ガトー微分びぶん

数学すうがくにおけるガトー微分びぶん（ガトーびぶん、英えい: Gâteaux differential, Gâteaux derivative）は、第だい一いち次じ世界せかい大戦たいせんにおいて夭折ようせつしたフランス人数にんずう学者がくしゃルネ・ガトー（英語えいご版ばん）に名なを因ちなむ、微分びぶん学がくにおける方向ほうこう微分びぶんの概念がいねんの一般いっぱん化かで、バナハ空間くうかんなどの局所きょくしょ凸とつ位相いそう線型せんけい空間くうかんの間あいだの函数かんすうに対たいして定義ていぎされる。バナハ空間くうかん上じょうのフレシェ微分びぶん同様どうように、ガトー微分びぶんは変へん分ぶん法ほうや物理ぶつり学がくで広ひろく用もちいられる汎ひろし函数かんすう微分びぶんの定式ていしき化かにしばしば用もちいられる。

他たの微分びぶん法ほうと異ことなり、ガトー微分びぶんは必かならずしも線型せんけいでないが、ガトー微分びぶんの定義ていぎにそれが連続れんぞく線型せんけい変換へんかんとなることも仮定かていすることがよくある。文献ぶんけんによっては、例たとえば Tikhomirov (2001) は（非ひ線型せんけいかもしれない）ガトー微分びぶん係数けいすう (Gâteaux differential) と（必かならず線型せんけいである）ガトー導しるべ函数かんすう (Gâteaux derivative) をはっきりと区別くべつする。応用おうように際さいして、連続れんぞく線型せんけい性せいがそれぞれの状況じょうきょうにおいて自然しぜんに課かされるもっと原始げんし的てきな条件じょうけん、例たとえば無限むげん次元じげん正則せいそく函数かんすう論ろん（英語えいご版ばん）における複素ふくそ可か微分びぶん性せいや非ひ線型せんけい解析かいせき学がくにおける連続れんぞく的てき可か微分びぶん性せいなど、から従したがうということも多おおい。

厳密げんみつな定義ていぎ

$X$ と $Y$ は局所きょくしょ凸とつ位相いそう線型せんけい空間くうかんとし、 $U \subset X$ は開ひらけ集合しゅうごう、 $F : X \to Y$ とするとき、 $F$ の $u \in U$ における $ψ ぷさい \in X$ 方向ほうこうへのガトー微分びぶん係数けいすう $dF (u; ψ ぷさい)$ は

(1)\quad dF(u;\psi )=\lim _{\tau \to 0}{\frac {F(u+\tau \psi )-F(u)}{\tau }}=\left.{\frac {d}{d\tau }}F(u+\tau \psi )\right|_{\tau =0}

として右辺うへんの極限きょくげんが存在そんざいする限かぎりにおいて定さだめる。この極限きょくげんが任意にんいの $ψ ぷさい \in X$ に対たいして存在そんざいするとき、 $F$ は $u$ においてガトー微分びぶん可能かのう (Gâteaux differentiable) であると言いう。

定義ていぎ式しき (1)に現あらわれる極限きょくげんの取とり方かたは $Y$ の位相いそうと関係かんけいする。 $X$ および $Y$ がともに実み位相いそう線型せんけい空間くうかんならば、極限きょくげんは実数じっすう $τ たう$ に関かんして取とる。一方いっぽう、 $X$ および $Y$ が複素ふくそ位相いそう線型せんけい空間くうかんならば上記じょうきは複素ふくそ可か微分びぶん性せいの定義ていぎにおけると同様どうように複素数ふくそすう平面へいめんにおいて $τ たう \to 0$ とする極限きょくげんを考かんがえるのが普通ふつうである。また強つよ収斂しゅうれん極限きょくげんの代かわりに弱じゃく収斂しゅうれん極限きょくげんを取とることもあり、その場合ばあい弱じゃくガトー微分びぶんの概念がいねんが導みちびかれる。

線型せんけい性せいと連続れんぞく性せい

各かく点てん $u \in U$ においてガトー微分びぶんは、函数かんすう

dF(u;\bullet )\colon X\to Y;\;\psi \mapsto dF(u;\psi )

を定さだめる。この函数かんすうは任意にんいのスカラー $α あるふぁ$ に対たいして

dF(u;\alpha \psi )=\alpha dF(u;\psi )

を満みたすという意味いみで斉ひとし一いち次じだが、必かならずしも加法かほう的てきでなく、従したがってガトー微分びぶん係数けいすうは線型せんけいでないことが起おこり得える（この点てんではフレシェ微分びぶんと異ことなる）。また、線型せんけいとなる場合ばあいであっても、 $X$ と $Y$ が無限むげん次元じげんの場合ばあいには $ψ ぷさい$ に関かんして連続れんぞくとならないことが生しょうじ得える。さらに言いえば、線型せんけいかつ連続れんぞくとなるようなガトー微分びぶん係がかり数すうに対たいして、その連続れんぞく的てき微分びぶん可能かのう性せいの定式ていしき化かには互たがいに同値どうちでないいくつかの方法ほうほうが存在そんざいする。

例たとえば、二に変数へんすうの実じつ数値すうち函数かんすう $F$ を

F(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&{\mbox{ if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{ if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}

で定さだめると、これは $(0, 0)$ においてガトー微分びぶん可能かのうで、その微分びぶん係数けいすうは

dF(0,0;a,b)={\begin{cases}{\dfrac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&(a,b)\neq (0,0)\\0&(a,b)=(0,0)\end{cases}}

となり、しかしこれは引数ひきすう $(a, b)$ に関かんして連続れんぞくだが線型せんけいでない。無限むげん次元じげんの場合ばあい、 $X$ 上うえの任意にんいの不連続線ふれんぞくせん型がた汎ひろし函数かんすうがガトー微分びぶん可能かのうとなるが、その $0$ におけるガトー微分びぶん係数けいすうは線型せんけいであり、かつ連続れんぞくでない。

フレシェ微分びぶんとの関係かんけい: $F$ がフレシェ微分びぶん可能かのうならば、 $F$ はまたガトー微分びぶん可能かのうであり、そのフレシェ導しるべ函数かんすうとガトー導しるべ函数かんすうとは一致いっちする。逆ぎゃくが明あきらかに真しんでないことは、ガトー導しるべ函数かんすうが線型せんけいや連続れんぞくでないことがあることから分わかるが、実じつはガトー導しるべ函数かんすうが線型せんけいかつ連続れんぞくである場合ばあいにも、フレシェ導しるべ函数かんすうが存在そんざいしないことがあり得える。; にも拘かかわらず、複素ふくそバナハ空間くうかん $X$ から別べつのバナハ空間くうかん $Y$ への函数かんすう $F$ に対たいして、ガトー導しるべ函数かんすうは（ただし、定義ていぎにおける極限きょくげんは複素ふくそ変数へんすう $τ たう$ に関かんして取とるものとすると）、自動的じどうてきに線型せんけいになる（Zorn (1945) の定理ていり）。さらに $F$ が各かく点てん $u \in U$ において（複素ふくそ）ガトー微分びぶん可能かのうで、その導しるべ函数かんすうを $DF (u): ψ ぷさい \mapsto dF (u; ψ ぷさい)$ とすると、 $F$ は $U$ 上うえでフレシェ微分びぶん可能かのうであり、そのフレシェ導しるべ函数かんすうは $DF$ になる (Zorn 1946)。このことは、古典こてん的てきな複素ふくそ解析かいせきにおいて開ひらき集合しゅうごう上じょう複素ふくそ可か微分びぶんな任意にんいの函数かんすうが解析かいせき的てきとなるという結果けっかの類似るいじ対応たいおう物ぶつであり、無限むげん次元じげん正則せいそく函数かんすう論ろん（英語えいご版ばん）の基本きほん的てきな結果けっかの一ひとつである。

連続れんぞく的てき微分びぶん可能かのう性せい: 連続れんぞく的てきガトー微分びぶん可能かのう性せいは大おおきく二ふたつの方法ほうほうで定義ていぎすることができる。以下いか、函数かんすう $F : U \to Y$ は開ひらけ集合しゅうごう $U$ の各かく点てんでガトー微分びぶん可能かのうと仮定かていする。 $U$ における連続れんぞく的てき微分びぶん可能かのう性せいの概念がいねんの一ひとつは、直積ちょくせき空間くうかん上うえの写像しゃぞう $dF : U \times X \to Y$ が連続れんぞくであることを課かすものである。この場合ばあい線型せんけい性せいを仮定かていする必要ひつようはなく、 $X$ と $Y$ がともにフレシェ空間くうかんならば $dF (u; •)$ は任意にんいの $u$ に関かんして自動的じどうてきに有界ゆうかいかつ線型せんけいである (Hamilton 1982)。; より強つよい意味いみでの連続れんぞく的てき微分びぶん可能かのう性せいは $u \mapsto DF (u)$ が $U$ から、 $X$ から $Y$ への連続れんぞく線型せんけい写像しゃぞう全体ぜんたいの成なす空間くうかん $L (x, y)$ への写像しゃぞうとして連続れんぞくであることを課かすものである。即すなわち、 $DF : U \to L (X, Y); u \mapsto DF (u)$ の連続れんぞく性せいを言いう。ここで、 $DF (u)$ 自体じたいが連続れんぞくであることは既すでに前提ぜんていとしていることに注意ちゅうい。; 技術ぎじゅつ的てきな便宜上べんぎじょう、 $X, Y$ がバナハ空間くうかんであるときは、後者こうしゃの意味いみでの連続れんぞく的てき微分びぶん可能かのう性せいを考かんがえるのが典型てんけい的てき（だがいつも (universal) というわけではない）である。これは $L (X, Y)$ もまたバナハであり、従したがって函数かんすう解析かいせき学がくにおける標準ひょうじゅん的てきな結果けっかをそこで用もちいることができるという理由りゆうによる。前者ぜんしゃのほうは、非ひ線型せんけい解析かいせきではより一般いっぱん的てきに用もちいられる定義ていぎであり、この分野ぶんやでは函数かんすう空間くうかんは必かならずしもバナハでない。例たとえば、フレシェ空間くうかんにおける微分びぶん法ほう（英語えいご版ばん）は、しばしば可か微分びぶん多様たよう体たい上うえの滑なめらかな函数かんすうからなる意味いみのある函数かんすう空間くうかんにおいて、ナッシュ-モーザーの逆ぎゃく写像しゃぞう定理ていり（英語えいご版ばん）などで応用おうようされる。

高階たかしな導しるべ函数かんすう

高階たかしなのフレシェ導しるべ函数かんすうが、同型どうけい $L n (X, Y) = L (X, L n -1 (X, Y))$ の反復はんぷく適用てきようによって、多重たじゅう線型せんけい写像しゃぞうとして自然しぜんに定義ていぎされるのに反はんして、高階たかしなガトー導しるべ函数かんすうはこの方法ほうほうで定義ていぎすることはできない。その代かわり、 $X$ の開ひらき集合しゅうごう $U$ 上うえの函数かんすう $F : U \to Y$ の $h$ -方向ほうこうへの $n$ -階かいガトー導しるべ函数かんすうは

(2)

d^{n}F(u;h)=\left.{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}F(u+\tau h)\right|_{\tau =0}

で定義ていぎされる。つまりこれは、多重たじゅう線型せんけい写像しゃぞうではなくて、 $h$ に関かんする $n$ -次つぎの斉ひとし次じ函数かんすうになる。

あるいはまた、少すくなくとも $F$ がスカラー値ち函数かんすうである特別とくべつの場合ばあいには、高階たかしな導しるべ函数かんすうの別べつな候補こうほとして、 $F$ の二に次じ変へん分ぶんとしての函数かんすう

(3)

D^{2}F(u)\{h,k\}=\lim _{\tau \to 0}{\frac {DF(u+\tau k)h-DF(u)h}{\tau }}=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau \partial \sigma }}F(u+\sigma h+\tau k)\right|_{\tau =\sigma =0}

が、変へん分ぶん法ほうにおいて自然しぜんに生しょうじてくるが、しかしこの方法ほうほうだと $h$ および $k$ のそれぞれに関かんして斉ひとし次つぎになることを除のぞけば、まともな性質せいしつが全まったく保証ほしょうされない。 $D 2 F (u){h, k}$ が $h$ と $k$ に関かんする対称たいしょう双そう線型せんけい写像しゃぞうとなること、およびその対称たいしょう双そう線型せんけい写像しゃぞうが $d n F$ の極きょく化か形式けいしき（英語えいご版ばん）と一致いっちすること、を保証ほしょうする十分じゅうぶん条件じょうけんを持もつことが望のぞましい。

例たとえば、以下いかのような十じゅう分ふん条件じょうけんが挙あげられる (Hamilton 1982)。 $F$ は写像しゃぞう $DF : U \times X \to Y$ が積せき位相いそうに関かんして連続れんぞくであるという意味いみで $C 1$ -級きゅうであるとし、さらに定義ていぎ式しき (3) の定さだめる二に次じ変へん分ぶんが $D 2 F : U \times X \times X \to Y$ が連続れんぞくとなるという意味いみで連続れんぞくと仮定かていする。このとき $D 2 F (u){h, k}$ は $h, k$ に関かんして双そう線型せんけいかつ対称たいしょうである。双そう線型せんけい性せいのおかげで、極きょく化か恒等こうとう式しき

D^{2}F(u)\{h,k\}={\frac {1}{2}}d^{2}F(u;h+k)-d^{2}F(u;h)-d^{2}F(u;k)

が満みたされ、二に次じ変へん分ぶん $D 2 F (u)$ が二に次じ微分びぶん係数けいすう $d 2 F (u; -)$ に関連付かんれんづけられる。同様どうようのことが高階たかしな導しるべ函数かんすうに関かんしても成立せいりつする。

性質せいしつ

函数かんすう $F$ が十分じゅうぶんに連続れんぞく的てき微分びぶん可能かのうと仮定かていすると、 $F$ のガトー微分びぶんに関かんして微分びぶん積分せきぶん学がくの基本きほん定理ていりの一種いっしゅが成立せいりつする。具体ぐたい的てきに書かけば、

F : X \to Y

はガトー微分びぶん

dF : U \times X \to Y

が連続れんぞく函数かんすうであるという意味いみで

C 1

-級きゅうとすると、任意にんいの

u \in U

および

h \in X

に関かんして

F(u+h)-F(u)=\int _{0}^{1}dF(u+th;h)\,dt

が成なり立たつ。ただし、積分せきぶんはゲルファント-ペティス積分せきぶん（弱じゃく積分せきぶん）の意味いみで取とる。

これにより、よく知しられた微分びぶんの性質せいしつの多おおくをガトー微分びぶんも満みたす（例たとえば、高階たかしな導しるべ函数かんすうの重じゅう線型せんけい性せいや交換こうかん性せい）。基本きほん定理ていりの帰結きけつとして他ほかにも、

連鎖れんさ律りつ: 任意にんいの $u \in U, x \in X$ に対たいして $d(G\circ F)(u;x)=dG(F(u);dF(u;x))$ が成なり立たつ。
剰余じょうよ項こうを持もつテイラーの定理ていり: $u \in U$ と $u + h$ を結むすぶ線分せんぶんがまったく $U$ に含ふくまれると仮定かていする。 $F$ が $C k$ -級きゅうならば
$F(u+h)=F(u)+dF(u;h)+{\frac {1}{2!}}d^{2}F(u;h)+\dots +{\frac {1}{(k-1)!}}d^{k-1}F(u;h)+R_{k}$
が成なり立たつ。ただし剰余じょうよ項こうは
$R_{k}(u;h)={\frac {1}{(k-1)!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{k-1}d^{k}F(u+th;h)\,dt$
で与あたえられる。

などが成立せいりつする。

例れい

空間くうかん $X$ はユークリッド空間くうかん $R N$ のルベーグ可か測はか集合しゅうごう $Ω おめが$ 上うえの自乗じじょう可か積分せきぶん函数かんすう全体ぜんたいの成なすヒルベルト空間くうかんとする。 $F$ は $F' = f$ なる実じつ変数へんすう実じつ数値すうち函数かんすうで、 $u$ は $Ω おめが$ 上うえの実じつ数値すうち函数かんすうとするとき、汎ひろし函数かんすう $E : X \to R$ を