ダランベールの収束しゅうそく判定はんてい法ほう

ダランベールの収束しゅうそく判定はんてい法ほう（ダランベールのしゅうそくはんていほう、ratio test）とは、実数じっすうや複素数ふくそすうを項こうにもつ級数きゅうすうが、収束しゅうそくするか発散はっさんするかを判定はんていする方法ほうほうである。級数きゅうすうにおける、前後ぜんごの項こうの比ひを考かんがえる。もし、この比ひの極限きょくげんが 1 未満みまんであれば、級数きゅうすうは絶対ぜったい収束しゅうそくする。

この判定はんてい法ほうは、ジャン・ル・ロン・ダランベールによって発表はっぴょうされた。

判定はんてい法ほう

厳密げんみつには、ダランベールの収束しゅうそく判定はんてい法ほうは、次つぎのように述のべられる。

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$

であれば、級数きゅうすう

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

は絶対ぜったい収束しゅうそくする。また、

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1$

であれば、級数きゅうすうは発散はっさんする。

もし、極限きょくげんがちょうど 1 であれば、級数きゅうすうは収束しゅうそくする場合ばあいもあるし、発散はっさんする場合ばあいもある。従したがって、この場合ばあいは、ダランベールの収束しゅうそく判定はんてい法ほうではどちらとも言いえない。

例れい

収束しゅうそくする場合ばあい

まず基本きほん的てきな級数きゅうすうであるべき級数きゅうすう

$\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}$

は$|z|<1$で収束しゅうそくすることは広ひろく知しられているがこれを再度さいどダランベールの収束しゅうそく判定はんてい法ほうで確たしかめることが出来できる：

${\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|z^{n+1}/z^{n}\right|\\&=|z|<1\end{aligned}}$

これをモデルケースとして覚おぼえればこの収束しゅうそく判定はんてい法ほうも覚おぼえやすい。

次つぎの級数きゅうすうを考かんがえる。

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}$

これに、ダランベールの収束しゅうそく判定はんてい法ほうを適用てきようすると、

${\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {n+1}{e^{n+1}}}\;}{\dfrac {n}{e^{n}}}}\right|\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\left(1+{\frac {1}{n}}\right){\frac {1}{e}}\right|\\&={\frac {1}{e}}<1\end{aligned}}$

1/eは1より小ちいさいため、級数きゅうすうは収束しゅうそくする。

発散はっさんする場合ばあい

次つぎの級数きゅうすうを考かんがえる。

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}$

これに、ダランベールの収束しゅうそく判定はんてい法ほうを適用てきようすると、

${\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {e^{n+1}}{n+1}}\;}{\;{\dfrac {e^{n}}{n}}\;}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{1+{\dfrac {1}{n}}}}e\right|\\&=e>1\end{aligned}}$

eは1より大おおきいため、級数きゅうすうは発散はっさんする。

どちらとも言いえない場合ばあい

もし、級数きゅうすうが

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$

を満みたす場合ばあい、ダランベールの判定はんてい条件じょうけんから、収束しゅうそくするか発散はっさんするかを推定すいていすることは不可能ふかのうである。

例たとえば、級数きゅうすう

$\sum _{n=1}^{\infty }1$

は発散はっさんし、

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1$

である。一方いっぽうで、

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

は絶対ぜったい収束しゅうそくするが、

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {1}{(n+1)^{2}}}\;}{\dfrac {1}{n^{2}}}}\right|=1$

である。最後さいごに、

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}$

は条件じょうけん収束しゅうそくするが、

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {(-1)^{n+1}}{n+1}}\;}{\dfrac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1$

である。

ダランベールの判定はんてい法ほうで収束しゅうそく判定はんてい出来できるなら絶対ぜったい収束しゅうそくなのでこの結果けっかはある意味いみ当然とうぜんである。これは交代こうたい級数きゅうすうに関かんするライプニッツの定理ていりないしその一般いっぱん化かであるディリクレの収束しゅうそく判定はんてい法ほうにより条件じょうけん収束しゅうそく性せいがわかる。

どちらとも言いえない場合ばあいには

以上いじょうの例れいで見みたとおり、比ひの極限きょくげんが1である場合ばあいは、ダランベールの収束しゅうそく判定はんてい法ほうではどちらとも言いえない。しかし、ラーベによるダランベールの収束しゅうそく判定はんてい法ほうの拡張かくちょう（ラーベの収束しゅうそく判定はんてい法ほう）では、このような場合ばあいを扱あつかうことも考慮こうりょに入いれることができる。ラーベの収束しゅうそく判定はんてい法ほうは、次つぎのように述のべられる。もし、

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$

で、かつ正数せいすうcが存在そんざいして

$\lim _{n\rightarrow \infty }\,n\left(\,\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|-1\right)=-1-c$

を満みたす場合ばあい、級数きゅうすうは絶対ぜったい収束しゅうそくする。

より精密せいみつな判定はんてい法ほうとしてクンマーの判定はんてい法ほうがある。

なお、2021年ねん現在げんざいにおいてどのような級数きゅうすうの収束しゅうそくも判定はんていできる判定はんてい法ほうというものは見みつかっていない。実際じっさいに、収束しゅうそくするか否ひかが未み解明かいめいである級数きゅうすうの一いち例れいとしてFlint Hills級数きゅうすう

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}(n)}}$

というものがある。

関連かんれん記事きじ

• コーシーの冪べき根ね判定はんてい法ほう
• 収束しゅうそく半径はんけい

参考さんこう文献ぶんけん

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6

• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3