである。これに伴 ともな って解析 かいせき 学 がく や物理 ぶつり 数学 すうがく の教育 きょういく も変遷 へんせん し、20世紀 せいき 前半 ぜんはん 以前 いぜん のものは解析 かいせき 幾何 きか 学 がく などの幾何 きか 色 しょく が強 つよ いが、20世紀 せいき 後半 こうはん のものはベクトルや線型 せんけい 代数 だいすう を取 と り入 い れた抽象 ちゅうしょう 的 てき なものが主流 しゅりゅう となっていった。
^ a b c Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis ; see also his lecture notes on the subject.
^ W. R. Hamilton (1846) London, Edinburgh & Dublin Philosophical Magazine 3rd series 29 27