強つよ位相いそう (極ごく位相いそう)

函数かんすう解析かいせき学がくと関連かんれんする数学すうがくの分野ぶんやにおいて、強つよ位相いそう（きょういそう、英えい: strong topology）とは、最もっとも細こまかい（英語えいご版ばん）極ごく位相いそう、すなわちある双対そうつい組ぐみ上うえで最大さいだいの開ひらけ集合しゅうごうを伴ともなう位相いそうである。最もっとも粗あらい（英語えいご版ばん）極ごく位相いそうは弱じゃく位相いそうと呼よばれる。

定義ていぎ[編集へんしゅう]

$(X,Y,\langle ,\rangle )$ を、実数じっすう ${\mathbb {R} }$ あるいは複素数ふくそすう ${\mathbb {C} }$ の体からだ ${\mathbb {F} }$ 上うえのベクトル空間くうかんの双対そうつい組ぐみとする。 ${\mathcal {B}}$ を、次つぎに述のべる意味いみで $Y$ の元もとによって評価ひょうかされているすべての部分ぶぶん集合しゅうごう $B\subseteq X$ の系けいとする。

\forall y\in Y\qquad \sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty .

このとき、 $Y$ 上うえの強つよ位相いそう $\beta (Y,X)$ は、次つぎの形かたちの半はんノルムによって生成せいせいされる $Y$ 上うえの局所きょくしょ凸とつ位相いそうとして定義ていぎされる。

\|y\|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |,\qquad y\in Y,\qquad B\in {\mathcal {B}}.

$X$ が局所きょくしょ凸とつ空間くうかんであるような特別とくべつな場合ばあいには、（連続れんぞく）双対そうつい空間くうかん $X'$ （すなわち、すべての連続れんぞく線型せんけい汎ひろし函数かんすう $f:X\to {\mathbb {F} }$ の空間くうかん）上じょうの強つよ位相いそうは、強つよ位相いそう $\beta (X',X)$ で定義ていぎされ、それは $X$ 内うちの有界ゆうかい集合しゅうごう（英語えいご版ばん）の一様いちよう収束しゅうそく位相いそう、すなわち次つぎの形状けいじょうの半はんノルムによって生成せいせいされる $X'$ 上うえの位相いそうと一致いっちする。

\|f\|_{B}=\sup _{x\in B}|f(x)|,\qquad f\in X'.

ただし $B$ は $X$ 内うちのすべての有界ゆうかい集合しゅうごう（英語えいご版ばん）の族ぞくについて考かんがえられる。この位相いそうを備そなえる空間くうかん $X'$ は、空間くうかん $X$ の強つよ双対そうつい空間くうかん（strong dual space）と呼よばれ、 $X'_{\beta }$ と記述きじゅつされる。

例れい[編集へんしゅう]

$X$ がノルム線型せんけい空間くうかんであるなら、強つよ位相いそうを伴ともなうその（連続れんぞく）双対そうつい空間くうかん $X'$ は、バナッハ双対そうつい空間くうかん $X'$ 、すなわち作用素さようそノルムによって誘さそえ起おこされる位相いそうを伴ともなう空間くうかん $X'$ と一致いっちする。逆ぎゃくに、 $X$ 上うえの $\beta (X,X')$ -位相いそうは、 $X$ 上うえのノルムによって誘さそえ起おこされる位相いそうと一致いっちする。