ノルム

解析かいせき学がくにおいて、ノルム (英えい: norm, 独どく: Norm) は、平面へいめんあるいは空間くうかんにおける幾何きか学がく的てきベクトルの "長ながさ" の概念がいねんの一般いっぱん化かであり、ベクトル空間くうかんに対たいして「距離きょり」を与あたえるための数学すうがくの道具どうぐである。ノルムの定義ていぎされたベクトル空間くうかんを線型せんけいノルム空間くうかんまたは単たんにノルム空間くうかんという。

ものによっては絶対ぜったい値ちや賦ふ値ち（附ふ値ち、付値つけね）と呼よばれることもある。また、体からだの拡大かくだいにおけるノルムや、多元たげん環たまきに対たいする被ひ約やくノルムと本質ほんしつ的てきに同おなじものである。

定義ていぎ

K を実数じっすう体たい R または複素数ふくそすう体たい C（あるいは絶対ぜったい値ちを備そなえた任意にんいの位相いそう体たい）とし、K 上うえのベクトル空間くうかん V を考かんがえる。このとき任意にんいの a ∈ K と任意にんいの u, v ∈ V に対たいして、

1. 独立どくりつ性せい：‖ v ‖ = 0 ⇔ v = o
2. 斉ひとし次つぎ性せい：‖ av ‖ = |a|‖ v ‖
3. 劣れつ加法かほう性せい：‖ u + v ‖ ≤ ‖ u ‖ + ‖ v ‖（三角さんかく不等式ふとうしき）

を満みたす関数かんすう ‖ • ‖: V → R; x ↦ ‖ x ‖ を V のノルムと呼よぶ。ベクトル空間くうかん V と V 上うえのノルム ‖ • ‖ との組くみ (V, ‖ • ‖) を、ノルム ‖ • ‖ を備そなえたベクトル空間くうかんあるいは簡単かんたんにノルム付つきの線型せんけい空間くうかん、ノルム空間くうかんなどと呼よび、紛まぎれのおそれの無ない場合ばあいはノルムを省略しょうりゃくして単たんに V で表あらわす。なお、‖ v ‖ ≥ 0（半はん正せい定値ていち性せい）を定義ていぎの内うちに含ふくめることが多おおいが、この性質せいしつは以下いかのように定理ていりとして導みちびくことができる。左ひだりから順じゅんに、独立どくりつ性せい、劣れつ加法かほう性せい、斉ひとし次つぎ性せいを用もちいている。

$\forall v\in V,0=\lVert o\rVert =\left\Vert \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)v\right\Vert \leq \left\Vert {\frac {1}{2}}v\right\Vert +\left\Vert -{\frac {1}{2}}v\right\Vert =\left\vert {\frac {1}{2}}\right\vert \lVert v\rVert +\left\vert -{\frac {1}{2}}\right\vert \lVert v\rVert =\lVert v\rVert .$

ノルムのとる値ねの集合しゅうごうとしては R を、同様どうようの条件じょうけんを議論ぎろんしうるもう少すこし一般いっぱんの順序じゅんじょ体たいや順序じゅんじょ群ぐんに取とり替かえることもある。離散りさん賦ふ値ちなどは有理ゆうり整数せいすう環たまき Z の加法かほう群ぐん（に同型どうけいなアーベル群ぐん）を値ね群ぐんとするようなノルムである。

ノルムの定義ていぎから独立どくりつ性せいを除のぞいたものを満足まんぞくする函数かんすう p: V → R を半はんノルム (semi-norm) と呼よぶ。

種々しゅじゅのノルム

有限ゆうげん次元じげんベクトルのノルム

成分せいぶんが実数じっすうあるいは複素数ふくそすうであるベクトル x = (x₁, x₂, …, x_n) を考かんがえる。今いま |•| を実数じっすうあるいは複素数ふくそすうの絶対ぜったい値ちとすると、

ユークリッドノルム

$\|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}}$

最大さいだい値ちノルム（あるいは無限むげん大だいノルム、一様いちようノルムとも呼よばれる）

$\|{\boldsymbol {x}}\|_{\infty }:=\max \left\{|x_{1}|,\dots ,|x_{n}|\right\}$

などはノルムの条件じょうけんを満みたす。 一般いっぱんに 1 ≤ p < ∞ に対たいして

$\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}:=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}={\sqrt[{p}]{|x_{1}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}}}$

を p次じ平均へいきんノルムまたは p-ノルムと呼よぶ。この呼称こしょうを用もちいるならば、ユークリッドノルムは 2-ノルムである。また最大さいだい値ちノルムはこの p-ノルムの p → ∞ としたときの自然しぜんな極限きょくげんであると見みなされるので、∞ノルム（無限むげん大だいノルム）とも呼よばれる。

また特とくに次元じげんが n = 1 のときを考かんがえれば、任意にんいの 1 ≤ p < ∞ について

$\|x\|_{p}=|x|$

であり、絶対ぜったい値ち |•| 自身じしんが実数じっすうあるいは複素数ふくそすうの1次元じげんベクトルにおけるノルムの例れいになっている。

なお、p が 1 未満みまんに対たいしては、p-ノルムを定義ていぎしない。

「Lp空間くうかん」も参照さんしょう

無限むげん次元じげんベクトル空間くうかんのノルム

数列すうれつ（可算かさん無限むげん次元じげんのベクトル）x = (x_n)_n=1,2,… に対たいしても、p-ノルムあるいは l^p-ノルム（l_p-ノルム）

$\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}:=\left(\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}$

や、上限じょうげんノルム、∞-ノルム、l^∞-ノルム（l_∞-ノルム）

$\|{\boldsymbol {x}}\|_{\infty }:=\sup _{n\in \mathbb {N} }\{|x_{n}|\}$

などが定義ていぎされる。また、関数かんすうを連続れんぞく的てきな添字そえじをもつ非ひ可算かさん無限むげん次元じげんのベクトルと見みなせば、和わを積分せきぶんに置おき換かえて、高々たかだか可算かさんな場合ばあいと同様どうように p-ノルムなどを考かんがえることができる。集合しゅうごう X 上うえで定義ていぎされる関数かんすう f(x) に対たいして p-ノルム（L^p-ノルム）は

$\|f\|_{p,X}:=\left(\int _{X}|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}$

が定義ていぎされる。また ∞-ノルム（L^∞-ノルム）が

$\|f\|_{\infty ,X}:=\sup _{x\in X}|f(x)|$

によって定義ていぎされる。ただし、ルベーグ積分せきぶんを扱あつかっている文脈ぶんみゃくでは

$\|f\|_{\infty ,X}:=\mathop {\mathrm {ess\,sup} } \limits _{x\in X}|f(x)|=\inf\{\alpha :|f(x)|\leq \alpha {\mbox{ a.e.}}\,x\}$

とする方ほうが自然しぜんである。ess sup は本質ほんしつ的てき上限じょうげんと呼よばれる値ねである（測度そくど零れいの集合しゅうごうにおける例外れいがいを除のぞいて上うえ界かいとなる値ねの下限かげん）。関数かんすう解析かいせき学がくなどでは、有界ゆうかい線型せんけい作用素さようそ（連続れんぞくな線型せんけい写像しゃぞう）の作用素さようそノルム (operator norm) と呼よばれるノルム

$\|f\|=\sup _{x\in X\setminus \{0\}}{\frac {\|f(x)\|}{\|x\|}}$

も重要じゅうようである。

ノルムの構成こうせい

二ふたつのノルム空間くうかん (X, ‖•‖_X), (Y, ‖•‖_Y) が与あたえられたとき、直積ちょくせき空間くうかん X × Y には

$\|(x,y)\|:={\sqrt {\|x\|_{X}^{2}+\|y\|_{Y}^{2}}}\quad (x\in X,\,y\in Y)$

でノルムが定さだまる。

ノルム空間くうかん (Z, ‖•‖_Z) が与あたえられたとき、ベクトル空間くうかん W と単たん射いな線型せんけい作用素さようそ f: W → Z に対たいして

$\|w\|:=\|f(w)\|_{Z}\quad (w\in W)$

は W のノルムとなる。

ベクトル空間くうかん V が半はんノルム p を持もつとき、部分ぶぶん空間くうかん V^⊥ := {v ∈ V | p(v) = 0} による商しょう空間くうかん V^∼ := V/V^⊥ は、πぱい: V → V^∼ を自然しぜんな射影しゃえいとして

$\|\pi (v)\|:=p(v)(v\in V)$

となるようなノルムを備そなえる。

性質せいしつ

平面へいめん R² 上うえの異ことなるノルムに関かんする単位たんい円えんの様子ようす

幾何きか学がく的てき性質せいしつ

ノルム空間くうかん V のノルム p = ‖•‖ に対たいし、2変数へんすうの実じつ数値すうち関数かんすう d_p : V × V → R を

$d_{p}(x,y)=\lVert x-y\rVert$

で定さだめて、d_p をノルム ‖•‖ の定さだめるまたは誘導ゆうどうする距離きょりという。d_p が V の距離きょり函数かんすうを定さだめることはノルムの定義ていぎから直ただちに分わかる。距離きょり空間くうかん (V, d_p) の位相いそうをノルム ‖•‖ の定さだめるまたは誘導ゆうどうする位相いそうという。

空間くうかん X にノルムが与あたえられたとき、ノルムが 1 である元もとの全体ぜんたいをしばしば単位たんい球面きゅうめん (unit sphere) または二に次元じげんの場合ばあいは特とくに単位たんい円えん (unit circle) と呼よぶ。ノルムの定さだめる位相いそうとはノルムに関かんする開ひらく単位たんい球面きゅうめんの和わに表あらわされる集合しゅうごうを開ひらけ集合しゅうごうとするような位相いそうのことである。

ノルム空間くうかん V における線型せんけい演算えんざんはノルムが V に誘導ゆうどうする位相いそうに関かんして連続れんぞくであり、ノルム空間くうかん V は位相いそう線型せんけい空間くうかんを成なす。位相いそう線型せんけい空間くうかん (V, T) に対たいし、V に適当てきとうなノルム p が存在そんざいして p から誘導ゆうどうされる位相いそう T_p がもとの位相いそう T に等ひとしいとき、位相いそう線型せんけい空間くうかん V はノルム付づけ可能かのうまたはノルム化か可能かのう (normable) であるという。

ノルムの同値どうち性せい

空間くうかん X の与あたえられた二ふたつのノルム‖•‖, ‖•‖′ に対たいし、これらノルムがそれぞれ定さだめる X の位相いそうが相そう等ひとしいとき、これらのノルムは互たがいに同値どうちであるという。これは適当てきとうな定数ていすう C₁, C₂ > 0 で

$C_{1}\|x\|\leq \|x\|'\leq C_{2}\|x\|$

となるようなものが取とれることと同値どうちである。

V が有限ゆうげん次元じげんノルム空間くうかんならば、V 上うえのノルムの同値どうち類るいは唯ただ一ひとつである。

関連かんれん項目こうもく

• トレース
• 行列ぎょうれつノルム
• F-ノルム: 斉ひとし次じ性せいを落おとしたもの
• G-ノルム: アーベル群ぐんのノルム
• 擬なずらえノルム: 斉ひとし次じ性せいを劣れつ斉ひとし次つぎ性せいに緩ゆるめたもの
• 双そう柱はしら#数学すうがくにおける用途ようと - ‖

外部がいぶリンク

• Weisstein, Eric W. "Norm". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Gorin, E.A. (2001), “Norm”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Norm 
• norm in nLab