3次元 じげん a b 積 せき a × b 積 せき a b 平行四辺形 へいこうしへんけい 面積 めんせき 等 ひと 大 おお 持 も 平行四辺形 へいこうしへんけい 垂直 すいちょく クロス積 せき （ クロスせき 、（ 英 えい cross product ）は、3次元 じげん 空間 くうかん 次元 じげん 有向 ゆうこう 内積 ないせき 空間 くうかん 定義 ていぎ ベクトル から新 あら 与 あた 二 に 項 こう 演算 えんざん
2つのベクトル a , b のクロス積 せき 乗算 じょうざん 記号 きごう 用 もち a × b 角 かく 括弧 かっこ 用 もち [a , b ] と表 あらわ
「クロス積 せき 呼称 こしょう 積 せき 記号 きごう 十字 じゅうじ × ）を用 もち 由来 ゆらい 同様 どうよう 内積 ないせき 点 てん ⋅ ）を用 もち ドット積 せき と呼 よ 積 せき 別称 べっしょう ベクトル積 せき （ ベクトルせき 、（ 英 えい vector product ）がある。「ベクトル積 せき 積 せき a × b 由来 ゆらい 同様 どうよう 積 せき a ⋅ b 積 せき 積 せき 呼 よ
日本語 にほんご 中国 ちゅうごく 語 ご 積 せき 叉 また 積 せき 叉 また 外積 がいせき 外積 がいせき 外 そと 呼 よ 同義語 どうぎご 扱 あつか 外積 がいせき 語 かたり 一般 いっぱん 外積 がいせき 代数 だいすう 楔 くさび 積 せき 指 さ 必 かなら 積 せき 一致 いっち 楔 くさび 積 せき 積 せき 区別 くべつ 前者 ぜんしゃ 外積 がいせき 呼 よ 後者 こうしゃ 積 せき 呼 よ
outer product もまた「外積 がいせき 訳 やく 直積 ちょくせき direct product ）を意味 いみ
2つのベクトル a b 積 せき 以下 いか 表記 ひょうき
乗算 じょうざん 記号 きごう 用 もち 場合 ばあい
a
×
b
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}}
角 かく 括弧 かっこ 用 もち 場合 ばあい
[
a
,
b
]
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]}
右手 みぎて 法則 ほうそく 積 せき 向 む 右手 みぎて 系 けい 外積 がいせき 3次元 じげん 空間 くうかん 上 じょう a b 積 せき a b 以下 いか 定義 ていぎ
a
×
b
=
|
a
|
|
b
|
sin
(
θ しーた )
n
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}=\left|{\boldsymbol {a}}\right|\left|{\boldsymbol {b}}\right|\sin(\theta )\ {\boldsymbol {n}}}
ただし、θ しーた 角 かく 角度 かくど |⋅| はベクトルの大 おお 、n 平面 へいめん 対 たい 垂直 すいちょく 単位 たんい 表 あらわ n 右手 みぎて 系 けい 取 と
3次元 じげん 向 む 付 つ 空間 くうかん 積 せき 任意 にんい v 対 たい ドット積 せき との間 あいだ
v
⋅
(
a
×
b
)
=
det
⟨
v
,
a
,
b
⟩
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})=\det \langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\rangle }
の関係 かんけい 満 み 二 に 項 こう 演算 えんざん 標準 ひょうじゅん 的 てき 基底 きてい 列 れつ 同一 どういつ 視 し 得 え 次 じ 正方 まさかた 行列 ぎょうれつ 行列 ぎょうれつ 式 しき 表 あらわ
幾何 きか 的 てき 演算 えんざん 定義 ていぎ
行列 ぎょうれつ 式 しき 交代 こうたい 性 せい
a
⋅
(
a
×
b
)
=
b
⋅
(
a
×
b
)
=
0
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})={\boldsymbol {b}}\cdot ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})=0}
である。
従 したが a b 積 せき a b 元 もと a b 両方 りょうほう 直交 ちょっこう 換 いか 作 つく 平面 へいめん 法線 ほうせん 平行 へいこう 方向 ほうこう 向 む
ただし、法線 ほうせん 方向 ほうこう 向 む 座標軸 ざひょうじく 選 えら 方 かた 依存 いぞん 右手 みぎて 系 けい 左手 ひだりて 系 けい 分 わ 右手 みぎて 系 けい 場合 ばあい a 始点 してん 周 まわ 度 ど 以下 いか 回転 かいてん 角 かく 回 まわ b 重 かさ 右 みぎ 進 すす 方向 ほうこう 右手 みぎて 親指 おやゆび a 人差 ひとさ 指 ゆび b 中指 なかゆび 積 せき a b 向 む 表 あらわ 左手 ひだりて 系 けい 場合 ばあい b 始点 してん 周 まわ 度 ど 以下 いか 回転 かいてん 角 かく 回 まわ a 重 かさ 右 みぎ 進 すす 向 む
行列 ぎょうれつ 式 しき 積 せき 線型 せんけい 性 せい 積 つ 双 そう 線型 せんけい 性 せい 特 とく a b 積 せき a b 元 もと a b 大 おお 比例 ひれい 二 ふた a b 角 かく θ しーた 標準 ひょうじゅん 的 てき 基底 きてい 下 した
a
=
(
a
0
0
)
,
b
=
(
b
cos
θ しーた
b
sin
θ しーた
0
)
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\begin{pmatrix}a\\0\\0\\\end{pmatrix}},~{\boldsymbol {b}}={\begin{pmatrix}b\cos \theta \\b\sin \theta \\0\\\end{pmatrix}}}
と成分 せいぶん 表示 ひょうじ 積 せき
a
×
b
=
(
0
0
a
b
sin
θ しーた
)
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}={\begin{pmatrix}0\\0\\ab\sin \theta \\\end{pmatrix}}}
となる。従 したが 積 せき 大 おお
|
a
×
b
|
=
|
a
|
|
b
|
sin
θ しーた
{\displaystyle \vert {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\vert =\vert {\boldsymbol {a}}\vert \,\vert {\boldsymbol {b}}\vert \sin \theta }
であり、2つのベクトルが作 つく 平行四辺形 へいこうしへんけい 面積 めんせき 等 ひと
標準 ひょうじゅん 的 てき 基底 きてい e i e j δ でるた i,j a 成分 せいぶん ai =(e i a 列 れつ 同 どう 一 いち 視 し
a
≐
(
a
1
a
2
a
3
)
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\doteq {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{pmatrix}}}
を行 おこな a b 積 せき a b
[
a
,
b
]
1
=
(
e
1
,
[
a
,
b
]
)
=
|
1
a
1
b
1
0
a
2
b
2
0
a
3
b
3
|
=
a
2
b
3
−
a
3
b
2
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{1}=({\boldsymbol {e}}_{1},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}])={\begin{vmatrix}1&a_{1}&b_{1}\\0&a_{2}&b_{2}\\0&a_{3}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}
[
a
,
b
]
2
=
(
e
2
,
[
a
,
b
]
)
=
|
0
a
1
b
1
1
a
2
b
2
0
a
3
b
3
|
=
a
3
b
1
−
a
1
b
3
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{2}=({\boldsymbol {e}}_{2},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}])={\begin{vmatrix}0&a_{1}&b_{1}\\1&a_{2}&b_{2}\\0&a_{3}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}
[
a
,
b
]
3
=
(
e
3
,
[
a
,
b
]
)
=
|
0
a
1
b
1
0
a
2
b
2
1
a
3
b
3
|
=
a
1
b
2
−
a
2
b
1
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{3}=({\boldsymbol {e}}_{3},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}])={\begin{vmatrix}0&a_{1}&b_{1}\\0&a_{2}&b_{2}\\1&a_{3}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}
あるいは
[
a
,
b
]
≐
(
a
2
b
3
−
a
3
b
2
a
3
b
1
−
a
1
b
3
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]\doteq {\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\\\end{pmatrix}}}
となる。以上 いじょう 形式 けいしき 的 てき
[
a
,
b
]
=
|
e
1
a
1
b
1
e
2
a
2
b
2
e
3
a
3
b
3
|
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}&a_{1}&b_{1}\\{\boldsymbol {e}}_{2}&a_{2}&b_{2}\\{\boldsymbol {e}}_{3}&a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}}
と表現 ひょうげん
エディントンのイプシロン ε いぷしろん ijk 用 もち
[
a
,
b
]
i
=
∑
j
,
k
ϵ
i
j
k
a
j
b
k
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{i}=\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}}
である。
（図 ず 積 せき 大 おお 作 つく 平行四辺形 へいこうしへんけい 大 おお （図 ず 積 せき 平行 へいこう 六面体 ろくめんたい 定義 ていぎ 2つのベクトルのクロス積 せき 作 つく 平行四辺形 へいこうしへんけい 大 おお 等 ひと 図 ず
‖
a
×
b
‖
=
‖
a
‖
‖
b
‖
|
sin
θ しーた
|
{\displaystyle \left\|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\right\|=\left\|{\boldsymbol {a}}\right\|\left\|{\boldsymbol {b}}\right\|\left|\sin \theta \right|}
また、3つのベクトル a b c 平行 へいこう 六面体 ろくめんたい 定義 ていぎ 図 ず 平行 へいこう 六面体 ろくめんたい 体積 たいせき V について、
V
=
|
a
⋅
(
b
×
c
)
|
{\displaystyle V=|{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})|}
が成 な 立 た 絶対 ぜったい 値 ち 記号 きごう 付 つ 積 せき 負 まけ 場合 ばあい 考慮 こうりょ
なお、
a
⋅
(
b
×
c
)
=
b
⋅
(
c
×
a
)
=
c
⋅
(
a
×
b
)
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})={\boldsymbol {b}}\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {a}})={\boldsymbol {c}}\cdot ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})}
である。
一般 いっぱん 分配 ぶんぱい 律 りつ
a × (b + c ) = a × b + a × c 角 かく 括弧 かっこ 表記 ひょうき [a , b+c ] = [a , b ] + [a , c ] ）が成 な 立 た
一般 いっぱん 反 はん 交換 こうかん 律 りつ
a × b = − b × a 角 かく 括弧 かっこ 表記 ひょうき [b , a ] = -[a , b ] ）
が成 な 立 た 行列 ぎょうれつ 式 しき 交代 こうたい 性 せい リー代数 だいすう の反 はん 交換 こうかん 性 せい 説明 せつめい 特 とく 自分 じぶん 自身 じしん 積 せき
[
a
,
a
]
=
0
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {a}}]={\boldsymbol {0}}}
であり恒等 こうとう 的 てき 零 れい 複 ふく 零 れい 性 せい
内積 ないせき 性質 せいしつ
(
b
,
a
)
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {a}})=({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}})}
(
a
,
a
)
=
|
a
|
2
{\displaystyle ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {a}})=|{\boldsymbol {a}}|^{2}}
と異 こと 注意 ちゅうい 必要 ひつよう
行列 ぎょうれつ 式 しき 多重 たじゅう 線型 せんけい 性 せい 積 せき 双 そう 線型 せんけい 性 せい 任意 にんい a b c k 、l に対 たい
[
a
,
k
b
+
l
c
]
=
k
[
a
,
b
]
+
l
[
a
,
c
]
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},k{\boldsymbol {b}}+l{\boldsymbol {c}}]=k[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]+l[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}}]}
[
k
b
+
l
c
,
a
]
=
k
[
b
,
a
]
+
l
[
c
,
a
]
{\displaystyle [k{\boldsymbol {b}}+l{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}}]=k[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {a}}]+l[{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}}]}
が成 な 立 た 特 とく k =l =0 であれば
[
a
,
0
]
=
[
0
,
a
]
=
0
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {0}}]=[{\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {a}}]={\boldsymbol {0}}}
である。内積 ないせき 積 せき 場合 ばあい 零 れい 積 せき 積 せき 場合 ばあい 零 れい 注意 ちゅうい 必要 ひつよう
ベクトル積 せき 演算 えんざん 結果 けっか 別 べつ 積 せき 考 かんが 積 せき ベクトル三 さん 重 じゅう 積 せき と呼 よ 三 さん 重 じゅう 積 せき
[
a
,
[
b
,
c
]
]
=
(
a
,
c
)
b
−
(
a
,
b
)
c
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]]=({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}})\,{\boldsymbol {c}}}
となる。3つのスカラーの積 せき 異 こと 三 さん 重 じゅう 積 せき 一般 いっぱん
[
a
,
[
b
,
c
]
]
−
[
[
a
,
b
]
,
c
]
≠
0
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]]-[[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}],{\boldsymbol {c}}]\neq {\boldsymbol {0}}}
であり、結合 けつごう 法則 ほうそく 成 な 積 せき 結合 けつごう 法則 ほうそく 代 か
[
a
,
[
b
,
c
]
]
−
[
[
a
,
b
]
,
c
]
=
[
b
,
[
a
,
c
]
]
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]]-[[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}],{\boldsymbol {c}}]=[{\boldsymbol {b}},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}}]]}
の関係 かんけい 式 しき 成 な 立 た 変形 へんけい
[
a
,
[
b
,
c
]
]
+
[
b
,
[
c
,
a
]
]
+
[
c
,
[
a
,
b
]
]
=
0
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]]+[{\boldsymbol {b}},[{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}}]]+[{\boldsymbol {c}},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]]={\boldsymbol {0}}}
が得 え ヤコビ恒等 こうとう 式 しき と呼 よ
ベクトル三 さん 重 じゅう 積 せき
a
×
(
b
×
c
)
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})}
ベクトル
a
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}}
(
b
×
c
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})}
外積 がいせき x 成分 せいぶん
{
a
×
(
b
×
c
)
}
x
=
a
y
(
b
×
c
)
z
−
a
z
(
b
×
c
)
y
=
a
y
(
b
x
c
y
−
b
y
c
x
)
−
a
z
(
b
z
c
x
−
b
x
c
z
)
=
a
y
b
x
c
y
−
a
y
b
y
c
x
−
a
z
b
z
c
x
+
a
z
b
x
c
z
=
(
a
y
c
y
+
a
z
c
z
)
b
x
−
(
a
y
b
y
+
a
z
b
z
)
c
x
=
(
a
y
c
y
+
a
z
c
z
)
b
x
+
a
x
b
x
c
x
−
(
a
y
b
y
+
a
z
b
z
)
c
x
−
a
x
b
x
c
x
=
(
a
x
c
x
+
a
y
c
y
+
a
z
c
z
)
b
x
−
(
a
x
b
x
+
a
y
b
y
+
a
z
b
z
)
c
x
=
(
a
⋅
c
)
b
x
−
(
a
⋅
b
)
c
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\{{\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})\}_{x}&=a_{y}({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})_{z}-a_{z}({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})_{y}\\&=a_{y}(b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x})-a_{z}(b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z})\\&=a_{y}b_{x}c_{y}-a_{y}b_{y}c_{x}-a_{z}b_{z}c_{x}+a_{z}b_{x}c_{z}\\&=(a_{y}c_{y}+a_{z}c_{z})b_{x}-(a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z})c_{x}\\&=(a_{y}c_{y}+a_{z}c_{z})b_{x}+a_{x}b_{x}c_{x}-(a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z})c_{x}-a_{x}b_{x}c_{x}\\&=(a_{x}c_{x}+a_{y}c_{y}+a_{z}c_{z})b_{x}-(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z})c_{x}\\&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})b_{x}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})c_{x}\end{aligned}}}
同様 どうよう y 成分 せいぶん z 成分 せいぶん
{
a
×
(
b
×
c
)
}
y
=
(
a
⋅
c
)
b
y
−
(
a
⋅
b
)
c
y
{
a
×
(
b
×
c
)
}
z
=
(
a
⋅
c
)
b
z
−
(
a
⋅
b
)
c
z
{\displaystyle {\begin{aligned}&\{{\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})\}_{y}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})b_{y}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})c_{y}\\&\{{\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})\}_{z}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})b_{z}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})c_{z}\end{aligned}}}
ゆえに、
a
×
(
b
×
c
)
=
(
a
⋅
c
)
b
−
(
a
⋅
b
)
c
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}){\boldsymbol {c}}}
行列 ぎょうれつ 式 しき 定義 ていぎ 拡張 かくちょう n 次元 じげん 空間 くうかん n - 1 項 こう 演算 えんざん 積 せき
(
v
,
[
a
1
,
…
,
a
n
−
1
]
)
=
det
⟨
v
,
a
1
,
…
,
a
n
−
1
⟩
{\displaystyle ({\boldsymbol {v}},[{\boldsymbol {a}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n-1}])=\det \langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {a}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n-1}\rangle }
を定義 ていぎ 完全 かんぜん 反対称 はんたいしょう 行列 ぎょうれつ 用 もち
[
a
1
,
…
,
a
n
−
1
]
i
=
∑
j
1
,
…
,
j
n
−
1
ϵ
i
,
j
1
,
…
,
j
n
−
1
a
1
j
1
⋯
a
n
−
1
j
n
−
1
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n-1}]_{i}=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n-1}}\epsilon _{i,j_{1},\ldots ,j_{n-1}}a_{1}^{j_{1}}\cdots a_{n-1}^{j_{n-1}}}
となる。
例 たと 次元 じげん 空間 くうかん 単項 たんこう 演算 えんざん
[
a
]
=
(
a
2
−
a
1
)
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}}]={\begin{pmatrix}a_{2}\\-a_{1}\\\end{pmatrix}}}
となり、4次元 じげん 三 さん 項 こう 演算 えんざん
[
a
,
b
,
c
]
=
(
+
a
2
b
3
c
4
+
a
3
b
4
c
2
+
a
4
b
2
c
3
−
a
2
b
4
c
3
−
a
3
b
2
c
4
−
a
4
b
3
c
2
−
a
3
b
4
c
1
−
a
4
b
1
c
3
−
a
1
b
3
c
4
+
a
3
b
1
c
4
+
a
4
b
3
c
1
+
a
1
b
4
c
3
+
a
4
b
1
c
2
+
a
1
b
2
c
4
+
a
2
b
4
c
1
−
a
4
b
2
c
1
−
a
1
b
4
c
2
−
a
2
b
1
c
4
−
a
1
b
2
c
3
−
a
2
b
3
c
1
−
a
3
b
1
c
2
+
a
1
b
3
c
2
+
a
2
b
1
c
3
+
a
3
b
2
c
1
)
{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]={\begin{pmatrix}+a_{2}b_{3}c_{4}+a_{3}b_{4}c_{2}+a_{4}b_{2}c_{3}-a_{2}b_{4}c_{3}-a_{3}b_{2}c_{4}-a_{4}b_{3}c_{2}\\-a_{3}b_{4}c_{1}-a_{4}b_{1}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{4}+a_{3}b_{1}c_{4}+a_{4}b_{3}c_{1}+a_{1}b_{4}c_{3}\\+a_{4}b_{1}c_{2}+a_{1}b_{2}c_{4}+a_{2}b_{4}c_{1}-a_{4}b_{2}c_{1}-a_{1}b_{4}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{4}\\-a_{1}b_{2}c_{3}-a_{2}b_{3}c_{1}-a_{3}b_{1}c_{2}+a_{1}b_{3}c_{2}+a_{2}b_{1}c_{3}+a_{3}b_{2}c_{1}\\\end{pmatrix}}}
となる。また、1次元 じげん 定数 ていすう
3次元 じげん 積 せき
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
×
(
b
1
,
b
2
,
b
3
)
=
(
a
2
b
3
−
a
3
b
2
,
a
3
b
1
−
a
1
b
3
,
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})\times (b_{1},b_{2},b_{3})=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})}
は、4元 げん 数 すう （
a
+
b
i
+
c
j
+
d
k
{\displaystyle a+bi+cj+dk}
成分 せいぶん
b
i
+
c
j
+
d
k
{\displaystyle bi+cj+dk}
部分 ぶぶん 乗算 じょうざん
(
a
1
i
+
a
2
j
+
a
3
k
)
(
b
1
i
+
b
2
j
+
b
3
k
)
=
−
(
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
)
+
(
a
2
b
3
−
a
3
b
2
)
i
+
(
a
3
b
1
−
a
1
b
3
)
j
+
(
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
k
{\displaystyle (a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k)(b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k)=-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})i+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})j+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})k\,}
のベクトル成分 せいぶん 定義 ていぎ 成分 せいぶん 符号 ふごう 反転 はんてん
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
{\displaystyle a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}
内積 ないせき
3次元 じげん 積 せき ハミルトン の4元 げん 数 すう の概念 がいねん ウィラード・ギブズ とオリヴァー・ヘヴィサイド がそれぞれ独立 どくりつ ドット積 せき と対 たい 数学 すうがく 的 てき 概念 がいねん 考案 こうあん
これを多元 たげん 数 すう 拡張 かくちょう n + 1 元 げん 数 すう 乗算 じょうざん n 次元 じげん 積 せき 定義 ていぎ 実数 じっすう 元 げん 数 すう 複素数 ふくそすう 元 げん 数 すう 元 げん 数 すう 8元 げん 数 すう の乗算 じょうざん 次元 じげん 次元 じげん 次元 じげん 次元 じげん 積 せき 定義 ていぎ 要素 ようそ 数 すう 多 おお 縦 たて 表 あらわ
(
)
×
(
)
=
(
)
(
a
1
)
×
(
b
1
)
=
(
0
)
(
a
1
a
2
a
3
)
×
(
b
1
b
2
b
3
)
=
(
a
2
b
3
−
a
3
b
2
a
3
b
1
−
a
1
b
3
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
(
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
)
×
(
b
1
b
2
b
3
b
4
b
5
b
6
b
7
)
=
(
a
2
b
3
−
a
3
b
2
−
a
4
b
5
+
a
5
b
4
−
a
6
b
7
+
a
7
b
6
−
a
1
b
3
+
a
3
b
1
−
a
4
b
6
+
a
5
b
7
+
a
6
b
4
−
a
7
b
5
a
1
b
2
−
a
2
b
1
−
a
4
b
7
−
a
5
b
6
+
a
6
b
5
+
a
7
b
4
a
1
b
5
+
a
2
b
6
+
a
3
b
7
−
a
5
b
1
−
a
6
b
2
−
a
7
b
3
−
a
1
b
4
−
a
2
b
7
+
a
3
b
6
+
a
4
b
1
−
a
6
b
3
+
a
7
b
2
a
1
b
7
−
a
2
b
4
−
a
3
b
5
+
a
4
b
2
+
a
5
b
3
−
a
7
b
1
−
a
1
b
6
+
a
2
b
5
−
a
3
b
4
+
a
4
b
3
−
a
5
b
2
+
a
6
b
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&()\times ()=()\\&(a_{1})\times (b_{1})=(0)\\&{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}\\&{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\\a_{6}\\a_{7}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\b_{4}\\b_{5}\\b_{6}\\b_{7}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}-a_{4}b_{5}+a_{5}b_{4}-a_{6}b_{7}+a_{7}b_{6}\\-a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{6}+a_{5}b_{7}+a_{6}b_{4}-a_{7}b_{5}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}-a_{4}b_{7}-a_{5}b_{6}+a_{6}b_{5}+a_{7}b_{4}\\a_{1}b_{5}+a_{2}b_{6}+a_{3}b_{7}-a_{5}b_{1}-a_{6}b_{2}-a_{7}b_{3}\\-a_{1}b_{4}-a_{2}b_{7}+a_{3}b_{6}+a_{4}b_{1}-a_{6}b_{3}+a_{7}b_{2}\\a_{1}b_{7}-a_{2}b_{4}-a_{3}b_{5}+a_{4}b_{2}+a_{5}b_{3}-a_{7}b_{1}\\-a_{1}b_{6}+a_{2}b_{5}-a_{3}b_{4}+a_{4}b_{3}-a_{5}b_{2}+a_{6}b_{1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
これら以外 いがい 次元 じげん 必要 ひつよう 対称 たいしょう 性 せい 持 も 乗算 じょうざん 定義 ていぎ アドルフ・フルヴィッツ によって証明 しょうめい 積 せき 定義 ていぎ 次元 じげん 自明 じめい 確認 かくにん 次元 じげん 積 せき 常 つね 零 れい
直積 ちょくせき 使 つか 拡張 かくちょう 外積 がいせき [ 編集 へんしゅう ] クロス積 せき 直積 ちょくせき
a
∘
b
=
a
b
⊺
=
(
a
i
b
j
)
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\circ {\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {a}}{\boldsymbol {b}}^{\intercal }=(a_{i}b_{j})}
を使 つか
a
×
b
=
a
∘
b
−
b
∘
a
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {a}}\circ {\boldsymbol {b}}-{\boldsymbol {b}}\circ {\boldsymbol {a}}\quad }
と定義 ていぎ 反対称 はんたいしょう 擬 なずらえ 等価 とうか
(
x
,
y
,
z
)
=
(
0
z
−
y
−
z
0
x
y
−
x
0
)
{\displaystyle (x,y,z)={\begin{pmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{pmatrix}}}
としたが、これをホッジ作用素 さようそ
⋆
{\displaystyle \star }
写像 しゃぞう 明示 めいじ
a
×
b
=
⋆
(
a
∘
b
−
b
∘
a
)
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}=\star ({\boldsymbol {a}}\circ {\boldsymbol {b}}-{\boldsymbol {b}}\circ {\boldsymbol {a}})}
と書 か
(*)式 しき 一般 いっぱん 次元 じげん 定義 ていぎ 使 つか 定義 ていぎ 積 せき 積 せき 外積 がいせき 呼 よ
a
∧
b
=
a
∘
b
−
b
∘
a
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\wedge {\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {a}}\circ {\boldsymbol {b}}-{\boldsymbol {b}}\circ {\boldsymbol {a}}}
で表 あらわ 外積 がいせき 次元 じげん 積 せき 一致 いっち 同義語 どうぎご 注意 ちゅうい 必要 ひつよう
外積 がいせき 階 かい 反対称 はんたいしょう 作用素 さようそ n 次元 じげん n - 2 階 かい 擬 なずらえ 写像 しゃぞう 次元 じげん 擬 なずらえ 階 かい 擬 なずらえ 次元 じげん 擬 なずらえ 階 かい 擬 なずらえ 写像 しゃぞう 次元 じげん 以上 いじょう 扱 あつか
外積 がいせき ドイツ語 ご : äußeres Produkt ）は、グラスマン によって導入 どうにゅう 当時 とうじ 注目 ちゅうもく 彼 かれ 死後 しご 高 たか 評価 ひょうか
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9312534b1ba4c99e32566a32c071977ddad384b)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{1}=({\boldsymbol {e}}_{1},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}])={\begin{vmatrix}1&a_{1}&b_{1}\\0&a_{2}&b_{2}\\0&a_{3}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4349b2fce366207e757ca54392f753a52fc9da0d)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{2}=({\boldsymbol {e}}_{2},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}])={\begin{vmatrix}0&a_{1}&b_{1}\\1&a_{2}&b_{2}\\0&a_{3}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1511f42e28b2c8732131ea0bb027b684aa993e2)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{3}=({\boldsymbol {e}}_{3},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}])={\begin{vmatrix}0&a_{1}&b_{1}\\0&a_{2}&b_{2}\\1&a_{3}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f0207a5c8f10efb689e85cd510d213bb15f162)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]\doteq {\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d2a2643983ecdda9538f4b90fb3cc53f0423f4)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}&a_{1}&b_{1}\\{\boldsymbol {e}}_{2}&a_{2}&b_{2}\\{\boldsymbol {e}}_{3}&a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecdc5222d6868cc91016a795adf8011d2b9f5bf)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{i}=\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e2b0ca64f606d305621506a8566769c3b6f6a6)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {a}}]={\boldsymbol {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de09f61713ceb571793a08c86640e65fca795744)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},k{\boldsymbol {b}}+l{\boldsymbol {c}}]=k[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]+l[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a89fae470f1fdcdca0259bb3136f179e7982f0)
![{\displaystyle [k{\boldsymbol {b}}+l{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}}]=k[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {a}}]+l[{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c73e1f490b1534bc0d5a0dd98af0735a19ced7)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {0}}]=[{\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {a}}]={\boldsymbol {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90fd83f7cab062ccbe03547df7ef0dbc69b29d75)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]]=({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}})\,{\boldsymbol {c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7503be70399904420db5aeeba3d86b227bd75c)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]]-[[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}],{\boldsymbol {c}}]\neq {\boldsymbol {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4ad1428e449a33b245c7890946b37a4bea4ca4)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]]-[[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}],{\boldsymbol {c}}]=[{\boldsymbol {b}},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2a27c9dfd413efb3160594702c7b452389b76d)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]]+[{\boldsymbol {b}},[{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}}]]+[{\boldsymbol {c}},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]]={\boldsymbol {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d607faf2e8a034576fcf65d9632c1dc5c1853e)
![{\displaystyle ({\boldsymbol {v}},[{\boldsymbol {a}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n-1}])=\det \langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {a}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n-1}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7f2ed5805dda8d32ec655e9e7c00f0591e4be8)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n-1}]_{i}=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n-1}}\epsilon _{i,j_{1},\ldots ,j_{n-1}}a_{1}^{j_{1}}\cdots a_{n-1}^{j_{n-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1849fb2030deceaab3a16064c64f671236ab5ec6)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}}]={\begin{pmatrix}a_{2}\\-a_{1}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2fada44669d3c8511498290b506659f8e4891)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]={\begin{pmatrix}+a_{2}b_{3}c_{4}+a_{3}b_{4}c_{2}+a_{4}b_{2}c_{3}-a_{2}b_{4}c_{3}-a_{3}b_{2}c_{4}-a_{4}b_{3}c_{2}\\-a_{3}b_{4}c_{1}-a_{4}b_{1}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{4}+a_{3}b_{1}c_{4}+a_{4}b_{3}c_{1}+a_{1}b_{4}c_{3}\\+a_{4}b_{1}c_{2}+a_{1}b_{2}c_{4}+a_{2}b_{4}c_{1}-a_{4}b_{2}c_{1}-a_{1}b_{4}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{4}\\-a_{1}b_{2}c_{3}-a_{2}b_{3}c_{1}-a_{3}b_{1}c_{2}+a_{1}b_{3}c_{2}+a_{2}b_{1}c_{3}+a_{3}b_{2}c_{1}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e21e567381f509202aa3e7ffd6841c1297e8f9e0)
