数列すうれつ空間くうかん

関数かんすう解析かいせき学がくおよび関連かんれんする数学すうがくの分野ぶんやにおける数列すうれつ空間くうかん（すうれつくうかん、英えい: sequence space）とは、実数じっすうあるいは複素数ふくそすうの無限むげん列れつを元もととするベクトル空間くうかんのことを言いう。またそれと同値どうちであるが、自然しぜん数すうから実じつあるいは複素数ふくそすう体からだ K への関数かんすうを元もととする関数かんすう空間くうかんのことでもある。そのような関数かんすうすべてからなる集合しゅうごうは、K に元もとを持もつ無限むげん列れつすべてからなる集合しゅうごうであると自然しぜんに認識にんしきされ、関数かんすうの点てんごとの和わおよび点てんごとのスカラー倍ばいの作用さようの下もとで、ベクトル空間くうかんと見みなされる。すべての数列すうれつ空間くうかんは、この空間くうかんの線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんである。通常つうじょう、数列すうれつ空間くうかんはノルムを備そなえるものであり、そうでなくとも少すくなくとも位相いそうベクトル空間くうかんの構造こうぞうを備そなえている。

解析かいせき学がくにおけるもっとも重要じゅうような数列すうれつ空間くうかんのクラスは、p-乗じょう総和そうわ可能かのう数列すうれつからなる関数かんすう空間くうかん ℓ^p である。それらの空間くうかんは p-ノルムを備そなえ、自然しぜん数すうの集合しゅうごう上じょうの数かぞえ上あげ測度そくどに対たいするL^p空間くうかんの特別とくべつな場合ばあいと見みなされる。収束しゅうそく列れつや零れい列れつのような他ほかの重要じゅうような数列すうれつのクラスも数列すうれつ空間くうかんを構成こうせいし、それらの場合ばあいはそれぞれ c および c₀ と表記ひょうきされ、上限じょうげんノルムが備そなえられる。任意にんいの数列すうれつ空間くうかんは各かく点てん収束しゅうそくの位相いそうを備そなえるものでもあり、その位相いそうの下したでのそれらの空間くうかんは、FK空間くうかんと呼よばれるフレシェ空間くうかんの特殊とくしゅな場合ばあいとなる。

定義ていぎ

「数かずベクトル空間くうかん」も参照さんしょう

K を体からだ（特とくに実みのまたは複素数ふくそすう全体ぜんたいの成なす体からだ）とし、各項かくこうが K に値ねをとる数列すうれつ（スカラー列れつ）全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう K^N = {(x_n)_n∈N : x_n ∈ K} は、数列すうれつの和わおよびスカラー倍ばいを

• $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }:=(x_{n}+y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
• $\alpha (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }:=(\alpha x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$

と定さだめることによりベクトル空間くうかんを成なす。このベクトル空間くうかん K^N の線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんを一般いっぱんに数列すうれつ空間くうかんと呼よぶ。

ℓ^p-空間くうかん

詳細しょうさいは「ルベーグ空間くうかん」を参照さんしょう

K^N の部分ぶぶん空間くうかん ℓ^p を、0 < p < ∞ に対たいして ℓ^p = {(x_n)_n∈N : ∑_n |x_n|^p < ∞} および p = ∞ に対たいして ℓ^∞ は有界ゆうかい数列すうれつ全体ぜんたいの成なす空間くうかんと定さだめる。ここで実じつ数値すうちの単項たんこう演算えんざん |•| は（実じつまたは複素数ふくそすうの）絶対ぜったい値ちである。

1 ≤ p ≤ ∞ の場合ばあい

x = (x_n)_n∈N のノルム

$\|x\|_{p}={\begin{cases}\left(\sum _{n}|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}&(1\leq p<\infty )\\\sup _{n}|x_{n}|&(p=\infty )\end{cases}}$

を考かんがえれば、空間くうかん ℓ^p (1 ≤ p ≤ ∞) は

$\ell ^{p}:=\{x\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:\|x\|_{p}<\infty \}$

とも書かける。ℓ^p はこのノルムについて完備かんび距離きょり空間くうかんであり、したがってバナッハ空間くうかんとなる。

0 < p < 1 の場合ばあい

ℓ^p はノルムを持もたないが d(x,y) := ∑_n |x_n − y_n|^p で定義ていぎされる距離きょり関数かんすうを持もつ。

c と c₀

詳細しょうさいは「収束しゅうそく数列すうれつ空間くうかん」を参照さんしょう

収束しゅうそく列れつの空間くうかん c も数列すうれつ空間くうかんで、これは収束しゅうそく列れつ（limn→∞x_n が存在そんざいする数列すうれつ x ∈ K^N）全体ぜんたいの成なす空間くうかんである。任意にんいの収束しゅうそく列れつは有界ゆうかいであるから、c は有界ゆうかい列れつの空間くうかん ℓ^∞ の線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんである。さらに言いえば、無限むげん大だいノルム ‖ • ‖_∞ に関かんして閉部分ぶぶん空間くうかんとなるから、それ自身じしんバナッハ空間くうかんである。

その部分ぶぶん空間くうかんで、零れい列れつの空間くうかん c₀ は極限きょくげんが零れいである数列すうれつ（零れい列れつ）全すべてからなる。これは数列すうれつ空間くうかん c の閉部分ぶぶん空間くうかんであるから、ふたたびバナッハ空間くうかんとなる。

他たの数列すうれつ空間くうかん

詳細しょうさいは「有界ゆうかい級数きゅうすうの空間くうかん」を参照さんしょう

有界ゆうかい級数きゅうすう (bounded series) の空間くうかん bs は、sup_n |∑n
i=0 x_i| < ∞ を満みたす列れつ x 全体ぜんたいの成なす空間くうかんである。この空間くうかん（にノルム ‖ x ‖_bs = sup_n |∑n
i=0 x_i| を入いれたもの）は有界ゆうかい数列すうれつの空間くうかん ℓ^∞ と等ひとし長ちょう同型どうけいなバナッハ空間くうかんになる（この同型どうけいは線型せんけい写像しゃぞう (x_n)_n∈N ↦ (∑n
i=0 x_i)_n∈N で与あたえられる）。収束しゅうそく級数きゅうすう (convergent series) の空間くうかん cs は、この同型どうけいの下したで収束しゅうそく数列すうれつの空間くうかん c の上うえに引ひき写うつされる。

空間くうかん Φふぁい あるいは c₀₀ は、高々たかだか有限ゆうげん個この非ひゼロ項こうを持もつ（有限ゆうげんな台だいを持もつ）無限むげん列れつからなる空間くうかんとして定義ていぎされる。この集合しゅうごうは、多おおくの数列すうれつ空間くうかんにおいて稠密ちゅうみつである。

ℓ^p 空間くうかんと空間くうかん c₀ の性質せいしつ

「c空間くうかん」も参照さんしょう

空間くうかん ℓ² は、ヒルベルト空間くうかんであるような唯ただ一ひとつの ℓ^p 空間くうかんである。なぜならば、内積ないせきにより導出どうしゅつされるノルムは中ちゅう線せん定理ていり $\|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2\|x\|_{p}^{2}+2\|y\|_{p}^{2}$ を満みたさなければならず、その x と y に異ことなる二ふたつの単位たんいベクトルを代入だいにゅうすることで p = 2 でない限かぎりその等式とうしきは成立せいりつしないことが分わかるからである。

各かく ℓ^p は、p < s のとき ℓ^s の真ま部分ぶぶん集合しゅうごうである。さらに、ℓ^p は p ≠ s ならば ℓ^s とは線型せんけい同型どうけいではない。実際じっさい、ピットの定理ていり (Pitt 1936) により、p < s ならば ℓ^s から ℓ^p へのすべての有界ゆうかい線型せんけい作用素さようそはコンパクトであるが、そのような作用素さようそは同型どうけいとはなり得えない。またさらに、それは ℓ^s の任意にんいの無限むげん次元じげん部分ぶぶん空間くうかん上じょうの同型どうけいともなり得えず、厳密げんみつ特異とくい作用素さようそと呼よばれる。

1 < p < ∞ なら、ℓ^p の連続れんぞく的てき双対そうつい空間くうかんは、1/p + 1/q = 1 を満みたすようなヘルダー共役きょうやく q に対たいする空間くうかん ℓ^q と等ひとし長ちょう同型どうけいである。この特別とくべつな同型どうけいは、ℓ^q のある元もと x を、ℓ^p の元もと y の汎ひろし函数かんすう

$L_{x}(y)=\sum _{n}x_{n}y_{n}$

と関連付かんれんづける。ヘルダーの不等式ふとうしきより、L_x は ℓ^p 上うえの有界ゆうかい線型せんけい汎ひろし函数かんすうであることが分わかる。また実際じっさい、

$|L_{x}(y)|\leq \|x\|_{q}\,\|y\|_{p}$

であることから、その作用素さようそノルムは

$\|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}:=\sup _{\begin{smallmatrix}y\in \ell ^{p}\\y\neq 0\end{smallmatrix}}{\frac {|L_{x}(y)|}{\|y\|_{p}}}\leq \|x\|_{q}$

を満みたす。

y を ℓ^p の元もととし、

$y_{n}={\begin{cases}0&(x_{n}=0)\\x_{n}^{-1}|x_{n}|^{q}&(x_{n}\neq 0)\end{cases}}$

とすれば、L_x(y) = ‖ x ‖_q ‖ y ‖_p が得えられるため、実際じっさいには等号とうごうが成立せいりつし

$\|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}=\|x\|_{q}$

である。

逆ぎゃくに、ℓ^p 上うえの与あたえられた有界ゆうかい線型せんけい汎ひろし函数かんすう L に対たいし、x_n = L(e_n) で定義ていぎされる数列すうれつは ℓ^q に属ぞくする。したがって、写像しゃぞう $x\mapsto L_{x}$ は等ひとし長ちょう写像しゃぞう

$\kappa _{q}\colon \ell ^{q}\to (\ell ^{p})^{*}$

を与あたえる。

κかっぱ_p を、その転置てんちの逆ぎゃくと合成ごうせいすることにより得えられる写像しゃぞう

$\ell ^{q}{\xrightarrow {\kappa _{q}}}(\ell ^{p})^{*}{\xrightarrow {(\kappa _{q}^{*})^{-1}}}$

は、その二に重じゅう双対そうついへの ℓ^q の標準ひょうじゅん単たん射いと一致いっちする。したがって、ℓ^q は回帰かいき的てき空間くうかんである。記法きほうの濫用らんようにより、ℓ^q を ℓ^p の双対そうついと同一どういつ視しするのが通例つうれいである（つまり、(ℓ^p)^* = ℓ^q）。したがって、回帰かいき性せいは、(ℓ^p)^** = (ℓ^q)^* = ℓ^p という等号とうごうのつながりによって理解りかいされる。

空間くうかん c₀ は、ゼロへと収束しゅうそくするすべての数列すうれつからなる空間くうかんとして定義ていぎされる。これに上限じょうげんノルム ‖ x ‖_∞ を入いれたものは ℓ^∞ の閉部分ぶぶん空間くうかんとなり、したがってバナッハ空間くうかんとなる。その双対そうつい空間くうかんは ℓ¹ である。ℓ¹ の双対そうつい空間くうかんは ℓ^∞ であることに注意ちゅういされたい。自然しぜん数すうの添字そえじ集合しゅうごうの場合ばあい、ℓ^p と c₀ は可分かぶんである。ただし ℓ^∞ は例外れいがいとなる。ℓ^∞ の双対そうつい空間くうかんはba空間くうかんである。

空間くうかん c₀ と ℓ^p（1 ≤ p < ∞）には、標準ひょうじゅん無条件むじょうけんシャウダー基底きてい {e_i | i = 1, 2,…} が存在そんざいする。ここで e_i は第だい i 成分せいぶんのみ 1 でその他たではゼロであるような列れつである。

空間くうかん ℓ¹ はシューアの性質せいしつを持もつ：すなわち、ℓ¹ において弱じゃく収束しゅうそくする列れつは、必かならず強つよ収束しゅうそくもする(Schur 1921)。しかし、無限むげん次元じげん空間くうかん上じょうの弱じゃく位相いそうは、強つよ位相いそうよりも厳密げんみつに弱よわいため、ℓ¹ には弱じゃく収束しゅうそくするが強つよ収束しゅうそくしない有向ゆうこう点てん族ぞくが存在そんざいする。

ℓ^p 空間くうかんは多おおくのバナッハ空間くうかんに埋うめ込こまれる。すべての無限むげん次元じげんバナッハ空間くうかんがある ℓ^p あるいは c₀ の同型どうけいを含ふくむかという問題もんだいは、1974年ねんのボリス・チレルソンによるチレルソン空間くうかんの構成こうせいにより、否定ひてい的てきな解答かいとうが与あたえられた。その対たいとして、すべての可分かぶんバナッハ空間くうかんは ℓ¹ の商しょう空間くうかんと線型せんけい等とう長ちょうである、という問題もんだいは、Banach & Mazur (1933)により肯定こうてい的てきな解答かいとうが与あたえられた。すなわち、すべての可分かぶんバナッハ空間くうかん X に対たいして、X が $\ell ^{1}/\ker Q$ と同型どうけいになるような商しょう写像しゃぞう $Q:\ell ^{1}\to X$ が存在そんざいする。一般いっぱん的てきに、ker Q は ℓ¹ 内うちで完備かんび化かされない。すなわち、$\ell ^{1}=Y\oplus \ker Q$ であるような ℓ¹ の部分ぶぶん空間くうかん Y は存在そんざいしない。実際じっさい、ℓ¹ はそれ自身じしんのどれとも同型どうけいでないような非ひ可算かさん個この多おおくの非ひ完備かんび部分ぶぶん空間くうかんを持もつ（例たとえば、$X=\ell ^{p}$ を考かんがえる。そのような X は非ひ可算かさんに多おおく存在そんざいし、ℓ^p はどの他ほかのものとも同型どうけいでないため、非ひ可算かさん個この多おおくの ker Q が存在そんざいする）。

自明じめいな有限ゆうげん次元じげんの場合ばあいを除のぞき、ℓ^p の変かわった性質せいしつは、それが多項式たこうしき的てき回帰かいき的てき空間くうかんであることである。

関連かんれん項目こうもく

• L^p-空間くうかん
• βべーた-双対そうつい空間くうかん

参考さんこう文献ぶんけん

• Banach, S.; Mazur, S. (1933), “Zur Theorie der linearen Dimension”, Studia Mathematica 4: 100–112 .
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume I, Wiley-Interscience .
• Pitt, H.R. (1936), “A note on bilinear forms”, J. London Math. Soc. 11 (3): 174–180, doi:10.1112/jlms/s1-11.3.174 .
• Schur, J. (1921), “Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 151: 79–111 .