弱じゃく位相いそう

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弱じゃく位相いそう（じゃくいそう、英えい: weak topology）とは、ノルム空間くうかんX上うえに定義ていぎされる位相いそうの一ひとつである。体からだK上うえのノルム空間くうかんにはノルムから定さだまる位相いそう（ノルム位相いそう。弱じゃく位相いそうと区別くべつするため強つよ位相いそうとも呼よばれる）があるが、弱じゃく位相いそうはこれよりも弱よわい（強つよくない）位相いそうであり、X上うえのK値ね有界ゆうかい線形せんけい写像しゃぞう（すなわちXの共役きょうやく空間くうかんX^*の元もと）が全すべて連続れんぞくになる最さい弱じゃくな位相いそうである。なお弱じゃく位相いそうは位相いそう空間くうかん論ろんにおける始はじめ位相いそうの特別とくべつな場合ばあいに当あたる。

強つよ位相いそうに関かんするものと区別くべつするため、弱じゃく位相いそうに関かんする連続れんぞく性せい、収束しゅうそく性せい、コンパクト性せいはそれぞれ弱じゃく連続れんぞく性せい、弱じゃく収束しゅうそく性せい、弱じゃくコンパクト性せいと呼よばれる。

本ほん項こうでは弱じゃく位相いそうの関連かんれん概念がいねんである＊弱じゃく位相いそうについても述のべる。

定義ていぎ

以下いか、Kを実数じっすう体たい$\mathbb {R}$もしくは複素数ふくそすう体たい$\mathbb {C}$とする。

定義ていぎ (共役きょうやく空間くうかん、弱じゃく位相いそう) ― XをK上うえのノルム空間くうかんとし

$X^{*}=\{\alpha ~:~X\to K,~\alpha$は有界ゆうかい線型せんけい写像しゃぞう$\}$

とする。X^*には関数かんすうとしての和わと定数ていすう倍ばいによりベクトル空間くうかんの構造こうぞうが入はいる。このベクトル空間くうかんをXの共役きょうやく空間くうかんという。

またX^*に属ぞくする関数かんすうが全すべて連続れんぞくになるXの位相いそうのうち最さい弱じゃくなものをXの弱じゃく位相いそうという。

一方いっぽう、Xのノルムにより定さだまる位相いそうの事ことをノルム位相いそうという。

ノルム空間くうかん上じょうの線型せんけい写像しゃぞうが有界ゆうかいである必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、その線型せんけい写像しゃぞうがノルム位相いそう連続れんぞくである事ことである。したがってX^*の元もとはノルム位相いそうに関かんして必かならず連続れんぞくである。

それに対たいしX^*の元もとを連続れんぞくにする最さい弱じゃくの位相いそうであるので、以下いかが従したがう：

定理ていり ―  弱じゃく位相いそうはノルム位相いそうより弱よわい（強つよくない）位相いそうである。

この為ため、ノルム位相いそうの事ことをXの強つよ位相いそう（英えい: strong topology）ともいう。

Xの係数けいすう体たいK（$=\mathbb {R} ,~\mathbb {C}$）の位相いそうはK上うえの絶対ぜったい値ちをノルムと見みなしたときのノルム位相いそうと一致いっちする事ことから、弱じゃく位相いそうを以下いかのようにも特徴とくちょうづけられる：

定理ていり ―  αあるふぁ ∈ X^*に対たいしX上うえのセミノルム$\|\cdot \|_{\alpha }$を

$\|x\|_{\alpha }{\overset {\text{def}}{{}={}}}|\alpha (x)|$

により定義ていぎすると、X上うえの弱じゃく位相いそうはセミノルムの族ぞく$(\|\cdot \|_{\alpha })_{\alpha \in X^{*}}$により誘導ゆうどうされる位相いそうと一致いっちする。

よって特とくに、Xに弱じゃく位相いそうを入いれた空間くうかんは局所きょくしょ凸とつである。したがって弱じゃく位相いそうは最もっとも粗あらい極ごく位相いそう（弱じゃく位相いそう (極ごく位相いそう)を参照さんしょう）でもある。

弱じゃく収束しゅうそく・強つよ収束しゅうそく

弱じゃく位相いそうにおける点てん列れつ（もしくはより一般いっぱんに有向ゆうこう点てん族ぞく）x_nの収束しゅうそくを弱じゃく収束しゅうそくといい、

$x_{n}{\overset {\text{w}}{{}\longrightarrow {}}}x$

$x_{n}\longrightarrow x$ （弱じゃく）

$x_{n}\rightharpoonup x$

${\underset {n\to \infty }{\text{w-lim}}}x_{n}=x$

等ひとしと表記ひょうきする。

一方いっぽうノルム位相いそうに対たいする収束しゅうそく（ノルム収束しゅうそく）は強つよ収束しゅうそくとも呼よばれ、弱じゃく収束しゅうそくと区別くべつするため

$x_{n}{\overset {\text{s}}{{}\longrightarrow {}}}x$

$x_{n}\longrightarrow x$ （強つよし）

${\underset {n\to \infty }{\text{s-lim}}}x_{n}=x$

等ひとしと表記ひょうきする。

ヒルベルト空間くうかんにおける強つよ収束しゅうそくと弱じゃく収束しゅうそくの関係かんけい

ヒルベルト空間くうかんにおいては弱じゃく収束しゅうそくする点てん列れつが強つよ収束しゅうそくするための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんが以下いかのように与あたえられる：

定理ていり ― Xをヒルベルト空間くうかんとする。点てん列れつx_nがxに強つよ収束しゅうそくする必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、x_nがxに弱じゃく収束しゅうそくし、しかも$\|x_{n}\|\to \|x\|$が成立せいりつする事ことである。

＊弱じゃく位相いそう

ノルム空間くうかんXの共役きょうやく空間くうかんX^*には、作用素さようそノルム

$\|\alpha \|_{*}=\sup _{x\in X\setminus \{0\}}{|\alpha (x)| \over |x|}$

が定義ていぎでき、このノルムからノルム位相いそうが定さだまる。またX^*自身じしんも作用素さようそノルムに関かんしてノルム空間くうかんであることからX^*には弱じゃく位相いそうも入はいり、定義ていぎよりこれはX^*の共役きょうやく空間くうかん（二に重じゅう共役きょうやく空間くうかん）X^**に属ぞくする写像しゃぞうを全すべて連続れんぞくにする最さい弱じゃくの位相いそうである。

さらにX^*には下記かきの＊弱じゃく位相いそうも入はいる：

定義ていぎ (＊弱じゃく位相いそう) ― XをK上うえのノルム空間くうかん、X^*をその共役きょうやく空間くうかんとする。x ∈ Xに対たいし、写像しゃぞうμみゅー_xを

$\mu _{x}~:~\alpha \in X^{*}\mapsto \alpha (x)\in K$

により定義ていぎする。

このとき関数かんすうの族ぞく$(\mu _{x})_{x\in X}$を全すべて連続れんぞくにする最さい弱じゃくの位相いそうをX^*の＊弱じゃく位相いそう（英えい: weak-* topology）もしくは汎ひろし弱じゃく位相いそうという。

$\{\mu _{x}|x\in X\}\subset X^{**}$である事ことが知しられているので、以下いかが従したがう：

定理ていり ―  X^*の＊弱じゃく位相いそうはX^*の弱じゃく位相いそうより弱よわい（強つよくない）位相いそうである。

つまりX^*に入はいる位相いそうは強つよい順じゅんからノルム位相いそう、弱じゃく位相いそう、＊弱じゃく位相いそうである。

なお、定義ていぎより明あきらかに次つぎが従したがう：

定理ていり ―  Xが回帰かいき的てきである場合ばあい、すなわちX^**=Xである場合ばあいは弱じゃく位相いそうと＊弱じゃく位相いそうは一致いっちする。

位相いそう空間くうかん論ろんの言葉ことばを使つかうと、＊弱じゃく位相いそうを別べつの角度かくどから特徴とくちょうづける事ことができる。そのためにまず定義ていぎを述のべる：

定義ていぎ (各かく点てん収束しゅうそく位相いそう) ― Xを集合しゅうごう、Yを位相いそう空間くうかんとし、各かくx ∈ Xに対たいしY_xをYのコピーとすると、XからYへの写像しゃぞう全体ぜんたいの集合しゅうごうF(X,Y)は直積ちょくせき$\prod _{x\in X}Y_{x}$と集合しゅうごうとして自然しぜんに同どう一いち視しできる。$F(X,Y)\approx \prod _{x\in X}Y_{x}$に直積ちょくせき位相いそうを入いれたものをF(X,Y)の各かく点てん収束しゅうそく位相いそうという。さらにGをF(X,Y)の部分ぶぶん集合しゅうごうとするとき、各かく点てん収束しゅうそく位相いそうをGに制限せいげんしたものをG上うえの各かく点てん収束しゅうそく位相いそうという。

このとき次つぎが従したがう：

定理ていり ―  係数けいすう体たいK（$=\mathbb {R} ,~\mathbb {C}$）上じょうのノルム空間くうかんXの共役きょうやく空間くうかんX^*の＊弱じゃく位相いそうは、

$X^{*}\subset F(X,K)$

と見みなしたときの各かく点てん収束しゅうそく位相いそうに一致いっちする。

＊弱じゃく収束しゅうそく

＊弱じゃく位相いそうにおける点てん列れつ（ないしより一般いっぱん的てきな有向ゆうこう点てん族ぞく）の収束しゅうそくを＊弱じゃく収束しゅうそく（英えい: weak-* convergence）もしくは汎ひろし弱じゃく収束しゅうそくといい、

$\alpha _{n}{\overset {{\text{w}}^{*}}{{}\longrightarrow {}}}\alpha$

$\alpha _{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}\alpha$

${\underset {n\to \infty }{{\text{w}}^{*}{\text{-lim}}}}\alpha _{n}=\alpha$

等ひとしと表記ひょうきする。

具体ぐたい例れい

「弱じゃく収束しゅうそく（ヒルベルト空間くうかん）」も参照さんしょう

$[-\pi ,\pi ]$区間くかん上じょうの複素ふくそ数値すうち2乗じょう可か積分せきぶん関数かんすうのなすヒルベルト空間くうかん$H=$L²([-πぱい,πぱい])を例れいに強つよ収束しゅうそくと弱じゃく収束しゅうそくの違ちがいを見みる。なお、ヒルベルト空間くうかんは再帰さいき的てきな事ことが知しられているので、弱じゃく位相いそうと＊弱じゃく位相いそうは同一どういつである。

$(\varphi _{n})_{n\in \mathbb {Z} }$をL²(-πぱい,πぱい)の完全かんぜん正規せいき直交ちょっこう基底きていとする。例たとえば

$\varphi _{n}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\mathrm {e} ^{inx}$

とすると、$(\varphi _{n})_{n\in \mathbb {Z} }$が完全かんぜん正規せいき直交ちょっこう基底きていになる事ことが知しられている（フーリエ展開てんかいを参照さんしょう）。

$(\varphi _{n})_{n\in \mathbb {Z} }$の正規せいき直交ちょっこう性せいから、n≠mに対たいし

$\|\varphi _{n}-\varphi _{m}\|={1 \over {\sqrt {2}}}$

であるので、$(\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }$はコーシー列れつではなく、よってn→∞のとき強つよ収束しゅうそくの極限きょくげんは存在そんざいしない。

しかし$(\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }$は0に弱じゃく収束しゅうそくする。

理由りゆうは下記かきの通とおりである。ヒルベルト空間くうかんの共役きょうやく空間くうかんH^*の任意にんいの元もとαあるふぁには必かならず

$\alpha (\xi )=\langle \xi ,\psi \rangle$

を満みたすψぷさい ∈ Hが存在そんざいする（リースの表現ひょうげん定理ていり）。

そして$(\varphi _{n})_{n\in \mathbb {Z} }$が完全かんぜん正規せいき直交ちょっこう基底きていである事ことから、

$\psi ={\underset {m\to \infty }{\text{s-lim}}}\sum _{k=-m}^{k}a_{k}\varphi _{k}$

を満みたす$(a_{m})_{m\in \mathbb {Z} }$が存在そんざいする。

上記じょうきの無限むげん和わに極限きょくげんが存在そんざいする事ことから、$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$である。

以上いじょうの事ことから任意にんいのαあるふぁ ∈ H^*に対たいし、

$\alpha (\varphi _{n})=\langle \varphi _{n},\psi \rangle =\langle \varphi _{n},{\underset {m\to \infty }{\text{s-lim}}}\sum _{k=-m}^{m}a_{k}\varphi _{k}\rangle =\lim _{m\to \infty }\langle \varphi _{n},\sum _{k=-m}^{m}a_{k}\varphi _{k}\rangle =a_{n}$

であるので、n → ∞のとき、

$\alpha (\varphi _{n})=a_{n}\to 0$

となり、

${\underset {n\to \infty }{\text{w-lim}}}\varphi _{n}=0$

が成立せいりつする。

性質せいしつ

バナッハ＝アラオグルの定理ていり

ノルム位相いそうに対たいしてはリースの補題ほだいから直接的ちょくせつてきに次つぎの事実じじつが従したがう：

命題めいだい ― $\mathbb {R}$もしくは$\mathbb {C}$上うえのノルム空間くうかんXの閉単位い球だまがノルム位相いそうに関かんしてコンパクトである必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんはXが有限ゆうげん次元じげんである事ことである。

したがって無限むげん次元じげんの場合ばあい、X^*の閉単位い球だまはノルム位相いそうに関かんしてコンパクトではない。しかし、X^*の閉単位い球だまは＊弱じゃく位相いそうに関かんしてはコンパクトになる：

定理ていり (バナッハ＝アラオグルの定理ていり) ― Kを$\mathbb {R}$もしくは$\mathbb {C}$とする。このときK上うえのノルム空間くうかん$(X,\|\cdot \|_{X})$の共役きょうやく空間くうかん$(X^{*},\|\cdot \|_{X^{*}})$に＊弱じゃく位相いそうを入いれると、X^*の閉単位い球だまは

$B^{*}=\{\alpha \in X^{*}\mid \|\alpha \|_{X^{*}}\leq 1\}$

はコンパクトである。

この定理ていりはチコノフの定理ていりに基もとづいて非ひ構成こうせい的てきに示しめせる。なおノルム空間くうかんXが（ノルム位相いそうに関かんして）可分かぶんな場合ばあいには直接的ちょくせつてきにに証明しょうめい可能かのうである。

バナッハ＝アラオグルの定理ていりは半径はんけい1の閉球に対たいするものだが、任意にんいの半径はんけいの閉球もコンパクトになる事ことが容易よういに示しめせる。また＊弱じゃく位相いそうはハウスドルフ性せいを満みたす事ことが知しられており、コンパクトな空間くうかんの閉部分ぶぶん集合しゅうごうはコンパクトなので、以下いかの系けいが成立せいりつする：

系けい ― X*に＊弱じゃく位相いそうを入いれた空間くうかんの有界ゆうかい閉集合しゅうごうはコンパクト

なお、Xが回帰かいき的てき（すなわちX^**=Xが成立せいりつする空間くうかん）であればX上うえの弱じゃく*位相いそうと弱じゃく位相いそうは同一どういつになるので、下記かきの系けいが従したがう：

系けい ― Xが回帰かいき的てきなノルム空間くうかんであれば、Xに弱じゃく位相いそうを入いれた空間くうかんの有界ゆうかい閉集合しゅうごうはコンパクト

1 < p < ∞に対たいしL^p空間くうかんやℓ^p空間くうかんは回帰かいき的てきなので、上記じょうきの定理ていりが適用てきようできる。しかし回帰かいき的てきでない場合ばあいには上述じょうじゅつの定理ていりに反例はんれいがあり、例たとえば0に収束しゅうそくする複素ふくそ数列すうれつ全体ぜんたいにℓ^∞ノルムを入いれた空間くうかんc₀の閉単位い球だまは弱じゃく位相いそうに関かんしてコンパクトではない。

注意ちゅういしなければならないのは、弱じゃく*位相いそうにおける有界ゆうかい閉集合しゅうごうには内うち点てんが無なく、有界ゆうかい閉集合しゅうごう上じょうの点てんは必かならず境界きょうかい点てんになる事ことである。これはすなわち、たとえ閉単位い球だまがコンパクトであっても弱じゃく*位相いそうをいれたX^*が局所きょくしょコンパクトにはなっていない事ことを意味いみする。

距離きょり化か可能かのう性せい

定理ていり ―  可分かぶんなノルム空間くうかんの共役きょうやく空間くうかんの閉単位い球だまは弱じゃく*位相いそうに関かんして距離きょり化か可能かのうである事こと。

定理ていり ―  Xが無限むげん次元じげんのバナッハ空間くうかんなら、X^*上うえの＊弱じゃく位相いそうは距離きょり化か可能かのうではない。

一般いっぱん化か

弱じゃく位相いそうの概念がいねんは下記かきのように一般いっぱん化かできる：

定理ていり ―  Kを$\mathbb {R}$、$\mathbb {C}$、もしくはより一般いっぱんに位相いそう体たいとし、X、YをK上うえベクトル空間くうかんとし、

$b~:~X\times Y\to K$

を双そう線型せんけい写像しゃぞうとする。このとき、

• 任意にんいのy ∈ Yに対たいして、写像しゃぞう$x\in X\mapsto b(x,y)$が連続れんぞくになるX上うえの最さい弱じゃくの位相いそうをXのbに関かんする弱じゃく位相いそうという。
• 任意にんいのx ∈ Xに対たいして、写像しゃぞう$y\in Y\mapsto b(x,y)$が連続れんぞくになるY上うえの最さい弱じゃくの位相いそうをYのbに関かんする弱じゃく位相いそうという。

上記じょうきの定義ていぎでY = X^*、$b(x,\alpha )=\alpha (x)$とすれば、X、X^*にはそれぞれ前まえの章しょうで説明せつめいした意味いみでの弱じゃく位相いそう、＊弱じゃく位相いそうが入はいるので、上記じょうきの定義ていぎが前まえに述のべた弱じゃく位相いそうや＊弱じゃく位相いそうの定義ていぎの一般いっぱん化かになっている事ことがわかる。

弱じゃく作用素さようそ位相いそう

X と Y を位相いそうベクトル空間くうかんとするとき、連続れんぞく線型せんけい作用素さようその空間くうかん L(X,Y) に下記かきのように弱じゃく作用素さようそ位相いそうを定義ていぎできる：

定義ていぎ ― Kを$\mathbb {R}$、$\mathbb {C}$、もしくはより一般いっぱんに位相いそう体たいとし、X、YをK上うえの位相いそうベクトル空間くうかんとし、L(X,Y)をXからY連続れんぞく線形せんけい写像しゃぞう全体ぜんたいの集合しゅうごうとする。

このとき、任意にんいのx ∈ Xと任意にんいのαあるふぁ ∈ Y^*に対たいし、

$T\in L(X,Y)\mapsto \alpha (T(x))\in K$

が連続れんぞくになる最さい弱じゃくの位相いそうをL(X,Y)の弱じゃく作用素さようそ位相いそうという。

X 上うえの弱じゃく位相いそうの場合ばあいと同様どうよう、L(X,Y)上うえの弱じゃく作用素さようそ位相いそうもセミノルムによって特徴とくちょうづけられる：

命題めいだい ― K、X、Y、L(X,Y)を上うえの定義ていぎと同様どうように取とる。

このとき、x ∈ X、αあるふぁ ∈ Y^*に対たいしL(X,Y)上うえのセミノルムを

$\|T\|_{x,\alpha }=|\alpha (T(x))|$

により定義ていぎすると、L(X,Y)上うえの弱じゃく作用素さようそ位相いそうはセミノルムの族ぞく$(\|\cdot \|_{x,\alpha })_{x\in X,\alpha \in Y^{*}}$が定さだめる位相いそうと一致いっちする。

連続れんぞく線形せんけい写像しゃぞうの空間くうかんL(X,Y)上うえには弱じゃく作用素さようそ位相いそう以外いがいにも強つよ作用素さようそ位相いそう、＊弱じゃく作用素さようそ位相いそうなど複数ふくすうの位相いそうが入はいる。詳細しょうさいは作用素さようそ位相いそうを参照さんしょうされたい。

関連かんれん項目こうもく

• エバーライン・コンパクト：弱じゃく位相いそうにおけるコンパクト集合しゅうごう
• 測度そくどの弱じゃく収束しゅうそく
• 漠ばく位相いそう

参考さんこう文献ぶんけん

• 増田ますだ久弥ひさや『関数かんすう解析かいせき』裳も華はな房ぼう〈数学すうがくシリーズ〉、1994年ねん6月がつ15日にち。ISBN 978-4785314071。 
• 河添こうぞえ健けん. “線型せんけい位相いそう空間くうかん”. 慶応大学けいおうだいがく. 2021年ねん4月がつ2日にち閲覧えつらん。
• 伊藤いとう, 健一けんいち. “関数かんすう解析かいせき学がく 講義こうぎスライド”. 東京とうきょう大学だいがく. 2021年ねん4月がつ2日にち閲覧えつらん。
• Stephen Semmes. “6: Weak and weak∗ convergence” (pdf). An introduction to some aspects of function alanalysis. Rice University. 2021年ねん3月がつ22日にち閲覧えつらん。
• Thomas Schlumprecht. “CHAPTER 7. ELEMENTS OF FUNCTIONAL ANALYSIS” (pdf). Real Variables II, Math 608. Texas A&M University. 2021年ねん3月がつ23日にち閲覧えつらん。
• Christopher E. Heil. “Alaoglu's Theorem”. LECTURE NOTES, MATH 6338 (Real Analysis II), Summer 2008. Georgia Institute of Technology. 2021年ねん3月がつ22日にち閲覧えつらん。
• Conway, John B. (1994), A Course in Functional Analysis (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97245-5 
• Pedersen, Gert (1989), Analysis Now, Springer, ISBN 0-387-96788-5 
• Rudin, Walter (1991). Functional analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5 
• Willard, Stephen (February 2004). General Topology. Courier Dover Publications. ISBN 9780486434797 
• Yosida, Kosaku (1980), Functional analysis (6th ed.), Springer, ISBN 978-3-540-58654-8