直積ちょくせき (ベクトル)

線型せんけい代数だいすう学がくにおける直積ちょくせき（ちょくせき、英えい: direct product）あるいは外積がいせき（がいせき、英えい: outer product）は典型てんけい的てきには二ふたつのベクトルのテンソル積せきを言いう。座標ざひょうベクトルの外積がいせきをとった結果けっかは行列ぎょうれつになる。外積がいせきの名称めいしょうは内積ないせきに対照たいしょうするもので、内積ないせきはベクトルの対たいをスカラーにする。外積がいせきは、クロス積せきの意味いみで使つかわれることもあるため、どちらの意味いみで使つかわれているか注意ちゅういが必要ひつようである。

${\boldsymbol {u}}\otimes {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}{\boldsymbol {v}}^{\top }={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{pmatrix}}.$

ベクトル同士どうしの外積がいせきは行列ぎょうれつのクロネッカー積せきの特別とくべつな場合ばあいである。

「テンソルの外積がいせき」を「テンソル積せき」の同義語どうぎごとして用もちいる文献ぶんけんもある。外積がいせきは R, APL, Mathematica などいくつかの計算けいさん機きプログラム言語げんごでは高階たかしな函数かんすうでもある。

定義ていぎ

行列ぎょうれつ表現ひょうげん

詳細しょうさいは「行列ぎょうれつの乗法じょうほう」を参照さんしょう

ふたつのベクトル u, v の外積がいせき u ⊗ v は、u を m × 1 列れつベクトル、v を n × 1 列れつベクトル（従したがって v^⊤ は行こうベクトル）としたときの行列ぎょうれつの積せき uv^⊤ に等価とうかである。成分せいぶんを用もちいて

${\boldsymbol {u}}=(u_{1},u_{2},\dotsc ,u_{m}),\quad {\boldsymbol {v}}=(v_{1},v_{2},\dotsc ,v_{n})$

と書かけば、外積がいせき u ⊗ v は m × n 行列ぎょうれつ A で各かく成分せいぶんは u の各かく成分せいぶんと v の各かく成分せいぶんの積せきであたえられ、

${\boldsymbol {u}}\otimes {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{pmatrix}}.$

と表あらわされる。

複素ふくそベクトルの場合ばあいには、これを少すこし変かえて、v の転置てんちの代かわりに共軛きょうやく転置てんち v^∗ を用もちい、

${\boldsymbol {u}}\otimes {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}{\boldsymbol {v}}^{*}$

とする。つまり得えられる行列ぎょうれつ A は u の各かく成分せいぶんと v の各かく成分せいぶんの複素ふくそ共軛きょうやくとの積せきを成分せいぶんとするものになる。

内積ないせきとの対比たいひ

m = n のときは別べつな仕方しかたで行列ぎょうれつの積せきを施ほどこしてスカラー（1 × 1 行列ぎょうれつ）が得えられる。つまり、数かずベクトル空間くうかんの標準ひょうじゅん内積ないせき（点てん乗じょう積せき）⟨u, v⟩ = u^⊤v である。内積ないせきは外積がいせきのトレースに等ひとしい。

行列ぎょうれつとしての階数かいすう

u, v がともに非ひ零れいならば、外積がいせき uv^⊤ の行列ぎょうれつとしての階数かいすうは常つねに 1 である。このことを見みるにはベクトル x に掛かけて (uv^⊤)x = u(v^⊤x) とすればよい。これはベクトル u のスカラー v^⊤x-倍ばいに他たならない。

（"行列ぎょうれつの階数かいすう" をテンソルの階数かいすう ("order" / "degree") と混同こんどうしてはならない）。

テンソルの外積がいせき

テンソルに対たいする外積がいせきはふつうテンソル積せきと呼よばれる。テンソル a は階数かいすう q で各かく次元じげん (i₁, …, i_q), b は階数かいすう r で各かく次元じげんが (j₁, …, j_r) とすれば、これらの外積がいせき c は階数かいすう q + r で各かく次元じげん (k₁, …, k_q+r) は先さきに i の次元じげんを並ならべた後のちに j の次元じげんを並ならべたものになる。これを ⊗ を用もちいた座標ざひょうに依存いぞんしない表記ひょうきで書かき、その成分せいぶんを添字そえじ表記ひょうきで書かけば

${\boldsymbol {c}}={\boldsymbol {a}}\otimes {\boldsymbol {b}},\quad c_{ij}=a_{i}b_{j}$

となる。高階たかしなテンソルの場合ばあいも同様どうようで、例たとえば

${\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {a}}\otimes {\boldsymbol {b}}\otimes {\boldsymbol {c}},\quad T_{ijk}=a_{i}b_{j}c_{k}$

などと書かける。

例たとえば A が三さん階かいで各かく次元じげんが (3, 5, 7), B が二に階かいで各かく次元じげんが (10, 100) ならば、それらの外積がいせき C は五ご階かいで各かく次元じげんは (3, 5, 7, 10, 100) となる。また例たとえば A の成分せいぶん a_2,2,4 = 11 および B の成分せいぶん b_8,88 = 13 に対応たいおうする外積がいせき C の成分せいぶんとして c_2,2,4,8,88 = 11*13 = 143 が決きまる。

外積がいせきの行列ぎょうれつとしての定義ていぎをテンソル積せきの言葉ことばで理解りかいするには:

1. ベクトル v は一いち階かいの M-次元じげんテンソルとして解釈かいしゃくできる。同様どうように u が一いち階かいの N-次元じげんテンソルである。これらのテンソル積せきの結果けっかは二に階かいの (M, N)-テンソルになる。
2. q-階かいおよび r-階かいの二ふたつのテンソルの内積ないせきの結果けっかは、階数かいすうが q + r − 2 または 0 の大おおきい方ほうになる。二ふたつの行列ぎょうれつの内積ないせきは二ふたつのベクトルの外積がいせき（テンソル積せき）と階数かいすうが一致いっちする。
3. テンソルの構造こうぞうを変かえることなくテンソルの先頭せんとうまたは末尾まつびにひとつずついくらでも次元じげんを追加ついかすることができる。これら追加ついかされた次元じげんによってテンソルに対たいする演算えんざんの型かたも変かわるため、得えられる式しきの間あいだの同値どうち性せいは明示めいじ的てきに述のべる必要ひつようがある。
4. ふたつの行列ぎょうれつ V は次元じげん (d, e), U は次元じげん (e, f) とするとこれらの内積ないせきは

   $\sum _{j=1}^{e}V_{ij}U_{jk}\quad \left({i=1,2,\ldots ,d \atop k=1,2,\ldots ,f}\right)$

   である。e = 1 の場合ばあいにはこの和わは自明じめいである（一ひとつの項こうしかない）。
5. 次元じげん (m, n)の行列ぎょうれつ V と次元じげん (p, q) の行列ぎょうれつ U の外積がいせきは

   $C_{st}=V_{ij}U_{hk},\quad \left({s=1,2,\ldots ,mp-1,mp \atop t=1,2,\ldots ,nq-1,nq}\right)$

抽象ちゅうしょう的てきな定義ていぎ

ベクトル空間くうかん V, W と W^∗ は W の双対そうつい空間くうかんとする。 ベクトル x ∈ V および y^∗ ∈ W^∗ に対たいしてテンソル積せき y^∗ ⊗ x は

$w\mapsto y^{*}(w)x$

で与あたえられる写像しゃぞう A: W → V に対応たいおうする。ここで y^∗(w) は線型せんけい汎ひろし函数かんすう y^∗（これは W の双対そうつい空間くうかんの元もと）をベクトル w ∈ W において評価ひょうかした値ねである。これはスカラーであり、これを最終さいしゅう的てきに V の元もとである x に掛かけたものがテンソル積せきの値ねである。

ベクトル空間くうかん V, W が有限ゆうげん次元じげんならば、W から V への線型せんけい変換へんかん全体ぜんたいの成なす空間くうかん Hom(W, V) は外積がいせきで生成せいせいされる。実じつは行列ぎょうれつの階数かいすうは、外積がいせきを和わとして表あらわすために必要ひつような項こうの最小さいしょう数すう（行列ぎょうれつのテンソル階数かいすう）に一致いっちする。今いまの場合ばあい、Hom(W, V) は W^∗ ⊗ V に線型せんけい同型どうけいである。

双対そうつい性せい内積ないせきとの対比たいひ

W = V のとき、余よベクトル w^∗ ∈ V^∗ とベクトル v ∈ V とを写像しゃぞう (w^∗, v) ↦ w^∗(v) を通とおして対たいにすることができる。これは V とその双対そうつい空間くうかんとの間あいだに定さだまる双対そうつい性せいを表あらわす内積ないせきである。

応用おうよう

外積がいせきは物理ぶつり量りょう（例たとえば慣性かんせいテンソルなど）の計算けいさんや、デジタル信号しんごう処理しょりやデジタル画像がぞう処理しょりにおける変形へんけい操作そうさを行おこなうのに有用ゆうようである。また統計とうけい的てき解析かいせきにおいても、二ふたつの確かく率りつ変数へんすうの共きょう分散ぶんさんおよび自己じこ共ども分散ぶんさん行列ぎょうれつの計算けいさんに有用ゆうようである。

関連かんれん項目こうもく

• 線型せんけい代数だいすう学がく
• ノルム
• スカッター行列ぎょうれつ
• リッチ計算けいさん法ほう

乗法じょうほう

• 交叉こうさ積せき
• 外積がいせき
• デカルト積つもる

双対そうつい性せい

• 複素ふくそ共軛きょうやく
• 随伴ずいはん行列ぎょうれつ
• 転置てんち行列ぎょうれつ
• ベクトルの直積ちょくせきのブラケット記法きほう