特殊とくしゅ関数かんすう

特殊とくしゅ関数かんすう（とくしゅかんすう、英えい: special functions）は、何なんらかの名前なまえや記法きほうが定着ていちゃくしている関数かんすうであり、解析かいせき学がく、関数かんすう解析かいせき学がく、可か積分せきぶん系けい、物理ぶつり学がく、その他たの応用おうよう分野ぶんやでよく使つかわれる関数かんすうであることが多おおい^[1]。

何なにが特殊とくしゅ関数かんすうであるかのはっきりした定義ていぎは存在そんざいしないが^[1]、しばしば特殊とくしゅ関数かんすうとして扱あつかわれるものには、ガンマ関数かんすう、ベータ関数かんすう、エアリー関数かんすう、ベッセル関数かんすう^[2]^[3]、ゼータ関数かんすう^[4]^[5]、楕円だえん関数かんすう^[6]^[7]、ルジャンドル関数かんすう、誤差ごさ関数かんすう、超ちょう幾何きか関数かんすう^[8]^[9]^[10] ^[11] ^[12] ^[13]、直交ちょっこう多項式たこうしき^[14]^[15]^[16]^[17] (ラゲール多項式たこうしき、エルミート多項式たこうしきが有名ゆうめい) などがある。一般いっぱんには初等しょとう関数かんすうの対義語たいぎごではなく、ある関数かんすうが初等しょとう関数かんすうであって同時どうじに特殊とくしゅ関数かんすうとされる場合ばあいもある。

特殊とくしゅ関数かんすうの一覧いちらん

特殊とくしゅ関数かんすうの多おおくは、微分びぶん方程式ほうていしきの解かい (つまり可か積分せきぶん系けいの厳密げんみつ解かい^[18]) や初等しょとう関数かんすうの積分せきぶん (誤差ごさ関数かんすうや楕円だえん積分せきぶん^[6]^[7]など) として現あらわれる^[1]。したがって、積分せきぶん法ほうの一覧いちらん^[19]には特殊とくしゅ関数かんすうの記述きじゅつがよく見みられ、特殊とくしゅ関数かんすうの一覧いちらん^[20]には最もっとも重要じゅうような積分せきぶん、すなわちその特殊とくしゅ関数かんすうの積分せきぶん形式けいしきの表現ひょうげんが含ふくまれていることが多おおい。

MATLAB^[21]、Maple^[22]、Mathematica^[23]などの科学かがく技術ぎじゅつ計算けいさん・数値すうち解析かいせきのための言語げんごは、多おおくの特殊とくしゅ関数かんすうを認識にんしきする。ただし、そのようなシステムが常つねに効率こうりつ的てきなアルゴリズムで計算けいさん（評価ひょうか）するとは限かぎらない（特とくに複素ふくそ平面へいめんの場合ばあい）。

特殊とくしゅ関数かんすうの記法きほう

多おおくの場合ばあい、特殊とくしゅ関数かんすうには標準ひょうじゅん的てき記法きほうがあり、関数かんすうの名前なまえ、添そえ字じ（もしあれば）、括弧かっこ開ひらき、引数ひきすう列れつ（コンマで区切くぎる）、括弧かっこ閉とじの順じゅんに記述きじゅつする。このような記法きほうを使つかうことで解釈かいしゃくが容易よういになり、曖昧あいまいさを排除はいじょできる。国際こくさい的てきに記法きほうが確立かくりつしている関数かんすうとしては、sin、cos、exp、erf、erfc などがある^[1]^[24]。

場合ばあいによっては1つの特殊とくしゅ関数かんすうが複数ふくすうの名前なまえを持もつこともある。自然しぜん対数たいすうには Log、log、ln などの記法きほうがあり、文脈ぶんみゃくによって使つかい分わけられる^[1]^[24]。例たとえば正接せいせつ関数かんすうは Tan、tan、tg（ロシア語ごの書籍しょせきに多おおい^[25]、例たとえばロシア語ご版ばんwikipediaにある三角さんかく関数かんすうの記事きじを参照さんしょう）などの記法きほうがある。逆ぎゃく正接せいせつ関数かんすうは atan、arctg、tan⁻¹ などの記法きほうがある。ベッセル関数かんすうは J_n(x) と記しるされることが多おおいが^[1]^[2]^[3]、besselj(n,x) や BesselJ[n,x] も同おなじ関数かんすうを意味いみしている。

引数ひきすうを示しめすのに添そえ字じがよく使つかわれる（整数せいすうが多おおい。例たとえば直交ちょっこう多項式たこうしき^[1]^[14]^[15]^[16]^[17]、ベッセル関数かんすう^[1]^[2]^[3]など）。まれにセミコロン (;) やバックスラッシュ (\) を分離ぶんり文字もじとして使つかうこともある。このような場合ばあい、論理ろんり的てきに解釈かいしゃくする際さいに曖昧あいまいさが生しょうじ、混乱こんらんすることがある。

肩かた文字もじはべき乗じょうを示しめすだけでなく、関数かんすうの修飾しゅうしょくを意味いみすることがある。例たとえば、次つぎのような例れいがある^[1]。

cos³(x) は (cos(x))³ を意味いみする。
cos²(x) は (cos(x))² を意味いみするのが普通ふつうで、cos(cos(x)) と解釈かいしゃくすることは滅多めったにない。
cos⁻¹(x) は arccos(x) を意味いみするのが普通ふつうで、(cos(x))⁻¹ という意味いみではない。この例れいは上うえの2つの例れいとは異ことなるため、ここで混乱こんらんすることが多おおい。

特殊とくしゅ関数かんすうの値ねの評価ひょうか

特殊とくしゅ関数かんすうは変数へんすうが複素数ふくそすうである関数かんすうと見みなせることが多おおい。それらは解析かいせき的てきであり、特異とくい点てんとカットで記述きじゅつされる^[24]。微分びぶん形式けいしきや積分せきぶん形式けいしきが知しられており、テイラー級数きゅうすうや漸近ぜんきん展開てんかいを持もつ^[26]。さらに、他たの特殊とくしゅ関数かんすうとの関係かんけいが知しられている場合ばあいには、より簡単かんたんな関数かんすうの組くみ合あわせで表現ひょうげんできる場合ばあいがある。関数かんすう値ちの評価ひょうかにはこれらの様々さまざまな表現ひょうげんを使つかう。最もっとも単純たんじゅんな方法ほうほうは、テイラー級数きゅうすうによる級数きゅうすう展開てんかいを打うち切きったものを（展開てんかいの中心ちゅうしん付近ふきんで）用もちいることであるが、展開てんかいされた級数きゅうすうの収束しゅうそくが遅おそい場合ばあいがある^[27]。有理ゆうり関数かんすうによる近似きんじ式しきを使つかう場合ばあいもある。ある区間くかんの中なかで多項式たこうしきの値ねにより関数かんすう値ちを近似きんじする場合ばあいには打うち切きられたテイラー展開てんかいを使つかうよりも最良さいりょう近似きんじ理論りろんに基もとづく近似きんじ式しきや打うち切きられたチェビシェフ多項式たこうしき展開てんかいを用もちいる方ほうが良よい。また有理ゆうり関数かんすう近似きんじについても最良さいりょう有理ゆうり近似きんじ式しきが使つかわれることがある。

主おもな研究けんきゅう者しゃ

日本にっぽん

三さん町まち勝久かつひさ

海外かいがい

アメリカ合衆国あめりかがっしゅうこく

ジョージ・ギャスパー^[28] (アスキー＝ギャスパー不等式ふとうしきで知しられる)
リチャード・アスキー^[16]^[30]^[31]^[32] (アスキースキーム、アスキー＝ギャスパー不等式ふとうしきで知しられる)
ジョージ・アンドリューズ^[30]

イギリス

脚注きゃくちゅう

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^ 例たとえばパンルヴェ方程式ほうていしきの厳密げんみつ解かいはパンルヴェ超越ちょうえつ関数かんすう (en:Painleve transcendent) という特殊とくしゅ関数かんすうになる。
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^ Askey-Bateman project

参考さんこう文献ぶんけん

和文わぶん

和書わしょ

以下いかのリストは不完全ふかんぜんなものである。これら以外いがいにも楕円だえん関数かんすう、超ちょう幾何きか関数かんすう、ベッセル関数かんすう、ゼータ関数かんすうなど個別こべつの特殊とくしゅ関数かんすうを主おもに扱あつかって書かかれた本ほんも多数たすうある。

犬井いぬい鉄郎てつお：「特殊とくしゅ函数かんすう」、岩波書店いわなみしょてん。
石津いしづ武彦たけひこ:「特殊とくしゅ関数かんすう論ろん」、朝倉書店あさくらしょてん（応用おうよう数学すうがく力学りきがく講座こうざ4）（1963年ねん）。
小野寺おのでら嘉孝よしたか：「物理ぶつりのための応用おうよう数学すうがく」、裳も華はな房ぼう。
寺沢てらさわ寛一かんいち：「自然しぜん科学かがく者しゃのための数学すうがく概論がいろん」、岩波書店いわなみしょてん。
森口もりぐち・宇田川うだがわ・一松いちまつ：「数学すうがく公式こうしきIII 特殊とくしゅ関数かんすう」、岩波書店いわなみしょてん。
金子かねこ尚武なおたけ・松本まつもと道夫みちお：「特殊とくしゅ関数かんすう」、培風館ばいふうかん（1984年ねん）。
H.ホックシタット：「特殊とくしゅ関数かんすう―その理り・工学こうがくへの応用おうよう」、倍ばい風ふう館かん（1974年ねん)。
藪下やぶした信しん:「特殊とくしゅ関数かんすうとその応用おうよう」、森北もりきた出版しゅっぱん、ISBN 978-4-627-00400-9（1975年ねん12月がつ）。
戸田とだ盛もり和かず：「特殊とくしゅ関数かんすう」、朝倉書店あさくらしょてん（1981年ねん）。
A.П. Прудников、О.И. Маричев、Ю.А. Брычков：「新しん数学すうがく公式こうしき集しゅう II 特殊とくしゅ関数かんすう」、丸善まるぜん、ISBN 978-4621036822（1992年ねん3月がつ）。
小松こまつ勇作ゆうさく：「特殊とくしゅ函数かんすう」（復刊ふっかん）、朝倉書店あさくらしょてん、ISBN 978-4-254-11655-7（2004年ねん3月がつ15日にち）。
時弘ときひろ哲治てつじ、「工学こうがくにおける特殊とくしゅ関数かんすう」、共立きょうりつ出版しゅっぱん、ISBN 978-4-320-01612-5(2006年ねん6月がつ)。
蓬田よもぎた清きよし：「演習えんしゅう形式けいしきで学まなぶ特殊とくしゅ関数かんすう・積分せきぶん変換へんかん入門にゅうもん」、共立きょうりつ出版しゅっぱん、ISBN 978-4320018297（2007年ねん1月がつ）。
木村きむら弘信ひろのぶ：「超ちょう幾何きか関数かんすう入門にゅうもん：特殊とくしゅ関数かんすうへの統一とういつ的てき視点してんからのアプローチ」、サイエンス社しゃ（2007年ねん5月がつ25日にち）。
一松いちまつ信しん：「特殊とくしゅ関数かんすう入門にゅうもん」、森北もりきた出版しゅっぱん、ISBN 978-4627038295 (2008年ねん4月がつ30日にち)。
ジョージ.ブラウン・アルフケン、ハンス.J・ウェーバー：「基礎きそ物理ぶつり数学すうがく第だい４版はんVol.3 特殊とくしゅ関数かんすう」、講談社こうだんしゃ、ISBN 978-4061539792（2001年ねん）.
伏見ふしみ康治こうじ、赤井あかい逸いつ：「復刊ふっかん直交ちょっこう関数かんすう系けい」、共立きょうりつ出版しゅっぱん、ISBN 978-4320034785（2011年ねん6月がつ10日とおか）。
半はん揚あげ稔雄としお：「つかえる特殊とくしゅ関数かんすう入門にゅうもん」、日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、ISBN 978-4-535-78850-3(2018年ねん9月がつ)。

解説かいせつ記事きじ

大島おおしま利雄としお, 廣惠ひろえ一希かずき『特殊とくしゅ関数かんすうと代数だいすう的てき線型せんけい常微分じょうびぶん方程式ほうていしき』（PDF）Graduate School of Mathematical Sciences, the University of Tokyo〈東京大学とうきょうだいがく数理すうり科学かがくレクチャーノート〉、2011年ねん。
- 大島おおしま利雄としお『特殊とくしゅ関数かんすうと代数だいすう的てき線型せんけい常微分じょうびぶん方程式ほうていしき,東京大学とうきょうだいがく数理すうり科学かがくレクチャーノート11』東京大学とうきょうだいがく数理すうり科学かがく研究けんきゅう科か、2011年ねん。
岩崎いわさき克則かつのり「特殊とくしゅ関数かんすうの問題もんだい : パンルヴェ性せいをめぐって (複素ふくそ幾何きか学がくの諸しょ問題もんだい)」『数理すうり解析かいせき研究所けんきゅうじょ講究こうきゅう録ろく』第だい1731巻かん、京都きょうと大学だいがく数理すうり解析かいせき研究所けんきゅうじょ、2011年ねん3月がつ、1-13頁ぺーじ、CRID 1050001335761901440、hdl:2433/170583、ISSN 1880-2818。
木村きむら弘信ひろのぶ「一変いっぺん数すう特殊とくしゅ関数かんすう再訪さいほう(超ちょう幾何きか函数かんすうの総合そうごう的てき理解りかい)」『数理すうり解析かいせき研究所けんきゅうじょ講究こうきゅう録ろく』第だい919巻かん、京都きょうと大学だいがく数理すうり解析かいせき研究所けんきゅうじょ、1995年ねん8月がつ、1-11頁ぺーじ、CRID 1050282677086252032、hdl:2433/59695、ISSN 1880-2818。

洋書ようしょ

Abramowitz and Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
NIST Digital Library of Mathematical Functions
Bateman Manuscript Project
Askey–Bateman project
Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 71, en:Cambridge University Press, MR1688958
Iwasaki, K., Kimura, H., Shimemura, S., & Yoshida, M. (2013). From Gauss to Painlevé: a modern theory of special functions. en:Springer Science & Business Media.
Olver, F. (1997). Asymptotics and special functions. AK Peters/CRC Press.
Mathai, A. M., & Haubold, H. J. (2008). Special functions for applied scientists. New York: Springer.
"Encyclopedia of Special Functions: The Askey-Bateman Project", 3 volume set, Cambridge University Press.
- Vol. I: "Orthogonal Polynomials" (volume editor Mourad Ismail), published September 2020.
- Vol. II: "Multivariable Special Functions" (volume editors Tom H. Koornwinder and Jasper V. Stokman), published October 2020.
- Vol.III: "Hypergeometric and Basic Hypergeometric Functions" (volume editor Mourad Ismail)", in preparation.

特殊とくしゅ関数かんすうと数理すうり物理ぶつり

Nikiforov, A. F., & Uvarov, V. B. (1988). Special functions of mathematical physics. Basel: Birkhäuser.
Magnus, W., Oberhettinger, F., & Soni, R. P. (2013). Formulas and theorems for the special functions of mathematical physics. en:Springer Science & Business Media.

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Vilenkin, N. I. (1978). Special functions and the theory of group representations. American Mathematical Society.
Vilenkin, N. J., & Klimyk, A. U. (2013). Representation of Lie groups and special functions: recent advances. en:Springer Science & Business Media.
Vilenkin, N. J., & Klimyk, A. U., Representation of Lie groups and special functions: Volume 1: Simplest Lie Groups, Special Functions and Integral Transforms. en:Springer Science & Business Media.
Vilenkin, N. J., & Klimyk, A. U., Representation of Lie Groups and Special Functions: Volume 2: Class I Representations, Special Functions, and Integral Transforms. en:Springer Science & Business Media.
Vilenkin, N. J., & Klimyk, A. U., Representation of Lie groups and special functions: Volume 3: Classical and quantum groups and special functions. en:Springer Science & Business Media.

数値すうち計算けいさんに関かんする文献ぶんけん

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Jin, J. M., & Jjie, Z. S. (1996). Computation of special functions. Wiley.

外部がいぶリンク

Special functions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0
NIST Digital Library of Mathematical Functions
特殊とくしゅ関数かんすうってなに？ (PDF)
特殊とくしゅ関数かんすうとその応用おうようについて (PDF)
吉田よしだ年雄としお：「特殊とくしゅ関数かんすうの数値すうち計算けいさん法ほう」、中部大学ちゅうぶだいがく工学部こうがくぶ紀要きよう、48巻かん（2012）。
SIAM Activity Group on Orthogonal Polynomials and Special Functions
特殊とくしゅ関数かんすうグラフィックスライブラリー Graphics Library of Special functions

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[18] 例たとえばパンルヴェ方程式ほうていしきの厳密げんみつ解かいはパンルヴェ超越ちょうえつ関数かんすう (en:Painleve transcendent) という特殊とくしゅ関数かんすうになる。

[GR-19] Gradshtein, Israel Solomonovich; Iosif Moiseevich Ryzhik.. Table of integrals, sums, series and products. en:Academic press

[IRENE-20] Abramovitz, Milton; Irene Stegun. Table of mathematical functions

[21] MATLABにある特殊とくしゅ関数かんすうの一覧いちらん

[22] Mapleにある特殊とくしゅ関数かんすうの一覧いちらん

[23] Mathematicaにある特殊とくしゅ関数かんすうの一覧いちらん

[jimbo-24] 神保じんぼ道夫みちお、複素ふくそ関数かんすう入門にゅうもん、岩波書店いわなみしょてん。

[25] ロシアでの微積分びせきぶんの用語ようご、Researchmapより

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[27] 収束しゅうそくが遅おそいときには収束しゅうそく加速かそく法ほうを使つかうことで収束しゅうそくが早はやくなる場合ばあいがある。

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[32] Askey-Bateman project

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表ひょう話はなし編へん歴れき解析かいせき学がくの主要しゅようなトピックス
微分びぶん積分せきぶん学がく: 積分せきぶん法ほう微分びぶん法ほう微分びぶん方程式ほうていしき (常つね - 偏へん) 基本きほん定理ていり変へん分ぶん法ほうベクトル解析かいせきテンソル解析かいせき積分せきぶん一覧いちらん導しるべ関数かんすう一覧いちらん（英語えいご版ばん）
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