回帰かいき的てき空間くうかん

数学すうがくの関数かんすう解析かいせき学がくにおける回帰かいき的てき空間くうかん（かいきてきくうかん、英えい: reflexive space）とは、その双対そうつい空間くうかんの双対そうついが元もとの空間くうかんと一致いっちするようなバナッハ空間くうかん（より一般いっぱん的てきには、局所きょくしょ凸とつ位相いそうベクトル空間くうかん）のことである。回帰かいき的てきなバナッハ空間くうかんはしばしばそれらの幾何きか学がく的てきな性質せいしつによって特徴付とくちょうづけられる。

定義ていぎ

ノルム空間くうかん

X を、R あるいは C のノルム線型せんけい空間くうかんとする。その連続れんぞく双対そうつい、すなわち X から基礎きそ体たい（base field）へのすべての連続れんぞく線形せんけい写像しゃぞうからなる空間くうかんを、X ′ と表あらわす。双対そうつい空間くうかんの記事きじにおいて説明せつめいされるように、X ′ はバナッハ空間くうかんである。二に重じゅう双対そうつい（double dual）X ′′ を、X ′ の連続れんぞく双対そうついで定義ていぎする。このとき、自然しぜんな連続れんぞく線形せんけい変換へんかん

J : X → X ′′

を

J(x)(φふぁい) = φふぁい(x)    

として、X 内うちのすべての x および X ′ 内ないのすべての φふぁい に対たいして定義ていぎすることが出来できる。すなわち、J は x を、x において評価ひょうかされるような X ′ 上うえの汎ひろし関数かんすうへと写うつす。ハーン-バナッハの定理ていりに従したがい、J はノルム保存ほぞん（すなわち、||J(x)|| = ||x||）であるため、単たん射いである。J が全ぜん単たん射しゃであるとき、空間くうかん X は回帰かいき的てきであると言いわれる（これはすなわち、回帰かいき的てきなノルム空間くうかんはバナッハ空間くうかんであることを意味いみする。なぜならば X は完備かんび空間くうかん X ′′ と等ひとし長ちょうであるからである）。空間くうかん X が（位い数すう d で）準じゅん回帰かいき的てきであるとは、X ′′/J(X) の次元じげん d が有限ゆうげんであることを言いう。

局所きょくしょ凸とつ空間くうかん

X を局所きょくしょ凸とつな位相いそうベクトル空間くうかんとしたとき、連続れんぞく双対そうつい X ′ は、X の有界ゆうかい部分ぶぶん集合しゅうごう上うえ一いち様よう収束しゅうそくする強つよ位相いそう βべーた(X ′, X) を持もつ。この位相いそうベクトル空間くうかんは X の強つよ双対そうつい（strong dual）と呼よばれ、ここでは $X'_{\beta }$ と表記ひょうきする。$X'_{\beta }$ の双対そうついへの、X の標準ひょうじゅん埋うめ込こみ J が全ぜん単たん射しゃであるとき、X は半はん回帰かいき的てきであると言いわれる。さらに、もし X 上うえの位相いそうが強つよ位相いそう βべーた(X, X ′_βべーた) と一致いっちするなら、X は回帰かいき的てきであると言いわれる。

注意ちゅうい  ノルム空間くうかんへと応用おうようされる場合ばあい、この節ふしでの定義ていぎはノルム空間くうかんに対たいする回帰かいき性せいの定義ていぎと一致いっちする。実際じっさい、バナッハ空間くうかん X の双対そうつい X ′ 上うえのノルム位相いそうは、強つよ位相いそう βべーた(X ′, X) と一致いっちし、したがって、位相いそうベクトル空間くうかんとしてのノルム空間くうかん X ′ は X の強つよ双対そうついとなる。また、X 上うえのノルム位相いそうは βべーた(X, X ′) と等ひとしい。したがって、X が位相いそうベクトル空間くうかんとして回帰かいき的てきであることと、それがノルム空間くうかんとして回帰かいき的てきである（すなわち、単たん射い J が全ぜん単たん射しゃである場合ばあい）ことは同値どうちである。

例れい

すべての有限ゆうげん次元じげんノルム空間くうかんは回帰かいき的てきである。なぜならば、単純たんじゅんに、そのような空間くうかんとその双対そうついおよび二に重じゅう双対そうついはすべて同おなじ線形せんけい次元じげんを持もち、したがって定義ていぎから線形せんけい単たん射しゃである J は、階数かいすう・退化たいか次数じすう公式こうしきにより、全ぜん単たん射しゃとなるからである。

無限むげん大だいで 0 へと収束しゅうそくするようなスカラー列れつ（数列すうれつ）からなるバナッハ空間くうかん c₀ で、そのノルムを上限じょうげんノルムとするような空間くうかんは、回帰かいき的てきではない。これは後述こうじゅつの一般いっぱん的てき性質せいしつとして ℓ¹ および ℓ^∞ は回帰かいき的てきではないことから従したがう。なぜならば ℓ¹ は c₀ の双対そうついと同型どうけいで、ℓ^∞ は ℓ¹ の双対そうついと同型どうけいだからである。

すべてのヒルベルト空間くうかんは回帰かいき的てきであり、また 1 < p < ∞ であるようなL^p空間くうかんも回帰かいき的てきである。より一般いっぱん的てきに、すべての一様いちよう凸とつバナッハ空間くうかんは、ミルマン-ペッティスの定理ていりにしたがい、回帰かいき的てきとなる。空間くうかん L¹(μみゅー) および L^∞(μみゅー) は、例たとえば μみゅー が有限ゆうげん集合しゅうごうの測度そくどであるような、有限ゆうげん次元じげんの場合ばあいの除のぞいて、回帰かいき的てきではない。同様どうように、[0, 1] 上じょうの連続れんぞく関数かんすうからなるバナッハ空間くうかん C([0, 1]) は回帰かいき的てきではない。

ヒルベルト空間くうかん H 上うえのシャッテンクラス作用素さようそからなる空間くうかん S_p(H) は一様いちよう凸とつであり、したがって 1 < p < ∞ であるときには回帰かいき的てきとなる。H の次元じげんが無限むげんである場合ばあい、S₁(H) （トレース級きゅう）は ℓ¹ と同型どうけいな部分ぶぶん空間くうかんを含ふくむため、回帰かいき的てきではない。また S_∞(H) = L(H) （有界ゆうかい作用素さようそ）は、ℓ^∞ と同型どうけいの部分ぶぶん空間くうかんを含ふくむため、回帰かいき的てきではない。

すべての有限ゆうげん次元じげんハウスドルフ位相いそうベクトル空間くうかんは回帰かいき的てきである。なぜならば、線形せんけい代数だいすうにより J は全ぜん単たん射しゃであり、有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかん上じょうにはただ一ひとつのハウスドルフベクトル空間くうかん位相いそうが存在そんざいするからである。

モンテル空間くうかんは回帰かいき的てきな局所きょくしょ凸とつ位相いそうベクトル空間くうかんである。

すべての半はん回帰かいき的てきなノルム空間くうかんは回帰かいき的てきである。技巧ぎこう的てきではあるが、半はん回帰かいき的てきであって回帰かいき的てきでないような空間くうかんの例れいを次つぎに挙あげる:Y を無限むげん次元じげんの回帰かいき的てきなバナッハ空間くうかんとし、X を位相いそうベクトル空間くうかん (Y, σしぐま(Y, Y ′))、すなわち、弱じゃく位相いそうを備そなえたベクトル空間くうかん Y とする。このとき、X の連続れんぞく双対そうついは集合しゅうごう Y ′ であり、X の有界ゆうかい部分ぶぶん集合しゅうごうはノルム有界ゆうかいであるため、バナッハ空間くうかん Y ′ は X の強つよ双対そうついである。Y は回帰かいき的てきであるため、X ′ = Y ′ の連続れんぞく双対そうついは、標準ひょうじゅん埋うめ込こみ J に関かんする X の像ぞう J(X) と等ひとしいことになるが、X 上うえの位相いそうは強つよ位相いそうβべーた(X, X ′) ではなく、これは Y のノルム位相いそうと等ひとしい。

性質せいしつ

もしバナッハ空間くうかん Y が、回帰かいき的てきなバナッハ空間くうかん X と同型どうけいであるなら、Y も回帰かいき的てきである。

回帰かいき的てきな空間くうかんのすべての閉部分ぶぶん空間くうかんは、回帰かいき的てきである。回帰かいき的てき空間くうかんの双対そうついは、回帰かいき的てきである。回帰かいき的てきな空間くうかんのすべての商しょうは、回帰かいき的てきである。

回帰かいき的てきなバナッハ空間くうかんの幾何きか的てきな性質せいしつは次つぎのようなものである:C を、回帰かいき的てき空間くうかん X の空そらでない閉凸とつ部分ぶぶん集合しゅうごうとするなら、X に含ふくまれるすべての x に対たいして、C に含ふくまれるある c が存在そんざいし、||x − c|| が x と C の点てんとの距離きょりを最小さいしょうのものとする（ここで、x と C の間あいだの最小さいしょう距離きょりは x によって一意いちいに定さだまるが、c はそうならないことに注意ちゅういされたい。X が一様いちよう凸とつであるなら、最もっとも近ちかい点てん c は一意いちいである）。

X をバナッハ空間くうかんとする。以下いかは同値どうちである。

1. 空間くうかん X は回帰かいき的てきである。
2. X の双対そうついは回帰かいき的てきである。
3. X の閉単位い球だまは、弱じゃく位相いそうにおいてコンパクトである（これは角谷かどやの定理ていりとして知しられる）。
4. X に含ふくまれるすべての有界ゆうかい列れつは、弱じゃく収束しゅうそく部ぶ分列ぶんれつを持もつ。
5. X 上うえのすべての連続れんぞく線形せんけい汎ひろし関数かんすうは、X 内うちの閉単位い球だま上じょうで最大さいだい値ちを取とる（ジェームズの定理ていり）。

回帰かいき的てきなバナッハ空間くうかんが可分かぶんであることと、その双対そうついが可分かぶんであることは同値どうちである。このことは、すべてのノルム空間くうかん Y に対たいして、その双対そうつい Y ′ の可分かぶん性せいは Y の可分かぶん性せいを意味いみする、という事実じじつによりしたがう。

関連かんれん項目こうもく

• グロタンディーク空間くうかんの概念がいねんは、回帰かいき的てき空間くうかんのいくつかの特徴とくちょうを備そなえ、また実践じっせん的てきに重要じゅうような多おおくの空間くうかんを含ふくむような一般いっぱん化かとして知しられる。
• 回帰かいき的てき作用素さようそ環たまき

参考さんこう文献ぶんけん

• J.B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer, 1985.
• Schaefer, Helmuth H. (1966). Topological vector spaces. New York: The MacMillan Company. ISBN 0-387-98726-6