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解析 かいせき 学 がく 一 いち 分野 ぶんや 変 へん 分 ぶん 法 ほう 英 えい calculus of variations , variational calculus 変 へん 分 ぶん 解析 かいせき 学 がく 汎 ひろし 函数 かんすう 函数 かんすう 集合 しゅうごう 実数 じっすう 写像 しゃぞう 最大 さいだい 化 か 最小 さいしょう 化 か 扱 あつか 汎 ひろし 函数 かんすう 函数 かんすう 導 しるべ 函数 かんすう 含 ふく 定 てい 積分 せきぶん 表 あらわ 分野 ぶんや 主 おも 興味 きょうみ 対象 たいしょう 与 あた 汎 ひろし 函数 かんすう 最大 さいだい 最小 さいしょう 極 きょく 値 ち 函数 かんすう 汎 ひろし 函数 かんすう 変化 へんか 率 りつ 零 れい 停留 ていりゅう 函数 かんすう
そのような問題 もんだい 単純 たんじゅん 例 れい 二 に 点 てん 結 むす 最短 さいたん 曲線 きょくせん 求 もと 問題 もんだい 何 なん 制約 せいやく 無 な 二 に 点 てん 結 むす 直線 ちょくせん 明 あき 解 かい 与 あた 例 たと 空間 くうかん 上 じょう 特定 とくてい 曲面 きょくめん 上 じょう 曲線 きょくせん 制約 せいやく 与 あた 解 かい 明 あき 複数 ふくすう 解 かい 存在 そんざい 得 え 問題 もんだい 解 かい 測地 そくち 線 せん 総称 そうしょう 関連 かんれん 話題 わだい フェルマーの原理 げんり は「光 こう 二 に 点 てん 結 むす 最短 さいたん 光学 こうがく 的 てき 長 なが 持 も 経路 けいろ 通 とお 光学 こうがく 的 てき 長 なが 間 あいだ 物質 ぶっしつ 決 き 述 の 力学 りきがく 最小 さいしょう 作用 さよう 原理 げんり 対応 たいおう
重要 じゅうよう 問題 もんだい 多 おお 多 た 変数 へんすう 函数 かんすう 含 ふく ラプラス方程式 ほうていしき の境界 きょうかい 値 ち 問題 もんだい 解 かい ディリクレの原理 げんり を満足 まんぞく プラトーの問題 もんだい （英語 えいご 版 ばん 空間 くうかん 内 ない 与 あた 周回 しゅうかい 路 ろ 張 は 面積 めんせき 最小 さいしょう 曲面 きょくめん 極小 きょくしょう 曲面 きょくめん 求 もと 問題 もんだい 解 かい 石鹸 せっけん 水 すい 浸 ひた 枠 わく 張 は 石鹸 せっけん 膜 まく 見 み 目 め 経験 けいけん 比較的 ひかくてき 容易 ようい 実験 じっけん 数学 すうがく 的 てき 解釈 かいしゃく 簡単 かんたん 遠 とお 局所 きょくしょ 的 てき 最小 さいしょう 化 か 曲面 きょくめん 複数 ふくすう 存在 そんざい 得 え 非 ひ 自明 じめい 位相 いそう 持 も 得 え
変 へん 分 ぶん 法 ほう ヨハン・ベルヌーイ (1696) のとり挙 あ 最速 さいそく 降下 こうか 曲線 きょくせん 問題 もんだい 始 はじ [1] ヤコブ・ベルヌーイ およびギヨーム・ド・ロピタル の目 め 留 と 主題 しゅだい 初 はじ 詳 くわ 述 の レオンハルト・オイラー であった。オイラーの成果 せいか 年 ねん 始 はじ 著書 ちょしょ Elementa Calculi Variationum はこの分野 ぶんや 名 な 由来 ゆらい ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ はこの理論 りろん 拡張 かくちょう 貢献 こうけん アドリアン＝マリ・ルジャンドル (1786) は最大 さいだい 最小 さいしょう 判別 はんべつ 方法 ほうほう 十分 じゅうぶん 確立 かくりつ アイザック・ニュートン とゴットフリート・ライプニッツ もまたこの主題 しゅだい 対 たい 先駆 せんく 的 てき 注目 ちゅうもく 与 あた [2] 判別 はんべつ 法 ほう 対 たい Brunacci （英語 えいご 版 ばん カール・フリードリヒ・ガウス (1829), シメオン・ポワソン (1831), ミハイル・オストログラツキー (1834), カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ (1837) など多 おお 貢献 こうけん 重要 じゅうよう 一般 いっぱん 論 ろん ピエール・フレデリック・サラス (1842) によるものを オーギュスタン＝ルイ・コーシー (1844) が精密 せいみつ 化 か 改善 かいぜん 他 た 重要 じゅうよう 研究 けんきゅう 論文 ろんぶん 回顧 かいこ 録 ろく Strauch （英語 えいご 版 ばん Jellett （英語 えいご 版 ばん ルートヴィヒ・オットー・ヘッセ (1857), Clebsch （英語 えいご 版 ばん 書 か 世紀 せいき 重要 じゅうよう 成果 せいか カール・ヴァイヤストラス による。その高名 こうみょう 講座 こうざ 画期的 かっきてき 確固 かっこ 疑 うたが 基礎 きそ 上 うえ 立 た 第一人者 だいいちにんしゃ 言 い 年 ねん 出 だ ヒルベルトの23の問題 もんだい の20番目 ばんめ （英語 えいご 版 ばん 23番目 ばんめ （英語 えいご 版 ばん 分野 ぶんや 更 さら 発展 はってん 促 うなが [2] 世紀 せいき ダフィット・ヒルベルト 、エミー・ネーター 、レオニダ・トネリ （英語 えいご 版 ばん アンリ・ルベーグ 、ジャック・アダマール らの著 いちじる 貢献 こうけん 成 な [2] マーストン・モース （英語 えいご 版 ばん 変 へん 分 ぶん 法 ほう 今日 きょう モース理論 りろん と呼 よ 応用 おうよう [3] レフ・ポントリャーギン 、ラルフ・ロッカフェラー （英語 えいご 版 ばん 最適 さいてき 制御 せいぎょ 理論 りろん 変 へん 分 ぶん 法 ほう 対 たい 新 あたら 数学 すうがく 的 てき 道具 どうぐ 開発 かいはつ [3] リチャード・ベルマン の動的 どうてき 計画 けいかく 法 ほう 変 へん 分 ぶん 法 ほう 代替 だいたい [4] [5] [6]
変 へん 分 ぶん 法 ほう 汎 ひろし 函数 かんすう 極大 きょくだい 極小 きょくしょう 総称 そうしょう 極 きょく 値 ち 呼 よ 注目 ちゅうもく 函数 かんすう 数値 すうち 的 てき 変数 へんすう 依存 いぞん 決 き 意味 いみ 同 おな 汎 ひろし 函数 かんすう 函数 かんすう 依存 いぞん 決 き 意味 いみ 函数 かんすう 函数 かんすう 記述 きじゅつ 固定 こてい 定義 ていぎ 域 いき 上 うえ 定義 ていぎ 函数 かんすう 函数 かんすう 空間 くうかん 与 あた 元 もと 動 うご 函数 かんすう 変数 へんすう y に関 かん 汎 ひろし 函数 かんすう 極 きょく 値 ち 持 も 汎 ひろし 函数 かんすう J [ y ]函数 かんすう f において極 きょく 値 ち 持 も 増分 ぞうぶん Δ でるた J = J [y ] - J [f ]f の任意 にんい 小 ちい 近傍 きんぼう 属 ぞく 任意 にんい y に対 たい 同 おな 符号 ふごう 持 も 言 い [Note 1] 函数 かんすう f は極 きょく 値 ち 函数 かんすう 極 きょく 値 ち 点 てん extremal ) と呼 よ 極 きょく 値 ち J [f ]極大 きょくだい f の任意 にんい 小 ちい 近傍 きんぼう 各 かく 点 てん Δ でるた J ≤ 0満 み 言 い 極小 きょくしょう 同様 どうよう Δ でるた J ≥ 0言 い 連続 れんぞく 函数 かんすう 空間 くうかん 対 たい 対応 たいおう 汎 ひろし 函数 かんすう 極 きょく 値 ち 連続 れんぞく 函数 かんすう 一 いち 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 全 すべ 連続 れんぞく 否 ひ 従 したが 弱 じゃく 極 きょく 値 ち weak extrema ) または強 つよ 極 ごく 値 ね strong extrema ) と呼 よ [8]
汎 ひろし 函数 かんすう 強 つよ 極 ごく 値 ね 弱 じゃく 極 きょく 値 ち 連続 れんぞく 函数 かんすう 空間 くうかん 対 たい 弱 じゃく 極 きょく 値 ち 空間 くうかん 属 ぞく 函数 かんすう 一 いち 階 かい 導 しるべ 函数 かんすう 連続 れんぞく 追加 ついか 要件 ようけん 持 も 強 つよ 極 ごく 値 ね 弱 じゃく 極 きょく 値 ち 逆 ぎゃく 真 しん 強 つよ 極 ごく 値 ね 求 もと 弱 じゃく 極 きょく 値 ち 求 もと 困難 こんなん [9] 弱 じゃく 極 きょく 値 ち 求 もと 用 もち 必要 ひつよう 条件 じょうけん 一 ひと 例 れい オイラー＝ラグランジュ方程式 ほうていしき がある[10] [Note 2]
変 へん 分 ぶん 極小 きょくしょう 値 ち 関 かん 十分 じゅうぶん 条件 じょうけん [ 編集 へんしゅう ] 変 へん 分 ぶん 法 ほう 汎 ひろし 函数 かんすう 引数 ひきすう 函数 かんすう 変化 へんか 生 しょう 小 ちい 変動 へんどう 汎 ひろし 函数 かんすう 変 へん 分 ぶん 注目 ちゅうもく 一 いち 次 じ 変 へん 分 ぶん [Note 3] 汎 ひろし 函数 かんすう 増分 ぞうぶん 一 いち 次 じ 成分 せいぶん 線型 せんけい 部分 ぶぶん 定義 ていぎ 二 に 次 じ 変 へん 分 ぶん [Note 4] 汎 ひろし 函数 かんすう 増分 ぞうぶん 二 に 次 じ 成分 せいぶん 定義 ていぎ [11]
例 たと J [y ]函数 かんすう y = y (x )引数 ひきすう 汎 ひろし 函数 かんすう h = h (x )y と同 おな 函数 かんすう 空間 くうかん 属 ぞく 函数 かんすう 引数 ひきすう y から y + h 変化 へんか 対応 たいおう 汎 ひろし 函数 かんすう 増分 ぞうぶん Δ でるた J [h ] = J [y + h ] − J [y ]与 あた [Note 5]
汎 ひろし 函数 かんすう J [y ]微分 びぶん 可能 かのう 線型 せんけい 汎 ひろし 函数 かんすう φ ふぁい h ]存在 そんざい [Note 6] Δ でるた J [h ] = φ ふぁい h ] + ε いぷしろん h ‖言 い ‖ h ‖ は h のノルム [Note 7] ε いぷしろん ‖ h ‖ → 0 のとき ε いぷしろん 満 み 線型 せんけい 汎 ひろし 函数 かんすう φ ふぁい J [y ]一 いち 次 じ 変 へん 分 ぶん （英語 えいご 版 ばん δ でるた 表 あらわ [15]
δ でるた J
[
h
]
:=
ϕ
[
h
]
.
{\displaystyle {\mathit {\delta J}}[h]:=\phi [h].}
また汎 ひろし 函数 かんすう J [y ]二 に 回 かい 微分 びぶん 可能 かのう 一 いち 次 じ 変 へん 分 ぶん φ ふぁい 1 [h ]二 に 次 じ 汎 ひろし 函数 かんすう [Note 8] φ ふぁい 2 [h ]存在 そんざい Δ でるた J [h ] = φ ふぁい 1 [h ] + φ ふぁい 2 [h ] + ε いぷしろん h ‖2 言 い ε いぷしろん ‖ h ‖ → 0 のとき ε いぷしろん 二 に 次 じ 汎 ひろし 函数 かんすう φ ふぁい 2 J [y ]二 に 次 じ 変 へん 分 ぶん 呼 よ δ でるた 2 J 書 か [17]
δ でるた
2
J
[
h
]
:=
ϕ
2
[
h
]
.
{\displaystyle \delta ^{2}\!J[h]:=\phi _{2}[h].}
二 に 次 じ 変 へん 分 ぶん δ でるた 2 J [h ]強 つよ 正 ただし strongly positive ) であるとは、適当 てきとう 定数 ていすう k > 0存在 そんざい 任意 にんい h に対 たい δ でるた 2 J [h ] ≥ k ‖ h ‖2 満 み 言 い [18]
極小 きょくしょう 値 ち 十分 じゅうぶん 条件 じょうけん 汎 ひろし 函数 かんすう J [y ]y = ŷ 極小 きょくしょう y = ŷ 一 いち 次 じ 変 へん 分 ぶん δ でるた h ] = 0二 に 次 じ 変 へん 分 ぶん δ でるた 2 J [h ]強 つよ 正 せい 十分 じゅうぶん [19] [Note 9]
^ f の近傍 きんぼう 与 あた 函数 かんすう 空間 くうかん 元 もと y で定義 ていぎ 域 いき 全体 ぜんたい |y - f | < h を満 み 全体 ぜんたい 成 な 部分 ぶぶん 集合 しゅうごう 言 い 正 せい 数 かず h は近傍 きんぼう 大 おお 決 き 定数 ていすう [7] ^ 十分 じゅうぶん 条件 じょうけん 後述 こうじゅつ
^ 一 いち 次 じ 変 へん 分 ぶん 変 へん 分 ぶん 微分 びぶん 一 いち 次 じ 微分 びぶん 呼 よ
^ 二 に 次 じ 変 へん 分 ぶん 二 に 次 じ 微分 びぶん 呼 よ
^ 増分 ぞうぶん Δ でるた J [h ]以下 いか 現 あらわ 変 へん 分 ぶん y および h の双方 そうほう 依存 いぞん 注意 ちゅうい 記述 きじゅつ 簡素 かんそ 化 か 引数 ひきすう y は省略 しょうりゃく 例 たと Δ でるた J [h ]Δ でるた J [y ; h ]書 か 意味 いみ 上 うえ 自然 しぜん [12] ^ 汎 ひろし 函数 かんすう φ ふぁい h ]線型 せんけい 函数 かんすう h , h 1 , h 2 実数 じっすう α あるふぁ 関 かん φ ふぁい α あるふぁ α あるふぁ φ ふぁい h ]φ ふぁい h 1 +h 2 ] = φ ふぁい h 1 ] + φ ふぁい h 2 ]満 み 言 い [13] ^ 函数 かんすう h = h (x )実数 じっすう a, b に対 たい 区間 くかん a ≤ x ≤ b 上 うえ 定義 ていぎ h のノルムはその最大 さいだい 絶対 ぜったい 値 ち ‖ h ‖ = max{|h (x )| : a ≤ x ≤ b } [14]
^ 汎 ひろし 函数 かんすう 二 に 次 じ 双 そう 線型 せんけい 汎 ひろし 函数 かんすう 二 ふた 引数 ひきすう 等 ひと 置 お 得 え 双 そう 線型 せんけい 汎 ひろし 函数 かんすう 一方 いっぽう 変数 へんすう 他方 たほう 変数 へんすう 固定 こてい 線型 せんけい [16] ^ 他 た 十分 じゅうぶん 条件 じょうけん Gelfand & Fomin 2000 を参照 さんしょう 弱 じゃく 極小 きょくしょう 値 ち 対 たい 十分 じゅうぶん 条件 じょうけん Chapter 5: "The Second Variation. Sufficient Conditions for a Weak Extremum". p. 116. の定理 ていり 強 つよ 極小 きょくしょう 値 ち 対 たい 十分 じゅうぶん 条件 じょうけん Chapter 6: "Fields. Sufficient Conditions for a Strong Extremum". p. 148. の定理 ていり 与 あた
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![{\displaystyle {\mathit {\delta J}}[h]:=\phi [h].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a42793810cfc313792dd5457397422464543e3c1)
![{\displaystyle \delta ^{2}\!J[h]:=\phi _{2}[h].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007c344d60aa98dd399305b61e6b70f02cfaaece)
