数学 すうがく におけるガトー微分 びぶん (ガトーびぶん、英 えい : Gâteaux differential , Gâteaux derivative )は、第 だい 一 いち 次 じ 世界 せかい 大戦 たいせん において夭折 ようせつ したフランス人数 にんずう 学者 がくしゃ ルネ・ガトー (英語 えいご 版 ばん ) に名 な を因 ちな む、微分 びぶん 学 がく における方向 ほうこう 微分 びぶん の概念 がいねん の一般 いっぱん 化 か で、バナハ空間 くうかん などの局所 きょくしょ 凸 とつ 位相 いそう 線型 せんけい 空間 くうかん の間 あいだ の函数 かんすう に対 たい して定義 ていぎ される。バナハ空間 くうかん 上 じょう のフレシェ微分 びぶん 同様 どうよう に、ガトー微分 びぶん は変 へん 分 ぶん 法 ほう や物理 ぶつり 学 がく で広 ひろ く用 もち いられる汎 ひろし 函数 かんすう 微分 びぶん の定式 ていしき 化 か にしばしば用 もち いられる。
他 た の微分 びぶん 法 ほう と異 こと なり、ガトー微分 びぶん は必 かなら ずしも線型 せんけい でないが、ガトー微分 びぶん の定義 ていぎ にそれが連続 れんぞく 線型 せんけい 変換 へんかん となることも仮定 かてい することがよくある。文献 ぶんけん によっては、例 たと えば Tikhomirov (2001) は(非 ひ 線型 せんけい かもしれない)ガトー微分 びぶん 係数 けいすう (Gâteaux differential ) と(必 かなら ず線型 せんけい である)ガトー導 しるべ 函数 かんすう (Gâteaux derivative ) をはっきりと区別 くべつ する。応用 おうよう に際 さい して、連続 れんぞく 線型 せんけい 性 せい がそれぞれの状況 じょうきょう において自然 しぜん に課 か されるもっと原始 げんし 的 てき な条件 じょうけん 、例 たと えば無限 むげん 次元 じげん 正則 せいそく 函数 かんすう 論 ろん (英語 えいご 版 ばん ) における複素 ふくそ 可 か 微分 びぶん 性 せい や非 ひ 線型 せんけい 解析 かいせき 学 がく における連続 れんぞく 的 てき 可 か 微分 びぶん 性 せい など、から従 したが うということも多 おお い。
X と Y は局所 きょくしょ 凸 とつ 位相 いそう 線型 せんけい 空間 くうかん とし、U ⊂ X は開 ひらけ 集合 しゅうごう 、 F : X → Y とするとき、F の u ∈ U における ψ ぷさい ∈ X 方向 ほうこう へのガトー微分 びぶん 係数 けいすう dF (u ; ψ ぷさい ) は
(
1
)
d
F
(
u
;
ψ ぷさい
)
=
lim
τ たう
→
0
F
(
u
+
τ たう
ψ ぷさい
)
−
F
(
u
)
τ たう
=
d
d
τ たう
F
(
u
+
τ たう
ψ ぷさい
)
|
τ たう
=
0
{\displaystyle (1)\quad dF(u;\psi )=\lim _{\tau \to 0}{\frac {F(u+\tau \psi )-F(u)}{\tau }}=\left.{\frac {d}{d\tau }}F(u+\tau \psi )\right|_{\tau =0}}
として右辺 うへん の極限 きょくげん が存在 そんざい する限 かぎ りにおいて定 さだ める。この極限 きょくげん が任意 にんい の ψ ぷさい ∈ X に対 たい して存在 そんざい するとき、F は u においてガトー微分 びぶん 可能 かのう (Gâteaux differentiable ) であると言 い う。
定義 ていぎ 式 しき (1) に現 あらわ れる極限 きょくげん の取 と り方 かた は Y の位相 いそう と関係 かんけい する。X および Y がともに実 み 位相 いそう 線型 せんけい 空間 くうかん ならば、極限 きょくげん は実数 じっすう τ たう に関 かん して取 と る。一方 いっぽう 、X および Y が複素 ふくそ 位相 いそう 線型 せんけい 空間 くうかん ならば上記 じょうき は複素 ふくそ 可 か 微分 びぶん 性 せい の定義 ていぎ におけると同様 どうよう に複素数 ふくそすう 平面 へいめん において τ たう → 0 とする極限 きょくげん を考 かんが えるのが普通 ふつう である。また強 つよ 収斂 しゅうれん 極限 きょくげん の代 か わりに弱 じゃく 収斂 しゅうれん 極限 きょくげん を取 と ることもあり、その場合 ばあい 弱 じゃく ガトー微分 びぶん の概念 がいねん が導 みちび かれる。
各 かく 点 てん u ∈ U においてガトー微分 びぶん は、函数 かんすう
d
F
(
u
;
∙
)
:
X
→
Y
;
ψ ぷさい
↦
d
F
(
u
;
ψ ぷさい
)
{\displaystyle dF(u;\bullet )\colon X\to Y;\;\psi \mapsto dF(u;\psi )}
を定 さだ める。この函数 かんすう は任意 にんい のスカラー α あるふぁ に対 たい して
d
F
(
u
;
α あるふぁ
ψ ぷさい
)
=
α あるふぁ
d
F
(
u
;
ψ ぷさい
)
{\displaystyle dF(u;\alpha \psi )=\alpha dF(u;\psi )}
を満 み たすという意味 いみ で斉 ひとし 一 いち 次 じ だが、必 かなら ずしも加法 かほう 的 てき でなく、従 したが ってガトー微分 びぶん 係数 けいすう は線型 せんけい でないことが起 お こり得 え る(この点 てん ではフレシェ微分 びぶん と異 こと なる)。また、線型 せんけい となる場合 ばあい であっても、X と Y が無限 むげん 次元 じげん の場合 ばあい には ψ ぷさい に関 かん して連続 れんぞく とならないことが生 しょう じ得 え る。さらに言 い えば、線型 せんけい かつ連続 れんぞく となる ようなガトー微分 びぶん 係 がかり 数 すう に対 たい して、その連続 れんぞく 的 てき 微分 びぶん 可能 かのう 性 せい の定式 ていしき 化 か には互 たが いに同値 どうち でないいくつかの方法 ほうほう が存在 そんざい する。
例 たと えば、二 に 変数 へんすう の実 じつ 数値 すうち 函数 かんすう F を
F
(
x
,
y
)
=
{
x
3
x
2
+
y
2
if
(
x
,
y
)
≠
(
0
,
0
)
0
if
(
x
,
y
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle F(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&{\mbox{ if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{ if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}
で定 さだ めると、これは (0, 0) においてガトー微分 びぶん 可能 かのう で、その微分 びぶん 係数 けいすう は
d
F
(
0
,
0
;
a
,
b
)
=
{
a
3
a
2
+
b
2
(
a
,
b
)
≠
(
0
,
0
)
0
(
a
,
b
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle dF(0,0;a,b)={\begin{cases}{\dfrac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&(a,b)\neq (0,0)\\0&(a,b)=(0,0)\end{cases}}}
となり、しかしこれは引数 ひきすう (a , b ) に関 かん して連続 れんぞく だが線型 せんけい でない。無限 むげん 次元 じげん の場合 ばあい 、X 上 うえ の任意 にんい の不連続線 ふれんぞくせん 型 がた 汎 ひろし 函数 かんすう がガトー微分 びぶん 可能 かのう となるが、その 0 におけるガトー微分 びぶん 係数 けいすう は線型 せんけい であり、かつ連続 れんぞく でない。
フレシェ微分 びぶん との関係 かんけい
F がフレシェ微分 びぶん 可能 かのう ならば、F はまたガトー微分 びぶん 可能 かのう であり、そのフレシェ導 しるべ 函数 かんすう とガトー導 しるべ 函数 かんすう とは一致 いっち する。逆 ぎゃく が明 あき らかに真 しん でないことは、ガトー導 しるべ 函数 かんすう が線型 せんけい や連続 れんぞく でないことがあることから分 わ かるが、実 じつ はガトー導 しるべ 函数 かんすう が線型 せんけい かつ連続 れんぞく である場合 ばあい にも、フレシェ導 しるべ 函数 かんすう が存在 そんざい しないことがあり得 え る。
にも拘 かかわ らず、複素 ふくそ バナハ空間 くうかん X から別 べつ のバナハ空間 くうかん Y への函数 かんすう F に対 たい して、ガトー導 しるべ 函数 かんすう は(ただし、定義 ていぎ における極限 きょくげん は複素 ふくそ 変数 へんすう τ たう に関 かん して取 と るものとすると)、自動的 じどうてき に線型 せんけい になる(Zorn (1945) の定理 ていり )。さらに F が各 かく 点 てん u ∈ U において(複素 ふくそ )ガトー微分 びぶん 可能 かのう で、その導 しるべ 函数 かんすう を DF (u ): ψ ぷさい ↦ dF (u ; ψ ぷさい ) とすると、F は U 上 うえ でフレシェ微分 びぶん 可能 かのう であり、そのフレシェ導 しるべ 函数 かんすう は DF になる (Zorn 1946 )。このことは、古典 こてん 的 てき な複素 ふくそ 解析 かいせき において開 ひらき 集合 しゅうごう 上 じょう 複素 ふくそ 可 か 微分 びぶん な任意 にんい の函数 かんすう が解析 かいせき 的 てき となるという結果 けっか の類似 るいじ 対応 たいおう 物 ぶつ であり、無限 むげん 次元 じげん 正則 せいそく 函数 かんすう 論 ろん (英語 えいご 版 ばん ) の基本 きほん 的 てき な結果 けっか の一 ひと つである。
連続 れんぞく 的 てき 微分 びぶん 可能 かのう 性 せい
連続 れんぞく 的 てき ガトー微分 びぶん 可能 かのう 性 せい は大 おお きく二 ふた つの方法 ほうほう で定義 ていぎ することができる。以下 いか 、函数 かんすう F : U → Y は開 ひらけ 集合 しゅうごう U の各 かく 点 てん でガトー微分 びぶん 可能 かのう と仮定 かてい する。U における連続 れんぞく 的 てき 微分 びぶん 可能 かのう 性 せい の概念 がいねん の一 ひと つは、直積 ちょくせき 空間 くうかん 上 うえ の写像 しゃぞう dF : U × X → Y が連続 れんぞく であることを課 か すものである。この場合 ばあい 線型 せんけい 性 せい を仮定 かてい する必要 ひつよう はなく、X と Y がともにフレシェ空間 くうかん ならば dF (u ; •) は任意 にんい の u に関 かん して自動的 じどうてき に有界 ゆうかい かつ線型 せんけい である (Hamilton 1982 )。
より強 つよ い意味 いみ での連続 れんぞく 的 てき 微分 びぶん 可能 かのう 性 せい は u ↦ DF (u ) が U から、X から Y への連続 れんぞく 線型 せんけい 写像 しゃぞう 全体 ぜんたい の成 な す空間 くうかん L (x , y ) への写像 しゃぞう として連続 れんぞく であることを課 か すものである。即 すなわ ち、DF : U → L (X ,Y ); u ↦ DF (u ) の連続 れんぞく 性 せい を言 い う。ここで、DF (u ) 自体 じたい が連続 れんぞく であることは既 すで に前提 ぜんてい としていることに注意 ちゅうい 。
技術 ぎじゅつ 的 てき な便宜上 べんぎじょう 、X, Y がバナハ空間 くうかん であるときは、後者 こうしゃ の意味 いみ での連続 れんぞく 的 てき 微分 びぶん 可能 かのう 性 せい を考 かんが えるのが典型 てんけい 的 てき (だがいつも (universal ) というわけではない)である。これは L (X , Y ) もまたバナハであり、従 したが って函数 かんすう 解析 かいせき 学 がく における標準 ひょうじゅん 的 てき な結果 けっか をそこで用 もち いることができるという理由 りゆう による。前者 ぜんしゃ のほうは、非 ひ 線型 せんけい 解析 かいせき ではより一般 いっぱん 的 てき に用 もち いられる定義 ていぎ であり、この分野 ぶんや では函数 かんすう 空間 くうかん は必 かなら ずしもバナハでない。例 たと えば、フレシェ空間 くうかん における微分 びぶん 法 ほう (英語 えいご 版 ばん ) は、しばしば可 か 微分 びぶん 多様 たよう 体 たい 上 うえ の滑 なめ らかな函数 かんすう からなる意味 いみ のある函数 かんすう 空間 くうかん において、ナッシュ-モーザーの逆 ぎゃく 写像 しゃぞう 定理 ていり (英語 えいご 版 ばん ) などで応用 おうよう される。
高階 たかしな のフレシェ導 しるべ 函数 かんすう が、同型 どうけい Ln (X , Y ) = L (X , L n −1 (X , Y )) の反復 はんぷく 適用 てきよう によって、多重 たじゅう 線型 せんけい 写像 しゃぞう として自然 しぜん に定義 ていぎ されるのに反 はん して、高階 たかしな ガトー導 しるべ 函数 かんすう はこの方法 ほうほう で定義 ていぎ することはできない。その代 か わり、X の開 ひらき 集合 しゅうごう U 上 うえ の函数 かんすう F : U → Y の h -方向 ほうこう への n -階 かい ガトー導 しるべ 函数 かんすう は
(2)
d
n
F
(
u
;
h
)
=
d
n
d
τ たう
n
F
(
u
+
τ たう
h
)
|
τ たう
=
0
{\displaystyle d^{n}F(u;h)=\left.{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}F(u+\tau h)\right|_{\tau =0}}
で定義 ていぎ される。つまりこれは、多重 たじゅう 線型 せんけい 写像 しゃぞう ではなくて、h に関 かん する n -次 つぎ の斉 ひとし 次 じ 函数 かんすう になる。
あるいはまた、少 すく なくとも F がスカラー値 ち 函数 かんすう である特別 とくべつ の場合 ばあい には、高階 たかしな 導 しるべ 函数 かんすう の別 べつ な候補 こうほ として、F の二 に 次 じ 変 へん 分 ぶん としての函数 かんすう
(3)
D
2
F
(
u
)
{
h
,
k
}
=
lim
τ たう
→
0
D
F
(
u
+
τ たう
k
)
h
−
D
F
(
u
)
h
τ たう
=
∂
2
∂
τ たう
∂
σ しぐま
F
(
u
+
σ しぐま
h
+
τ たう
k
)
|
τ たう
=
σ しぐま
=
0
{\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}=\lim _{\tau \to 0}{\frac {DF(u+\tau k)h-DF(u)h}{\tau }}=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau \partial \sigma }}F(u+\sigma h+\tau k)\right|_{\tau =\sigma =0}}
が、変 へん 分 ぶん 法 ほう において自然 しぜん に生 しょう じてくるが、しかしこの方法 ほうほう だと h および k のそれぞれに関 かん して斉 ひとし 次 つぎ になることを除 のぞ けば、まともな性質 せいしつ が全 まった く保証 ほしょう されない。D 2 F (u ){h , k } が h と k に関 かん する対称 たいしょう 双 そう 線型 せんけい 写像 しゃぞう となること、およびその対称 たいしょう 双 そう 線型 せんけい 写像 しゃぞう が dn F の極 きょく 化 か 形式 けいしき (英語 えいご 版 ばん ) と一致 いっち すること、を保証 ほしょう する十分 じゅうぶん 条件 じょうけん を持 も つことが望 のぞ ましい。
例 たと えば、以下 いか のような十 じゅう 分 ふん 条件 じょうけん が挙 あ げられる (Hamilton 1982 )。F は写像 しゃぞう DF : U × X → Y が積 せき 位相 いそう に関 かん して連続 れんぞく であるという意味 いみ で C 1 -級 きゅう であるとし、さらに定義 ていぎ 式 しき (3) の定 さだ める二 に 次 じ 変 へん 分 ぶん が D 2 F : U × X × X → Y が連続 れんぞく となるという意味 いみ で連続 れんぞく と仮定 かてい する。このとき D 2 F (u ){h , k } は h, k に関 かん して双 そう 線型 せんけい かつ対称 たいしょう である。双 そう 線型 せんけい 性 せい のおかげで、極 きょく 化 か 恒等 こうとう 式 しき
D
2
F
(
u
)
{
h
,
k
}
=
1
2
d
2
F
(
u
;
h
+
k
)
−
d
2
F
(
u
;
h
)
−
d
2
F
(
u
;
k
)
{\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}={\frac {1}{2}}d^{2}F(u;h+k)-d^{2}F(u;h)-d^{2}F(u;k)}
が満 み たされ、二 に 次 じ 変 へん 分 ぶん D 2 F (u ) が二 に 次 じ 微分 びぶん 係数 けいすう d 2 F (u ; −) に関連付 かんれんづ けられる。同様 どうよう のことが高階 たかしな 導 しるべ 函数 かんすう に関 かん しても成立 せいりつ する。
函数 かんすう F が十分 じゅうぶん に連続 れんぞく 的 てき 微分 びぶん 可能 かのう と仮定 かてい すると、F のガトー微分 びぶん に関 かん して微分 びぶん 積分 せきぶん 学 がく の基本 きほん 定理 ていり の一種 いっしゅ が成立 せいりつ する。具体 ぐたい 的 てき に書 か けば、
F : X → Y はガトー微分 びぶん dF : U × X → Y が連続 れんぞく 函数 かんすう であるという意味 いみ で C 1 -級 きゅう とすると、任意 にんい の u ∈ U および h ∈ X に関 かん して
F
(
u
+
h
)
−
F
(
u
)
=
∫
0
1
d
F
(
u
+
t
h
;
h
)
d
t
{\displaystyle F(u+h)-F(u)=\int _{0}^{1}dF(u+th;h)\,dt}
が成 な り立 た つ。ただし、積分 せきぶん はゲルファント-ペティス積分 せきぶん (弱 じゃく 積分 せきぶん )の意味 いみ で取 と る。
これにより、よく知 し られた微分 びぶん の性質 せいしつ の多 おお くをガトー微分 びぶん も満 み たす(例 たと えば、高階 たかしな 導 しるべ 函数 かんすう の重 じゅう 線型 せんけい 性 せい や交換 こうかん 性 せい )。基本 きほん 定理 ていり の帰結 きけつ として他 ほか にも、
連鎖 れんさ 律 りつ
任意 にんい の u ∈ U , x ∈ X に対 たい して
d
(
G
∘
F
)
(
u
;
x
)
=
d
G
(
F
(
u
)
;
d
F
(
u
;
x
)
)
{\displaystyle d(G\circ F)(u;x)=dG(F(u);dF(u;x))}
が成 な り立 た つ。
剰余 じょうよ 項 こう を持 も つテイラーの定理 ていり
u ∈ U と u + h を結 むす ぶ線分 せんぶん がまったく U に含 ふく まれると仮定 かてい する。F が Ck -級 きゅう ならば
F
(
u
+
h
)
=
F
(
u
)
+
d
F
(
u
;
h
)
+
1
2
!
d
2
F
(
u
;
h
)
+
⋯
+
1
(
k
−
1
)
!
d
k
−
1
F
(
u
;
h
)
+
R
k
{\displaystyle F(u+h)=F(u)+dF(u;h)+{\frac {1}{2!}}d^{2}F(u;h)+\dots +{\frac {1}{(k-1)!}}d^{k-1}F(u;h)+R_{k}}
が成 な り立 た つ。ただし剰余 じょうよ 項 こう は
R
k
(
u
;
h
)
=
1
(
k
−
1
)
!
∫
0
1
(
1
−
t
)
k
−
1
d
k
F
(
u
+
t
h
;
h
)
d
t
{\displaystyle R_{k}(u;h)={\frac {1}{(k-1)!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{k-1}d^{k}F(u+th;h)\,dt}
で与 あた えられる。
などが成立 せいりつ する。
空間 くうかん X はユークリッド空間 くうかん R N のルベーグ可 か 測 はか 集合 しゅうごう Ω おめが 上 うえ の自乗 じじょう 可 か 積分 せきぶん 函数 かんすう 全体 ぜんたい の成 な すヒルベルト空間 くうかん とする。F は F' = f なる実 じつ 変数 へんすう 実 じつ 数値 すうち 函数 かんすう で、u は Ω おめが 上 うえ の実 じつ 数値 すうち 函数 かんすう とするとき、汎 ひろし 函数 かんすう E : X → R を
E
(
u
)
=
∫
Ω おめが
F
(
u
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle E(u)=\int _{\Omega }F(u(x))dx}
で定 さだ めると、これはガトー導 しるべ 函数 かんすう
d
E
(
u
,
ψ ぷさい
)
=
⟨
f
(
u
)
,
ψ ぷさい
⟩
{\displaystyle dE(u,\psi )=\langle f(u),\psi \rangle }
を持 も つ。実際 じっさい 、
E
(
u
+
τ たう
ψ ぷさい
)
−
E
(
u
)
τ たう
=
1
τ たう
(
∫
Ω おめが
F
(
u
+
τ たう
ψ ぷさい
)
d
x
−
∫
Ω おめが
F
(
u
)
d
x
)
=
1
τ たう
(
∫
Ω おめが
∫
0
1
d
d
s
F
(
u
+
s
τ たう
ψ ぷさい
)
d
s
d
x
)
=
∫
Ω おめが
∫
0
1
f
(
u
+
s
τ たう
ψ ぷさい
)
ψ ぷさい
d
s
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }}&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }F(u+\tau \psi )dx-\int _{\Omega }F(u)dx\right)\\&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }\int _{0}^{1}{\frac {d}{ds}}F(u+s\tau \psi )\,ds\,dx\right)\\&=\int _{\Omega }\int _{0}^{1}f(u+s\tau \psi )\psi \,ds\,dx\end{aligned}}}
となるから、τ たう → 0 としてガトー導 しるべ 函数 かんすう は
d
E
(
u
,
ψ ぷさい
)
=
∫
Ω おめが
f
(
u
(
x
)
)
ψ ぷさい
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle dE(u,\psi )=\int _{\Omega }f(u(x))\psi (x)\,dx,}
即 すなわ ち、内積 ないせき ⟨f , ψ ぷさい ⟩ となる。
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