樽たる型がた空間くうかん

函数かんすう解析かいせき学がくおよび関連かんれんする数学すうがくにおいて、樽たる型がた空間くうかん（たるがたくうかん、英えい: barrelled space）とは、その空間くうかんのすべての樽たる型がた集合しゅうごうが零れいベクトルの近傍きんぼうであるようなハウスドルフ位相いそう線型せんけい空間くうかんのことをいう。ここで、ある位相いそう線型せんけい空間くうかんにおける樽たる型がた集合しゅうごう (barrel) とは、凸とつ、均衡きんこう、併呑へいどんかつ閉である集合しゅうごうのことをいう。樽たる型がた空間くうかんが研究けんきゅうされる理由りゆうとして、バナッハ＝シュタインハウスの定理ていりの一種いっしゅがそれらに対たいして成立せいりつすることが挙あげられる。

歴史れきし

樽たる型がた空間くうかんは Bourbaki (1950) によって考かんがえられた。

例れい

• 半はんノルム線型せんけい空間くうかんにおける閉単位たんい球だまは、樽たる型がたである。
• すべての局所きょくしょ凸とつ位相いそう線型せんけい空間くうかんは、樽たる型がた集合しゅうごうからなる近傍きんぼう基もとを持もつ。しかしそれ自身じしんは必かならずしも樽たる型がた空間くうかんではない。
• フレシェ空間くうかん、特とくにバナッハ空間くうかんは、樽たる型がたである。しかし一般いっぱんにノルム線型せんけい空間くうかんは樽たる型がたとは限かぎらない。
• モンテル空間くうかんは樽たる型がたである。したがって、モンテル空間くうかんの強つよ双対そうついは（それらもモンテル空間くうかんであるため）樽たる型がたである。
• ベール空間くうかんであるような局所きょくしょ凸とつ空間くうかんは、樽たる型がたである。

性質せいしつ

連続れんぞく双対そうつい $X'$ を持もつハウスドルフ局所きょくしょ凸とつ空間くうかん $X$ に対たいして、以下いかは同値どうちである。

• X は樽たる型がたである。
• 連続れんぞく双対そうつい空間くうかん X' のすべての $\sigma (X',X)$-有界ゆうかい部分ぶぶん集合しゅうごうは同どう程度ていど連続れんぞくである（これはバナッハ＝シュタインハウスの部分ぶぶん的てきな逆ぎゃくを与あたえる）。
• 連続れんぞく双対そうつい空間くうかん X' のすべての部分ぶぶん集合しゅうごう A に対たいして、次つぎの性質せいしつは同値どうちである：A は
  • 同どう程度ていど連続れんぞく
  • 相対そうたい弱じゃくコンパクト
  • 強つよ有界ゆうかい
  • 弱じゃく有界ゆうかい
• X は強つよ位相いそう $\beta (X,X')$ を備そなえる。
• $X$ 上うえのすべての下した半はん連続れんぞく半はんノルムが連続れんぞくである。
• X 内うちの 0-近傍きんぼう基もとと、$E_{\beta }'$ 内うちの有界ゆうかい集合しゅうごうの基本きほん族ぞくは、極性きょくせいによってお互たがい対応たいおうする。

さらに

• すべての点てん列れつ完備かんびな準じゅん樽たる型がた空間くうかんは、樽たる型がたである。
• 樽たる型がた空間くうかんは必かならずしも、モンテル、完備かんび、距離きょり化か可能かのう、非ひ順序じゅんじょベール型がた、およびバナッハ空間くうかんの帰納きのう極限きょくげんではない。

準じゅん樽たる型がた空間くうかん

ある位相いそう線型せんけい空間くうかん $X$ が準じゅん樽たる型がた空間くうかんであるとは、その中なかのすべての樽たる型がた有界ゆうかい型がた集合しゅうごうが $0$ の近傍きんぼうであることをいう。ここである集合しゅうごうが有界ゆうかい型がたであるとは、それが $X$ のすべての有界ゆうかい部分ぶぶん集合しゅうごうを併呑へいどんすることをいう。すべての樽たる型がた空間くうかんは、準じゅん樽たる型がたである。

連続れんぞく双対そうつい $X'$ を持もつ局所きょくしょ凸とつ空間くうかん $X$ に対たいして、以下いかは同値どうちである。

• $X$ は準じゅん樽たる型がたである。
• $X$ 上うえのすべての有界ゆうかい下か半はん連続れんぞく半はんノルムが連続れんぞくである。
• 連続れんぞく双対そうつい空間くうかん $X'$ のすべての $\beta (X',X)$-有界ゆうかい部分ぶぶん集合しゅうごうが同どう程度ていど連続れんぞくである。

参考さんこう文献ぶんけん

• Bourbaki, Nicolas (1950). “Sur certains espaces vectoriels topologiques” (French). Annales de l'Institut Fourier 2: 5–16 (1951). MR0042609. http://www.numdam.org/item?id=AIF_1950__2__5_0. 
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1964). Topological vector spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. 53. Cambridge University Press. pp. 65–75 
• Schaefer, Helmut H. (1971). Topological vector spaces. GTM. 3. New York: Springer-Verlag. p. 60. ISBN 0-387-98726-6 
• S.M. Khaleelulla (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. GTM. 936. Springer-Verlag. pp. 28-46. ISBN 978-3-540-11565-6 

外部がいぶリンク

• barrel - PlanetMath.（英語えいご）
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Barrelled space”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Barrelled_space