パーセヴァルの等式とうしき

数学すうがくの解析かいせき学がくの分野ぶんやにおいて、マルク＝アントワーヌ・パーセバルの名なにちなむパーセヴァルの等式とうしき（パーセヴァルのとうしき、英えい: Parseval's identity）は、函数かんすうのフーリエ級数きゅうすうの総和そうわ可能かのう性せいに関かんする基本きほん的てきな結果けっかである。幾何きか学的がくてきには、内積ないせき空間くうかんに対たいするピタゴラスの定理ていりと見みなされる。

大雑把おおざっぱに言いうと、この等式とうしきでは、函数かんすうのフーリエ係数けいすうの二に乗じょうの和わが、その函数かんすうの二に乗じょうの積分せきぶんと等ひとしいことが示しめされる。すなわち

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx$

が成立せいりつする。ここで c_n は ƒ のフーリエ係数けいすうで、次つぎ式しきで与あたえられる：

$c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm {e} ^{-inx}\,dx.$

正確せいかくには、この結果けっかは ƒ が自乗じじょう可か積分せきぶんあるいはより一般いっぱんに L²[−πぱい,πぱい] に属ぞくする場合ばあいに成立せいりつする。類似るいじの結果けっかとして、函数かんすうのフーリエ変換へんかんの二に乗じょうの積分せきぶんが、その函数かんすうの二に乗じょうの積分せきぶんと等ひとしいというプランシュレルの定理ていりがある。すなわち、1 次元じげんの場合ばあいは、ƒ ∈ L²(R) に対たいして次つぎの等式とうしきが成立せいりつする：

$\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi =\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.$

ピタゴラスの定理ていりの一般いっぱん化か

以下いかに述のべるように、この等式とうしきはより一般いっぱんの可分かぶんヒルベルト空間くうかんにおけるピタゴラスの定理ていりと見みなされる。内積ないせき〈•,•〉を備そなえるヒルベルト空間くうかんを H とし、(e_n) を H の正規せいき直交ちょっこう基底きていとする。すなわち e_n の線型せんけい包つつみは H において稠密ちゅうみつであり、e_n は次つぎを満みたす意味いみで互たがいに正規せいき直交ちょっこうである：

$\langle e_{m},e_{n}\rangle ={\begin{cases}1&{\mbox{if}}\ m=n\\0&{\mbox{if}}\ m\not =n.\end{cases}}$

このとき、パーセヴァルの等式とうしきによると、すべての x ∈ H に対たいして次つぎが成立せいりつする。

$\sum _{n}|\langle x,e_{n}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}.$

この等式とうしきは、正規せいき直交ちょっこう基底きていに対たいするベクトルの各かく成分せいぶんの二に乗じょうの和わが、そのベクトルの長ながさの二に乗じょうに等ひとしいという点てんでピタゴラスの定理ていりと直接的ちょくせつてきに関係かんけいする。H をヒルベルト空間くうかん L²[−πぱい,πぱい] とし、n ∈ Z に対たいして e_n = e^−inx とすれば、パーセヴァルの等式とうしきのフーリエ級数きゅうすうの場合ばあいを導みちびくことが出来できる。

より一般いっぱんに、可分かぶんヒルベルト空間くうかんだけでなく、任意にんいの内積ないせき空間くうかんにおいてパーセヴァルの等式とうしきは成立せいりつする。したがって H を内積ないせき空間くうかんと仮定かていする。B を H の正規せいき直交ちょっこう基底きていとする。すなわち、B の線型せんけい包つつみが H において稠密ちゅうみつとなるという意味いみで total な正規せいき直交ちょっこう集合しゅうごうとする。このとき、次つぎが成なり立たつ。

$\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle =\sum _{v\in B}\left|\langle x,v\rangle \right|^{2}.$

B が total であるという仮定かていは、等式とうしきが成立せいりつするために必要ひつようである。B が total でないなら、パーセヴァルの等式とうしきの等号とうごうが by ≥ に変かわったベッセルの不等式ふとうしきが成なり立たつ。このようなパーセヴァルの等式とうしきの一般いっぱんの形かたちは、リース＝フィッシャーの定理ていりを利用りようすることで証明しょうめいできる。

関連かんれん項目こうもく

• マルク＝アントワーヌ・パーセバル
• パーセヴァルの定理ていり

参考さんこう文献ぶんけん

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Parseval equality”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Parseval_equality 
• Johnson, Lee W.; Riess, R. Dean (1982), Numerical Analysis (2nd ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-10392-3 .
• Titchmarsh, E (1939), The Theory of Functions (2nd ed.), Oxford University Press .
• Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric series (2nd ed.), Cambridge University Press (1988発行はっこう), ISBN 978-0-521-35885-9 .